高中數(shù)學(xué)《曲線方程：定長直桿的運動與平面曲線》學(xué)習(xí)單_第1頁
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1、高中數(shù)學(xué)曲線方程：定長直桿的運動與平面曲線學(xué)習(xí)單【知識點】曲線方程【數(shù)學(xué)情境】 y B·C Ax圖1如圖1所示，定長直桿AB的兩端分別在x、y軸上滑動，點C為AB的中點，AB的長度為?！咎岢鰡栴}】問題1：在直桿滑動過程中，點C的軌跡是什么曲線？問題2：如果點C是直桿上一般的一點，點C的軌跡是什么曲線？問題3：直桿AB所在的直線方程是什么？問題4：在直桿滑動過程中，直角三角形OAB的面積怎樣變化？有沒有最大、最小值？問題5：從以上直桿的滑動過程中還能發(fā)現(xiàn)其它曲線嗎？問題6：直桿還有其它運動形式嗎？能形成什么曲線？【解決問題】問題1解：設(shè)點A的坐標為（x ，0），點B的坐標為（0 ，y）

2、，中點C的坐標為（xc ，yc），則 xc ，yc，則有 x2y2a2，得xc2yc2，即：中點C的運動軌跡為一個以原點為原心，以為半徑的圓。問題2解：設(shè)點C是AB上一般的一點， （0<<1），仍設(shè)點A的坐標為（x ，0），點B的坐標為（0 ，y），點C的坐標為（xc ，yc），則 xcxx（1）x ，ycy ，由 x2y22，得1，當(dāng)12時，即為問題1中情形；當(dāng)12時，點C的運動軌跡為橢圓，長軸、短軸分別為（1），。問題3解：設(shè)OABt ，得直桿AB所在直線的截距式方程為1，或 xsintycostasintcost，其中t為參數(shù)。這是一個由參數(shù)t表示的直線族。問題4解：直角三角

3、形OAB的面積為 ，時，最大值為；0或時，最小值為0。問題5解：在直桿滑動過程中，直角三角形OAB的面積在不斷變化。在此過程中三角形OAB曾經(jīng)覆蓋過的區(qū)域形成一個什么圖形呢？這個圖形如圖2所示，其邊界曲線叫作星形線， 星形線的參數(shù)方程為： y x圖2注：星形線是一種內(nèi)擺線，同時也可看作問題3中的直線族的包絡(luò)。問題6解：直桿還能以其它形式運動。例如，直桿可繞端點B旋轉(zhuǎn)，如果端點B的位置固定，另一端點A的運動軌跡即形成圓；但如果端點B同時又在其它曲線上運動，另一端點A的運動軌跡將會形成很多種有趣的曲線，曲線的具體形狀由端點B運動所沿的路線和速度以及直桿旋轉(zhuǎn)的角速度三個因素決定，其中就包括了各種各樣的擺線。再如，還可使直桿的初始位置如圖3，在直桿的B端裝上一活動鉸鏈，拉動此鉸鏈在y軸上滑動，此時另一端A的運動軌跡形成曳

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