結(jié)構(gòu)力學(xué)10第十章.矩陣位移法

1、10-1 單元分析1一、概述 有限單元法的特點(diǎn)：在傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中引進(jìn)有限單元的基本概念，數(shù)學(xué)推導(dǎo)采用矩陣方法，實(shí)際計(jì)算采用電子計(jì)算機(jī)。有限元、矩陣代數(shù)、計(jì)算機(jī)這三者的結(jié)合，使力學(xué)學(xué)科發(fā)生了革命性的變化。 桿系結(jié)構(gòu)的矩陣位移法是以桿件為單元，以結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量，導(dǎo)入矩陣運(yùn)算，用計(jì)算機(jī)求解的方法。二、結(jié)構(gòu)離散化2 用矩陣位移法求解，首先要將結(jié)構(gòu)離散成單元和結(jié)點(diǎn)的組合體系。具體做法就是對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行結(jié)點(diǎn)編號(hào)和單元編號(hào)。 離散化的關(guān)鍵就是確定結(jié)構(gòu)的全部結(jié)點(diǎn)。因?yàn)閱卧膬啥耸墙Y(jié)點(diǎn)，單元與單元之間、單元與支座均通過結(jié)點(diǎn)相連。確定了單元的全部結(jié)點(diǎn)，也就確定了單元的劃分。 在桿系結(jié)構(gòu)中，桿件的連結(jié)點(diǎn)，

2、截面突變點(diǎn)以及支座結(jié)點(diǎn)等均可取作結(jié)點(diǎn)。3結(jié)點(diǎn)編號(hào)：1，2，3，n曲桿可用多段折線單元代替。 進(jìn)行結(jié)點(diǎn)編號(hào)時(shí)，要盡量使單元兩端結(jié)點(diǎn)編號(hào)的差值最小。1234 5123467 1234567 單元編號(hào)：， m三、單元桿端力和桿端位移的坐標(biāo)變換41坐標(biāo)系 結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)系為xy，坐標(biāo)軸x、y 遵循右手法則，即從x軸正方向順時(shí)針轉(zhuǎn)90得到y(tǒng)軸正方向。平面剛架單元的坐標(biāo)系12xyxy1eyF1exFe1eyF1exF1eM1eM5 12eeeMFM 12eee連續(xù)梁?jiǎn)卧臈U端無線位移。2. 單元桿端力和桿端位移1）連續(xù)梁?jiǎn)卧獂 yy 單元局部坐標(biāo)系為 ，單元始端指向末端的方向就是 軸的正方向，由 軸正方向順

3、時(shí)針轉(zhuǎn)90。得到 軸的正方向，如上頁(yè)圖示。xx121eM2eM1ee2e62）平面剛架單元2xyxye11eu1ev1eu1ev121e1e單元桿端位移1eyF1exF2xyxye1單元桿端力1eyF1exF1eM1eM7單元局部坐標(biāo)系結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)系 111222eeeeeeeuvuv 111222exeyEeexeyeFFMFFFM 111222eeeeeeeuvuv 111222exeyeeexeyeFFMFFFM8單元局部坐標(biāo)系結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)系在單元局部坐標(biāo)系中， ；位移對(duì)單元桿端力無貢獻(xiàn)。120,0eeyyFF12eevv和3）桁架單元 1122exeeyexeyFFFFF 1122ee

4、eeeuvuv 1122eeeeeuvuv 1122exeyeexeyFFFFF91111222,eeeeeeexyxyFFuvFFuve212122,eeeeeMMMMeee121， 以上力和線位移與相應(yīng)的坐標(biāo)軸正方向一致為正，反之為負(fù)。 以上力矩和轉(zhuǎn)角均以順時(shí)針方向?yàn)檎?，逆時(shí)針方向?yàn)樨?fù)。 4）單元桿端力和桿端位移的正負(fù)號(hào)11122222,eeeeeeeexyxyFFuvFFuv 以上力和線位移的符號(hào)中，下標(biāo)1表示單元的始端，下標(biāo)2表示單元的末端。103. 單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣1eyF1exF1sineyF1coseyF1sinexF1cosexF 角：由整體坐標(biāo)系的x軸順時(shí)針轉(zhuǎn)到局部坐標(biāo)系 軸

5、的正方向所形成的夾角。x12xyxy1eyF1exFe1eyF1exF1eM1eM1111111122222222cossinsincoscossinsincoseeexxyeeeyxyeeeeexxyeeeyxyEeFFFFFFMMFFFFFFMM 11 對(duì)于平面剛架單元，用整體坐標(biāo)系中的桿端力來表示單元局部坐標(biāo)系中的桿端力，得到：1cosexF1exF1sinexF1eyF1sineyF1coseyF12xyxy1eyF1exFe1eyF1exF1eM1eM12寫成矩陣形式即 eeFTF111111222222cossin0000sincos0000001000000cossin0000s

6、incos0000001eexxeeyyeeeexxeeyyeeFFFFMMFFFFMM13cossin0000sincos0000001000 000cossin0000sincos0000001T同理有T 稱為單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。 eeT14T eeFTFT eeT 對(duì)于平面桁架單元，其單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為：cossin00sincos00 00cossin00sincosT 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣T是正交矩陣，即矩陣任意兩行或兩列元素對(duì)應(yīng)乘積之和等于零。 如果用局部坐標(biāo)系中的單元桿端力來表示整體坐標(biāo)系中的桿端力，就可以得出：同理15四、單元?jiǎng)偠染仃?單元桿端力與單元桿端位移之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系式稱為單元?jiǎng)偠?/p>

7、方程。 eeeFk 單元局部坐標(biāo)系中， 。 eeeFk 結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)系中， 。 eekk和 在上面兩式中， 分別稱為局部坐標(biāo)系及整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚒?ek ek ek 通常總是先求出局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?，然后利用 推得整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?。16 eekk下面討論 和 之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。T eeFTF將代入 得到： eeT 因?yàn)?，于是得到：比較式、，有：T eeeFTkT eeeFTkTT eekTkT 下面討論如何求局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚒?71平面剛架單元ek ek 為了推導(dǎo) 中各元素，采用單位位移法：即在單元的六個(gè)桿端位移中，每次只令一個(gè)桿端位移為1，其余桿端位

8、移為0。為此，在單元兩端就必須施加一組桿端力，這一組桿端力就構(gòu)成了 的一列元素。181812EA leyx12EI lyex12EI lyex1/exFEA l2/exFEA l 1312eyEIFl2312eyEIFl 126eEIMl226eEIMl11eu11ev 11e126eyEIFl226eyEIFl 14eEIMl22eEIMl1912EI lyex12EI leyx12EI leyx1/exFEA l 2/exFEA l1312eyEIFl 2312eyEIFl126eEIMl226eEIMl21ev 21eu 126eyEIFl226eyEIFl 12eEIMl24eEIMl

9、21e20 由上面的六個(gè)圖就可以寫出局部坐標(biāo)系中單元桿端力和桿端位移之間的剛度方程：113232112212223232222000012612600646200000012612600626400eexeyeexyeEAEAllEIEIEIEIFullllFvEIEIEIEIMllllEAEAFllFEIEIEIEIMllllEIEIEIEIllll1222eeeeeuv21323222323222000012612600646200 000012612600626400eEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllkEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIlll

10、l 上式就是平面剛架單元在局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚒?2單元?jiǎng)偠染仃囍性氐奈锢硪饬x： ek1eyF 中第2行各元素是單元的六個(gè)桿端位移分別等于1時(shí)桿端力 的值。 ek 中第2 列各元素是 而其余桿端位移等于零時(shí)單元的六個(gè)桿端力的值。11ev 232平面桁架單元111122221010000010100000eexeeyeexeeyFuFvEAlFuvF10100000 10100000eEAkl24EIil3 連續(xù)梁?jiǎn)卧?1224224eeeeEIEIMllEIEIMll 42 24eiikii12EI l41eMEI l22eMEI l11e20ee12EI l21eMEI l42eME

11、I l10e21ee25 因?yàn)閱卧獌啥藷o約束，在平面內(nèi)可以產(chǎn)生剛體位移，故 不能求逆，即如果給定 ，則根據(jù)單元?jiǎng)偠确匠炭梢源_定 。但如果定 ，卻不能唯一確定 。 ek e eF eF e 需要指出的是，連續(xù)梁?jiǎn)卧?是非奇異矩陣，因?yàn)閱卧獥U端線位移已經(jīng)受到約束，不能產(chǎn)生剛體位移。 ek ek4 的性質(zhì)eeijjikk1）對(duì)稱性，即 。 0ek2）奇異性，即 。263）分塊性2224216412024iiiiiii11122122eeeeeKKKKK12 eeeFFF12 eee 10-2 連續(xù)梁整體分析27一、單元定位向量 首先要對(duì)連續(xù)梁的結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角未知量統(tǒng)一編號(hào)，若連續(xù)梁的左端支座或右端支座為

12、固定端，其結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角為零，則轉(zhuǎn)角未知量的編號(hào)也為零。 由單元兩端位移未知量編號(hào)組成的向量稱為單元定位向量，用 表示。 e28 1(1)2(2)3(3)4(4)1(0)2(1)3(2)4(3)1(1)2(2)3(3)4(0)1(0)2(1)3(2)4(0) 1T 1,22T 2,33T 3,41T 0,12T 1,23T 2,31T 1,22T 2,33T 3,01T 0,12T 1,23T 2,0二、連續(xù)梁整體分析29M3TT12341234 FF F F FM M M M結(jié)點(diǎn)力矩向量TT12341234 結(jié)點(diǎn)位移向量 整體分析的目的是建立F 和之間的整體剛度方程，即 。 FK式中，K 為連續(xù)梁

13、的整體剛度矩陣。1整體剛度方程 1234(1)(2)(3)(4)i2i1i3M1M2M430結(jié)點(diǎn)平衡方程：1111221223213324MMMMMMMMMM 為了建立整體剛度方程，需要利用結(jié)點(diǎn)平衡條件和位移協(xié)調(diào)條件。 123411M12M21M22M31M32M1111221223213324M1M2M3M4i1i2i331對(duì)于任意單元e，有：1122124224eeeeeeeeeeMiiMii 將上頁(yè)所示結(jié)點(diǎn)平衡方程中的單元桿端力矩用單元桿端轉(zhuǎn)角來表示：111 112111221 112212222233212231323333132442(24)(42)(24)(42)(24)iiMii

14、iiMiiiiMiiM1111221223213324MMMMMMMMMM在上式中引入變形協(xié)調(diào)條件：111 112111221 1122 122222332 1223 1323333 132442(24)(42)(24)(42)(24)iiMiiiiMiiiiMiiM11112212232133241 11211 11222322223334333344422(44 )22(44 )224iiMiiiiMiiiiMiiM32就得到：3311112211222233333344420024420024420024MiiMiiiiiiiiMiiM 將上式寫成矩陣形式，得到連續(xù)梁的整體剛度方程為：1

15、11122223333420024420024420024iiiiiiKiiiiii則整體剛度矩陣為：342利用單元定位向量裝配整體剛度矩陣 利用單元定位向量可以方便地由單元?jiǎng)偠染仃嚰烧w剛度矩陣。 現(xiàn)以下頁(yè)圖示連續(xù)梁為例集成單元?jiǎng)偠染仃嘖 。 將單元定位向量寫在單剛的上方和左側(cè)，則左側(cè)的數(shù)字就是單剛 的元素在整體剛度矩陣K 中的行碼，而單剛上方的數(shù)字就是單剛元素在K 中的列碼。 ek351111142 24iikii01012222242 24iikii12123333342 24iikii23231T 0,12T 1,23T 2,3i2i1i31(0)2(1)3(2)4(3) 12222

16、33334()20 24() 2024iiiKiiiiii123123363. 兩端鉸支的n跨連續(xù)梁 123n-1nn+1n-1ni2i1in-1in1111222233334422111142244224422442 2442244224nnnnnnnnnniiiiiiiiiiiiiiKiiiiiiiiii00374整體剛度矩陣的性質(zhì)1） K 是對(duì)稱矩陣，且是非奇異矩陣。2） K 是三對(duì)角線矩陣。3） 元素kij表示當(dāng)j =1（其余結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角等于零）時(shí)結(jié)點(diǎn)力偶Mi 的值。上式中：11111,11,114 =4+4 (2,3, ) =4 = =2 (2,3,1)j jjjnnnjjj jjkik

17、iijnkikkijn三、等效結(jié)點(diǎn)荷載38 在結(jié)構(gòu)整體剛度方程F=K中， F只能是結(jié)點(diǎn)外力偶組成的向量。 如果單元上作用有非結(jié)點(diǎn)荷載，必須轉(zhuǎn)換成等效結(jié)點(diǎn)荷載（結(jié)點(diǎn)力偶）才能求解。 等效是指非結(jié)點(diǎn)荷載產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角與等效結(jié)點(diǎn)荷載產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角相同。 -M2即為等效結(jié)點(diǎn)載荷。123FP2123FPM220 123-M22239a ) b) c) 圖c）的結(jié)點(diǎn)力偶就是圖a）所示非結(jié)點(diǎn)荷載的等效結(jié)點(diǎn)荷載。 1(0)2(1)3(2)4(3)-M02-M03-M04 1(0)2(1)3(2)4(3)8kNM02M03M0412kN/m 1(0)2(1)3(2)4(3)8kN4m4m2m2m12kN/m T10

18、,1 T21,2 T32,340110101021616MFM 2201020244MFM3301030200MFM 固端力矩以順時(shí)針方向?yàn)檎鏁r(shí)針方向?yàn)樨?fù)。1. 求單元固端力矩 2. 求等效結(jié)點(diǎn)荷載 將單元固端力矩反號(hào)，然后利用單元定位向量集成等效結(jié)點(diǎn)荷載向量P。 161610210110MMF41 4420220120MMF 0030230130MMF 120201022303020130402164124 04 0 0 MMMPMMMMM 011223 具體做法是，將單元定位向量寫在 的右側(cè)，則右側(cè)的數(shù)字就是 的元素在等效結(jié)點(diǎn)荷載P 中的行碼。0eF0eF42 022033044jMM

19、FPPMMMM 直接結(jié)點(diǎn)力偶以順時(shí)針方向?yàn)檎鏁r(shí)針方向?yàn)樨?fù)。 如果結(jié)點(diǎn)上還作用有結(jié)點(diǎn)力偶，則總結(jié)點(diǎn)荷載向量為：直接結(jié)點(diǎn)力偶等效結(jié)點(diǎn)荷載43011020242 24eeeeeeeeeeeeMiiFkFiiM四、求單元桿端彎矩T123 n 求得結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角 后，各單元桿端彎矩按下式計(jì)算：12ee和式中， 要根據(jù)位移協(xié)調(diào)條件在中取值。441）單元編號(hào)、結(jié)點(diǎn)編號(hào)、結(jié)點(diǎn)位移未知量編號(hào)及單元定位向量見圖。2）求各單元?jiǎng)偠染仃噆e。各單元線剛度為：236EIiii147.21.2EIiii例10-2-1 用矩陣位移法作連續(xù)梁的彎矩圖，各桿EI相同。1(0)2(1)3(2)4(3)5(0)1T 0,12T 1,

20、23T 2,34T 3,0 1kN/m7.2m6m6m7.2m1kN/m解:453）集成整體剛度矩陣K 。 利用單元定位向量將單元?jiǎng)偠染仃嚨脑丿B加到整體剛度矩陣中，得到14/1.22/1.23.33 1.67 2/1.24/1.21.673.33kii010144/1.22/1.23.33 1.67 2/1.24/1.21.673.33kii3030242 24ki1212342 24ki23237.33 20 282027.33Ki4）求等效結(jié)點(diǎn)荷載求等效結(jié)點(diǎn)荷載 P 。46利用定位向量集成 P 。單元固端力為 110101024.324.32MFM 2201020200MFM 33010

21、30233MFM 4401040200MFM 01 32. 432. 410F12 0020F23 3330F300040F 4.3333P5）解方程組解方程組47求得結(jié)點(diǎn)位移為2340.78610.7230.606i6) 求各單元桿端彎矩并作彎矩圖2347.33 204.32282302 7.333i 111123.33 1.6704.32-1.314.325.631 =+ 1.67 3.330.7864.32-2.624.321.70MFiiM 22122420.78601.701 240.72301.32MFiiM 48 331324 20.72331.6831.321 2 40.606

22、30.9832.02MFiiM 441423.33 1.670.60602.021 =1.673.33001.01MFiiM 123455.632.821.701.322.832.021.01M圖(kN.m)五、無結(jié)點(diǎn)線位移剛架的處理49 圖示剛架不考慮桿件的軸向變形，則該剛架無結(jié)點(diǎn)線位移未知量，只有四個(gè)結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角未知量：1245 T 用矩陣位移法計(jì)算無結(jié)點(diǎn)線位移剛架，如果不考慮桿件的軸向變形，由于其未知量也只有結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角，所以計(jì)算原理和方法同連續(xù)梁。1(1)2(2)3(0)4(3)5(4)6(0)i2iiii 單元定位向量為：1T 1,22T 2,33T 3,04T 2,05T 3,450單元?jiǎng)?/p>

23、度矩陣為：整體剛度矩陣14 2 2 4ki34 2 2 4ki28 4 4 8ki44 2 2 4ki54 2 2 4ki12323020343 43 02 01 22 3420021640041620024Ki10-3 平面剛架整體分析51一、結(jié)點(diǎn)位移未知量編號(hào) 為了確定各單元的定位向量，要按照結(jié)點(diǎn)編號(hào)從小到大的順序?qū)Y(jié)構(gòu)每個(gè)結(jié)點(diǎn)的未知量u、v、 統(tǒng)一進(jìn)行編號(hào)。 若某個(gè)結(jié)點(diǎn)位移未知量等于零，則編號(hào)為零。二、單元定位向量 e 由單元兩端位移未知量編號(hào)組成的向量稱為單元定位向量，用 表示。52 在單元定位向量中，單元始端結(jié)點(diǎn)的位移未知量編號(hào)在前，末端結(jié)點(diǎn)的位移未知量編號(hào)在后，見下頁(yè)圖示。單元定位

24、向量的作用： 1）決定單元?jiǎng)偠染仃噆e各元素在整體剛度矩陣K中的行碼和列碼。 2）決定單元等效結(jié)點(diǎn)荷載向量Pe的各分量在結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)荷載向量P中的位置。 3）決定單元桿端位移e的各分量在結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量中的位置 。531(0,0,1)2(2,3,4)3(5,6,0)4(7,0,8) 1(0,0,0)3(4,5,6)2(1,2,3)4(4,5,7)5(0,0,0) 1(1,2,3)2(4,0,5)3(0,0,0) T1T21,2,3,4,0,51,2,3,0,0,0 T1T2T31,2,3,4,5,61,2,3,0,0,04,5,7,0,0,0 T1T2T3T4T50,0,1,2,3,42,3,

25、4,7,0,85,6,0,02,3,5,65,6,7,054 以上結(jié)構(gòu)各桿都考慮軸向變形的影響。若剛架的桿件不考慮軸向變形，則結(jié)點(diǎn)位移未知量編號(hào)及單元定位向量如下：1T2T3T 1,0,2,1,0,3 1,0,2,0,0,0 1,0,4,0,0,0不考慮軸向變形1T2T3T 1,2,3,4,5,6 1,2,3,0,0,0 4,5,7,0,0,0考慮軸向變形 4(1,0,4)5(0,0,0)1(0,0,0)3(1,0,3) 2(1,0,2) 1(0,0,0)3(4,5,6)2(1,2,3)4(4,5,7)5(0,0,0) 三、裝配結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣551T2T3T 1,2,3,0,0,0 1,2,

26、3,4,5,6 4,5,7,0,0,056.6 10EAkN3165 10/EAkN ml3412 10.EIkNml33122.25 10/EIkN ml3264.5 10EIkNl例10-3-1 求整體剛度矩陣K。5(0,0,0)1(0,0,0)3(4,5,6) 2(1,2,3)4(4,5,7) 4m4mxy解:已知?jiǎng)偠认禂?shù)如下：421.2 10.EIkN m56局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚍椋呵笳w坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚕簩?duì)于單元， =0，故 。對(duì)于單元和， =90 ，得22 kk1T13T3 kTkTkTkT1）形成單元?jiǎng)偠染仃?233165001650002.254.502.254.5

27、04.51204.5610165001650002.254.502.254.504.5604.512kkk 0101000001 0100100001T57 1T301 01650016500100002.254.502.254.500104.51204.561001 01650016500010002.254.502.254.500104.5604.512Tk 行變換 1T302.254.502.254.501016500165001 00004.51204.560011002.254.502.254.5010165001650001 0004.5604.512001TkT 列變換58133

28、2.2504.52.2504.501650016504.50124.506 102.2504.52.2504.501650016504.5064.5012kk500074123000457000200031133 23165001650002.254.502.254.504.51204.56 10165001650002.254.502.254.504.5604.512k12345624563159 3167.2504.51650000167.254.502.254.504.54.52404.560 1016500167.25004.502.254.50167.254.5004.5604.51

29、200004.50012K245631712345671332.2504.52.2504.501650016504.50124.506 102.2504.52.2504.501650016504.5064.5012kk500074123000457000200031133 23165001650002.254.502.254.504.51204.56 10165001650002.254.502.254.504.5604.512k1234562456312）形成整體剛度矩陣 K60 相關(guān)未知量：未知量 i的相關(guān)未知量是指i本身以及與之屬于同一單元的其他未知量。例如未知量 4的相關(guān)未知量為未知量

30、1 、2 、3、4 、 5 、6 、7。 相關(guān)單元：?jiǎn)卧ㄎ幌蛄恐杏衖編號(hào)的單元稱為未知量 i的相關(guān)單元。例如，未知量 4的相關(guān)單元為單元、。1(0,0,0)3(4,5,6) 2(1,2,3)4(4,5,7)5(0,0,0) 4m4mxy612333444411(165 2.25) 10167.25 10Kkk在整體剛度矩陣K中： 1）主對(duì)角元素Kii由未知量i的相關(guān)單元的剛度矩陣的主對(duì)角元素疊加而成。 2）若未知量i與j是相關(guān)未知量，則Kij= Kji 0 若未知量i與j不是相關(guān)未知量，則Kij= Kji =0，如1與7不是相關(guān)未知量，則K17= K71 =0。62整體剛度矩陣K 的性質(zhì)如下

31、：1） K 是對(duì)稱矩陣。 2） K 是非奇異矩陣，即 K 0，因?yàn)椴捎孟忍幚矸?，結(jié)點(diǎn)位移未知量中已剔除了零位移分量，即已經(jīng)引入了支座條件，結(jié)構(gòu)沒有剛體位移。 3） K 的元素分布在對(duì)角線兩側(cè)的斜帶形區(qū)域內(nèi)，即具有帶形分布規(guī)律。越是大型結(jié)構(gòu)，矩陣K的帶形分布規(guī)律越明顯。四、等效結(jié)點(diǎn)荷載63 平面剛架的整體剛度方程F=K反映的是結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，它并不能直接建立非結(jié)點(diǎn)荷載與結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系。因此非結(jié)點(diǎn)荷載要轉(zhuǎn)換成等效結(jié)點(diǎn)荷載才能求解。 所謂等效，是指非結(jié)點(diǎn)荷載產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)位移與等效結(jié)點(diǎn)荷載產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)位移相等，故等效是指結(jié)點(diǎn)位移等效。64-M2即為等效結(jié)點(diǎn)載荷。123FP2123

32、FPM220 123-M22265T111222 eeeeeeePxPyPPxPyPPFFFMFFM 在單元局部坐標(biāo)系中，單元固端力 、 分別與坐標(biāo)軸 和 正方向一致為正，相反為負(fù)； 以順時(shí)針方向?yàn)檎?，逆時(shí)針為負(fù)。exPiFeyPiFxyePiM非結(jié)點(diǎn)荷載的正方向見右圖。ePF1）求單元固端力 （局部坐標(biāo)系）步驟：12FPqxyme eP2）求單元等效結(jié)點(diǎn)荷載T eePPTF T eeFTF()(整體坐標(biāo)系）66T111222 eeeeeeexPyPPxPyPPPFFMFFM123040T *P 12345678 jFPPPj 為直接結(jié)點(diǎn)荷載向量。3）利用單元定位向量由 集成結(jié)構(gòu)等效結(jié)點(diǎn)荷載向

33、量 。 eP P 若結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)上還作用有結(jié)點(diǎn)荷載，則結(jié)構(gòu)總的結(jié)點(diǎn)荷載向量 為： F671）單元定位向量為：1T 1,2,3,0,4,02T 1,2,3,0,0,5例10-3-2 求等效結(jié)點(diǎn)荷載向量P，考慮桿件的 軸向變形。解：12kN.m2(0,4,0)1(1,2,3)3(0,0,5) 4.8kN/m8kNxy5m2.5m2.5m681T 01210012 10PF2T045045 PF2） 求單元固端力（局部坐標(biāo)系）54.8kN/m xy10101212 8kN544xy=90693） 求單元等效結(jié)點(diǎn)荷載Pe（整體坐標(biāo)系)1230052T201 0 04 41000 4 0 0001 5 5

34、5 01 0 04 40100 4 0 000155 5PPTF(90 )。1 2 3 0 4 011T 0 12 100 1210(0 )PPF。700 4412 012 10 55121255P00 1200jP 412 7125jFPP 疊加直接結(jié)點(diǎn)荷載向量Pj，則總結(jié)點(diǎn)荷載向量為：4） 求結(jié)構(gòu)等效結(jié)點(diǎn)荷載向量P五、求單元桿端力并作內(nèi)力圖71 例10-3-2的單元，其整體坐標(biāo)系中的單元桿端位移 為：2 2T1235 00 eFe e 解整體剛度方程求得結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量后，欲求單元桿端力向量 ，要從中取出單元 的桿端位移組成向量 ，為此要利用單元定位向量。單元桿端力按下式計(jì)算： eeee

35、eePTFkF eeeeeePFkFTFF或例例10-3-3 求下圖示組合結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。求下圖示組合結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。72橫梁：22/EAEI m吊桿：11220EIE Am 1）結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)編碼、單元編碼、結(jié)點(diǎn)位移未知量編碼如上圖所示。1T 0,0,0,1,2,32T 1,2,3,4,5,63T 4,5,6,0,0,04T 0,0,1,25T 4,5,0,0單元定位向量為：1(0,0,0)20m20m20m15m10kN/m 2(1,2,3)3(4,5,6)4(0,0,0)5(0,0,0)6(0,0,0)xy解：732）形成單元?jiǎng)偠染仃嚕ㄕw坐標(biāo)系）單元 、 、 ： eekk222020EAEIEIl

36、4420EIEIl312120.034002020EIEIEIl2660.3202020EIEIEIl12320020000.030.300.030.300.3400.32 2002002000.030.300.030.300.3200.34EIkkk74單元：0.80.6 000.04 00.04 00.8 0.6000.60.8 0000000.6 0.800000.80.60.04 00.04 0000.8 0.620000.60.80000000.6 0.8EI0.032 00.032 00.8 0.6000.024 00.024 00.6 0.8000.032 00.032 0000

37、.8 0.6200.024 00.024 0000.6 0.8EI 44T4kTKT 36.87sin0.6cos0.8。111/(/20) 250.04 (/20)E A lEIEIyxyx75 40.02560.01920.02560.01920.01920.01440.01920.01440.02560.01920.02560.0192200.01920.01440.01920.0144EIk單元323.13 sin0.6 cos0.8 。xxyy760.032 00.032 00.80.6 000.024 00.024 00.60.8 000.032 00.032 0000.80.62

38、00.024 00.024 0000.60.8EI0.02560.01920.02560.01920.01920.01440.01920.01440.02560.01920.02560.0192200.01920.01440.01920.0144EI0.8 0.6000.04 00.04 00.80.6 000.6 0.80000000.60.8 00000.8 0.60.04 00.04 0000.80.620000.6 0.80000000.60.8EI 55TkTkT 3） 形成整體剛度矩陣形成整體剛度矩陣KK7712320020000.030.300.030.300.3400.32 2002002000.030.300.030.300.3200.34EIkkk24563120003113045600220001231234564560003021040.02560.01920.02