解析版1989考研數(shù)一無

1、Born towin全國研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、填空題(本題共 5 個(gè)小題,每小題 3 分,滿分 15 分.)f (3 - h) - f (3) =(1) 已知 f ¢(3) = 2 ,則 lim.2hh®01ò(2) 設(shè) f (x) 是連續(xù)函數(shù),且 f (x) = x + 2f (t)dt ,則 f (x) =.0ò(3) 設(shè)平面曲線 L 為下半圓周 y = - 1- x , 則曲線積分 (x2 + y2 )ds =2.L(4) 向量場u(x, y, z) = xy2i + yez j + x ln(1+ z2 )k 在點(diǎn) P(1,1, 0)

2、處的散度 divu =.æ 30 öæ 10 ö00(5) 設(shè)矩陣 A = ç 140 ÷ , E = ç 010 ÷ ,則逆矩陣( A - 2E)-1=.ç÷ç÷ç 03÷ç 01 ÷00èøèø二、選擇題(本題共 5 個(gè)小題,每小題 3 分,滿分 15 分.)當(dāng) x > 0 時(shí),曲線 y = x sin 1x(1)()(A)(B)(C)(D)有且僅有水平漸近線有且僅有鉛直漸近線既有水平漸

3、近線,也有鉛直漸近線既無水平漸近線,也無鉛直漸近線已知曲面 z = 4 - x2 - y2 上點(diǎn) P 處的切平面平行于平面 2x + 2 y + z -1 = 0 ,則點(diǎn) P 的(2)坐標(biāo)是(A) (1,-1,2)(C) (1,1,2)()(B) (-1,1,2)(D) (-1,-1,2)齊次線性方程 y ¢ + p(x) y¢ + q(x) y = f (x) 的設(shè)線性無關(guān)的函數(shù) y1 、y2 、y3 都是(3)解, C1 、C2 是任意常數(shù),則該非齊次方程的通解是()(A) C1 y1 + C2 y2 + y3(B) C1 y1 + C2 y2 - (C1 + C2 )

4、 y3(C) C1 y1 + C2 y2 - (1- C1 - C2 ) y3(D) C1 y1 + C2 y2 + (1- C1 - C2 ) y3¥< 1, 而 S (x) = åbn sin np x, - ¥ < x < +¥, 其中n=1設(shè)函數(shù) f (4)11òp xdx, n = 1, 2, 3, ,則 S(- ) 等于b = 2f (x) sin n()n20Borntowin12141412(A) -(B) -(C)(D)(5) 設(shè) A 是 n 階矩陣,且 A 的行列式| A |= 0 ,則 A 中()(A)(

5、B)(C)(D)必有一列元素全為 0必有兩列元素對(duì)應(yīng)成比例必有一列向量是其余列向量的線性組合任一列向量是其余列向量的線性組合三、(本題滿分 15 分,每小題 5 分.)(1) 設(shè) z = f (2x - y) + g(x, xy) ,其中函數(shù) f (t)導(dǎo), g(u, v) 具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),¶2 z求.¶x¶yò(2) 設(shè)曲線積分xy2dx + yj(x)dy 與路徑無關(guān),其中j(x) 具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),且j(0) = 0 ,C(1,1)òxy dx + yj(x)dy2計(jì)算的值.(0,0)計(jì)算三重積分 òòò (x

6、 + z)dV ,其中W 是由曲面 z =W成的區(qū)域.x2 + y2 與 z = 1- x2 - y2(3)所圍四、(本題滿分 6 分.)1+ x將函數(shù) f (x) = arctan展為 x 的冪級(jí)數(shù).1- x五、(本題滿分 7 分.)xò設(shè) f= sin x -(x - t) f (t)dt ,其中 f 為連續(xù)函數(shù),求 f (x) .0六、(本題滿分 7 分.)dx 在區(qū)間(0, +¥ )內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同實(shí)根.證明方程lne0七、(本題滿分 6 分.)問l 為,線性方程組x3 = l3 = l + 21 +x1ìí2 + 2ï= 2l +

7、3î3有解,并求出解的形式.八、(本題滿分 8 分.)Born towin假設(shè)l 為 n 階可逆矩陣 A 的一個(gè)特征值,證明：1為 A-1 的特征值；(1)l為 A 的伴隨矩陣 A* 的特征值.(2)l九、(本題滿分 9 分.)設(shè)半徑為 R 的球面å 的球心在定球面 x2 + y2 + z2 = a2 (a > 0) 上,問當(dāng) R 為面å 在定球面內(nèi)部的那部分的面積最大？,球十、填空題(本題滿分 6 分,每小題 2 分.)已知隨機(jī)A 的概率 P( A) =0.5,隨機(jī)B 的概率 P(B) =0.6 及條件概率(1)P(B | A) =0.8,則和AB 的概率

8、 P( AB) =.(2)甲地對(duì)同一目標(biāo)射擊一次,其分別為 0.6 和 0.5.現(xiàn)已知目標(biāo)被命中,則它是甲射中的概率為.若隨量x 在(1,6)上服從均勻分布,則方程 x2 + x x +1 = 0 有實(shí)根的概率是.(3)十一、(本題滿分 6 分.)設(shè)隨量 X 與Y,且 X 服從均值為 1、標(biāo)準(zhǔn)差(均方差)為 2 的正態(tài)分布,而Y服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.試求隨量 Z = 2X - Y + 3的概率密度函數(shù).ABorn to win全國研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、填空題(本題共 5 個(gè)小題,每小題 3 分,滿分 15 分.)】-1】原式= - 1 lim2 -h®0】 x -1(1)【f

9、(3 - h) - f (3) = - 1f ¢(3) = -1.【-h2(2)【1ò】由定積分的性質(zhì)可知,f (t)dt 和變量沒有,且 f (x) 是連續(xù)函數(shù),故【011òò,令f (t)dt = a ,則有恒等式 f (x) = x + 2a ,f (t)dt 為一常數(shù),為簡化計(jì)算和防止00兩邊 0 到 1 積分得11òòf (x)dx =(x + 2a)dx ,001é 1ùa =(x + 2a)dx =xdx + 2adx =x+ 2a x= 1 + 2a ,111 òòò1

10、2即êë 2úû002000a =- 1 ,因此 f (x) = x + 2a = x -1.2】p】一： L 的方程又可寫成 x2 + y2 = 1( y £ 0) ,被積分函數(shù)在 L 上取值,于是解之得(3)【原積分= òL1ds = p (半徑為 1 的的半圓周長).二：寫出 L 的參數(shù)方程,ìx = cos t, (-p £ t £ 0)í y = sin tî00òòò(x + y )ds =(cos2 t + sin2 t) (-sin t)

11、+ cos tdt =1× dt = p .2222則-p-pL】2】直接用散度公式(4)【= ¶ (xy2 ) +( yez ) +(x ln(1+ z2 )¶¶divuP¶x¶y¶zP2z20= ( y2 + ez + x ×= 12 + e0 + 0 ×= 1+1 = 2 .)1+ z2(1,1,0)1+ 02Born to winæ101200 ö÷ç1】ç -0 ÷(5)【ç2÷ç1 ÷0

12、2;ø【】由于æ 30 öæ 2040 ÷ - ç 0,ç÷çç3÷ç 0è 00øè為求矩陣的逆可有多種辦法,可用伴隨,可用初等行變換,也可用分塊求逆.E) ® (E ( A - 2E)-1一：如果對(duì)(A - 2E E) 作初等行變換,則由( A - 2E可以直接得出( A - 2E)-1.本題中,第一行乘以(-1) 加到第二行上;再第二行乘以 1 ,有2æ 1ç00 ö÷020001100&#

13、231; 110 ÷,ç 01 ÷0èøæ101200 ö÷ç1= ç -0 ÷ .-1從而知 ( A - 2E)ç2÷ç1 ÷0èø二：對(duì)于 2 階矩陣的伴隨矩陣有規(guī)律： A = æ ab ö,則求 A 的伴隨矩陣ç cd ÷èøb ö*-b öæ aæ dA* = ç= ç÷÷ .d

14、øè -cè caøA ¹ 0 ,這樣如果b ö-1-b öæ a1 æ d=÷ =ç cd ÷ç -c.aèøè0 ö-1øæ A-1ö÷øæ A0= ç再利用分塊矩陣求逆的法則： ç 0B ÷,-1èø0BèABorn to winæ101200 ö÷ç1本題亦可很

15、容易求出( A - 2E)= ç -0 ÷ .-1ç2÷ç1 ÷0èø二、選擇題(本題共 5 個(gè)小題,每小題 3 分,滿分 15 分.)(1)【】(A)】函數(shù) y = x sin 1 只有間斷點(diǎn) x = 0 .x【lim y = lim x sin 1 ,其中sin 1 是有界函數(shù),而當(dāng) x ® 0+ 時(shí), x 為無窮小,而無窮xxx®0+x®0+小量和一個(gè)有界函數(shù)的乘積仍然是無窮小,1lim y = lim x sin= 0 ,故函數(shù)沒有鉛直漸近線.所以xx®0+x

16、4;0+sin 1lim y = limx令t = 1lim sin t = 1,®0+tx所以 y = 1為函數(shù)的水平漸近線,所以為(A).鉛直漸近線：如函數(shù) y = f (x) 在其間斷點(diǎn) x = x0 處有l(wèi)im f (x) =¥ ,則x®x0x = x0 是函數(shù)的一條鉛直漸近線；水平漸近線：當(dāng)lim f (x) = a,(a為常數(shù)）,則 y = a 為函數(shù)的水平漸近線.x®¥(2)【】(C)】題設(shè)為求曲面 S : F (x, y, z) = 0 (其中 F (x, y, z) = z + x2 + y2 - 4 )上點(diǎn) P 使 S【在該

17、點(diǎn)處的法向量 n 與平面2x + 2 y + z -1 = 0 的法向量 n0 = 2, 2,1 平行.S 在 P(x, y, z) 處的法向量n = ì¶F , ¶F , ¶F ü = 2x, 2 y,1 ,í ¶x¶y¶z ýîþ若 n / n0 , 則 n = ln0 , l 為常數(shù),即2x = 2l, 2 y = 2l,1 = l .即 x = 1, y = 1 .又點(diǎn) P(x, y, z) Î S ,所以 z = 4 - x2 - y2= 4 -12 -1

18、2 = 2 ,故求得 P(1,1, 2).( x, y )=(1,1)因此(3)【(C).】(D)【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】Born to win系數(shù)非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)定理可知, y1 - y3 , y2 - y3 為方程對(duì)應(yīng)齊【】由次方程的特解,所以方程 y ¢ + p(x) y¢ + q(x) y = f (x) 的通解為y = C1 ( y1 - y3 ) + C2 ( y2 - y3 ) + y3 ,即 y = C1 y1 + C2 y2 + (1- C1 - C2 ) y3 ,故D.(4)【】(B)】 S(x) 是函數(shù) f (x) 先作奇延拓后再作周期為 2 的周期延拓后

19、的函數(shù)的【級(jí)數(shù)的和函數(shù),由于 S(x) 是奇函數(shù),于是 S(- 1) = -S( )1.22當(dāng) x = 1 時(shí), f (x) 連續(xù),由級(jí)數(shù)的收斂性定理, S(1) = f (1) = (1)2 = 1 .因此,2222411S (- ) = -.(B).2(5)【4】(C)】本題考查| A |= 0 的充分必要條件,而選項(xiàng)(A) 、(B)、(D)都是充分條件,并不必【要.因?yàn)閷?duì)矩陣 A 來說,行和列具有等價(jià)性,所以| A |= 0 的必要條件,但是不具有任意性,只需要列或者行滿足什么條件就了一列向量是其余列向量的線性組合.æ12 ö1A = ç123 ÷

20、 ,以 3 階矩陣為例,若ç÷ç14 ÷3èø條件(A)必有一列元素全為 0,(B)必有兩列元素對(duì)應(yīng)成比例均不成立,但有| A |= 0 ,所以(A)、(B)不滿足題意,不可選.æ13 ö2若 A = ç124 ÷ ,則| A |= 0 ,但第三列并不是其余兩列的線性組合,可見(D)不正確.ç÷ç15 ÷2èø這樣用排除法可知(C).三、(本題滿分 15 分,每小題 5 分.)¶z¶z(1)【】由于混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)條

21、件下與求導(dǎo)次序無關(guān),可以先求,也可以先求.¶x¶y¶z一：先求,由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法,¶xBorn to win¶z¶再對(duì) y 求偏導(dǎo),得¶2 zf ¢ ¶ (2x - y) + g¢(x) + g¢(xy) = 2 f ¢ + g¢ + yg¢ ,¶¶¶x12=(2 f ¢ + g¢ + yg¢ ) = 2 f ¢ ¶ (2x - y)¶12¶x¶y

22、¶y¶y+ é g ¢(x) + g ¢(xy)ù + é g¢ + yg ¢(x) + yg ¢(xy)ù¶¶¶¶êúêú11 ¶y12 ¶y221 ¶y22 ¶yëûëû= -2 f ¢ + g1¢1 × 0 + xg1¢2 + g2¢ + yg2¢1 ×

23、 0 + xyg2¢2= -2 f ¢ + xg2¢1 + g2¢ + xyg2¢2 .¶z二：先求,¶y¶z¶y= f ¢ ¶ (2x - y) + g¢(x) + g¢(xy) = - f ¢ + xg¢ ,¶¶1 ¶y2 ¶y2¶y再對(duì) x 求偏導(dǎo)數(shù),得¶2 z¶2 z¶=(- f ¢ + xg2 )¢=¶x¶y¶

24、;y¶x¶x= - f ¢ ¶ 2x - y) + g¢ + xg ¢(x) + xg ¢(xy)¶¶¶= -2 f ¢ + g2¢ + xg2¢1 + xyg2¢2 .¶x22 ¶x復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：若u = u(x, y) 和v = v(x, y) 在點(diǎn)(x, y) 處偏導(dǎo)數(shù),函數(shù) z = f (u, v) 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u, v) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù) z = f u(x, y), v(x, y) 在點(diǎn)(x, y) 處的偏導(dǎo)數(shù),

25、且¶z¶f ¶u¶f ¶v ¶z¶f ¶u¶f ¶v¶x = ¶u ¶x + ¶v ¶x , ¶y = ¶u ¶y + ¶v ¶y .】一：先求出j(x) ,再求曲線積分.(2)【設(shè) P(x, y), Q(x, y) 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),在所給的單連通區(qū)域 D 上, òL Pdx + Qdy 與路徑無關(guān),則在 D 上有¶Q = ¶P ,所以 yj¢(x) = 2x

26、y, 即 ¢() = x2 + C .由j (0) =0,得¶x¶y【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】BorntowinC = 0 ,即j(x) = x2 ,因此(1,1)òj(xI =xydx + y2(0,0)121= 1 .2(1,1)ò(1,1)=d (x y ) =(x y )2 22 22(0,0)( 0,0)或取特殊路徑如圖：11òòòI =xy dx + yxdy =0 dx +y 122200Lù1é 11= ê=.2y2 úë 2û0二：不必求出j(x)

27、,選取特殊的路徑,取積分路徑如圖,則(1,1)òI =xy dx + yj(x)dy2(0,0)1111òòj(0)dy +xdx = 0 +=.=y2200(3)【】利用三重積分的性質(zhì),W 關(guān)于 yz 平面對(duì)稱, x 對(duì) x 為奇函數(shù),所以 òòò xdV = 0 ,即òòò(x + z)dV = òòò zdV .WWW半徑為 1 的上半球面與頂點(diǎn)在、對(duì)稱軸為 z 軸、半頂角為 p 的錐面W 是由球心在4p所圍成.故可選用球坐標(biāo)變換,則W：0 £ q £

28、; 2p，0 £ j £，0 £ r £ 1,4I = òòò zdV = òòò r cosj × r 2 sinj所以WWp2pqc sj sinjdj00p1= p8= p é- 1 cos 2j ù 4 × é 1 r 4 ù.êëúû0 êë 4úû02四、(本題滿分 6 分.)【】直接展開 f (x) 相對(duì)比較麻煩,可 f ¢(x) 容

29、易展開,1×1-f ¢(x) =.1+ x1+ ()21- x1由= 1- t + t 2 -+ (-1)n t n,令t = x2 得1+ tBorn to win¥= ån=0 1 = 1= 1-x4 -+ (-1)n x2n +(-1)n x2n , (x2 < 1)1+ t1+ x2¥f ¢(|< 1)即1+ xn=0所以xòf (x) =f ¢(u)du +f (0) ,0(-1)n u2ndu + arctan 1+ 0 = p + 奥xåx

30、42;ò=(-n2n1)u du1- 0400n=0n=0px2n+1¥å=+(-1), (| x |< 1)2n +1n4n=0x2n+11+ x¥當(dāng) x = ±1 時(shí),式å(-1) 2n +1 均收斂,而左端 f (x) = arctan 1- x 在 x = 1 處無定義.nn=01+ xp¥(-1)nån=0f (arctan=+1- xx, x Î-1,1) .2n+1因此2n +14五、(本題滿分 7 分.)【】先將原式進(jìn)行等價(jià)變換,再求導(dǎo),試著發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,xxòò

31、;òsin x -(x - t) f (t)dt = sin x - xf (t)dt +tf (t)dt ,f (000所給方程是含有未知函數(shù)及其積分的方程,兩邊求導(dǎo),得xxòò¢f (x) = cos x -f (t)dt - xf (x) + xf (x) = cos x -f (t)dt再求導(dǎo),得,00f ¢¢(x) = -sin x - f (x) ,即f ¢¢(x) + f (x) = -sin x .系數(shù)非齊次線性微分方程,對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2 +1 = 0 ,這是個(gè)簡單的此特征方程的根為

32、r = ±i ,而右邊的sin x 可看作ea x sin b x , a ± ib = ±i 為特征根,因此非齊次方程有特解Y = xa sin x + xb cos x .代入方程并比較系數(shù),得a = 0, b =,故Y =cos x ,所以1x22xf (x) = c1 cos x + c2 sin x + 2 cos x ,又因?yàn)?f (0) = 0, f ¢(0) = 1 ,所以c = 0, c = 1 ,即 f (.12222Born to win六、(本題滿分 7 分.)一：判定方程 f (x) = 0 等價(jià)于判定函數(shù) y = f (x)

33、與 x 的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【】f (dx ,令e0p其中ò01- cos 2xdx 是定積分,為常數(shù),且被積函數(shù)1- cos 2x 在(0,p ) 非負(fù),故1- cos 2xdx > 0 ,為簡化計(jì)算,令1- cos 2xdx = k > 0 ,即 f (x) = ln x - x + k ,ppòòe00則其導(dǎo)數(shù) f ¢(x) = 1 - 1 ,令f ¢(x) = 0 解得唯一駐點(diǎn) x = e ,xef ¢(x) > 0, 0 < x < e¢ìí即,f (x) < 0,

34、e < x < +¥îee所以 x = e 是最大點(diǎn),最大值為 f (e) = ln e -+ k = k > 0 .ì lim f (x) = lim(ln x - x + k) = -¥ï x®0+x®0+e,由連續(xù)函數(shù)的介值定理知在(0, e) 與(e, +¥)又因?yàn)?#237;xï lim f (x) = lim (ln x -+ k) = -¥ïîx®+¥ex®+¥dx 在(0, +¥) 有且僅有兩

35、個(gè)各有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(不相同),故方程lne0不同實(shí)根.ppòò1- cos 2xdx =sin2 xdx ,二：00因?yàn)楫?dāng)0 £ x £ p 時(shí), sin x ³ 0 ,所以ppòò2 sin2 xdx =2si,00其它同一.七、(本題滿分 6 分.)【】對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換.第一行分別乘以有(-4) 、(-6) 加到第二行和第三行上,再第二行乘以(-1) 加到第三行上, 有01læ 1çèöl + 2 ÷ ®.÷l + 3÷

36、48;由于方程組有解的充要條件是 r( A) = r( A) ,故僅當(dāng)-l +1 = 0 ,即l = 1 時(shí),方程組有解.此時(shí)秩 r(A) = r(A) = 2 < n = 3 ,符合定理的第二種情況,故方程組有無窮多解.Born to win+ x3= 1,ìx1令 x = t, 解得原方程組的通解íî由同解方程組x - 2x = -1,323ìx1 = -t +1,ïx= 2t -1,= t,(其中t 為任意常數(shù)).í2ïxî3【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.非齊次線性方程組有解的判定定理：設(shè) A 是 m´n

37、 矩性方程組 Ax = b 有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣 A = ( A b) 的秩,即是 r( A) = r( A) (或者說, b 可由 A 的列向量a1,a2 ,an 線表出,亦等同于a1,a2 ,an 與a1,a2 ,an , b 是等價(jià)向量組)設(shè) A 是 m´n 矩性方程組 Ax = b ,則Ûr(A) = r(A) = n.（1）有唯一解有無窮多解Ûr(A) = r(A) < n.（2）Ûr( A) +1 = r( A).（3）無解Ûb 不能由 A 的列向量a1,a2 ,an 線表出.八、(本題滿分 8 分.)

38、【】(1)由l 為 A 的特征值可知,非零向量a 使 Aa = la ,兩端左乘 A-1 ,得a = l A-1a .因?yàn)閍 ¹ 0 ,故l ¹ 0 ,于是有 A-1a = 1 a .按特征值定義知 1 是 A-1 的特征ll值.A*A*1| A |a =a Þ A a =a ,按特征值定(2)由于逆矩陣的定義 A=,據(jù)第(1)問有| A |-1*| A |ll| A |義,即為伴隨矩陣 A* 的特征值.l【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】矩陣特征值與特征向量的定義：設(shè) A 是n 階矩陣,若數(shù)l 及非零的n 維= l X成立,則稱l 是矩陣 A 的特征值,稱非零向量 X 是矩陣 A

39、的特征列向量 X 使得 AX向量.九、(本題滿分 9 分.)【】由球的對(duì)稱性,不妨設(shè)球面å 的球心是(0, 0, a) ,于是å 的方程是 x2 + y2 + (z - a)2 = R2 .Borntowin先求å 與球面 x2 + y2 + z2 = a2 的交線G ：ìïx2 + y2 + (z - a)2 = R2 ,2a2 - R2Þ z =í.x + y + z = a ,22222aïîR4代入上式得G 的方程x + y = R -.2224a2ìR4+ y = b , b = R

40、-(0 < R < 2a),4a2ïx22222它在平面 xOy 上的投影曲線íïîz = 0,相應(yīng)的在平面 xOy 上圍成區(qū)域設(shè)為 Dxy ,則球面å 在定球面內(nèi)部的那部分面積òòDxy1+ z¢2 + z¢2dxdy .S (R) =xy將å 的方程兩邊分別對(duì) x, y 求偏導(dǎo)得¶zx¶zy¶x = - z - a , ¶y = - z - a ,xyòòDxyòò所以S (R) =1+ z¢

41、;2+ z¢2dxdy =1+ ()2 + ()2 dxdyxya - za - zDxy1+ ( x )2 + ( y )2 dxdy = òòRdxdy .= òòxya - za - zR2 - x2 - y2DDxy利用極坐標(biāo)變換(0 £ q £ 2p , 0 £ r £ b) 有 RrR2 - r 2S(R) = òòRdxdy2pbòòqd rd極坐標(biāo)變換R2 - x2 - y200DxyR2 1R2 - r 22pbòò= -qd (R - r )22d00= 2p R(- R2 - r 2 )= 2p R(- R2 - b2 + R)b0p R3R44a2= R -,化簡得 S(R) = 2p R-222代入b.a這是一個(gè)關(guān)于 R 的函數(shù),求 S(R) 在(0, 2a) 的最大值點(diǎn), S(R) 兩邊對(duì) R 求導(dǎo),并令Born to win3p R24aS (R) = 0 ,得 S (R) = 4p R -¢¢= 0 ,得 R =.3aì S¢(R) > 0, 0 < R < 4 aï3í且