暑假平面幾何講義四點(diǎn)共圓教師版要點(diǎn)

1、四點(diǎn)共圓文武光華數(shù)學(xué)工作室 潘成華平面幾何中證四點(diǎn)共圓的幾個(gè)基本方法方法一：平面上有四點(diǎn),若,則四點(diǎn)共圓方法二 線段交于,若,則四點(diǎn)共圓方法三 線段交于,若,則四點(diǎn)共圓方法四：若四邊形,，則四點(diǎn)共圓方法四、已知 是內(nèi)角或外角平分線，,且,則四點(diǎn)共圓證明 設(shè),因?yàn)?所以，所以，內(nèi)角時(shí),外角時(shí)，所以四點(diǎn)共圓托勒密定理：Tolemy(托勒密定理）若四邊形ABCD是圓O內(nèi)接四邊形,則ADBC+ABCD=ACBD證明 在AC上取點(diǎn)E,使EDC=ADB,因?yàn)锳BD=ACD,所以ABDEDC,ADEBDC，于是(AB/CE)=(DB/DC),(AD/AE)=(DB/BC),于是ADBC+ABDC=AEBD+

2、BDCE=ACBD例1、已知 點(diǎn)在內(nèi)，,.求證.證明(一)（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）作關(guān)于對(duì)稱點(diǎn),易知, ,于是,所以,得到,進(jìn)而.證明（二）作外接圓交延長(zhǎng)線于,可知,得到,所以,得到,所以.例2、已知（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）是內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)在上，且,.則證明 先證明,過(guò)作垂線交分別于，直線交于,取中點(diǎn),易知四點(diǎn)共圓，四點(diǎn)共圓，所以(1),(是的內(nèi)角)，因?yàn)椋?于是,易知四點(diǎn)共圓，圓心是，,所以,進(jìn)而，得到是中垂線，所以，(1)得 下面我們證明，因?yàn)?兩式相除得,因?yàn)樗裕C明（二）在取,使得,所以,進(jìn)而得到,易知四點(diǎn)共圓，所以例3、葉中豪老師2013年國(guó)慶講義一幾何題我

3、的解答已知，是底邊上任一點(diǎn)，是形內(nèi)一點(diǎn)，滿足，。求證： 。證明作外接圓交分別于，易知,所以，所以 （1）,易知,進(jìn)而得到,所以（2）,易知四點(diǎn)共圓，所以,所以,所以,進(jìn)而根據(jù)（1）、（2）得到。例4、已知是銳角三角形，是邊上中線，是垂心，于點(diǎn)，求證四點(diǎn)共圓證明（一）：延長(zhǎng)到使得,易知四邊形是平行四邊形，因?yàn)椋?所以,得到，所以四點(diǎn)共圓證明（二）,所以是切線，所以,所以,得到,所以四點(diǎn)共圓第四題、第51屆波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克，1999例5、已知 在中，,點(diǎn)在內(nèi)部，點(diǎn)是中點(diǎn)，.求證 .證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）設(shè),因?yàn)?可知，可知,（1），,可知 得到（2），根據(jù)（1）、（2）得，即。證

4、明(二)（文武光華數(shù)學(xué)工作室 潘成華給出）延長(zhǎng)交以為圓心，為半徑的圓于,直線交于, ,因此 ,于是在上，,所以,可知,即,得證例6、已知 是邊中點(diǎn)，交外接圓于,過(guò)點(diǎn)作交于,在上取點(diǎn),使得.求證證明(一)（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）因?yàn)?點(diǎn)是中點(diǎn)，所以是調(diào)和四邊形，易知直線、過(guò)點(diǎn)切線共點(diǎn)，得到平分,因此是旁心，進(jìn)而.證明（二）因?yàn)?是邊中點(diǎn)，所以,得到,易知是等腰梯形，所以,根據(jù)托勒密定理可知,得到，,所以，所以,可知,取中點(diǎn),同理可得,所以與交點(diǎn)設(shè)為,則為中點(diǎn)，所以,于是證明（三）（田開(kāi)斌老師）作交于，所以,所以四點(diǎn)共圓，因?yàn)?所以例7、 已知是角平分線交于，外心分別是,求證證明易知，

5、,所以（1），又，于是，所以四點(diǎn)共圓，根據(jù)（1）得到證明（二）記三角，設(shè)直線交于，,同理·,所以，所以四點(diǎn)共圓得到例8、已知 、交于,四邊形是平行四邊形，在上，交于,直線交于.求證 四點(diǎn)共圓證明 延長(zhǎng)交于點(diǎn),連接，易知是等腰梯形，是等腰梯形，,所以四點(diǎn)共圓，因此五點(diǎn)共圓,進(jìn)而四點(diǎn)共圓例9、已知 分別是外心，內(nèi)心，求證的充要條件是,證明 延長(zhǎng)AI交圓O于D,根據(jù)托勒密定理，ABDC+ACBD=ADBC(1),因?yàn)镺IAI，所以AI=ID,由（1）得：（AB+AC)BD=BC2DI,因?yàn)锽ID=IBD,于是BD=DI,所以AB+AC=2BC此題，若O，I分別是ABC外心，內(nèi)心，AB+AC

6、=2BC，求證 OIAI證明方法是一樣的例10、為外接圓上一點(diǎn)，在上的射影為.點(diǎn)分別是中點(diǎn)。證明.證明 取中點(diǎn)，連接,易知，所以,所以,可知,所以第十題、已知 是邊中點(diǎn)，交外接圓于,過(guò)點(diǎn)作交于,在上取點(diǎn),使得.求證例11、已知（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華） 、外切于,弦切于,點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn),求證充要條件是.（2014 6 8 8：49于鎮(zhèn)江大港中學(xué)）證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）過(guò)作兩圓公切線交于,線段交于,等價(jià)于,等價(jià)于 ,因?yàn)?得到,因此，等價(jià)于,等價(jià)于,即例12、剛才看了一下2014年第5期中等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克問(wèn)題（高）383，不難，我把解答寫一下已知 是銳角的垂心，以

7、為直徑的圓交外接圓于,直線交于,直線交于,求證證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）設(shè)外接圓為,直線交于,所以共線，延長(zhǎng)交于點(diǎn),易知四點(diǎn)共圓，所以,所以,同理,所以是平行四邊形，得到是中點(diǎn)，連接交于,因?yàn)?可知共線，所以是中位線，得到平行且相等，所以是中點(diǎn)，可知例13、（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）設(shè)周長(zhǎng)為，求證的旁切圓與外接圓外切。（2014-6-12 8：56）證明 設(shè)的旁切圓切直線于,交外接圓于,直線 交的旁切圓于 ,所以,所以,所以點(diǎn)在外接圓外接圓上，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以點(diǎn)是兩圓的切點(diǎn)，即的旁切圓與外接圓外切。例14、于，是垂心，外心，交于，求證證明(一) 延長(zhǎng)交于,延長(zhǎng)交于,根據(jù)

8、蝴蝶定理可知,根據(jù)鴨爪定理可知,所以,等腰.證明（二）在取使得,所以,設(shè)交于,根據(jù)等角共軛點(diǎn)性質(zhì)，可知,又,可知四點(diǎn)共圓，可知例15、第47屆預(yù)選，2006年如圖，在梯形中，,點(diǎn)分別在線段上，且,分別在直線上，且,.求證 四點(diǎn)共圓證明（一） 因?yàn)?，易知共點(diǎn)，設(shè)為,設(shè)交圓于,因此是圓切線，,所以,所以,因此四點(diǎn)共圓證明 （二） （文武光華數(shù)學(xué)工作室 潘成華）因?yàn)?AK/KB)=(DL/LC),AB/CD,根據(jù)位似知識(shí)可知AD、QL、BC的延長(zhǎng)線共點(diǎn)，設(shè)為E,過(guò)點(diǎn)L作LX/AP交AD于X,作LY/PB交BC于Y,因此XY/AB,設(shè)XL、DQ交于S,LY、QC交于T,根據(jù)Menelaus定理可知(

9、XS/SL)=(XD/DE)*(EQ/LQ)=(YC/CE)*(EQ/LQ)=(YT/TL),于是ST/XY,SQT+SLT=DAB+ADC=180°,所以L、S、Q、T四點(diǎn)共圓，易知SQL=STL=XYL=ABP=180°-APB-BAP=180°-ADC-BAPDAP,進(jìn)而A,D,P,Q四點(diǎn)共圓例16、2012年西部數(shù)學(xué)奧林匹克幾何題已知 外心、垂心分別是、,于,中垂線交延長(zhǎng)線于.求證 外接圓過(guò)中點(diǎn).證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）取、中點(diǎn),根據(jù)歐拉定理可知,所以,所以,又易知,所以,因此是等腰梯形，可知四點(diǎn)共圓，因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，所以在外接圓上,即外接圓

10、過(guò)中點(diǎn).例17、已知兩同心圓，從大圓上一點(diǎn)作切小圓于,直線交大圓于.求證 證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）設(shè)兩圓圓心,延長(zhǎng)交分別交大圓于,所以是中位線，,所以,所以,所以 ,結(jié)論等價(jià)于，等價(jià)于,因?yàn)榈米C例18、（2004年日本數(shù)學(xué)奧林匹克幾何題）已知 如圖，點(diǎn)分別是上兩點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)分別作的平行線交過(guò)點(diǎn)作外接圓的切線分別于,延長(zhǎng)直線交外接圓于求證（1）四點(diǎn)共圓，(2)是切線證明 因?yàn)?因?yàn)椋灾本€交點(diǎn)必在上設(shè)為,所以四點(diǎn)共圓，同理四點(diǎn)共圓因此四點(diǎn)共圓同理四點(diǎn)共圓，于是四點(diǎn)共圓，,所以是切線例19、已知分別是圓兩切線、是切點(diǎn)，平分,交于,切于,交延長(zhǎng)線于.求證 證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南

11、京 潘成華）連接交于,交于,設(shè)線段交于，易知分別是中點(diǎn)，共線，根據(jù)配位中線知識(shí)可知,所以,又,所以,進(jìn)而,又,得到,即.證明（二）,所以,所以,所以,可知于是,得到,下面同證法（一）例20、回答廣州陳澤桐老師幾何題已知 是的旁切圓，是切點(diǎn)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， 交于.則的充要條件是證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）設(shè)交于,延長(zhǎng)線交直線于,交直線于點(diǎn),三角形三角,根據(jù)定理,所以,=所以四點(diǎn)共圓，可知,可知,根據(jù)定理, ,所以, ,成立的充要條件是 (1)， , 等價(jià)于,即根據(jù)（1）結(jié)論成立例21、已知：自外一點(diǎn)作切線及割線，自作的平行線，分別交于。求證：。證明：聯(lián)結(jié)O，作于。由垂徑定理知。由

12、，得都在以為直徑的圓上，即四點(diǎn)共圓，。而，得由此，推出四點(diǎn)共圓。得而，故，。在中，由中位線逆定理即得。例22、已知 為上一點(diǎn)，為圓外一點(diǎn)，分別與相切于，于，分別交于。求證：。證明：設(shè)交于，聯(lián)結(jié)交于。則垂直平分，即是中點(diǎn)。聯(lián)。由，得，于是，由此，得四點(diǎn)共圓，于是，。因是中點(diǎn)，故也是中點(diǎn)，即。證畢例23、已知 是切線，是切點(diǎn)，是割線，交于,直線交于,求證(2013 11 11 21:30)證明作于,延長(zhǎng)于,易知五點(diǎn)共圓，可知,所以四點(diǎn)共圓，于是,于是A,易知,所以,進(jìn)而根據(jù)相似知識(shí)可知.例24、 是等邊三角形，,連接,取中點(diǎn),求證證明（田開(kāi)斌給出）延長(zhǎng)到,使得,所以,所以,于是,可知,因?yàn)?，所以證

13、明（二）上海-leenco林可先生證明：作等邊三角形,連接交延長(zhǎng)線于,連接,所以是外心，,所以,得到四點(diǎn)共圓，于是,得到夾角，可知,所以,于是,所以,易知,得到，進(jìn)而例25、已知 中，是垂心，外心，交于,交于,求證 .證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）取BC中點(diǎn)M,連接OM,AH、DE,設(shè)AH、DE交于點(diǎn)N,連接ON,HM,BHC=180°-BAC=ADH,HAD=CBH,所以AHDBCH,于是HDNCHN,進(jìn)而HND=CMH,根據(jù)Euler定理，四邊形ONHM是平行四邊形，得到ONH=OMH,所以O(shè)ND=OMC=90°,所以O(shè)E=OD.例26、已知四邊形是內(nèi)接四邊形

14、，且 , 交于點(diǎn),點(diǎn)分別是外心.求證 平分證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）BAI=HAD,所以IAH=BAD,(AB/2AI)=sinAJB=sinAJD=(AD/2AH),可知(AI/AH)=(AB/AD)(1),所以AIHABD,AIO=90°+BAI=90°+90°-AJB=BJC, AIO=ABD=ACB,所以IAO=DBC,同理HAO=BDC,設(shè)AO、JH交于點(diǎn)M,即證明IM=MH,也就是AIsinIAO=AHsinHAO,等價(jià)于(AI/AH)=(sinHAO/sinIAO)=(sinCDB/sinCBD)=(CB/CD),因?yàn)?AB/AD)=(

15、BC/CD)，根據(jù)（1）結(jié)論顯然成立例27、已知 是外接圓，是邊中垂線所在的弦，, 交分別于.求證 明（蘇州學(xué)生方法）過(guò)M作MLAC于L,MXAB于X,，根據(jù)Simson線可知：L、X、D共線，易知AL=AX,所以DL/AN,因此P在直線DL上，M、E、P、X四點(diǎn)共圓，M、L、F、P四點(diǎn)共圓，MBC=LAM=MXL=MEF=MAB=BAM=MFE=MCB,所以ME=MF,進(jìn)而PF=PE證法（三）作MXAB于X,所以ABM=ANM=PDM,易知M、B、D、X四點(diǎn)共圓，所以ABM=XDM,于是X、P、D共線，易知M、E、P、X四點(diǎn)共圓，所以BME=AEM-ABM=MPX-MDP=DMP,同理CME

16、=DMP,MB=MC,進(jìn)而MEBMCF,因此ME=MF,得到PE=PF例28、已知 是以為直徑的半圓兩切線，是切點(diǎn)，交于, 交于.求證 四點(diǎn)共圓證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）EDA=EBA+DAB=(1/2)(FOB+EOA)=(1/2)(180°-EOF)=(1/2)EPF,PE=PF,所以P是圓（DEF)圓心，所以PE=PD,可知PDE=PED=BAE=PCE,于是P、E、D、C四點(diǎn)共圓例29、如圖，AB是圓O的切線，ADE為圓O的割線，D介于A, E之間。M為AO的中點(diǎn)，圓M為ABO的外接圓，BD交圓M于F。求證：EB為M的切線，當(dāng)且僅當(dāng)BD=DF。證明： 上海曹玨贇

17、先生解答<充分性.若BD=DF>設(shè)ADE交圓M于K。由AKO=90°, OE=OD知：DK=KEABDAEB => => => BE為圓M的切線<必要性.若EB是圓M的切線>設(shè)ADE交圓M于K。由AKO=90°, OE=OD知：DK=KE據(jù)題意知：ABD=BED, EBK=BAK=> ABDBEK據(jù)題意知：BEO=EBO=BAO=ABM=> ABMBEO于是D, K是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，又由于OKE=90°，故MDB=90°。又由于MB=MF，故BD=DF。證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）設(shè)AE交M于H,

18、BOD=2BED=2ABF=AMF,所以BODAMF,可知AF×BO=BD×AM(1),因?yàn)镸BO=BOM=AFD,BE是切線等價(jià)于EBH=BAH,等價(jià)于BHD=BDH,所以AFD=ADF,因此BE是EB為M的切線等價(jià)于BOMDFA,等價(jià)于AF×BO=BM×DF,因?yàn)锽M=AM,根據(jù)（1）可知BD=DF例30、已知是圓內(nèi)接四邊形對(duì)邊的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，自分別作的垂線，垂足記為。求證：。證明：自F分別作BC、AD的垂線，垂足記為S、T，聯(lián)ST、PQ。易知RtFCSRtEAQ，RtFDTRtEBP，得(FS/EQ)(FC/EA)(FD/EB)(FT/EP)，又

19、SFTPEQ， FTSEPQ。得FTSEPQ，于是QPSSTQ180°，從而P、S、T、Q四點(diǎn)共圓。在直角梯形EPSF中，M是腰EF的中點(diǎn)，故M落在線段PS的中垂線上；同理，M也落在線段QT的中垂線上。故M就是P、S、T、Q四點(diǎn)所共圓的圓心。 MPMQ。例31、已知設(shè)是垂心，點(diǎn)分別在邊上，且,.求證 四點(diǎn)共圓證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室 南京 潘成華）延長(zhǎng)FD交CH延長(zhǎng)線于S,因?yàn)锽AH=DCH=90°-ABC=(1/2)FDB,所以DSC=DCH=FAH,即S、A、H、F四點(diǎn)共圓，因?yàn)镈S=DE=DC,所以點(diǎn)D是SEC外接圓圓心，所以SEA=(1/2)SDC=AFS,所以S、E、A、F四點(diǎn)共圓，因此A、H、F、S、E五點(diǎn)共圓，進(jìn)而A、H、F、E四點(diǎn)共圓例32、第27屆俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克幾何題，2001年已知是邊是一點(diǎn)