平行四邊形輔助線

1、平行四邊形輔助線平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：一、連對角線或平移對角線例1如圖1，E是平行四邊形ABCD中AD延長線上一點，ED交BC于F，求證：。簡證：連BD，由圖易得（同底等高），（同底等高）所以，所以，即。例2如圖2，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于O，AC=a+b，BD=a+c（），AB=m，求m的取值范圍。簡解：要求AB的值，需把AC、BD、AB集中

2、在一個三角形中，過C作CEDB交AB的延長線于E，由圖易得DBEC是平行四邊形，所以，即，在ACE中，即。二、過頂點作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形例3如圖3，平行四邊形ABCD中，DBC=，DEDB交BC的延長線于E，AD=a，DE=b，求。簡解：過D作DFBE于F，由題意得DEB=，所以DF=，BE=，則，所以。例4如圖4，平行四邊形ABCD的周長為40，ABC=，E、F是BD上的三等分點，AE的延長線交BC于M，MF的延長線交AD于N，設(shè)，試求y與x的函數(shù)關(guān)系。簡解：過A作AHBC于H。因為，所以，所以。因為ADBC，所以，所以，則。三、連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，

3、構(gòu)造線段平行或中位線例5如圖5，平行四邊形ABCD中，N是AB中點，BE=，NE與BD交于F，求的值。簡解：作AC交BD于O，連ON，由圖得ON，因為，所以，所以，所以，則。例6如圖6，平行四邊形ABCD中，O是對角線交點，F(xiàn)是AB延長線上一點，OF交BC于E，AB=a，BC=b，BF=c。求BE長。簡解：作OGCB交AB于G，因為O是AC中點，所以O(shè)G=，又，所以。四、連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形例7如圖7，正方形ABCD中，E、F分別為CD、DA的中點，BE、CF交于P，求證AP=AB。簡證：延長CF交BA的延長線于G。因為FD=FA，易得CDFGA

4、F，所以AG=CD=AB，則A為BG中點，又CE=DF，CB=CD，所以RtBCERtCDF，所以1=2，因為1+3=，所以2+3=，所以CPB=，所以BPG=。則PA是RtBPG的斜邊上中線，所以AP=AB。例8如圖8，平行四邊形ABCD中，E、F分別是DC、DA上一點，AE=CF，AE與CF交于P，求證PB平分APC。簡證：連BE、BF，由圖易證得。過B作BHCF、BGAE，垂足分別為H、G。因為，所以BG=BH，所以B點在APC的角平分線上，則PB平分APC。五、過頂點作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等例9如圖9，E是平行四邊形ABCD對角線BD上一點，EFBC，EGBA，垂足分別為F、G，求證：。簡證：作AHBD于H，CKBD于K，易得AHCK，連AE、CE。因為，所以。又，所以，所以，則。例10如圖10，ABCD是正方形，BEAC，AE=AC，CFAE，求證：AEB=2BCF。簡證：連BD，過A作AHAC交BE于H，AC與BD交于O。由圖中易證得AHBO為正方形，所以AH=AO=。因為