第5-4講 陪集與拉格朗日定理

1、1第5-4講 陪集與拉格朗日定理1. 左陪集和右陪集2. 拉格朗日定理3. 拉格朗日定理的推論4. 第5-4講 作業(yè)21、左陪集和右陪集定義1 設(shè)是是群的子群，aG。集合 aH=a*h|hH, Ha=h*a|hH,分別稱為由a確定的H在G中的左陪集和右陪集。a稱為代表元素。注注：1 1、群的每個子集不見得都是群。子群的陪集是群的每個子集不見得都是群。子群的陪集是群論中的一個重要內(nèi)容，由這一概念可以引導(dǎo)出一個群論中的一個重要內(nèi)容，由這一概念可以引導(dǎo)出一個重要結(jié)果，即拉格朗日定理。它表述了群與其子群之重要結(jié)果，即拉格朗日定理。它表述了群與其子群之間存在的一個重要關(guān)系。間存在的一個重要關(guān)系。 2 2

2、、這里只就左陪集進行討論，右陪集也有類似的這里只就左陪集進行討論，右陪集也有類似的結(jié)論。結(jié)論。32、拉格朗日定理（1）定理1（拉格朗日定理） 設(shè)是群的一個子群，則（1）R=|a,bG,a-1*bH是G上的一個等價關(guān)系， 且aR=aH。（2）若|G|=n，|H|=m，則 m|n。證明： (1)先證先證R R是等價關(guān)系。是等價關(guān)系。 對任意對任意a a G G，有，有a a-1-1 G G，按所，按所設(shè)，設(shè)，H, 是群是群G, 的一個子群，的一個子群，H, 和和G, 有相同的有相同的幺元幺元e=ae=a-1-1* *a a H H。按。按R R的定義，的定義， R, R, 故故R R是自反的。是自

3、反的。 若若 a,b R R，則，則a a-1-1* *b b H H。因。因H H是群，是群， ( (a a-1-1* *b)b)-1-1= b= b-1-1* *a a H H，所以，所以， R R，故，故R R是對稱的。是對稱的。 若若 a,b R R， R R，則，則a a-1-1* *b b H, bH, b-1-1* *c c H H 。所以，。所以， ( (a a-1-1* *b)b)* *(b(b-1-1* *c)=ac)=a-1-1* *(b(b* *b b-1-1) )* *c=ac=a-1-1* *c c H,H,可可知知 R R，故，故R R是傳遞的。是傳遞的。42、拉

4、格朗日定理（2）拉格朗日定理:設(shè)是群的一個子群，則（1）R=|a,bG,a-1*bH是G上的一個等價關(guān)系， 且aR=aH。（2）若|G|=n，|H|=m，則 m|n。證明(續(xù)) ：再證再證aR=aH。若。若a a G G，則，則 b b aaR R R R a a-1-1* *b b H H a a* *(a(a-1-1* *b)b) aH aH b b aHaH(2) (2) 因因R R是等價關(guān)系，可設(shè)是等價關(guān)系，可設(shè)R R將將G G劃分為劃分為K K個等價類個等價類aa1 1,a,a2 2,a,ak k ，)(11GaHaaGiikiRiki若若h1, h2 H H，且h1 h2 ，aG，

5、那么那么a*h1 a*h2。所以。所以 | aiH|=|=|H|= m (i=1,2,|= m (i=1,2,k),k)因此因此mkHaHaGnkiiiki|1152、拉格朗日定理（3）例1 在在X=R-0,1X=R-0,1定義定義6 6個函數(shù)個函數(shù): : f f1 1(x)=x; f(x)=x; f2 2(x)=x(x)=x-1-1; f; f3 3(x)=1-x;(x)=1-x; f f4 4(x)=(1-x)(x)=(1-x)-1-1; f; f5 5(x)=(x-1)x(x)=(x-1)x-1-1; f; f6 6(x)=x(x-1)(x)=x(x-1)-1-1則則 是群，這里是群，這

6、里F=fF=f1 1,f,f2 2,f,f3 3,f,f4 4,f,f5 5,f,f6 6, , 是函數(shù)的復(fù)合運算。是函數(shù)的復(fù)合運算。試求試求 的所有子群。的所有子群。解：先寫出群表。先寫出群表。 因因|F|=6，F(xiàn), 的子群只能是的子群只能是1 1、2 2、3 3、6 6階群。階群。平凡子群：平凡子群： , 從群表可以從群表可以看出：看出：2 2階子群：階子群： f f1 1,f,f2 2,f,f1 1,f,f3 3,f,f1 1,f,f6 6 3 3階子群：階子群： f f1 1,f,f4 4 ,f,f5 5 62、拉格朗日定理（4）(續(xù)前頁續(xù)前頁)令令H=ff1 1,f,f4 4 ,f,

7、f5 5 ， H, 是是 F, 的子群。求的子群。求F=fF=f1 1,f,f2 2,f,f3 3,f,f4 4,f,f5 5,f,f6 6 中的各元素所確定的中的各元素所確定的H H在在F F中的所有中的所有左陪集左陪集。f1H=f1,f4 ,f5 f2H=f2,f3 ,f6f3H=f2,f3 ,f6=f2Hf4H=f1,f4 ,f5=f1Hf5H=f1,f4 ,f5=f1Hf6H=f2,f3 ,f6=f2H從此例看到，由群從此例看到，由群 的子群的子群H, 所確定的所有不同左陪集所確定的所有不同左陪集( (f1,f4 ,f5，f2,f3 ,f6) 中只有一個是子群中只有一個是子群( (參見

8、參見P212P212習(xí)題習(xí)題6)6)；任意兩個左陪集要么相等任意兩個左陪集要么相等, ,要么它們無公共元素要么它們無公共元素( (參見參見P212P212習(xí)題習(xí)題7)7)。同一子群的每個左陪集中的元素的個數(shù)等于該子群的階數(shù)。同一子群的每個左陪集中的元素的個數(shù)等于該子群的階數(shù)。73、拉格朗日定理的推論推論1 質(zhì)數(shù)階群沒有非平凡子群。證：（反證法）反證法）假設(shè)質(zhì)數(shù)階群假設(shè)質(zhì)數(shù)階群G, 有非平凡子群有非平凡子群H, ，則則| |H|H|（1|H|G|1|H|G|）是是|G|G|的因子，與的因子，與|G|G|為質(zhì)數(shù)矛盾。為質(zhì)數(shù)矛盾。推論2 設(shè)是n階有限群，e為幺元。則G中任意元素a的階必是n的因子，且an=e。如n為質(zhì)數(shù)，則是循環(huán)群。證：若若a a G, aG, a的階數(shù)為的階數(shù)為m，則，則 是是G G的子的子群（可由群（可由子群判定定理一子群判定定理一判定或按判定或按群的定義群的定義判定）。根判定）。根據(jù)拉格朗日定理，據(jù)拉格朗日定理，m|n|n。令。令n=n=m.g,.g,則則a an n=a=am.g.g=(a=(am) )g g=e=eg g=e=e。 如果如果n n為質(zhì)數(shù)，設(shè)任意為質(zhì)數(shù)，設(shè)任意a