材料力學(xué)扭轉(zhuǎn)詳細(xì)講解和題目非常好

1、例如圖6-1這種形式的變形稱為扭轉(zhuǎn)變形（見圖6-4 ）。以扭轉(zhuǎn)變形為主的直桿件稱為軸。若桿件的截面為圓形的軸稱為圓軸。圖6 4扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)是桿件變形的一種基本形式。 在工程實際中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的桿件也是比較多的， 所示汽車方向盤的操縱桿，兩端分別受到駕駛員作用于方向盤上的外力偶和轉(zhuǎn)向器的反力偶的作用；圖6-2所示為水輪機(jī)與發(fā)電機(jī)的連接主軸，兩端分別受到由水作用于葉片的主動力偶和發(fā)電機(jī)的反力偶的作用；圖6-3所示為機(jī)器中的傳動軸，它也同樣受主動力偶和反力偶的作用，使軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。這些實例的共同特點(diǎn)是：在桿件的兩端作用兩個大小相等、方向相反、且作用平面與桿件軸線垂直 的力偶，使桿件的任意兩個

2、截面都發(fā)生繞桿件軸線的相對轉(zhuǎn)動。扭矩和扭矩圖以通過將外力向軸線簡化得到，但是， 遞的功率和軸的轉(zhuǎn)速求得。它們的關(guān)系(6-1 )的扭矩，可假想地將桿沿截面 左端。由平衡條件m-m切開分成兩段，考察其中任一部分的平衡，例如圖6-5 （b）中所示的6.2.1 外力偶矩作用在軸上的外力偶矩，可 在多數(shù)情況下，則是通過軸所傳 式為P 9550 n其中：M外力偶矩（NI - m ）;P 軸所傳遞的功率（KW;n軸的轉(zhuǎn)速（r/min）。外力偶的方向可根據(jù)下列原則確定：輸入的力偶矩若為主動力矩則與軸的轉(zhuǎn)動方向相同；輸入的力偶矩 若為被動力矩則與軸的轉(zhuǎn)動方向相反。6.2.2 扭矩圓軸在外力偶的作用下，其橫截面上

3、將產(chǎn)生連續(xù)分布內(nèi)力。根據(jù)截面法，這一分布內(nèi)力應(yīng)組成一作 用在橫截面內(nèi)的合力偶，從而與作用在垂直于軸線平面內(nèi)的外力偶相平衡。由分布內(nèi)力組成的合力偶的 力偶矩，稱為扭矩，用 M n表示。扭矩的量綱和外力偶矩的量綱相同，均為當(dāng)作用在軸上的外力偶矩確定之后，應(yīng)用截面法可以很方便地求得軸上的各橫截面內(nèi)的扭矩。如圖6-5 （a）所示的桿，在其兩端有一對大小相等、轉(zhuǎn)向相反，其矩為M的外力偶作用。為求桿任一截面 m-m可得圖6 5注意，在上面的計算中，我們是以桿的左段位脫離體。如果改以桿的右端為脫離體，則在同一橫截 面上所求得的扭矩與上面求得的扭矩在數(shù)值上完全相同，但轉(zhuǎn)向卻恰恰相 反。為了使從左段桿和右段桿求

4、得的扭矩不僅有相同的數(shù)值而且有相同的 正負(fù)號，我們對扭矩的正負(fù)號根據(jù)桿的變形情況作如下規(guī)定：把扭矩當(dāng)矢 量，即用右手的四指表示扭矩的旋轉(zhuǎn)方向，則右手的大拇指所表示的方向 即為扭矩的矢量方向。如果扭矩的矢量方向和截面外向法線的方向相同，則扭矩為正扭矩，否則為負(fù)扭矩。這種用右手確定扭矩正負(fù)號的方法叫做右手螺旋法則。如圖6-6所示。按照這一規(guī)定，園軸上同一截面的扭矩（左與右）便具有相同的正負(fù)號。應(yīng)用截面法求扭矩時，一 般都采用設(shè)正法，即先假設(shè)截面上的扭矩為正，若計算所得的符號為負(fù)號則說明扭矩轉(zhuǎn)向與假設(shè)方向相 反。當(dāng)一根軸同時受到三個或三個以上外力偶矩作用時，其各 圖6-6 扭矩正負(fù)號規(guī)定段橫斷面上的

5、扭矩須分段應(yīng)用截面法計算。6.2.3 扭矩圖為了形象地表達(dá)扭矩沿桿長的變化情況和找出桿上最大扭矩所在的橫截面，我們通常把扭矩隨截面 位置的變化繪成圖形。此圖稱為扭矩圖。繪制扭矩圖時，先按照選定的比例尺，以受扭桿橫截面沿桿軸 線的位置x為橫坐標(biāo)，以橫截面上的扭矩M n為縱坐標(biāo)，建立M n x直角坐標(biāo)系。然后將各段截面上的扭矩畫在Mn x坐標(biāo)系中。繪圖時一般規(guī)定將正號的扭矩畫在橫坐標(biāo)軸的上側(cè)，將負(fù)號的扭矩畫在橫坐標(biāo)軸的下側(cè)。例6-1 傳遞功率的等截面圓軸轉(zhuǎn)速n=120rpm,軸上各有一個功率輸入輪和輸出輪。已知該軸承受的扭矩M n 450 N m,求：軸所傳遞的功率數(shù)。解：因為等截面圓軸上只有兩個

6、外力偶作用，且大小相等、方向相反（輸入和輸出功率相等），故軸所承受的扭矩大小等于外力偶矩，即M= M n =1450M Mn 1450 N mP根據(jù)（6-1 ）式， M 9550 n由此求得軸所傳遞的功率為18.2kNp M n 1450 12095509550例6-2 傳動軸如圖6-7所示，已知主動輪的輸入功率 P 20 KW三個從動輪的輸出功率 P25 KWP3 5 KWA P4 10 KW,軸的轉(zhuǎn)速n 200 rpm。繪制軸的扭矩圖。圖6 7解：1 ）計算作用在主動輪上的外力偶矩Mi和從動輪上的外力偶矩 M2、M3、M4。955 N mR20Mi 9550 9550 - n2002)M

7、2 9550 9550 n200M3 9550 9550 n200P410M 4 9550 9550 - n200求各段截面上的扭矩。截面1-1上的扭矩，由平衡方程解得Mn1 M 2239 N m截面2-2上的扭矩，由平衡方程得Mn2 M 2 M 3239n 223截面3-3上的扭矩，由平衡方程M 0M4 Mn34113M n3M4478 N m11 34239 N- m239 N m478 N m2394780 M4 M3=03）畫扭矩圖根據(jù)所得數(shù)據(jù)，把各截面上的扭矩沿軸線的變化情況，畫在Mnx坐標(biāo)系中，如圖 6-7所示。從圖中看出，最大扭矩發(fā)生于BC段和CD內(nèi)，且M max 478 N m

8、對同一根軸來說，若把主動輪C安置于軸的一端，例如放在右端，則軸的扭矩圖將發(fā)生變化。 這時， 軸的最大扭矩變?yōu)椋篗 max 955 NI-也可見，傳動軸上主動輪和從動輪安置的位置不同，軸所承受的最大扭矩也就不同。因此主動輪和從動輪的布局要盡量合理。扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強(qiáng)度計算6.3.1 圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力為了說明圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力及其分布規(guī)律，我們可進(jìn)行一次扭轉(zhuǎn)試驗。取一實心圓桿，在 其表面上畫一系列與軸線平行的縱線和一系列表示圓軸橫截面的圓環(huán)線，將圓軸的表面劃分為許多的小 矩形，如圖6-8所示。若在圓軸的兩端加上一對大小相等、轉(zhuǎn)向相反、其矩為 M的外力偶，使園軸發(fā)生 扭轉(zhuǎn)變形。當(dāng)扭轉(zhuǎn)變形

9、很小時，我們就可以觀察到如圖6-8（b）所示的變形情況：（1）雖然圓軸變形后，所有與軸線平行的縱向線都被扭成螺旋線，但對于整個圓軸而言， 它的尺寸和形狀基本上沒有變動；（2）原來畫好的圓環(huán)線仍然保持為垂直于軸線的圓環(huán)線，各圓環(huán)線的間距也沒有改變，各圓環(huán)線所代表的橫 截面都好像是“剛性圓盤” 一樣，只是在自己原有的平面內(nèi)繞軸線旋轉(zhuǎn)了一個角度；（3）各縱向線都傾斜了相同的角度，原來軸上的小方格變成平行四邊形。圖6 8根據(jù)從試驗觀察到的這些現(xiàn)象，可以假設(shè)：在變形微小的情況下，軸在扭轉(zhuǎn)變形時，軸長沒有改變；每個截面都發(fā)生對其它橫截面的相對轉(zhuǎn)動，但是仍保持為平面，其大小、形狀都不改變。這個假設(shè)就是圓軸扭

10、轉(zhuǎn)時的平面假設(shè)（或稱剛性平面假設(shè)）。根據(jù)平面假設(shè)，可得如下結(jié)論：（1）因為各截面的間距均保持不變，故橫截面上沒有正應(yīng)力；（2）由于各截面繞軸線相對轉(zhuǎn)過一個角度，即橫截面間發(fā)生了旋轉(zhuǎn)式的相對錯動，出現(xiàn)了剪切變形，故橫截 面上有切應(yīng)力存在；（3）因半徑長度不變，切應(yīng)力方向必與半徑垂直；（4）圓心處變形為零，圓軸表面的變形最大。綜上所述，圓軸在扭轉(zhuǎn)時其橫截面上各點(diǎn)的切應(yīng)變與該點(diǎn)至截面形心的距離成正比，由剪切胡克定 律，橫截面上必有與半徑垂直并呈線性分布的切應(yīng)力存在（見圖6-9）,故有 k 。圖6 9扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的計算如圖 6-9所示，在圓軸橫截面各微面積上的微剪力對圓心的力矩的總和必須與扭矩M n相等

11、。因微面積dA上的微剪力dA對圓心的力矩為dA ,故整個橫截面上所有微力矩之和為dA,故有AM n dA K2dA（6-2）AA將I2 dA定義為極慣性矩，則由此得Mn /I（6-3）顯然，當(dāng) 0時， 0;當(dāng) R時，切應(yīng)力最大。令WnI /d ,則式(6-3 )為maxWn其中，Wn抗扭截面系數(shù)。注意： 式(6-3)及式(6-4)均以平面假設(shè)為基礎(chǔ)推導(dǎo)而得，故只能限定圓軸的max不超過材料的比例極限時方可應(yīng)用。6.3.2 極慣性矩I和抗扭截面系數(shù)Wn1、實心圓軸截面設(shè)圓軸的直徑為d ,在截面任一半徑r處，取寬度為 dr的圓環(huán)作為微元面積。此微元面積dA 2 r dr,如圖6-10所示。圖6 1

12、0根據(jù)極慣性矩的定義I 2dA ,得到2.抗扭截面系數(shù)空心圓軸截面AIWn.d 2160.2d3(6-5)設(shè)空心圓軸截面的內(nèi)、外經(jīng)分別為d和D。微元面積仍為 dA 2 r dr ,只是積分的下限由 變?yōu)閐 ,于是得到2或?qū)懗善渲袨閮?nèi)、外徑之比，即 D4)(6-6 )I D3抗扭截面系數(shù)Wn (1D2 166.3.3 圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度計算為了保證受扭圓軸安全可靠地工作，必須使軸橫截面上的最大切應(yīng)力不超過材料的許用切應(yīng)力，即max(6-7)此即圓軸扭轉(zhuǎn)時的“強(qiáng)度計算準(zhǔn)則”，又稱為“扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件”。對于等截面圓軸，切應(yīng)力的最大值由下式確定：這時最大扭矩 Mmax作用的截面稱為危險面。對于階梯軸，由于各段

13、軸的抗扭截面系數(shù)不同，最大扭矩作 用面不一定是危險面。這時，需要綜合考慮扭矩與抗扭截面系數(shù)的大小，判斷可能產(chǎn)生最大切應(yīng)力的危險面。所以在進(jìn)行扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度計算時，必須畫出扭矩圖。根據(jù)扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件，可解決以下三類強(qiáng)度問題：(1)扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度校核。已知軸的橫截面尺寸，軸上所受的外力偶矩(或傳遞的功率和轉(zhuǎn)速)，及材料的扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力。校核構(gòu)件能否安全工作。(2)圓軸截面尺寸設(shè)計。已知軸所承受的外力偶矩(或傳遞的功率)，以及材料的扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力。圓軸的截面尺寸應(yīng)滿足Wn > M-( 6-8)n r(3) 確定圓軸的許可載荷。已知圓軸的截面尺寸和材料的扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力，得到軸所承受的扭矩Wn（6-9）再根據(jù)軸

14、上外力偶的作用情況，確定軸上所承受的許可載荷（或傳遞功率）。例6-3 已知實心圓軸，承受的最大扭矩為M max 1.5 KN m,軸的直徑d1 53 mm,求：1）在最大切應(yīng)力相同的條件下，用空心圓軸代替實心圓軸，當(dāng)空心軸外經(jīng)D2=90mm時的內(nèi)徑值；2 ）兩軸的重量之比。解：（1）求實心軸橫截面上的最大切應(yīng)力實心軸橫截面上的最大切應(yīng)力為Mmax 16Mmax =16 1.5 106 _max3=3=Wnd3冗 533（2）求空心軸的內(nèi)徑因為兩軸的最大切應(yīng)力相等，故max（空）max（實）51.3MPa16Mmaxmax（空）_ 34D2（1）51.3 MPa由此解得16 1.5 106903

15、 51.30.945因此，空心軸的內(nèi)徑 d2D2 0.945 90 85.1 mm（3）求兩軸的重量比因為兩軸的長度和材料都相同，故兩者的重量之比等于面積之比，即可見，在保證最大切應(yīng)力相同的條件下，空心軸的重量比實心軸輕得多。顯然，采用空心軸能減輕構(gòu) 件的重量、節(jié)省材料，因而更為合理?？招妮S的這種優(yōu)點(diǎn)在于圓軸受扭時，橫截面上的切應(yīng)力沿半徑方向線性分布的特點(diǎn)所決定的。由于 圓軸截面中心區(qū)域切應(yīng)力很小，當(dāng)截面邊緣上各點(diǎn)的應(yīng)力達(dá)到扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力時，中心區(qū)域各點(diǎn)的切應(yīng) 力卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力值。因此，這部分材料沒有得到充分利用。若把軸心附近的材料向邊緣移 動，使其成為空心軸，則截面的極慣性矩和抗扭

16、截面系數(shù)將會有較大增加，使截面上的切應(yīng)力分布趨于 均勻。并由此而減小最大切應(yīng)力的數(shù)值，提高圓軸的承載能力。但其加工工藝較復(fù)雜，成本較高。扭轉(zhuǎn)變形工程設(shè)計中，對于承受扭轉(zhuǎn)變形的圓軸，除了要求足夠的強(qiáng)度外，還要求有足夠的剛度。即要求軸在彈性范圍內(nèi)的扭轉(zhuǎn)變形不能超過一定的限度。例如，車床結(jié)構(gòu)中的傳動絲杠， 其相對扭轉(zhuǎn)角不能太大,否則將會影響車刀進(jìn)給動作的準(zhǔn)確性，降低加工的精度。又如，發(fā)動機(jī)中控制氣門動作的凸輪軸，如果 相對扭轉(zhuǎn)角過大，會影響氣門啟閉時間等等。對某些重要的軸或者傳動精度要求較高的軸，均要進(jìn)行扭轉(zhuǎn)變形計算。圓軸扭轉(zhuǎn)時兩個橫截面相對MnlGI轉(zhuǎn)動的角度 即為圓軸的扭轉(zhuǎn)變形，稱為扭轉(zhuǎn)角。由數(shù)

17、學(xué)推導(dǎo)可得扭轉(zhuǎn)角的計算公式為（6-10）其中扭轉(zhuǎn)角（rad ）;Mn某段軸的扭矩（ n m）相應(yīng)兩橫界面間的距離（m）；-軸材料的切變量模量（GPa ；橫截面間的極慣性矩（4、m);,并用度/米（0/m）單位表示，則上式為M n 180 l gT 一/m(6-11 )不同用途的傳動軸對于值的大小有不同的限制，即 <。手冊），對其進(jìn)行的計算稱為扭轉(zhuǎn)剛度計算。稱為許用單位長度扭轉(zhuǎn)角（可查有關(guān)例6-4 圖示階梯圓軸，已知AB段直徑D175mm,BC段直徑D2 50 mm ； A輪輸入功率P 35 KW,C輪的輸出功率P315KW,軸的車t速為n 200 rpm,軸材料的G80 GPa60 MP

18、a軸的=2°/m= 1）試求該軸的強(qiáng)度和剛度。2）如果強(qiáng)度和剛度都有富裕，試分析，在不改變率的前提下， A論的輸入功率可以增加到多大？圖 6-11C輪輸出功解1 ）校核軸的強(qiáng)度和剛度（1）計算外力偶矩M1P1n352001671N -M33P315x200有力偶平衡條件M2M1m33式中的GI反映了材料及軸的截面形狀和尺寸對彈性扭轉(zhuǎn)變形的影響，稱為圓軸的“抗扭剛度”扭剛度GI越大，相對扭轉(zhuǎn)角就越小。為了消除軸的長度對變形的影響，引入單位長度的扭轉(zhuǎn)角（2）應(yīng)用截面法計算各段的扭矩并畫扭矩圖AB段Mn1 MiBC段Mn3 M3kN m由此畫出扭矩圖,如 6-11圖所示。（3）計算應(yīng)力，校

19、核強(qiáng)度?？?BC段直徑最小。因而不能直接確定最大切應(yīng)從扭矩圖看， AB段扭矩最大；從截面尺寸 力發(fā)生在哪一段截面上。比較兩端內(nèi)的最大切應(yīng)力：AB段BC段Mn1Wn1Mn267 廿 20.2 MPa167530.71816J01 29.2 MPa 50360MPa全軸內(nèi)橫截面上的最大切應(yīng)力為： 所以，軸的強(qiáng)度滿足要求。(4)計算扭轉(zhuǎn)角，校核剛度。根據(jù)軸的單位長度扭轉(zhuǎn)角匹，由于AB和BC段的扭矩和截面都不相同，故需分 GI段計算，找出maxAB段Mn1GI 118001031.67 106 1800 103380 100.39°/mBC段Mn2gT71800 1030.716因max/m

20、<321067540180100.840 / m34480 103504 冗32所以軸的剛度滿足要求。力偶矩，由此即可求得 根據(jù)強(qiáng)度條件M n 1 max根據(jù)剛度條件M n 1 maxM n1 max2)計算A輪的最大輸入功率因為C輪的輸入功率不變，即 BC段的扭矩不變。所以，這段軸的強(qiáng)度和剛度都是安全的，故只需根據(jù)AB段的強(qiáng)度和剛度條件確定這段軸所能承受的最大扭矩。而這段軸的扭矩等于作用在A輪上的外A輪上所能輸入的最大功率。Wn1 60 一 753 4.97kN m16GI 1 2 ? 80 103 754 8.7 kN - m180 10332考慮到既要滿足強(qiáng)度要求又要滿足剛度要求，故取兩者中的較小者，即輪的輸入功率小結(jié)本章主要介紹了圓軸扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力扭矩的計算和圓軸在力偶作用面垂直于軸線的平衡力偶作用下產(chǎn) 生的扭轉(zhuǎn)變形。(1)作用在軸上的外力偶矩，通過軸所傳遞的功率和軸的轉(zhuǎn)速求得。它們的關(guān)系式為(2)用截面法求圓軸的內(nèi)力偶矩，利用力系的平衡條件列出方程求解。各截面的內(nèi)力偶矩的方向 有右手螺旋法則來確定。然后繪出圓軸扭矩圖。(3)圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力，在圓軸橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力與該點(diǎn)到圓心的距離成正比,在圓心處為零。最大切應(yīng)力發(fā)生在圓軸邊緣各點(diǎn)處。距圓心 處