橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)

1、課題：2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)目標(biāo)：1 .掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程.2 .會(huì)用坐標(biāo)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，理解坐標(biāo)法的基本思想3 .體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.重點(diǎn)：掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，理解坐標(biāo)法的基本思想難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡(jiǎn)，坐標(biāo)法的應(yīng)用教學(xué)過程：師：大家來看動(dòng)畫，請(qǐng)說明，用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，截口曲線（截面與圓錐側(cè)面的交線）是什么圖形？如果改變平面與圓錐軸線的夾角，會(huì)得到什么圖形？生：觀看動(dòng)畫，然后得到圓錐曲線的感性認(rèn)識(shí)。師：今天我們就先講 2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（引出課題并板書）一、橢圓定義師：生活中，存在著許許多多的橢圓，請(qǐng)你舉幾個(gè)生活中的橢圓例子生：舉例回答

2、.師：我們?nèi)绾萎嫵鰴E圓？現(xiàn)在大家動(dòng)手來做一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（3人1組），做完實(shí)驗(yàn)后回答問題.步驟（1）取一條定長的細(xì)繩；步驟（2）把細(xì)繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點(diǎn)處；一二二步驟（3）套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，畫出軌跡.師出示問題1:畫出的軌跡是什么曲線？軌跡上的點(diǎn)滿足什么幾何條件？師展示幾個(gè)小組的成果，大部分小組畫出來的是橢圓師出示問題2:如何給橢圓下定義？ 生：回答.平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于IF1F2I）的點(diǎn)的軌跡叫做 橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的 焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的 焦距.（此處，若學(xué)生回答不完整， 則其它學(xué)生補(bǔ)充，師演示及時(shí)補(bǔ)充完整.此處

3、強(qiáng)調(diào)三個(gè)方面（1） 平面內(nèi)；（2）到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)；（3）常數(shù)大于IF1F2I，若常數(shù)等于IF1F2I 或小于I F1F2 I的情況，師可演示，讓學(xué)生說出結(jié)論 .）師出示練習(xí)：已知F1，F(xiàn)2是定點(diǎn)，F(xiàn)1F2 = 8,點(diǎn)M滿足MF1 + MF2 = 8 ,則點(diǎn)M的軌跡是A橢圓 B 直線 C 圓 D 線段二、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程師：我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了橢圓，若要研究它的性質(zhì)，你有什么好的辦法？ 生：思考回答.（生若回答不好，師補(bǔ)充說明，建立橢圓的方程，通過方程研究橢圓的性質(zhì)，這就是坐標(biāo)法的思想，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想)師出示問題3:觀察橢圓的幾何特征，如何選擇坐標(biāo)系才能使橢圓的方程簡(jiǎn)單？生：思

4、考回答.使盡可能多的點(diǎn)或線落在坐標(biāo)軸上，原點(diǎn)取在定點(diǎn)或定線段的中點(diǎn)，坐標(biāo)軸取在定直線上或圖形的對(duì)稱軸上 .師生一起選定平面直角坐標(biāo)系 .(1) (2)生：以第(2)種情況為例，即以經(jīng)過橢圓兩焦點(diǎn)Fi, F 2的直線為y軸，線段F1F2的垂直平分線x軸，建立平面直角坐標(biāo)系 xOy ,求橢圓的方程.師：巡視，查看學(xué)生出現(xiàn)的問題，隨時(shí)指導(dǎo).(學(xué)生可能出現(xiàn)的問題：1 .不知設(shè)F1F2 = 2c,尤其不知設(shè) MFi + MF2 = 2a,此時(shí)，師可適當(dāng)引導(dǎo)；2 .不知如何化簡(jiǎn)弋X +(y-cf+%；x2+(y+c)2= 2a ，師及時(shí)點(diǎn)撥.)師：如何化簡(jiǎn) Mx2 + (y - c)2 + x2 + (y

5、 + c? = 2a ?生：回答.師：(1)方程中只有一個(gè)根式時(shí)，把根式單獨(dú)留在方程的一邊，把其它各項(xiàng)移到另一邊；(2)方程中有兩個(gè)根式時(shí)， 需將它們分散，放在方程的兩邊，使其中一邊只有一個(gè)根式2222 2222、生：化簡(jiǎn)得出(a - c )y + a x = a (a - c )師：上式是橢圓的方程嗎？生：思考回答(由于在方程的化簡(jiǎn)過程中每一步都是等價(jià)變形，因此方程是橢圓的方程.)師：上述方程就是橢圓的方程，現(xiàn)在我們可以把方程兩邊同除以a2(a2 - c2),22得 22 + -22 = 1 .a a - c師：因?yàn)閍2 - c2 0 ,所以令b = J a2 - c2 ,則式變?yōu)?24 =

6、1(ab0)a2 b2問題4：你能從圖中找出表示a、c、va2 - c2的線段么?師：變形為上述方程的優(yōu)點(diǎn)：1 .橢圓方程類似于直線的截距式方程，形式上對(duì)稱；2 .方程中的a、b、c有明確的意義，便于研究橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)22、一 Vx師：方程一2 + 2 = 1 (ab0)叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，此時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，F(xiàn)i(0,- c), abF 2(0, c),這里，c2= a2- b2師出示 問題5:如果以經(jīng)過橢圓兩焦點(diǎn) Fi, F 2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線y軸，建立平面直角坐標(biāo)系 xOy , a、b、c的意義同上，那么橢圓的方程是什么？ 22生：)方=1 (a b 0)

7、a b2 x222師：我們把匕+萬=1, x7+A=1(ab 0)都叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 a ba b師：現(xiàn)在我們對(duì)這兩個(gè)方程做一下比較 填表.(學(xué)生討論回答，教師多媒體出示)不標(biāo)準(zhǔn)方程2士+=l(ab0a bIT -b 二 a if同圖形點(diǎn)焦點(diǎn)坐標(biāo)共定義同a、b、c的關(guān)系點(diǎn)焦點(diǎn)位置的判定22(師強(qiáng)調(diào)焦點(diǎn)位置的確定，x , y中哪個(gè)的分母大，焦點(diǎn)就在其對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上.) 練習(xí)：你說出一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，請(qǐng)同位說出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)，、，一 ，3 5、例1已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,-2), (0,2),并且經(jīng)過點(diǎn)(-2,求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.學(xué)生板演.22解1：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方

8、程為 4 + 3 = 1(a b 0)a b由橢圓的定義知22222a -pTXZT +心 12+但_2)=2”而 卜 2)12) 2J 12)所以a = ,10 .又因?yàn)?c = 2,所以 b2 = a2 - c2 = 10 - 4 = 6.22y x 因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 10 + -6 = 1.解2:因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為又因?yàn)榻裹c(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-2), (0,2)，所以c = 2.2+ 2 = 1(a b 0) b所以 a2 - b2 = 4( 1)(-又一3)222a5 2(2)2+ 上丁 = 1 (2) b2聯(lián)立(1) (2)解得 a2 = 10, b26.22y x因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)萬程為布+至=1.規(guī)律總結(jié)：求橢圓方程(1)定義法(多與焦點(diǎn)有關(guān))；(2)待定系數(shù)法三、鞏固練習(xí)、深化提高練習(xí)：1 .如果點(diǎn)M(x, y)在運(yùn)動(dòng)過程中，總滿足關(guān)系式x2+(y+3f +；x2+(y3f =10.點(diǎn)M的軌跡是什么曲線？為什么？寫出它的方程 .2 22 .已知Fi、F2是橢圓 a+乙=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過 Fi的直線交橢圓于 M、N兩點(diǎn)，若259MFi = 3,則MF2 =,三角形MNF2的周長為.3 .已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是Fi(2,0)、F2(2,0),且過P(2,3)點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程四、反思小