數(shù)值分析第五章學(xué)習(xí)小結(jié)

1、.第五章學(xué)習(xí)小結(jié)姓名：張亞杰班級(jí)：機(jī)械 1505 班學(xué)號(hào)：S20150232一、 本章學(xué)習(xí)體會(huì)本章的內(nèi)容與實(shí)際關(guān)聯(lián)很大 ，可以解決很多工程實(shí)際問(wèn)題 。 1、主要有兩方面內(nèi)容 ：插值與逼近 。 插值即是由已知數(shù)據(jù)通過(guò)某種多項(xiàng)式求出在特定區(qū)間的函數(shù)值 。逼近即是用簡(jiǎn)單函數(shù)近似代替復(fù)雜函數(shù) ，如何在給定的精度下 ，求出計(jì)算量最小最佳的多項(xiàng)式 ，是函數(shù)逼近要解決的問(wèn)題 。2、插值中樣條插值比較難 ，需要花一定的時(shí)間 。逼近主要是必須使選擇的多項(xiàng)式計(jì)算出的誤差最小 。 3、我個(gè)人覺(jué)得本章的難點(diǎn)是樣條插值與最佳平方逼近。二、知識(shí)構(gòu)圖 ：因?yàn)楸菊聝?nèi)容較多 ，故本次知識(shí)架構(gòu)圖分為三部分 ：插值、正交多項(xiàng)式和逼

2、近 。1、插值：.專業(yè)學(xué)習(xí)資料.但是不光滑， 在個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不存在。.代一 元數(shù)代 數(shù)插插值值插值Hermite 插值樣條插值插值的基本概念：插值函數(shù)，被插函數(shù)，插值節(jié)點(diǎn)，插值點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)等。插值條件：p(xi )yi ,( i0,1,2,.n)插值多項(xiàng)式存在唯一性。誤差：Rn ( x)f ( x)Pn ( x)Lagrang 插值：插值基函數(shù)：lk (x) （具體公式見(jiàn)課本） 。nnnxx j yk插值多項(xiàng)式： pn ( x)ykl k ( x)xkxjk 0k 0j0jk注意大范圍內(nèi)不宜采用高次插值，節(jié)點(diǎn)的選取遵循居中原則，根據(jù)插值點(diǎn)選擇節(jié)點(diǎn)。Newton 插值：主要解決的是 lagrange

3、插值無(wú)繼承性的缺點(diǎn)。差商的定義及性質(zhì)了解插值的基函數(shù)。 注意 lagrange 插值多項(xiàng)式與 newton 多項(xiàng)式為同一多項(xiàng)式，任意改變節(jié)點(diǎn)的次序n 次多項(xiàng)式不變。分段二次插值：所謂分段線性插值就是通過(guò)插值點(diǎn)用折線連接起來(lái)逼近 f(x) 。通過(guò)縮小插值區(qū)間達(dá)到減小誤差的目的進(jìn)而解決高次插值的rung 現(xiàn)象。注意分段插值收斂性雖好，1、插值函數(shù)通過(guò)節(jié)點(diǎn)。2 、與被插函數(shù)在節(jié)點(diǎn)具有相同的導(dǎo)數(shù)值。插值多項(xiàng)式具有唯一性，求解的兩種方法：1、基函數(shù)法2、待定系數(shù)法。誤f (m n2)( )m差： R( x) f ( x) H m n 1( x)n2)!n 1 (x)(x xik )(mk 0分段 Her

4、mite 插值為了得到光滑度更高的插值函數(shù)因此引入樣條函數(shù)。理解樣條函數(shù)樣條函數(shù)空間的定義， K 次樣條函數(shù)的表示公式。三次樣條插值：定義，邊界條件（自然樣條，壓緊樣條，周期性條件），解存在且唯一。構(gòu)造樣條函數(shù)的方法：待定系數(shù)法，三彎矩法（任意劃分） B 樣條法（等間距劃分） ，重點(diǎn)掌握三彎矩法。.專業(yè)學(xué)習(xí)資料.2、正交多項(xiàng)式和逼近的知識(shí)總結(jié)采取以下方式：一、正交多項(xiàng)式1、正交多項(xiàng)式的概念與性質(zhì)若在區(qū)間 (a, b) 上非負(fù)的函數(shù)( x) 滿足（ 1）對(duì)一切整數(shù) n 0,b( x)dx 存在；xna（ 2）對(duì)區(qū)間 (a,b) 上非負(fù)連續(xù)函數(shù) f ( x) ，若b( x)dx0xna則在 ( a

5、, b) 上 f ( x) 0 ，那么，就稱( x) 為區(qū)間 (a, b) 上的權(quán)函數(shù) 。常見(jiàn)的權(quán)函數(shù)有( x)1,axb( x)11x11,x2( x)1x2 ,1x1( x)e x ,0 x( x)e x2,x2、兩個(gè)函數(shù)的內(nèi)積定義：給定 f (x), g( x)C a, b ,( x) 是 (a, b) 上的權(quán)函數(shù) ，稱( f , g )b(x) f ( x) g(x)dxa為函數(shù) f (x) 與 g( x) 在a,b 上的內(nèi)積 。內(nèi)積的性質(zhì) ：（1）對(duì)稱性： f , gg , f；（2）數(shù)乘性： kf , g( f ,kg )k( f , g ) ；（3）可加性： f1f2 , gf1

6、, gf2 , g；（ ）非負(fù)性：若在a,b上 f ( x)0，則 ( f ,f )0 。4.專業(yè)學(xué)習(xí)資料.3、函數(shù)的正交（1）兩個(gè)函數(shù)的正交與正交函數(shù)系若內(nèi)積b(x) f ( x) g (x)dx =0( f , g )a則稱 f (x) 與 g(x) 在區(qū)間 a,b 上帶權(quán)( x) 正交若函數(shù)系 .0 (x),1( x), , n(x),滿足( i ,j )b0,ij( x) ij dx=0, ijaai則稱k (x) 是 a,b 上帶權(quán)( x) 的正交函數(shù)系 。 特別的，如果 k ( x) 是最高k (x)是 a,b 上帶權(quán) (x)的正交多項(xiàng)式。次項(xiàng)系數(shù)不為零的 k 次多項(xiàng)式 ，則稱正交

7、函數(shù)系一定線性無(wú)關(guān)。4、幾種常用的正交多項(xiàng)式（ 1） legendre 多項(xiàng)式L0 ( x)1Ln ( x)1d n2nnn ( x1) , n 1,2,2n! dxLegendre多項(xiàng)式的性質(zhì)Legendre多項(xiàng)式系 Ln ( x) 是區(qū)間 -1 ，1上帶權(quán)( x) 1的正交多項(xiàng)式系 。Ln ( x) 的最高次項(xiàng)系數(shù)為n 為奇數(shù)時(shí) Ln ( x) 為奇函數(shù) ， Ln (x)( 1)n Ln ( x)n 為偶數(shù)時(shí) Ln ( x) 為偶函數(shù) 。遞推關(guān)系當(dāng) n1 時(shí).專業(yè)學(xué)習(xí)資料.Ln 1 ( x)2n 1 xLn ( x)n Ln 1( x)n 1n 1（ 2） chebyshev 多項(xiàng)式設(shè) n

8、 為非負(fù)整數(shù) ，稱 Tn ( x)cos(n arccos x),1x1為 chebyshev 多項(xiàng)式 。chebyshev多項(xiàng)式的性質(zhì) ：Tn ( x) 是 x 的 n 次多項(xiàng)式 ，并且當(dāng) n1 時(shí)， Tn (x) 的最高次項(xiàng)系數(shù)為 an 2n 1Chebyshev 多項(xiàng)式系 Tn ( x) 是區(qū)間 -1 ，1上帶權(quán)( x)1的正交多項(xiàng)1x2式系。（ 3） Laguerre多項(xiàng)式稱 U n ( x)x d n (xnex )0,1, 為 Laguerre 多項(xiàng)式en, ndxLaguerre 多項(xiàng)式的性質(zhì) ：（1） U n (x) 是 x 的 n 次多項(xiàng)式 ，并且它的最高次項(xiàng)系數(shù)為 an(

9、1)n（2 ） Laguerre 多項(xiàng)式系 U n (x) 是在區(qū)間 0, ) 上帶權(quán) e x 的正交多項(xiàng)式系。（ 4） Hermite多項(xiàng)式稱 H n ( x)(1)n ex2 dn (e x2) , n 0,1,為 Hermite 多項(xiàng)式 。dxnHermite多項(xiàng)式的性質(zhì) :H n (x) 是 x 的 n 次多項(xiàng)式 ，并且它的最高次項(xiàng)系數(shù)為 an2nHermite多項(xiàng)式系 H n ( x) 是在區(qū)間 (,) 上帶權(quán) e x2的正交多項(xiàng)式系 。e x2 H m ( x) H n ( x)dx0, m n, mn2n n!.專業(yè)學(xué)習(xí)資料.二、函數(shù)的最佳平方逼近1、最佳平方逼近的概念設(shè) H n

10、 為某一函數(shù)類定義 ：設(shè) f ( x)Ca,b ，若存在*(x)H n 使f* 2min f2,則稱22H n* (x) 為 f （x）在函數(shù)類 H n 中的最佳平方逼近函數(shù) 。* 2b*2*f f ( x)(x)( x) dx（f -, f -,f)） = min(f2aH nH n 的表示：設(shè) 0 (x),1 ( x),2 ( x),n ( x) ，H nspan0 ( x),1 (x),2 ( x),n ( x)* ( x)n*nck( x)， ( x)ck( x)kkk 0k02、最佳平方逼近的條件設(shè) f ( x) C a, b ， (x)H n ，是子空間 H n 中，對(duì)于 f (x

11、) 的最佳平方逼近元素的充分必要條件是 ： ( f*j 0,1, , n, j ) 0,3、最佳平方逼近元素是唯一的4、最佳平方逼近元素的求法np* ( x)ck*k ( x) ，求系數(shù) ck*，利用條件 ：k0* , jnck*f( fk ( x),j )0, j0,1,2,.nk0n法方程（正規(guī)方程 ）：ck* (k ,j )( f , j ), j 0,1,2,k 0( 0 , j )c0*( 1 , j )c1*( n , j )cn*( f , j )j0,1,2, n.專業(yè)學(xué)習(xí)資料.( 0 , 0 )c0*( 1 , 0 )c1*( n , 0 )cn*( f , 0 )( 0 ,

12、1 )c0*( 1, 1)c1*( n , 1 )cn*( f , 1).( 0 , n )c0*( 1 , n ) c1*( n , n )cn*( f , 0 )( 0 ,0 )(1,0)( n ,0 )c0( f ,0 )( 0 ,1 )(1,1)( n ,1 )c1( f ,1 )( 0 , n )( 1, n )( n , n )cn( f , n )設(shè) 0 (x),1 (x),2 ( x), n ( x) 為a,b 上帶權(quán) (x) 正交函數(shù)系 ,則ck*( f ,k ) , k0,1,2, n( k ,k )5、最佳平方逼近誤差nf* , f* ，均方誤差：，( f , f )ck

13、* ( k , f )k 0三、正交函數(shù)系在最佳平方逼近中的應(yīng)用設(shè)(),( ),( ),( )a,b 上帶權(quán)(x) 正交函數(shù)系 則0x1x2 xnx ，為,ck*( f ,k ) , k0,1,2, n( k ,k )1、Legendre多項(xiàng)式的應(yīng)用(1)設(shè) f (x)C1,1 求 f(x)在-1,1 上的 n 次最佳平方逼近多項(xiàng)式 pn ( x)( f , g)bf ( x) g( x)dx ， H nspan1, x, x2 , xn 取 H n span L0 , L1 , Ln ，ack*( f , Lk )1 Lm (x)Ln ( x)dx0, mn21( Lk , Lk )2n,m

14、n1*( f , Lk )2k 11nck(Lk , Lk )2Lk ( x) f (x)dx,*( x)*1， pck Lk (x)k0k 0,1,2, , n(2) f (x) C a,b.專業(yè)學(xué)習(xí)資料.做變換 xabba t, t 1,1222、Chebyshev多項(xiàng)式的應(yīng)用nH n span T0 , T1 , Tn ， pn (x)a0aj T j (x), 1 x 12 j 121f ( x)T j( x)dx, j0,1,2, na j11x2誤差估計(jì)設(shè) f (x) 在區(qū)間 -1 ，1上存在且有界 ，那么由式a0npn ( x)a j Tj(x), 1x 1和系數(shù)公式2j121f

15、 ( x)T j( x)dx, j0,1,2, n 。所確定的多項(xiàng)式 ,當(dāng) n時(shí)，在a j11x2-1 ，1 上一致收斂于函數(shù)f(x)。Chebyshev 級(jí)數(shù) a0aj Tj (x), 1 x 12j 13、三角函數(shù)系的應(yīng)用三角函數(shù)系 1, cosx,sin x, cosnx, sin nx ，在 0,2 上為正交函數(shù)2f ( x) g (x)dx( f , g )00, kj0, kj(cos kx,cos jx )2 , k j0 ， (sin kx, sin jx),kj 0, kj0(coskx,sin jx)0, kj設(shè) f(x)是以 22f (x) g( x)dx ，為周期的函數(shù)

16、 ,定義內(nèi)積 ( f , g)0在空間 D nspan 1, cos x, sin x, ,cos nx,sin nx ，中尋求對(duì)于 f(x)的最佳平方逼近元素.專業(yè)學(xué)習(xí)資料.a0n( ak cos kx bk sin kx)sn ( x)2k 0ak12f ( x) cos kxdx, k0,1,2, n0bk12f ( x) sin kxdx, k1,2, n0當(dāng) f ( x) C( ,)且以 2為周期時(shí) a0(ak cos kxbk sin kx) f ( x)2k 0四、曲線擬合曲線擬合的概念 ：已知數(shù)據(jù)點(diǎn) ： (xi , yi ), i0,1,2, m ，尋找一個(gè)函數(shù) y(x) ，使

17、其在某種準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近 ，即曲線擬合的好 。常用的四個(gè)準(zhǔn)則 ：（1）最大誤差 Enmaxxiyi1i n（2）平均誤差 E11nxiyin i 1（3）均方根誤差 E2 ( 1 nn21xiyi ) 2i 1n2（4）誤差平方和 Exiyii1用四種方法可以分別得到在四種準(zhǔn)則下的四條最佳擬合曲線，使其誤差平方和最小的方法稱為最小二乘準(zhǔn)則。1、曲線擬合（1）曲線（數(shù)據(jù)）擬合的最小二乘法 :給定一組數(shù)據(jù) (xi , yi ), i0,1,2, m ，在某一函數(shù)類D 中找函數(shù) y* (x) ，使：mm * ( xi ) yi 2min (xi ) yi 2i 0Di 0.專業(yè)學(xué)習(xí)資料.稱

18、 * (x) 為上述數(shù)據(jù)的最小二乘擬合曲線 .（2）擬合曲線的求法n取 Dspan0 ( x), 1( x),n ( x), nm 找 * ( x)c*jj (x)j0mm使 * ( xi )f ( xi )2min( xi )f ( xi ) 2i0D0imnc*f ( xi ) 2mn即求多元函數(shù)的極小值 ：jj ( xi )minc ji 0j 0cii 0j 0mnf ( xi )2F (c0 ,c1, cn )c j j ( xi )i0 j0Fmn2cjj ( xi )f ( xi )k (xi )cki 0j0mnm.Dj ( xi )f ( xi ) 22cjj (xi ) k

19、 ( xi ) 2f (xi )k ( xi ) 0i0 j0i0nc jmj (xi ) k ( xi )mf ( xi )k ( xi ) 0j 0i0i02.(x0 ),j ( x1),j ( xm ) T, j.n ， ( j , k )mj(j,0,1,j (xi ) k (xi )i0, ym )T ， ( y,my( y0 , y1,k)f ( x )k(x)i 0iin法方程：c j (k ,j )( y,k ), k0,1,2, nj0(0,0)(0,1)( 0 , n )c0( y, 0 )(1,0)(1,1)( 1, n )c1( y, 1 )( n , 0 ) ( n

20、, 1 )( n , n )cn( y, n )令：A 0, 1,n , c c0 ,c1,cn T法方程變?yōu)?： AT AcAT y.專業(yè)學(xué)習(xí)資料.f ( x).m(1)曲線（數(shù)據(jù)）擬合的最小二乘法 :2* ( xi )2i0(2)m* ( xi )f ( xi ) 2m擬合曲線的求法min( xi )i0Di 0n* ( x)c*j j ( x) ， AT Ac*AT yj0(3)m* ( xi )f (xi )2誤差平方和i 0(4) 基函數(shù)的選取 （以多項(xiàng)式作為擬合函數(shù)類 ）（a）選擇冪函數(shù) x j , j0,1,2,n 作為基函數(shù) .（b）構(gòu)造在點(diǎn)集 xi ,i0,1,2, m 上的正交多項(xiàng)式系yi 2minf ( xi ) 2j ( x),j0,1,