斯特瓦爾特定理及應用含答案

1、第四章特瓦爾特定理及應用【基礎(chǔ)知識】斯特瓦爾特定理設P為 ABC的BC邊上任一點(P#B, P#C),則有AB2_ 2 _2 PC AC BP = AP BC BPPC BCA P = A B PC aCBP證明B C如圖4-1,不失一般性,B C不妨設b2 BP pcB C B C BCZ APC 父90。則由余弦定理，有圖4_1AC22；-=AP PC -2AP PCcos/ APC ,AB2_2.2_二AP BP -2 AP BPcos(180°-Z APC)= AP2 +BP2 +2AP BP cos/ APC .對上述兩式分別乘以 BP , 斯特瓦爾特定理的逆定理 若pc后

2、相加整理，得式或式.設B , P , C依次分另1J為從 A點引出的三條射線 AB , AP ,AC上的點,AB2PC AC BP =AP2BC +BP PC BC ,證明2AB22 B P P CB CB C BC22 P C 一A P = A B - 一 A C- 一B C,P, C三點共線.令/ BPA =旦，/ APC =02,對 ABP和 APC分別應用余弦定理，有= AP2 +PB2 -2AP PB cos& , AC2=AP2 +PC2 -2AP PC cos仇.將上述兩式分別乘以 PC, BP后相加，再與已知條件式相比較得-2AP BP PC (cosq+cosa )=

3、0 ,由此推出 &=180° 即證.斯特瓦爾特定理的推廣(1)設P為 ABC的BC邊延長線上任一點，則BCBC注 若用有向線段表示，則，式是一致的 推論1設P為等腰4ABC的底邊BC上任一點，則 AP2 = AB2 _BP，PC .注 此推論也可視為以 A為圓心，AB為半徑的圓中的圓哥定理.推論設AP為 ABC的BC邊上的中線,2121-2AP =AB -AC-BC2 .4推論設AP為 ABC的A的內(nèi)角平分線,AP2=AB AC BP推論設AP為 ABC的A的外角平分線,_2AP2=AB AC +BP PC .推論在 ABC中，若P分線段BC滿足BPBCAP2二(-1)BC2

4、 (1 - )AB2、什 BP2汪若=k，則AP PCAB2AC21k22 BC .【典型例題與基本方法】1 .選擇恰當?shù)娜切渭耙贿吷系囊稽c，是應用斯特瓦爾特定理的關(guān)鍵.例 1 如圖 4-2,凸四邊形 ABCD 中，/ABC =60 口，/ BAD =/BCD =90 , AB =2 , CD=1,對角線AC , BD交于點O .求sin/ AOB .（1996年北京中學生競賽題）圖4/解延長BA , CD相交于P ,設BC=x,則PB =2x , PC =J3x ,對 PBC及PB邊上的點 A ,應用斯特瓦爾特定理，有CA2 =PC2 當 BC2PB=(d3x -2x=x2 -2x +4

5、.PAAB PAPB2 2x-2x-2 2x -22x，即5x4 &I=2(x2 2 卜，求得 BC=x = 4 73.由 RtADP s RtCBP ,有曲咫 PA陽，于是， CA2 =1 5- 場 .3 又在 Rt BCD 中, BD2 =x2+1 =20 8而 , 從而 B D 4C ,4(5 -2<3 收5 -2點)=10百-12 .而 SABCD =SA ABD +$ BCD =(2j'T3 2 )+萬(4 'T3 )=，故 2（1 礦3- 1）2 SiAOB =2-3 即 sin/AOB =15；：，3 為所求.例2 如圖4-3,在4ABC中，/A=6

6、0。ABAC,點O是外心，兩條高BE, CF交于H點，點M ,N分別在線段BH , HF上，且滿足BM =CN ,求MH *NH的值.OH（2002年全國高中聯(lián)賽題）圖4-3解 延長BE交L O于L ,由三角形垂心性質(zhì)，知 L為H關(guān)于AC的對稱點，則LC =CH .設L O 的半徑為 R, OH =d , CH =x , BH =y ,由/ CLB = /A = 60： 知 LH =LC =CH =x .延長 OH兩端交LO于T, S,如圖4-3,由相交弦寇理有 TH，HS = BH -HL ,即(R+d * R d尸x，y ,即R2 =d2 +xy .在 BCL及邊BL上的點H ,應用斯特瓦

7、爾特定理，并注意到BC =2R，sin/A = QR ,可得BC2 LH +LC2 BH =LH BH BL +CH2 BL , 222即 3R x x y =x y x y .x x y ,Rxy + 2d= %J/ 2y + 十有J而當 AB >AC 時，MH +NH =BH -BM +CN -CH =BH -CH =y x=|x y ,故 地_止=巳二I =3為所求 OH d2 .注意斯特瓦爾特定理的推論的應用例3如圖4-4,自L O外一點引圓的兩條切線 PE , PF , E , F為切點，過P點任意引圓的割線交。211PA PBPC于A, B,父EF于C.證明： =+ .（20

8、01年湖南中學生夏令營試題）圖4-5證明 由相交弦定理，有 EC CF =AC CB .由于PE=PF,對等腰 PEF及底邊EF上的點C,應用斯特瓦爾特定理的推論1,有PC2 = PE2 EC CF ,即有PE2 =PC2 EC CF =PC2 AC CB_2_ _ _=PCPC -PA PB -PC= PC2 -PC2 -PA PB PC PB PC PA=PA PC +PB PC -PA PB .而 PE2 =PA PB ,從而 2PA PB =PA PC +PB PC .故2+P C P A P B注 此例結(jié)論表示線段 PC是線段PA, PB的調(diào)和平均.這個結(jié)論亦即為點P、C調(diào)和分割弦A

9、B .例4 如圖4-5,設在 ABC中，AB > AC , AE平分/ A ,且交BC于E ,在BC上有一點S,使222BS =EC ,求證：AS -AE =（ABAC（1979年江蘇省競賽題）證明 對 ABC及邊BC上的點S,應用斯特瓦爾特定理，有AS2 =AB2 咨+AC2 里-BS SC . BC BC由AE平分/A,對 ABC及邊BC上的點F ,應用斯特瓦爾特定理的推論3 ,有AE2 = AB AC BE EC ,從而222 SC 2 BSBCBCAS2 -AE2 =AB2 一 十AC2 - -AB AC +BE EC -BS SC .因 BS =EC ,有 BE =SC ,即

10、BE ,EC =BS .SC .由角平分線的性質(zhì)，有B E A B EC AC =,=1SCB C 二ACAB A CB C A B A C B C AB A CB E A B B S E C ,B C A B AC B C B C從而，由式，有 AS2 -AE2 =(AB_AC 2 .求證：251 題）AC、例5凸多邊形ABCD外切于L O ,兩組對邊所在的直線分別交于點E、F ,對角線交于點GDG ± EF .（中等數(shù)學奧林匹克題高中證明 如圖4-6,設LO與邊AB、BC、CD、DA分別切于點 M、N、R、S,則由牛頓定理知, BD、MR、NS四線共點于 G .由切線長定理，知

11、EM =ER.圖4_6由推論 1,有 EG2 =FS2 -MG GR .同理，F(xiàn)G2 =FS2 -SG GN .聯(lián)結(jié)MO、EO、SO,令L O的半徑為r ,則EM2=OE-r2, FS2=OF2-r2.又由相交弦定理，有 MG，GR=SG GN .于是，由、有 EG2 -ED2 =FG2 -FO2 .由定差哥線定理，知 OG，EF .-QN2 .注 （1）牛頓定理 圓外切四邊形的兩條對角線、兩對邊切點的連線，這4條直線共點.（2）定差募線定理 設MN、PQ是兩條線段，則 MNLPQ的充要條件為PM2PN2=QM此定理可用勾股定理及逆定理證明.這個定理放到空間也是成立的.運用向量法可給出平面、空

12、間的統(tǒng)一證明如下：cccc 2 "）2 2 2由 PM2 QN2 -PN2 -QM2 =PM QN -PN -QMb -2 -2 -h -I 2 =PM PN -PQ -PN PM -PQ2 2 T b h I T I2 二PM PN PQ -2PN PQ - PM -PQ 2PM PQ - PNt T r r=2PM PQ _2PN PQ=2(PM PN )，PQ =2NM PQ .故 MN， PQ P2W P N O M .2Q N例6 已知E、F分剔是ABC的邊AB、AC的中點，CM、BN是邊AB、AC上的高，聯(lián)結(jié)EF、 MN交于點P.又設Q、H分別是 ABC的外心、垂心，聯(lián)結(jié)

13、 AP、OH .求證：AP ± OH .（2005年國家隊集訓題）1 1證明 如圖4-7,聯(lián)結(jié)AO、AH .設Oi、Hi分別為AO、AH的中點，則HiN =-AH , HiM =- AM ,2 2即知點Hi在線段MN的中重線上，應用推論 1,有_ 22 _ _HiP =HiM -MP PN .注意到EF為ABC中位線，O在BC的中垂線上，由此知 Oi也在EF的中垂線上，應用推論 i,有QP2 =OiE2 -EP PF .再注意到/ANM =/ABC =/ AEF ,知M、E、N、F四點共圓，并由直角三角形性質(zhì)，有MP PF =EP PF .及QE =OiA、HiM =HiA .由、得

14、 HiA2 HiP2=OiA2 QP2.由定差哥線定理，OiHi± AP .而 OiH / OH ,故 AP, OH .注 此例的其他證法可參見第九章例i6、第十章例i5.例7 設D是 ABC的邊BC上一點，滿足CDAsCAB , O經(jīng)過B、D兩點，并分別與 AB、AD 交于E、F兩點，BF、DE交于點G ,聯(lián)結(jié)AO、AG ,取AG的中點M .求證：CM ± AO .證明 如圖4-8,在AG的延長線上取點 P,使得AG AP =AF AD （即G、P、D、F四點共圓），/BPA=180 J/BED =180L/ BFD =則由AE ,AB = AF ,人口知£、B

15、、P、G也四點共圓.于是2ZBFA,知 B、P、F、A 四點共圓，即有 FG GB=AG GP = AF .AD - AG .聯(lián)結(jié)OD、OF、OE ,并令O半徑為R ,則對ODE、AODF分別應用推論1 ,有OG_2_ 2_AP BC=AB PC +AC BP - BP PC BC .延長 AP 交 ABC 的外接圓于 E,連 BE, EC ,由 ABPsCEP 和 AACPs BEP ,有 AB，AP = CE -AP , AC BP =AP BE . =OD2 -EG GD =R2 FG GB .OA2 =OD2 +AF AD =R2 +FG GB +AG2 .聯(lián)結(jié)OM ,由三角形中線長公

16、式，并注意、，有221222122MO -MA =(2OA +2OG -AG ) AG =R .44聯(lián)結(jié) OB、 OC ,對 OBD 應用推論 1 ,有 CO2 =OB2 +CD CB =R2 +CD CB .又由CDAsCAB ,有 CA2 =CD CB ,即有 CO2 -CA2 = R2.MO2 -MA2 =CO2 -CA2 ,由定差晶線定理，知 CM ±注 P即為完全四邊形的密克爾點，由、有 AO .3.注意斯特瓦爾特定理等價于托勒密定理斯特瓦爾特定理可推導出托勒密定理.證明 如圖4-9,在4ABC中，點P在BC上，由斯特瓦爾特定理，有E圖4-9又由相交弦定理，有 BP PC

17、=AP PE .于是，得 AP2 BC =AB CE，AP +AC，AP .BE -AP -PE -BC ,即 B C A P PE AB C E A,C B E亦即 AB - C E- A C BE BC 即為托勒密定理.由托勒密定理也可推導斯特瓦爾特定理.證明 如圖4-10,設圓內(nèi)接四邊形 ABEC的對角線AE, BC交于P.由托勒密定理，有圖 4_10AB EC +AC BE =BC AE .即 AB EC A C B E BP P C A EAC BPBE 1.由相交弦定理，有APAB PC由 ABPs CEP 和 ACP s BEP ,有 EC = APBP PCPE =.將這些式子

18、代入前述式子即得斯特瓦爾特定理.AP因此，在應用中，兩個定理的應用范圍相同，所顯示的功能也一樣，即凡能用托勒密定理處理的問題也能用斯特瓦爾特定理處理.反之亦然.例8若 ABC的三邊為連續(xù)整數(shù)，且最大角/B是最小角/ A的兩倍，求三角形的三邊長.(IMO -10 試題)解法1作/ABC的平分線BD (圖略)，則BD=AD,令AD = y , AB=x，則AC=x+l, BC=x1, CD=x+1y.由斯特瓦爾特定理的推論3,有y _2 ,故由 x 一x ,求得 x =5 （舍去 x=0）,即 AB =5 , BC =4 , AC =6 . x 12x -1解法2 作ABC的外接圓O ,取AC的中

19、點D ,連AD , BD , CD ,則AD 為梯形，其中CD / BA .令 福燈，貝UAC=x+1, BC =x1 ,且 CD =BC =x1 , BD = AC =x+1 .對四邊形 ABCD 應用托勒 密定理，有(x +1 2 =x(x -1 )+(x -1 2 ,求得 x =5 .(下略)【解題思維策略分析】1.獲得線段倍分關(guān)系的一條途徑=x(x1 )-y(x+1-y ),即y =，-1),又 細 =幽，即上x 1 BC CD x -1yx x 1-,有 y =-fx 1 -y2x -1例9 如圖4-11 ,已知4ABC的外接圓k的圓心為O,半徑為R,內(nèi)切圓的圓心為I ,半徑為r ,

20、另一個圓k0與邊CA , CB分別切于點D ,E ,且與圓k內(nèi)切.求證：內(nèi)心I是線段DE的中點.（IMO -34預選題）A圖41r證明 設圓k0的圓心為O1 ,半徑為P,于是Q , I , C三點共線，且CI =-1，COi=-1一 sin - Z Csin- / C22-r -則 IO1 =1,且 QE = P.sin 一/ C 2干旱 IO1：-rr丁 7, = =1 .CO1 PP連OC , OI , OQ ,對 COO1 ,及邊O1C上的點I ,應用斯特瓦爾特定理，有OO12 CI OC2IO1 =OI2 COi CI IOi COi注意到歐拉公式,OI2 =R2 -2Rr ,及 OO

21、1 =R_P,OC=R,并將其代入式，得到_ 2 rsin / C2R2:r1 一 sin / C2=R2 -2RrP - r1 ,sin Z C2P1'sin / C2化簡彳導 s i從而義CO1=P即IO1 CO1 =O1E2.因為O1E ± CE , CO11 DE且平分DE ,令DE的中點為I 由射影定理，有IO1 CO1 =O1E2 .比較式和式，知I '與I重合，即得I為DE的中點.例10如圖4-12,兩個大圓A, B相等且相交；兩個小圓C , D不相等但相交，且交點為 P, Q.若LC , L D既同時與A內(nèi)切，又同時與B外切.試證：直線 PQ平分線段A

22、B .(中等數(shù)學奧林匹克問題高中58題)圖 4_12證明 由于LC , L D半徑不相等，此兩圓交點所在直線 PQ必與線段AB相交，設交點為M .連AC , MC , BC , AD , MD , BD, PC , PD , CD ,顯然 PQ ± CD ,設垂足為 N ,又設 A, B 的半 徑均是 P, |_C, D 的半徑分別為 R, r(R#r),則易得 AC=P R, BC = P+R, AD = P r, BD = r ,因為PQ，CD ,或MP，CD ,垂足為 N ,則_2_ 2_22 22_ 2MC -MD = CN NM ) 一：MN ND _ _ 2_2=CN -

23、ND二(PC2 -PN 2) -(PD2 -PN2) = PC2 -PD2 =R2 -r2.設AM =x , MB =y,對 CAB及邊AB上的點M ,應用斯特瓦爾特定理，有 _ 2_ 2x BC y AC = x y MC x y x y_ 222=(x +y >MC +x MB +y AM .對 DAB及邊AB上的點M ,應用斯特瓦爾特定理，有x BD +y AD =(x+y) MD +x MB +y AM .-，得x BC2 -BD2 )+y(AC2 -AD2 >(x +y ；(MC2 -MD2 )=(x +y RR2 -r2 ),即 x (P + R 2 _(P+r )2

24、+y (P-R ) -(P-r )2=(x + y *R2 r2 ), 亦即 2 P <x y )<R r )=0 .因 P#0 , R#r ,從而 xy=0, IP x = y .故AM =MB ,即直線PQ平分線段AB .2.求解三角形問題的一種工具A中的第6題，習題B中斯特瓦爾特定理在求解三角形中有關(guān)線段的問題有著重要作用，這可從習題 的第7題等可以看出.在求解三角形的其他問題中，它也有著重要作用.例11設 ABC的三邊為a, b , c,其面積為S ,則a2 AQ 2 APCA2 =-CP2 +CQ2 +AP AQ . PQ PQ+b2+c2 > 4S ,當且僅當 A

25、BC為正三角形時，等式成立.（IMO -3試題）證明 取BC的中點D ,對 ABC及BC邊上的點D ,應用斯特瓦爾特定理的推論2,2121212121212有 AD2= ACiA2B-BCVc . a4224從而有 a2 +b2 +c2 =2AD2 +|a2 > 2AD'|a =2/3 .AD a .設 ABC的BC邊上的高為h ,則AD > h ,于是273 AD a > 2>/3 2 1a h =4S.2故a2 +b2 +c2 > 4<3S ,其中等號當且僅當 2AD2 =-a2且AD =八時成立，也即AD，BC且AD=a ,22此時 ABC恰為

26、正三角形.例12 如圖4-13,在 ABC中，D, E分別為AC和AB同方向延長線上的點，BD與CE相交于P ,且BD =CE .當P在BC邊的中線上時，則 AB = AC .圖43于是BA2 -CA2fCP2 - BP2AQPQo o APBQ2-CQ2 PQ證明 設AP交BC于Q .分別對 BPQ及點A和 CPQ及點A應用斯特瓦爾特定理的推廣結(jié)論, 有BA2 =-BP2 AQ+BQ2 AP-+AP AQ PQ PQ'由于BD =CE ,對 PBC及點A應用塞瓦定理，有QBECDPPD QC=1,即=.QCEPDBPE QB當P點在BC邊上的中線上時，有 BQ =QC .從而PD =

27、PE ,由此知PC =PB ,故AB =AC .例13如圖4-14,若D是4ABC的邊BC延長線上一點，則 AD平分/ A的外角的充分必要條件是_2 _ _AD =BD CD -AB AC .F，K 一、r圖 4_14證明 必要性：若AD平分/A的外角，則由推論 4即有AD2 =BD CD -AB AC .或者按證明斯特瓦爾特定理的方法來推導.充分性：設直線 AD交ABC的外接圓于E ,連BE、CE .由割線定理有 BD CD =AD -ED ,并將其代入條件式 AD2 = BD CD - AB AC可得AD （ED -AD 尸AB -AC .由此可知E必在DA的延長線上（因 ED - AD

28、>0 ）.于是 AD，AE =AB AC ,由 ACD s BCD ,有 AC BD =AD BE .由父得 AE,B4ABB又由 ECD s bad ,有 EC AD =CD AB .由+得，AE CD =AC CE .由得， AE BC =AB BE - AC CE .對四邊形EBCA應用托勒密定理，有 AE BC =AB CE - AC BE .于是 AB CE -AC BE =AB BE - AC CE .即（AB +AC ）CE -BE ）=0 ,從而 CE =BE .因止匕 / CAD =/ EBC =/ ECB =/ EAB .故AD平分/A的外角.例14 如圖4-15,設

29、正4ABC的內(nèi)切圓圓心為I ,半徑為r ,在I內(nèi)任取一點P ,設點P到BC , CA ,AB的距離分別為di , d2 , d3 .求證：以虱,贏,而？為邊可以構(gòu)成一個三角形，且其面積為Vr2 -PI 2 .（數(shù)學通報問題1356題）4AdD圖 4_15證明設正三角形ABC的邊長為1 ,d1 +d2 +d3 =§,連AP并延長交BCIA = IB = IC = 2r則由題設知BDDCSA apbSa apcd3d2DPPASA BPCSA BAC - SA BPCdid1d d3 -d1d1d2 d3由于BI =IC ,爾特定理的推論BA=AC ,1,有對 BIC及邊BC上的點,對

30、ABC及邊BC上的點D ,均應用斯特瓦ID2= IB2 -BDDC, AD2= AB2 - BD DC .又由BDDC知BD二dsBCDCd2d2 - d3日ZEID21一3d 2d 32d2 d3二1d 2d 3又對 AID及邊AD上的點P應用斯特瓦爾特定理,_ 2_ 2IP =ID,DP由PAPA 2 IAADL,知DP-DP PA. ADPA d2 d3AD d1 d2 d3DPd1將上述各式及式代入式，并注意IAAD=_3一 3d1d2d3did2d3宗 2點-46 =4d2+4d3,有IP22 DP 2 =IA IDADPADP PAADdid1d3d2d3DP(d2 +d3 2 1

31、d1d2 d3 ADPA 2AD ADd1 dd1 dd2d3d2 d31d1(d2+d3)I2 ' 1 一d1 +d2 +d2(d1 +d2 +d3 )-d 2d32d2 d3 J-di d2 d32 .3d2d3 -4did2d34di I d2 d3-3d2d3 2,3 -4d13 d2d34(did) +d1d3 +d2d3 >2IPi -i4(did 2+d d 3dd 2 小3 -,2, 2,2,-,-di -d2 -d32 did2did?d2d3-di2 d2 d3 1 y did2did3 d2d3222(i -3IP )=3(r -IP ).此式可寫成為 di

32、 . d2,_d3, d2 d3 - , di di d3 -, d2 di d2 - , d33(rA. PA2 :二 PB PC -IP2 ). d由于P點在U I內(nèi)部，則r2 IP2 >0 ,從而，必有Jd2 +弧 一$& >0 , Jdi +Jd3 -汨2 >0 , 苻 +«工-弧 >0 .如若不然，比如v,d7 +標-艮<0 ,觀+覆 Jd=<o ,則（段7 +代 Jd Md Vd3 C） o,即代<o與已知矛盾，則知d2d3, di , di , d3, d2 , did2 a .可見，以 Jdi , 厄，M 為邊可以構(gòu)成

33、三角形，且由海倫一秦九韶公式及式知其面積為3 ,r2 -PI2 4【模擬實戰(zhàn)】習題A21.在 ABC中，AB = AC =2 , BC邊有i00個不同的點P , P2,，R00)記或=AP 2即即i ( I = i ,2,，i00),求mi +他+m00的值.2.在MBC中,/C的平分線交AB于D .證明:CD < JCA CB .（匈牙利中學生數(shù)學競賽題）3.在 ABC 中,4.在 ABC 中,D 是 BC 邊上的點，已知 AB=i3, AD=i2, AC =i5 , BD =5 ,求 DC .AB=2&, AC =&, BC =2 ,設 P 為 BC 邊上任一點，則（

34、）2B. PA2 二PB PCC. PA3 2 . PB PCD. PA2與PB PC的大小關(guān)系不確定5 . D 是 ABC 的邊 AC 上的一點，1. AD： DC =2>： 1, ZC=45S, ZADB=60S,AB 是 BCD的外接圓的切線.、一 .一 ，_1、一6 .設 ABC 的三邊 BC =a, CA =b , AB =c , p =-(a+b+c).ma , 總 分別為 BC 邊上的中線長和高線長；ta, t；分別為BC邊所對的角的內(nèi)、外角平分線長.求證下列各式:(H)（出）mata2222(b +c )a ;b ct,：= 2a |b-cc p(p -a )；<

35、p -b I p c);R與P之間），交T1T2,2APQ PRPS PTha =ajp(p-a J(p -b Xp -c7 .在 ABC中，AB=2BC, /B =2/A,求證： ABC是直角三角形.8 .證明：到三角形三頂點的距離的平方和最小的點是重心.習題B1 .設石，而,。分別是共線的三點A, B, C對于O所作切線的長.求證：a -BC + c AB -b AC = BC AC AB .2 .銳角ABC的外接圓過B , C的切線相交于 N ,點M是BC的中點.求證：Z BAM = / CAN .（IMO -26預選題）4 . A , B , C , D四點在同一圓周上, 的長.5 .

36、在正方形 ABCD中，E在BC上, 達到多少？且BC =DC =4 , AE =6 ,線段BE和DE的長都是整數(shù)，求BDBE = 2 , CE =1 , P點在BD上，則PE和PC的長度之和最小可6 .設凸四邊形的邊長是 a , b , c , d ,對角線長是e和f .求證：2mina , b , c , d < Je p2 - a2 b2 c2 ；-4Rr ; 318 + f2 , 當且僅當這個凸四邊形是菱形時等號成立.7 .設I , O, G, H分別為 ABC的內(nèi)心，外心，重心，垂心，令BC=a, CA =b , AB =c ,1p 1 a b c , R, r分別為外接圓和內(nèi)切

37、圓的半徑.求證下列各式：(I) a IA2 +b IB2 +c IC2 =abc ；22 abc 2(口) IO =R =R -2Rr ；abc一211 J 2,2k, 7 2.2 L .72,2l 2,2,2l(出)IG = 2a(b +c )+2b(c +a )+2c(a +b )-(a 十b +c )-9abc 18p -，一八221222(IV) IH =4R (a +b +c +abc ).p8.已知 ABC滿足/ACB=2/ABC，設D是BC邊上一點，且 CD =2BD ,延長線段 AD至E ,使AD = DE.證明：/ ECB +180© = 2/EBC .( IMO

38、-39預選題)第四章 斯特瓦爾特定理應用答案習題A 22221 .因AB = AC,由斯特瓦特定理推論1 ,有AP =AB -BP PC ,貝U AP +BP，PC = AB ,即2 2mi =AP +BP PC = AB =4 ,即 R +m2 +m =4 100 =400 .2,由CD平分ZACB ,由斯特瓦特定理推論 3,知CD 2 CXCB AEB <A(B .，故cCAOT- .3 .由斯特瓦爾特定理，有AD2 = AB2 CD + AC2 -BD BD . DC 設 DC= x,則 BC=5+ x,則BCBC22 X 2512 =1芋十褚方，解得X1 =9 (舍去X2=9).

39、5 x 5 x4.由斯特瓦爾特定理，有 PA2 -AB PC AC2 PB -PB BC =(2 2)2 PC (.2)2 -PB - PB BC BC22PC =4PC +PB PB PC ,PA2 PB PC =4PC +PB -2PB PC ,又 PB=2PC ,貝U PA2 - PB .21 215PC =4PC +2PC 2(2PC) PC =2PC PC+2 =2(PC +2) = 2(PC ) +>0,故選(C). 482 12 2 2 225.由AD： DC =2：1 ,由斯特瓦爾特定理推論 5,有BD =AB +BC AC .359由 ZC =45。，NADB =60%

40、 及 BD =BC,有 3BD2 =2BC2 . sin ._C sin _BDC又由 AD： DC =2 ： 1 ,有 AC2 =3 AD AC .2于是有AB2 =AD AC ,由切割線定理即證.6.設P為4ABC的BC所在直線上任一點，且 BP： BC=入：1 ,有斯特瓦爾特定理推論5,有2222ap = 乂入一1a +的+ (入c -1 一，r 入=時，AP =mla即得(I )； 2b c當入時，AP當入=c時，AP =ta,即得(n)222當；af2 c時,2a=ta'，即得(出)；AP =ha,即得(IV).7 .作/B的平分線交AD ABAC于D ,則 = =2 ,對A

41、BC及AC邊上點D應用斯特瓦爾特定理推論 3, DC BC有 BD2 =AB BC -AD DC ,即(2DC)2 =2BC2 -2DC2 ,即 DC2 =1 BC2 ,又 3AC2 =(AD+DC)2 =9DC2 =3BD2,從而 AC2+BC2 =4BC2 = AB2 ,故 ABC 為直角三角形.8.設G為三條中線 AD , BE , CF的交點，p為 ABC所在平面上任一點.不妨設 P在 ABC內(nèi)， 連PA , PB , PC , PD , PG ,對 APD及點G應用斯特瓦爾特定理，有PA2 DG +PD2 AG =PG2 AD +AG GD AD .1 322232-由 DG =-A

42、G , AD =AG ,則 3PG =PA +2PD =-AG .2 22在PBC和AGBC中，D為BC中點，應用斯特瓦爾特定理推論2,則PD2PB2 +- PC2 -BC2 ,22421212121GD = GB + GC BC ,此兩式相減，并注意 GD =AG , 4PD2 =(PB2+PC2) 1(GB2+GC2)+1 AG2,代入式，得 2242222223PG =(PA +PB +PC ) -(GA +GB +GC ) .顯然，當 P異于 G 時，橫有PA2 +PB2 +PC2 >GA2 +GB2 +GC2.故到三角形三頂點距離的平方和為最小的點是三角形的重心.習題B1 .設

43、。O的半徑為r ,連OA , OB , OC ,對4OAC及AC邊上的點B ,應用斯特瓦爾特定理，有OA2 BC+OC2，AB=OB2 AC+AB BC AC,而 OA2 =r2 +"，OB2 =r2+b , OC2=r2+c,于是 2.22(r +a) BC +(r +c) -AB =(r +b) AC +AB BC AC ,化簡即得結(jié)論.2 .對4ABC及BC邊上的點 M ,應用斯特瓦爾定理推論1 ,有AM 2 =1(2 AB2 + 2 AC2 - BC2),4BM BC2222BC2BN =又 AN =AB +BN -2AB BN cosZABN = AB +2cos/A 2c

44、os ZA4cos /Acos C22_2212+AB BC (cos/ABN =-cos/C)，于正 AN cos /A=AB cos NA+ BC +cos ZA4AB BC cosZC cos/A而 cos/A cos/C =cos(/A+NC)+sin/A sinNC =sin/A sin/Csin/B ,則22221_ 2.222AN cos . A =AB cos . A - BC AB BC sin. A sin. C - AB BC cos. A=AB (cos . A sin . A) 41212. 2. 21+BC (AB +BC -AC ) = (2AB +2AC -BC

45、 ) AM (其中 BC sin/C = AB si n/A ,即 424AM 八 CM AN sin(180 A C)AM s in B 痂=cos/A= , = , 又 B M= C M 且 = , 故ANCN CNsinZCANB M sin BAMs i/B A M= s 區(qū)nC,A艮NE.另證：設AN交圓于D ,連BD, CD ,對四邊形 ABCD應用托勒密定理， 有AD BC = AC BD +AB CD ,AC ANAB AN由ACNsCDN, ABNsBDM ,有 AC =工，空，而 BN =CN ,則 AC BD = AB， CD CNBD BN、AD ABCD ,注意至U

46、BD=2BM ,有 2AD BM =2AB CD ,即 二,又/ABM = /ADC 從而 C D BM AD(CA ABM 故 /NAC =/BAM .3.由 PTi =PT2及 PTi PSi =PT2 PS2,有 PSi =PS2,從而 T1T2 / S1S2,即 PSl=-PTl ,而 PS PTPSPTi PG =PQ PQ 3,則PS2 = PQ PR ,對SiPSz及§S2邊上的點S應用斯特瓦爾特定理推論 1 , PT有 PS2 =PS2 -SiS S$，又在。中 §S SS =RS SQ=(PRPS)(PSPQ),故PS2PS1111PQ PR -(PR -

47、PS)(PS -PQ),故 十=十 PTPQ PR PS PT22 BE 2 DE4 .對4ABCD及BD邊上的點E ,應用斯特瓦爾特定理或其推論1 ,有CE2 =42 十42 -BD BDBE DE =16 BE +DE -BE DE =16 BE DE=16 AE CE=166CE ,解得 CE = 2 (負值舍去). BD于是 BE DE =CE AE =12 ,而 BD 肛 CD = 8 ,即 BE =3 , DE =4或 BE =4, DE =3 ,故 BD =7 .5 .由BE：CE =2,對ABCP及BC邊上的點E ,應用斯特瓦爾特定理的推論5,有21222PE =-PB +PC -2.對4BCD及BD邊上點P應用推論1,有 33PC2 =BC2 -BP PD =9 +PB2 -3J2PB ,于是 PE2 =PB2 -2&PB +4 ,故3 - 23 2PE PC -：;(PB - - 2)2 - (0 - - 2). (PB - - 2)