現(xiàn)代數(shù)值分析復習題

1、復習題（一）一、填空題：1、求方程的根，要求結(jié)果至少具有6位有效數(shù)字。已知，則兩個根為 ， .（要有計算過程和結(jié)果）2、，則A的LU分解為 。3、，則 ， .4、已知，則用拋物線（辛卜生）公式計算求得，用三點式求得 .5、，則過這三點的二次插值多項式中的系數(shù)為 ，拉格朗日插值多項式為 . 二、單項選擇題：1、 Jacobi迭代法解方程組的必要條件是（ ）. AA的各階順序主子式不為零 B. C. D. 2、設(shè)，均差=( ) . A.3 B. -3 C. 5 D.0 3、設(shè)，則為( ). A. 2 B. 5 C. 7 D. 34、三點的高斯求積公式的代數(shù)精度為( ). A. 2 B.5 C. 3

2、 D. 45、冪法的收斂速度與特征值的分布（ ）。 A. 有關(guān) B. 不一定 C. 無關(guān)三、計算題：1、 用高斯-塞德爾方法解方程組 ，取，迭代四次(要求按五位有效數(shù)字計算).2、 求A、B使求積公式的代數(shù)精度盡量高,并求其代數(shù)精度；利用此公式求(保留四位小數(shù))。3、 已知13452654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求的三次插值多項式，并求的近似值（保留四位小數(shù)）.4、取步長，用預估-校正法解常微分方程初值問題 5、已知-2-101242135求的二次擬合曲線，并求的近似值。 6、證明方程=0在區(qū)間（0,1）內(nèi)只有一個根，并用迭代法（要求收斂）求根的近似值，五位小數(shù)穩(wěn)定。復習題（一）參考答

3、案一、 1、， 2、 3、，8 4、2.367 0.25 5、-1， 二、三、1、迭代格式 k000012.75003.8125 2.537520.20938 3.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70192、是精確成立，即 得求積公式為當時，公式顯然精確成立；當時，左=，右=。所以代數(shù)精度為3。 2、 差商表為一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-10 4、解： 即 n01234500.20.40.60.81.011.825.879610.713719.422435.0279 5、解：0-244-816-8161-121

4、-11-2220100000313111334254816102001510034341正規(guī)方程組為 復習題（二）一、填空題：1、近似值關(guān)于真值有( )位有效數(shù)字；2、的相對誤差為的相對誤差的( )倍；3、設(shè)可微,求方程的牛頓迭代格式是( )；4、對,差商( ),( )；5、計算方法主要研究( )誤差和( )誤差；6、用二分法求非線性方程f (x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)的根時，二分n次后的誤差限為( )；7、求解一階常微分方程初值問題= f (x,y)，y(x0)=y0的改進的歐拉公式為( )；8、已知f(1)2，f(2)3，f(4)5.9，則二次Newton插值多項式中x2系數(shù)為( )；9、

5、 兩點式高斯型求積公式( )，代數(shù)精度為( )；10、解線性方程組Ax=b的高斯順序消元法滿足的充要條件為( )。二、單項選擇題： 1、求解線性方程組Ax=b的LLT分解法中，A須滿足的條件是( )。A. 對稱陣 B. 正定矩陣 C. 任意陣 D. 各階順序主子式均不為零 2、舍入誤差是( )產(chǎn)生的誤差。A. 只取有限位數(shù) B.模型準確值與用數(shù)值方法求得的準確值C. 觀察與測量 D.數(shù)學模型準確值與實際值 3、3.141580是的有( )位有效數(shù)字的近似值。 A. 6 B. 5 C. 4 D. 7 4、冪法是用來求矩陣( )特征值及特征向量的迭代法。A. 按模最大 B. 按模最小 C. 所有的

6、 D. 任意一個 5、用 1+x近似表示ex所產(chǎn)生的誤差是( )誤差。A. 模型 B. 觀測 C. 截斷 D. 舍入 6、解線性方程組的主元素消去法中選擇主元的目的是( )。A.控制舍入誤差 B. 減小方法誤差C.防止計算時溢出 D. 簡化計算 7、解線性方程組Ax=b的迭代格式x(k+1)=Mx(k)+f收斂的充要條件是( )。A. B. C. D. 三、計算題：1、為了使的近似值的相對誤差限小于0.1%，要取幾位有效數(shù)字？ 2、已知區(qū)間0.4，0.8的函數(shù)表0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736如用二次插值求的近

7、似值，如何選擇節(jié)點才能使誤差最小？并求該近似值。3、構(gòu)造求解方程的根的迭代格式，討論其收斂性，并將根求出來，。 4利用矩陣的LU分解法解方程組 。 5對方程組 （1） 試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由；（2） 取初值，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求。 6用復合梯形求積公式計算，則至少應將0,1分為多少等份才能保證所得積分的近似值有5位有效數(shù)字?復習題（二）參考答案一、1、2； 2、倍； 3、；4、； 5、截斷，舍入；6、； 7、； 8、 0.15； 9、；10、A的各階順序主子式均不為零。二、1、B 2、A 3、B 4、A、 5、C 6、A 7、D三、1、解：設(shè)有n位有效數(shù)

8、字，由，知 令 , 取 , 故 1、 解： 應選三個節(jié)點，使誤差 盡量小，即應使盡量小，最靠近插值點的三個節(jié)點滿足上述要求。即取節(jié)點最好，實際計算結(jié)果， 且 3、解：令 .且，故在(0,1)內(nèi)有唯一實根.將方程變形為 則當時，故迭代格式 收斂。取，計算結(jié)果列表如下：n01230.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n45670.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 008且滿足 .所以.4、解： 令得，得.5、解：調(diào)整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu)故對應的高斯塞德爾迭代法收斂.迭代格式為取

9、,經(jīng)7步迭代可得：. 6、解：當0<x<1時，ex，則 ，且有一位整數(shù). 要求近似值有5位有效數(shù)字，只須誤差 .由 ，只要 即可，解得 所以 ，因此至少需將 0,1 68等份。復習題（三）一、填空題： 1、為了使計算 的乘除法次數(shù)盡量地少，應將該表達式改寫為 ，為了減少舍入誤差，應將表達式改寫為 。 2、用二分法求方程在區(qū)間0,1內(nèi)的根,進行一步后根的所在區(qū)間為 ,進行兩步后根的所在區(qū)間為 . 3、設(shè),則,. 4、計算積分,取4位有效數(shù)字。用梯形公式計算求得的近似值為 ，用辛卜生公式計算求得的近似值為 ，梯形公式的代數(shù)精度為 ，辛卜生公式的代數(shù)精度為 。 5、求解方程組的高斯塞德爾

10、迭代格式為 ，該迭代格式的迭代矩陣的譜半徑= 。二、計算題： 1、已知下列實驗數(shù)據(jù)xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435試按最小二乘原理求一次多項式擬合以上數(shù)據(jù). 2、用列主元素消元法求解方程組 . 3、取節(jié)點,求函數(shù)在區(qū)間0,1上的二次插值多項式,并估計誤差。 4、用冪法求矩陣按模最大的特征值及相應的特征向量，取，精確至7位有效數(shù)字。 5、用歐拉方法求在點處的近似值。6、給定方程1) 分析該方程存在幾個根；2) 用迭代法求出這些根，精確到5位有效數(shù)字；3) 說明所用的迭代格式是收斂的。復習題（三）參考答案一、 1，； 20.5,1， 0.5,0.75； 3

11、，； 40.4268，0.4309，1，3； 5，收斂的；二、 1、解：列表如下01.3616.8441.849622.9078411.9517.3783.802533.887122.1618.4354.665639.81965.4752.65710.317796.61454設(shè)所求一次擬合多項式為，則解得 ，因而所求的一次擬合多項式為. 2、解： 回代得 。 3、解： 又 故截斷誤差 。 4、解：冪法公式為 ，取x0=(1,1)T，列表如下：kyTmkxT1(102，33.9)102(1,0.332353)2(99.997059,33.2991174)99.997059(1,0.3330009

12、675)3(99.9990029,33.29970087)99.9990029(1,0.333000329)4(99.99900098,33.29970029)99.99900098(1,0.333000330)因為，所以 5、解：等價于 ()記,取,.則由歐拉公式, 可得 ,6、解：1）將方程 （1）改寫為 （2） 作函數(shù)，的圖形（略）知（2）有唯一根。2) 將方程（2）改寫為 構(gòu)造迭代格式 計算結(jié)果列表如下：k123456789xk1.223131.294311.274091.279691.278121.278561.278441.278471.278463) ，當時，且所以迭代格式 對任

13、意均收斂。復習題（四）一、填空題： 1、設(shè),則 ，的二次牛頓插值多項式為 。 2、分別作為p的近似值有 , , 位有效數(shù)字。 3、求積公式的代數(shù)精度以( )求積公式為最高，具有( )次代數(shù)精度。； 4、解線性方程組的主元素消元法中，選擇主元的目的是( )；5、已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用拋物線求積公式求( )。6、設(shè)f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三點式求( )。一、 單項選擇題： 1、用1+近似表示所產(chǎn)生的誤差是( )誤差。 A. 舍入 B. 觀測 C. 模型 D. 截斷 2、-324.7500是舍入得到的近似值，它有( )位有效數(shù)字。 A. 5

14、 B. 6 C. 7 D. 8 3、反冪法是用來求矩陣( )特征值及相應特征向量的一種向量迭代法。 A. 按模最大 B. 按模最小 C. 全部 D. 任意一個 4、( )是解方程組Ax=b的迭代格式x(k+1)=Mx(k)+f收斂的一個充分條件； A. <1 B. <1 C. <1 D. <1 5、用s*=gt2表示自由落體運動距離與時間的關(guān)系式 ( g為重力加速度 )， st是在時間t內(nèi)的實際距離，則st- s*是（ ）誤差。 A. 舍入 B. 觀測 C. 模型 D. 截斷 6、設(shè)f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,則拋物插值多項式中x2的系數(shù)為( )；

15、 A. 0.5 B. 0.5 C. 2 D. -2 7、三點的高斯型求積公式的代數(shù)精度為( )。 A. 3 B. 4 C. 5 D. 28、求解線性方程組Ax=b的LLT分解法中，A須滿足的條件是( )。A. 對稱陣 B. 各階順序主子式均大于零 C. 任意陣 D. 各階順序主子式均不為零三、是非題（認為正確的在后面的括弧中打Ö，否則打´）1、 已知觀察值,用最小二乘法求n次擬合多項式時，的次數(shù)n可以任意取。 ( )2、 用1-近似表示cosx產(chǎn)生舍入誤差。 ( )3、 表示在節(jié)點x1的二次(拉格朗日)插值基函數(shù)。 ( ) 4、任給實數(shù)及向量，則。 ( ) 5、牛頓插值多項

16、式的優(yōu)點是在計算時，高一級的插值多項式可利用前一次插值的結(jié)果。 ( ) 6、-23.1250有六位有效數(shù)字，誤差限 £。 ( ) 7、矩陣A=具有嚴格對角占優(yōu)。 ( ) 8、數(shù)據(jù)擬合的步驟是： 1）作散點圖；2）解正規(guī)方程組；3）確定函數(shù)類型 ( ) 9、 LLT分解可用于求系數(shù)矩陣為實對稱的線性方程組。 ( ) 10、冪法的收斂速度與特征值的分布無關(guān)。 ( )四、計算題：（每小題7分，共42分）2、 用牛頓(切線)法求的近似值。取x0=1.7, 計算三次，保留五位小數(shù)。2、已知 A=，求，。4、 已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多項式及f (1

17、.5)的近似值，取五位小數(shù)。 4、n=3,用復合梯形公式求的近似值（取四位小數(shù)）,并求誤差估計。 5、用冪法求矩陣A=按模最大特征值及相應特征向量，列表計算三次，取x0=(1，1，1)T，保留兩位小數(shù)。 6、用Gauss-Seidel迭代法求解線性方程組 =， 取x(0)=(0,0,0)T,列表計算三次，保留三位小數(shù)。 7、用預估校正法求解(0£x£1)，h=0.2，取兩位小數(shù)。復習題（四）參考答案一、1、，； 2、 4 ,3 ,3； 3、高斯型，； 4、減少舍入誤差； 5、12； 6、二、1D， 2C， 3B， 4A， 5C， 6A， 7C， 8B三、1、´，2

18、、´，3、Ö 4、´，5、Ö，6、´，7、´，8、´，9、´，10、´四、1、解：是的正根，牛頓迭代公式為， 即 取x0=1.7, 列表如下：1231.732351.732051.732052、 解：，得 ，所以 。5、 解：6、 解：，時，至少有兩位有效數(shù)字。5、冪法公式為 ，取x0=(1,1,1)T，列表如下：kyTmkxT1(4， 0， 1)4.00(1, 0, 0.25)2(4， -1.25， 0.5)4.00(1,-0.31,0.13)3(4, -1.75, 0.57)4.00(1,-0.44,

19、0.14),6、 解：Gauss-Seidel迭代格式為：系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu)，故Gauss-Seidel迭代收斂.取x(0)=(0,0,0)T，列表計算如下:11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.5267、解：預估校正公式為 其中，h=0.2，代入上式得：123450.20.40.60.81.01.241.582.042.643.42自測題一、填空題（15分）：1、-43.578是舍入得到的近似值，它有 ( ) 位有效數(shù)字，相對誤差限為( )。2、二分法求非線性方程在區(qū)間(1,3)內(nèi)的根時，二分9次后的誤差限為( )。3、f(1)1，f(3)3.6，f(4)5.2，則過這三點的二次插值多項式中x2的系數(shù)為( )，插值基函數(shù)l1(x)=( )，二次插值多項式P2(x)=( )。7、 已知f (1)1，f (3)2，f (5)4，用復合梯形求積公式求得( )。5、 (xi,yi) i=1,2, ,15的線性擬合曲線的正規(guī)方程組為( )。6、 冪法的迭代公式為( )。7、 已知f(1)1，f(3)2，則( )。二、單項選擇題：(5分