數(shù)值分析第四答案

1、第一章 緒論1設,的相對誤差為，求的誤差。解：近似值的相對誤差為而的誤差為進而有2設的相對誤差為2%，求的相對誤差。解：設，則函數(shù)的條件數(shù)為又, 又且為23下列各數(shù)都是經過四舍五入得到的近似數(shù)，即誤差限不超過最后一位的半個單位，試指出它們是幾位有效數(shù)字：, , ,解：是五位有效數(shù)字；是二位有效數(shù)字；是四位有效數(shù)字；是五位有效數(shù)字；是二位有效數(shù)字。4利用公式(2.3)求下列各近似值的誤差限：(1) ,(2) ,(3) .其中均為第3題所給的數(shù)。解：5計算球體積要使相對誤差限為1，問度量半徑R時允許的相對誤差限是多少？解：球體體積為則何種函數(shù)的條件數(shù)為又故度量半徑R時允許的相對誤差限為6設，按遞推

2、公式 （n=1,2,）計算到。若?。?位有效數(shù)字），試問計算將有多大誤差？解： 依次代入后，有即，若取, 的誤差限為。7求方程的兩個根，使它至少具有4位有效數(shù)字（）。解：，故方程的根應為故 具有5位有效數(shù)字具有5位有效數(shù)字8當N充分大時，怎樣求？解 設。則9正方形的邊長大約為了100cm，應怎樣測量才能使其面積誤差不超過？解：正方形的面積函數(shù)為.當時，若,則故測量中邊長誤差限不超過0.005cm時，才能使其面積誤差不超過10設，假定g是準確的，而對t的測量有秒的誤差，證明當t增加時S的絕對誤差增加，而相對誤差卻減少。解： 當增加時，的絕對誤差增加當增加時，保持不變，則的相對誤差減少。11序列滿

3、足遞推關系 (n=1,2,),若（三位有效數(shù)字），計算到時誤差有多大？這個計算過程穩(wěn)定嗎？解：又 又 計算到時誤差為，這個計算過程不穩(wěn)定。12計算，取，利用下列等式計算，哪一個得到的結果最好？, , ， 。解：設，若，則。若通過計算y值，則若通過計算y值，則若通過計算y值，則通過計算后得到的結果最好。13,求的值。若開平方用6位函數(shù)表，問求對數(shù)時誤差有多大？若改用另一等價公式。計算，求對數(shù)時誤差有多大？解, 設則故若改用等價公式則此時，第二章 插值法1當時，,求的二次插值多項式。解：則二次拉格朗日插值多項式為 2給出的數(shù)值表X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.6931

4、47-0.510826-0.356675-0.223144用線性插值及二次插值計算的近似值。解：由表格知，若采用線性插值法計算即，則 若采用二次插值法計算時， 3給全的函數(shù)表，步長若函數(shù)表具有5位有效數(shù)字，研究用線性插值求近似值時的總誤差界。解：求解近似值時，誤差可以分為兩個部分，一方面，x是近似值，具有5位有效數(shù)字，在此后的計算過程中產生一定的誤差傳播；另一方面，利用插值法求函數(shù)的近似值時，采用的線性插值法插值余項不為0，也會有一定的誤差。因此，總誤差界的計算應綜合以上兩方面的因素。當時，令取令則當時，線性插值多項式為插值余項為又在建立函數(shù)表時，表中數(shù)據具有5位有效數(shù)字，且，故計算中有誤差傳

5、播過程?？傉`差界為4設為互異節(jié)點，求證：（1） （2） 證明（1） 令若插值節(jié)點為，則函數(shù)的次插值多項式為。插值余項為又 由上題結論可知得證。5設且求證：解：令，以此為插值節(jié)點，則線性插值多項式為 =插值余項為6在上給出的等距節(jié)點函數(shù)表，若用二次插值求的近似值，要使截斷誤差不超過，問使用函數(shù)表的步長h應取多少？解：若插值節(jié)點為和，則分段二次插值多項式的插值余項為設步長為h，即若截斷誤差不超過，則7若，解：根據向前差分算子和中心差分算子的定義進行求解。 8如果是m次多項式，記，證明的k階差分是次多項式，并且（為正整數(shù)）。解：函數(shù)的展式為其中又是次數(shù)為的多項式 為階多項式為階多項式依此過程遞推，得

6、是次多項式是常數(shù)當為正整數(shù)時，9證明證明 得證10證明證明：由上題結論可知得證。11證明證明 得證。12若有個不同實根，證明：證明：有個不同實根且令則而 令則又得證。13證明階均差有下列性質：（1）若，則（2）若，則證明：（1） 得證。 + 得證。14求及。解：若則15證明兩點三次埃爾米特插值余項是 解：若，且插值多項式滿足條件插值余項為由插值條件可知且可寫成其中是關于的待定函數(shù)，現(xiàn)把看成上的一個固定點，作函數(shù)根據余項性質，有由羅爾定理可知，存在和，使即在上有四個互異零點。根據羅爾定理，在的兩個零點間至少有一個零點，故在內至少有三個互異零點，依此類推，在內至少有一個零點。記為使又其中依賴于分段

7、三次埃爾米特插值時，若節(jié)點為，設步長為，即在小區(qū)間上 16求一個次數(shù)不高于4次的多項式P（x），使它滿足解：利用埃米爾特插值可得到次數(shù)不高于4的多項式設其中，A為待定常數(shù)從而17設，在上取，按等距節(jié)點求分段線性插值函數(shù)，計算各節(jié)點間中點處的與值，并估計誤差。解：若則步長在小區(qū)間上，分段線性插值函數(shù)為 各節(jié)點間中點處的與的值為當時，當時，當時，當時，當時，誤差又令得的駐點為和18求在上分段線性插值函數(shù)，并估計誤差。解：在區(qū)間上，函數(shù)在小區(qū)間上分段線性插值函數(shù)為誤差為19求在上分段埃爾米特插值，并估計誤差。解：在區(qū)間上，令函數(shù)在區(qū)間上的分段埃爾米特插值函數(shù)為誤差為又20給定數(shù)據表如下：Xj0.25

8、0.300.390.450.53Yj0.50000.54770.62450.67080.7280試求三次樣條插值，并滿足條件：解：由此得矩陣形式的方程組為 2 1 M0 2 M1 2 M2 2 M3 1 2 M4 求解此方程組得三次樣條表達式為將代入得由此得矩陣開工的方程組為求解此方程組，得又三次樣條表達式為將代入得21若是三次樣條函數(shù)，證明：若，式中為插值節(jié)點，且，則證明：從而有第三章 函數(shù)逼近與曲線擬合1 ，給出上的伯恩斯坦多項式及。解：伯恩斯坦多項式為其中當時，當時，2 當時，求證證明：若，則 3證明函數(shù)線性無關證明：若分別取，對上式兩端在上作帶權的內積，得此方程組的系數(shù)矩陣為希爾伯特矩

9、陣，對稱正定非奇異，只有零解a=0。函數(shù)線性無關。4。計算下列函數(shù)關于的與：m與n為正整數(shù)，解：若，則在內單調遞增若，則若m與n為正整數(shù)當時,當時,在內單調遞減當時,在內單調遞減。若當時，在內單調遞減。5。證明證明：6。對，定義問它們是否構成內積。解：令（C為常數(shù)，且）則而這與當且僅當時，矛盾不能構成上的內積。若，則,則若，則,且即當且僅當時，.故可以構成上的內積。7。令，試證是在上帶權的正交多項式，并求。解：若，則令，則，且，故又切比雪夫多項式在區(qū)間上帶權正交，且是在上帶權的正交多項式。又8。對權函數(shù)，區(qū)間，試求首項系數(shù)為1的正交多項式解：若，則區(qū)間上內積為定義，則其中9。試證明由教材式給出

10、的第二類切比雪夫多項式族是上帶權的正交多項式。證明：若令，可得當時，當時，又，故得證。10。證明切比雪夫多項式滿足微分方程證明：切比雪夫多項式為從而有得證。11。假設在上連續(xù)，求的零次最佳一致逼近多項式？解：在閉區(qū)間上連續(xù)存在，使取則和是上的2個輪流為“正”、“負”的偏差點。由切比雪夫定理知P為的零次最佳一致逼近多項式。12。選取常數(shù)，使達到極小，又問這個解是否唯一？解：令則在上為奇函數(shù)又的最高次項系數(shù)為1，且為3次多項式。與0的偏差最小。從而有13。求在上的最佳一次逼近多項式，并估計誤差。解：于是得的最佳一次逼近多項式為即誤差限為14。求在上的最佳一次逼近多項式。解：于是得的最佳一次逼近多項

11、式為15。求在區(qū)間上的三次最佳一致逼近多項式。解：令，則且令，則若為區(qū)間上的最佳三次逼近多項式應滿足當時，多項式與零偏差最小，故進而，的三次最佳一致逼近多項式為，則的三次最佳一致逼近多項式為16。，在上求關于的最佳平方逼近多項式。解：若且，則則法方程組為解得故關于的最佳平方逼近多項式為17。求函數(shù)在指定區(qū)間上對于的最佳逼近多項式：解：若且，則有則法方程組為從而解得故關于的最佳平方逼近多項式為若且，則有則法方程組為從而解得故關于的最佳平方逼近多項式為若且，則有則法方程組為從而解得故關于的最佳平方逼近多項式為若且則有則法方程組為從而解得故關于最佳平方逼近多項式為18。，在上按勒讓德多項式展開求三次

12、最佳平方逼近多項式。解：按勒讓德多項式展開則從而的三次最佳平方逼近多項式為19。觀測物體的直線運動，得出以下數(shù)據：時間t(s)00.91.93.03.95.0距離s(m)010305080110求運動方程。解：被觀測物體的運動距離與運動時間大體為線性函數(shù)關系，從而選擇線性方程令則則法方程組為從而解得故物體運動方程為20。已知實驗數(shù)據如下：192531384419.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如的經驗公式，并計算均方誤差。解：若，則則則法方程組為從而解得故均方誤差為21。在某佛堂反應中，由實驗得分解物濃度與時間關系如下：時間0 5 10 15 20 25 30 35 40

13、45 50 55濃度0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64用最小二乘法求。解：觀察所給數(shù)據的特點，采用方程兩邊同時取對數(shù)，則取則則法方程組為從而解得因此22。給出一張記錄用FFT算法求的離散譜。解：則 0 1 2 3 4 5 6 7 4 3 2 1 0 1 2 3 4 4 4 4 0 4 8 4 0 4 8 0 16 0 0 0 23，用輾轉相除法將化為連分式。解24。求在處的階帕德逼近。解：由在處的泰勒展開為得從而即從而解得又則故25。求在處的階帕德逼近。解：由在處的泰勒展開為得從而即解得又則故 第四章 數(shù)值積分與數(shù)值

14、微分1.確定下列求積公式中的特定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構造出的求積公式所具有的代數(shù)精度：解：求解求積公式的代數(shù)精度時，應根據代數(shù)精度的定義，即求積公式對于次數(shù)不超過m的多項式均能準確地成立，但對于m+1次多項式就不準確成立，進行驗證性求解。（1）若令，則令，則令，則從而解得令，則故成立。令，則故此時，故具有3次代數(shù)精度。（2）若令，則令，則令，則從而解得令，則故成立。令，則故此時，因此，具有3次代數(shù)精度。（3）若令，則令，則令，則從而解得或令，則故不成立。因此，原求積公式具有2次代數(shù)精度。（4）若令，則令，則令，則故有令，則令，則故此時，因此，具有3次代數(shù)精度。2.分別用梯形公式和

15、辛普森公式計算下列積分：解：復化梯形公式為復化辛普森公式為復化梯形公式為復化辛普森公式為復化梯形公式為復化辛普森公式為復化梯形公式為復化辛普森公式為3。直接驗證柯特斯教材公式（2。4）具有5交代數(shù)精度。證明：柯特斯公式為令，則令，則令，則令，則令，則令，則令，則因此，該柯特斯公式具有5次代數(shù)精度。4。用辛普森公式求積分并估計誤差。解：辛普森公式為此時，從而有誤差為5。推導下列三種矩形求積公式：證明：兩邊同時在上積分，得即兩邊同時在上積分，得即兩連邊同時在上積分，得即6。若用復化梯形公式計算積分，問區(qū)間應人多少等分才能使截斷誤差不超過？若改用復化辛普森公式，要達到同樣精度區(qū)間應分多少等分？解：采

16、用復化梯形公式時，余項為又故若，則當對區(qū)間進行等分時，故有因此，將區(qū)間213等分時可以滿足誤差要求采用復化辛普森公式時，余項為又若，則當對區(qū)間進行等分時故有因此，將區(qū)間8等分時可以滿足誤差要求。7。如果，證明用梯形公式計算積分所得結果比準確值大，并說明其幾何意義。解：采用梯形公式計算積分時，余項為又且又即計算值比準確值大。其幾何意義為，為下凸函數(shù)，梯形面積大于曲邊梯形面積。8。用龍貝格求積方法計算下列積分，使誤差不超過.解：00.771743310.72806990.713512120.71698280.71328700.713272030.71420020.71327260.71327170

17、.7132717因此03.45131318.628283-4.446923因此014.2302495111.171369910.1517434210.443796910.201272510.2045744310.266367210.207224010.207620710.2076691410.222270210.207571210.207594310.207593910.2075936510.211260710.207590910.207592210.207592210.207592210.2075922因此9。用的高斯-勒讓德公式計算積分解：令，則用的高斯勒讓德公式計算積分用的高斯勒讓德公式

18、計算積分10 地球衛(wèi)星軌道是一個橢圓，橢圓周長的計算公式是這是是橢圓的半徑軸，c是地球中心與軌道中心（橢圓中心）的距離，記h為近地點距離，H為遠地點距離，R=6371（km）為地球半徑，則我國第一顆地球衛(wèi)星近地點距離h=439(km)，遠地點距離H=2384(km）。試求衛(wèi)星軌道的周長。解：從而有。01.56464011.5646461.56464821.5646461.5646461.564646即人造衛(wèi)星軌道的周長為48708km11。證明等式 試依據的值，用外推算法求的近似值。解 若又此函數(shù)的泰勒展式為當時, 當時, 當時, 由外推法可得n32.59807663.0000003.13397593.1058293.1411053.141580故12。用下列方法計算積分，并比較結果。(1)龍貝格方法；(2)三點及五點高斯公式；(3)將積分區(qū)間分為四等分，用復化兩點高斯公式。解(1)采用龍貝格方法可得k01.33333311.1666671.09925921.1166671.1000001.0992