心理與教育統(tǒng)計(jì)學(xué)第7章參數(shù)估計(jì)

1、第七章第七章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)章節(jié)內(nèi)容章節(jié)內(nèi)容第一節(jié)第一節(jié) 點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)與標(biāo)準(zhǔn)誤點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)與標(biāo)準(zhǔn)誤第二節(jié)第二節(jié) 總體平均數(shù)的估計(jì)總體平均數(shù)的估計(jì)第三節(jié)第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差與方差的區(qū)間估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差與方差的區(qū)間估計(jì)第四節(jié)第四節(jié) 相關(guān)系數(shù)的區(qū)間估計(jì)相關(guān)系數(shù)的區(qū)間估計(jì)第五節(jié)第五節(jié) 比率及比率差異的區(qū)間估計(jì)比率及比率差異的區(qū)間估計(jì)總體參數(shù)估計(jì)：在研究中從樣本獲得一組數(shù)總體參數(shù)估計(jì)：在研究中從樣本獲得一組數(shù)據(jù)后，通過這組信息，對總體特征進(jìn)行估計(jì)，據(jù)后，通過這組信息，對總體特征進(jìn)行估計(jì)，即從局部結(jié)果推論總體的情況。即從局部結(jié)果推論總體的情況?？傮w參數(shù)估計(jì)分總體參數(shù)估計(jì)分點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)和和區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)兩種

2、。兩種。第一節(jié)第一節(jié) 點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)與標(biāo)準(zhǔn)誤點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)與標(biāo)準(zhǔn)誤一、點(diǎn)估計(jì)的定義一、點(diǎn)估計(jì)的定義點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)(point estimation)(point estimation)：用某一樣本統(tǒng)：用某一樣本統(tǒng)計(jì)量的值來估計(jì)相應(yīng)總體參數(shù)的值。計(jì)量的值來估計(jì)相應(yīng)總體參數(shù)的值。點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)在于它能夠提供總體參數(shù)的估點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)在于它能夠提供總體參數(shù)的估計(jì)值。計(jì)值。二、良好估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)二、良好估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)1.1.無偏性無偏性n無偏估計(jì)量無偏估計(jì)量(unbiased estimate)(unbiased estimate)：用多個(gè)樣本的統(tǒng)：用多個(gè)樣本的統(tǒng)計(jì)量作為總體參數(shù)的估計(jì)值，其偏差的平均數(shù)為計(jì)

3、量作為總體參數(shù)的估計(jì)值，其偏差的平均數(shù)為0 0。n樣本平均數(shù)樣本平均數(shù) 是總體平均數(shù)是總體平均數(shù)的無偏估計(jì)值；但樣的無偏估計(jì)值；但樣本方差本方差s s2 2不是總體方差不是總體方差2 2的無偏估計(jì)值，的無偏估計(jì)值，2 2的無偏的無偏估計(jì)值是估計(jì)值是 。X21ns221()=nXXsNn2.2.有效性有效性n當(dāng)總體參數(shù)的無偏估計(jì)不止一個(gè)統(tǒng)計(jì)量時(shí)，無當(dāng)總體參數(shù)的無偏估計(jì)不止一個(gè)統(tǒng)計(jì)量時(shí)，無偏估計(jì)變異小者有效性高，變異大者有效性低，偏估計(jì)變異小者有效性高，變異大者有效性低，即方差越小越好。即方差越小越好。 n的無偏估計(jì)值有的無偏估計(jì)值有 、MdMd、M Mo o等，但等，但 的的變異最小。故變異最小

4、。故 是是最有效的估計(jì)值。最有效的估計(jì)值。XXX3.3.一致性一致性當(dāng)樣本容量無限增大時(shí)，估計(jì)值應(yīng)能夠越來當(dāng)樣本容量無限增大時(shí)，估計(jì)值應(yīng)能夠越來越接近它所估計(jì)的總體參數(shù)，估計(jì)值越來越越接近它所估計(jì)的總體參數(shù)，估計(jì)值越來越精確，逐漸趨近于真值。精確，逐漸趨近于真值。當(dāng)當(dāng)N N時(shí)，時(shí)， ， 2 2。X21ns4.4.充分性充分性一個(gè)容量為一個(gè)容量為n n的樣本統(tǒng)計(jì)量，是否充分地反映了全的樣本統(tǒng)計(jì)量，是否充分地反映了全部部n n個(gè)數(shù)據(jù)所反映總體的信息。個(gè)數(shù)據(jù)所反映總體的信息。 比比MdMd、M Mo o充分性高；充分性高； 比比ADAD、Q Q更具有充更具有充分性。分性。點(diǎn)估計(jì)總是以誤差的存在為前提

5、，也不能提供正點(diǎn)估計(jì)總是以誤差的存在為前提，也不能提供正確估計(jì)的概率。確估計(jì)的概率。21nsX三、區(qū)間估計(jì)與標(biāo)準(zhǔn)誤三、區(qū)間估計(jì)與標(biāo)準(zhǔn)誤（一）區(qū)間估計(jì)的定義（一）區(qū)間估計(jì)的定義區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)(interval estimate)(interval estimate)：根據(jù)估計(jì)量以一定可：根據(jù)估計(jì)量以一定可靠程度推斷總體參數(shù)所在的區(qū)間范圍，用數(shù)軸上的一段靠程度推斷總體參數(shù)所在的區(qū)間范圍，用數(shù)軸上的一段距離表示未知參數(shù)可能落入的范圍。距離表示未知參數(shù)可能落入的范圍。區(qū)間估計(jì)在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，不僅給出一個(gè)估計(jì)的范圍，區(qū)間估計(jì)在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，不僅給出一個(gè)估計(jì)的范圍，使總體參數(shù)包含在這個(gè)范圍之內(nèi)，而且

6、還能給出估計(jì)精使總體參數(shù)包含在這個(gè)范圍之內(nèi)，而且還能給出估計(jì)精度并說明估計(jì)結(jié)果的有把握的程度。度并說明估計(jì)結(jié)果的有把握的程度。（二）置信區(qū)間與顯著性水平（二）置信區(qū)間與顯著性水平置信區(qū)間置信區(qū)間(confidence interval, CI)(confidence interval, CI)：置信間距，：置信間距，是指在某一置信度時(shí)，總體參數(shù)所在的區(qū)域距離或是指在某一置信度時(shí)，總體參數(shù)所在的區(qū)域距離或區(qū)域長度。區(qū)域長度。置信區(qū)間的上下兩端點(diǎn)值稱為置信界限置信區(qū)間的上下兩端點(diǎn)值稱為置信界限(confidence (confidence limits)limits)。顯著性水平顯著性水平(sig

7、nificance level)(significance level)：估計(jì)總體參數(shù)：估計(jì)總體參數(shù)落在某一區(qū)間時(shí)，可能犯錯(cuò)誤的概率，用符號(hào)落在某一區(qū)間時(shí)，可能犯錯(cuò)誤的概率，用符號(hào) 表表示示。有時(shí)也稱之為意義階段、信任系數(shù)等。有時(shí)也稱之為意義階段、信任系數(shù)等。顯著性水平在假設(shè)檢驗(yàn)中，還指拒絕虛無假設(shè)時(shí)可顯著性水平在假設(shè)檢驗(yàn)中，還指拒絕虛無假設(shè)時(shí)可能出現(xiàn)的犯錯(cuò)誤的概率水平。能出現(xiàn)的犯錯(cuò)誤的概率水平。1 1 為置信度或置信水平為置信度或置信水平(confidence level)(confidence level)。（三）區(qū)間估計(jì)的原理與標(biāo)準(zhǔn)誤（三）區(qū)間估計(jì)的原理與標(biāo)準(zhǔn)誤區(qū)間估計(jì)是根據(jù)抽樣分布理論

8、，用抽樣分布的標(biāo)區(qū)間估計(jì)是根據(jù)抽樣分布理論，用抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)誤準(zhǔn)誤(SE)(SE)計(jì)算區(qū)間長度，解釋總體參數(shù)落入某置計(jì)算區(qū)間長度，解釋總體參數(shù)落入某置信區(qū)間可能的概率。信區(qū)間可能的概率。區(qū)間估計(jì)存在成功估計(jì)的概率大小及估計(jì)范圍大區(qū)間估計(jì)存在成功估計(jì)的概率大小及估計(jì)范圍大小兩個(gè)問題。小兩個(gè)問題。統(tǒng)計(jì)分析一般采取的辦法：在保證置信度的前提統(tǒng)計(jì)分析一般采取的辦法：在保證置信度的前提下，盡可能提高精確度。下，盡可能提高精確度。0.050.05水平和水平和0.010.01水平是人們習(xí)慣上常用的兩個(gè)顯著性水平是人們習(xí)慣上常用的兩個(gè)顯著性水平。水平。區(qū)間估計(jì)的原理是抽樣分布理論。在計(jì)算區(qū)間估計(jì)值，區(qū)間估計(jì)的

9、原理是抽樣分布理論。在計(jì)算區(qū)間估計(jì)值，解釋估計(jì)的正確概率時(shí)，依據(jù)的是該樣本統(tǒng)計(jì)量的分解釋估計(jì)的正確概率時(shí)，依據(jù)的是該樣本統(tǒng)計(jì)量的分布規(guī)律及抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)誤布規(guī)律及抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)誤(SE)(SE)。抽樣分布可提供概率解釋，而標(biāo)準(zhǔn)誤的大小決定區(qū)間抽樣分布可提供概率解釋，而標(biāo)準(zhǔn)誤的大小決定區(qū)間估計(jì)的長度。一般情況下，加大樣本容量可使標(biāo)準(zhǔn)誤估計(jì)的長度。一般情況下，加大樣本容量可使標(biāo)準(zhǔn)誤變小。變小。平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)第二節(jié)第二節(jié) 總體平均數(shù)的估計(jì)總體平均數(shù)的估計(jì)樣本平均數(shù)的平均數(shù)與母總體的平均數(shù)相同樣本平均數(shù)的平均數(shù)與母總體的平均數(shù)相同( )( )，故對平均數(shù)總體的平均數(shù)進(jìn)，故對平均數(shù)總體

10、的平均數(shù)進(jìn)行估計(jì)就是對母總體平均數(shù)的估計(jì)。行估計(jì)就是對母總體平均數(shù)的估計(jì)。=X一、估計(jì)總體平均數(shù)的步驟一、估計(jì)總體平均數(shù)的步驟n1.1.根據(jù)實(shí)得樣本的數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)根據(jù)實(shí)得樣本的數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差。差。n2.2.計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤 。n（1 1）當(dāng)總體方差已知時(shí)）當(dāng)總體方差已知時(shí)n（2 2）當(dāng)總體方差未知時(shí)）當(dāng)總體方差未知時(shí)XX=n1X=nsnX=1sn3.3.確定置信水平或顯著性水平。確定置信水平或顯著性水平。統(tǒng)計(jì)學(xué)上一般規(guī)定顯著性水平統(tǒng)計(jì)學(xué)上一般規(guī)定顯著性水平 為為0.050.05或或0.010.01。4.4.根據(jù)樣本平均數(shù)的抽樣分布，確定查何種統(tǒng)計(jì)根據(jù)樣本平均

11、數(shù)的抽樣分布，確定查何種統(tǒng)計(jì)表。表。一般當(dāng)總體方差已知時(shí)，查正態(tài)表；當(dāng)總體方差一般當(dāng)總體方差已知時(shí)，查正態(tài)表；當(dāng)總體方差未知時(shí)，查未知時(shí)，查t t值表。確定值表。確定Z Z /2/2與與t t /2/2。n5.5.計(jì)算置信區(qū)間。計(jì)算置信區(qū)間。n（1 1）如果查正態(tài)分布表，置信區(qū)間可寫作：）如果查正態(tài)分布表，置信區(qū)間可寫作：n（2 2）如果查）如果查t t值表，置信區(qū)間可寫作：值表，置信區(qū)間可寫作：n6.6.解釋總體平均數(shù)的置信區(qū)間。解釋總體平均數(shù)的置信區(qū)間。(1)/2(1)/2XXXX+ZZ /2/2XXXX+ZZ (1)/2(1)/2XXXX+tt /2/2XXXXtt 總體方差總體方差2

12、2已知時(shí)，對總體平均數(shù)已知時(shí)，對總體平均數(shù)的估計(jì)的估計(jì)n1.1.當(dāng)總體分布為正態(tài)時(shí)，不論樣本當(dāng)總體分布為正態(tài)時(shí)，不論樣本n n的大小，的大小，其標(biāo)準(zhǔn)誤均為：其標(biāo)準(zhǔn)誤均為：n2.2.當(dāng)總體為非正態(tài)分布時(shí)，只有當(dāng)樣本容量當(dāng)總體為非正態(tài)分布時(shí)，只有當(dāng)樣本容量n n3030時(shí)，才能根據(jù)抽樣分布對總體平均數(shù)時(shí)，才能根據(jù)抽樣分布對總體平均數(shù)進(jìn)進(jìn)行估計(jì)，否則不能進(jìn)行估計(jì)。行估計(jì)，否則不能進(jìn)行估計(jì)。X=n【例例7-17-1】已知母總體為正態(tài)分布，已知母總體為正態(tài)分布，=7.07=7.07，從這個(gè)，從這個(gè)總體中隨機(jī)抽取總體中隨機(jī)抽取n n1 1=10=10和和n n2 2=36=36的兩個(gè)樣本，的兩個(gè)樣本，分別

13、計(jì)算出分別計(jì)算出 ， ，試問，試問總體參數(shù)總體參數(shù)的的0.950.95和和0.990.99置信區(qū)間。置信區(qū)間。178X279X解：解：平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤：平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤： 117.072.2410Xn227.071.1836Xnn用用n n1 1=10=10的樣本估計(jì)總體參數(shù)的樣本估計(jì)總體參數(shù)：n0.950.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間n0.990.99的置信區(qū)間的置信區(qū)間78 1.96 2.2479 1.96 1.1876.781.3782.58 2.24792.58 2.2472.283.8n根據(jù)根據(jù)n n2 2=36=36的樣本估計(jì)總體參數(shù)的樣本估計(jì)總體參數(shù)：n0.950.95的置信區(qū)間的置信區(qū)

14、間n0.990.99的置信區(qū)間的置信區(qū)間76.781.378 1.96 1.1879 1.96 1.18792.58 1.18792.58 1.1875.782.04【例例7-27-2】有一個(gè)有一個(gè)4949名學(xué)生的班級(jí)，某學(xué)科歷年考試成名學(xué)生的班級(jí)，某學(xué)科歷年考試成績的績的 ，又知今年某次考試成績是，又知今年某次考試成績是8585分，分，試推論該班某學(xué)科學(xué)習(xí)的真實(shí)成績分?jǐn)?shù)。試推論該班某學(xué)科學(xué)習(xí)的真實(shí)成績分?jǐn)?shù)。 = 解：解：定置信水平為定置信水平為0.950.95，查正態(tài)表得，查正態(tài)表得Z Z(1(1 )/2)/2=1.96=1.96。50.7149Xn85 1.96 0.7185 1.96 0

15、.7183.686.4總體方差總體方差2 2未知，對總體平均數(shù)的估計(jì)未知，對總體平均數(shù)的估計(jì) 總體方差未知，用樣本的無偏方差總體方差未知，用樣本的無偏方差( )( )作為總體作為總體方差的估計(jì)值，實(shí)現(xiàn)對總體平均數(shù)方差的估計(jì)值，實(shí)現(xiàn)對總體平均數(shù)的估計(jì)。因?yàn)樵诳偟墓烙?jì)。因?yàn)樵诳傮w方差未知時(shí)，樣本平均數(shù)的分布為體方差未知時(shí)，樣本平均數(shù)的分布為t t分布，故應(yīng)查分布，故應(yīng)查t t值值表，確定表，確定t t /2/2或或t t(1(1 )/2)/2。有兩種情況：有兩種情況：（1 1）總體的分布為正態(tài)時(shí)，可不管）總體的分布為正態(tài)時(shí)，可不管n n之大小。之大小。（2 2）總體分布為非正態(tài)時(shí)，只有）總體分布為

16、非正態(tài)時(shí)，只有n n3030，才能用概率對，才能用概率對其抽樣分布進(jìn)行解釋，否則不能推論。其抽樣分布進(jìn)行解釋，否則不能推論。21ns【例例7-37-3】假設(shè)假設(shè)2 2未知，未知，n n1 1=10=10， =78=78，s s1 1=8=8，n n2 2=36=36， =79=79，s s2 2=9=9，問其總體參數(shù)，問其總體參數(shù)的的0.950.95置信區(qū)間是多少？置信區(qū)間是多少？1X2X解：平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤解：平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤0.950.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間當(dāng)當(dāng)n n1 1=10=10時(shí)，時(shí)，dfdf1 1=9=9，t t0.05/20.05/2=2.262=2.26211111182.67

17、110 1nXssnn22222191.52136 1nXssnnn當(dāng)當(dāng)n n2 2=36=36時(shí)，時(shí)，dfdf2 2=35=35，t t0.05/20.05/2=2.042=2.04271.9684.04 792.042 1.52792.042 1.5275.982.1782.262 2.67782.262 2.67【例例7-47-4】某班某班4949人期末考試成績?yōu)槿似谀┛荚嚦煽優(yōu)?585分，標(biāo)準(zhǔn)差分，標(biāo)準(zhǔn)差s=6s=6，假設(shè)此項(xiàng)考試能反映學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，試推假設(shè)此項(xiàng)考試能反映學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，試推論該班學(xué)生學(xué)習(xí)的真實(shí)成績分?jǐn)?shù)。論該班學(xué)生學(xué)習(xí)的真實(shí)成績分?jǐn)?shù)。解：解：t t0.05/2(40)

18、0.05/2(40)=2.021=2.0210.950.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間852.021 0.86683.2586.75第三節(jié)第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差與方差的區(qū)間估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差與方差的區(qū)間估計(jì)n一、標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間估計(jì)一、標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間估計(jì)n根據(jù)抽樣分布的理論，當(dāng)樣本容量為根據(jù)抽樣分布的理論，當(dāng)樣本容量為n n3030時(shí)，時(shí)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差的分布為漸近正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差的平樣本標(biāo)準(zhǔn)差的分布為漸近正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差的平均數(shù)：均數(shù)：n標(biāo)準(zhǔn)差分布的標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差分布的標(biāo)準(zhǔn)差：n置信區(qū)間可寫作：置信區(qū)間可寫作：sX2sn1/21/2nnssZsZ【例例7-57-5】有一隨機(jī)樣本有一隨機(jī)樣本n=31n=31，s sn-1n-

19、1=5=5，問該樣本之總，問該樣本之總體標(biāo)準(zhǔn)差的體標(biāo)準(zhǔn)差的0.950.95置信區(qū)間。置信區(qū)間。解：此題解：此題n n3030，樣本標(biāo)準(zhǔn)差的分布可視為，樣本標(biāo)準(zhǔn)差的分布可視為漸近正態(tài)分布，即漸近正態(tài)分布，即Z Z0.05/20.05/2=1.96=1.96。 0.950.95的置信區(qū)間為：的置信區(qū)間為：50.6352315 1.96 0.6355 1.96 0.6353.766.24二、方差的區(qū)間估計(jì)二、方差的區(qū)間估計(jì)根據(jù)根據(jù)2分布：分布： 自正態(tài)分布的總體中，隨機(jī)抽取容量為自正態(tài)分布的總體中，隨機(jī)抽取容量為n n的樣本，的樣本，其樣本方差與總體方差比值的分布為其樣本方差與總體方差比值的分布為2

20、 2分布，分布，這樣可直接查這樣可直接查2 2表確定其比值的表確定其比值的0.950.95與與0.990.99置置信區(qū)間。信區(qū)間。222122221nXXnsnsn總體方差的總體方差的0.950.95與與0.990.99置信區(qū)間：置信區(qū)間：n查查dfdf=n=n1 1的的2 2表確定表確定 與與 。2/22211222/21/211nnnsns2()/2【例例7-67-6】已知某測驗(yàn)分?jǐn)?shù)的樣本已知某測驗(yàn)分?jǐn)?shù)的樣本n=10n=10， ，問該測驗(yàn)分?jǐn)?shù)總體方差問該測驗(yàn)分?jǐn)?shù)總體方差2 2的的0.950.95和和0.990.99置置信區(qū)間是多少？信區(qū)間是多少？21=0.286nsn解：計(jì)算解：計(jì)算0.9

21、50.95的置信區(qū)間，此時(shí)的置信區(qū)間，此時(shí) =0.05=0.05n查查2 2 表，表，dfdf=9=9時(shí)，時(shí)， ， 20.025 919 20.975 92.729 0.2869 0.286192.720.1350.95n（2 2）計(jì)算）計(jì)算0.990.99的置信區(qū)間，此時(shí)的置信區(qū)間，此時(shí) =0.01=0.01n查查2 2 表，表，dfdf=9=9時(shí)，時(shí)， ， 20.005 923.6 20.995 91.7329 0.2869 0.28623.61.7320.111.49【例例7-77-7】n=31n=31，s sn-1n-1=5=5問的問的0.950.95置信區(qū)間？置信區(qū)間？解：先求方差的

22、置信區(qū)間，當(dāng)解：先求方差的置信區(qū)間，當(dāng)dfdf=30=30，查，查2 2表，表，不等號(hào)兩邊都開平方，取正平方根，結(jié)果為不等號(hào)兩邊都開平方，取正平方根，結(jié)果為 20.0254720.97516.82223053054716.8215.9644.63.996.68三、二總體方差之比的區(qū)間估計(jì)三、二總體方差之比的區(qū)間估計(jì)根據(jù)根據(jù)F F分布的意義，從總體方差為分布的意義，從總體方差為 與與 的兩總體中，的兩總體中，分別隨機(jī)抽取容量為分別隨機(jī)抽取容量為n n1 1與與n n2 2的兩樣本，計(jì)算其樣本方差之的兩樣本，計(jì)算其樣本方差之比比 ，服從，服從F F分布分布(df(df1 1=n=n1 11, df

23、1, df2 2=n=n2 21)1)。因?yàn)椤Ｒ驗(yàn)闃颖痉讲钪皇菢颖痉讲钪皇?與與 的無偏估計(jì)，所以其樣本方差之的無偏估計(jì)，所以其樣本方差之比比 ，多數(shù)圍繞總體方，多數(shù)圍繞總體方差之比差之比 上下波動(dòng)，少數(shù)有所偏離，形成上下波動(dòng)，少數(shù)有所偏離，形成F F分布。分布。2122122121=nnsFs2122122121nnss2122如果兩總體方差如果兩總體方差 ，其樣本，其樣本方差之比多數(shù)應(yīng)在方差之比多數(shù)應(yīng)在1 1上下擺動(dòng)。因此，對二上下擺動(dòng)。因此，對二總體方差相等的區(qū)間估計(jì)用總體方差相等的區(qū)間估計(jì)用 。2122=122212=n根據(jù)根據(jù)F F分布，可估計(jì)二總體方差之比的置信區(qū)間：分布，可估計(jì)二

24、總體方差之比的置信區(qū)間：n若二總體相等，上式可寫作：若二總體相等，上式可寫作：1122222111/2222/21211nnnnssFFss11222211/222/21111nnnnssFFss 【例例7-87-8】已知已知n n1 1=10=10， ，n n2 2=15=15， 。問二總體方差之比。問二總體方差之比 在在0.990.99置信區(qū)間，能否說二總體方差相等？置信區(qū)間，能否說二總體方差相等？1215ns2216ns2122解：解：單側(cè)概率，單側(cè)概率，F(xiàn) F0.010.01=4.03 (df=4.03 (df1 1=9, df=9, df2 2=14)=14)0.990.99的置信區(qū)

25、間：的置信區(qū)間：21221554.034.036621220.213.36（2 2）雙側(cè)概率，）雙側(cè)概率，F(xiàn) F0.010.01=4.54=4.54，(df(df1 1=9=9，dfdf2 2=14)=14)0.990.99的置信區(qū)間：的置信區(qū)間：21221554.544.54 6621220.183.78第四節(jié)第四節(jié) 相關(guān)系數(shù)的區(qū)間估計(jì)相關(guān)系數(shù)的區(qū)間估計(jì)一、積差相關(guān)系數(shù)的抽樣分布一、積差相關(guān)系數(shù)的抽樣分布（一）當(dāng)總體的相關(guān)系數(shù)（一）當(dāng)總體的相關(guān)系數(shù)為負(fù)值時(shí)，樣本為負(fù)值時(shí)，樣本r r的分布的分布呈不同程度的正偏態(tài)。當(dāng)呈不同程度的正偏態(tài)。當(dāng)為正值時(shí)，相關(guān)系數(shù)為正值時(shí)，相關(guān)系數(shù)r r的的分布呈不同

26、程度的負(fù)偏態(tài)。在分布呈不同程度的負(fù)偏態(tài)。在0 0的情況下，只有的情況下，只有樣本容量充分大（即樣本容量充分大（即n n500500）時(shí)，才漸近正態(tài)分布，）時(shí)，才漸近正態(tài)分布，而且趨于正態(tài)很慢。這時(shí)，抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)誤而且趨于正態(tài)很慢。這時(shí)，抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)誤( (SESEr r) )為為211rrn偏態(tài)分布偏態(tài)分布兩個(gè)特點(diǎn)：兩個(gè)特點(diǎn)：一是左右不對稱（即所謂一是左右不對稱（即所謂偏態(tài)偏態(tài)）；）；二是當(dāng)樣本增大時(shí)，其均數(shù)趨向二是當(dāng)樣本增大時(shí)，其均數(shù)趨向正態(tài)分布正態(tài)分布。偏態(tài)分布又可分為正偏態(tài)分布和負(fù)偏態(tài)分布兩種類型：偏態(tài)分布又可分為正偏態(tài)分布和負(fù)偏態(tài)分布兩種類型：如果頻數(shù)分布的高峰向左偏移，如果頻數(shù)分

27、布的高峰向左偏移，長尾長尾向右側(cè)延伸稱為向右側(cè)延伸稱為正偏態(tài)分布，正偏態(tài)分布，也稱右偏態(tài)分布；也稱右偏態(tài)分布；如果頻數(shù)分布的高峰向右偏移，長尾向左延伸則成為如果頻數(shù)分布的高峰向右偏移，長尾向左延伸則成為負(fù)偏態(tài)分布，負(fù)偏態(tài)分布，也稱左偏態(tài)分布也稱左偏態(tài)分布。（二）當(dāng)總體相關(guān)系數(shù)（二）當(dāng)總體相關(guān)系數(shù)=0=0時(shí)，樣本相關(guān)系時(shí)，樣本相關(guān)系數(shù)的分布，服從自由度數(shù)的分布，服從自由度dfdf=n=n2 2的的t t分布，標(biāo)分布，標(biāo)準(zhǔn)誤為：準(zhǔn)誤為：212rrn（三）當(dāng)總體相關(guān)系數(shù)（三）當(dāng)總體相關(guān)系數(shù)0 0時(shí)，樣本相關(guān)系數(shù)的分時(shí)，樣本相關(guān)系數(shù)的分布，只有當(dāng)布，只有當(dāng)n n充分大時(shí)，才漸近正態(tài)分布，其分布函充分大

28、時(shí)，才漸近正態(tài)分布，其分布函數(shù)很復(fù)雜。數(shù)很復(fù)雜。統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)舍利用統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)舍利用 或或?qū) r值轉(zhuǎn)換成值轉(zhuǎn)換成Z Z值，這些值，這些Z Z值漸近服從正態(tài)分布，即費(fèi)值漸近服從正態(tài)分布，即費(fèi)舍舍Z Z分布，其標(biāo)準(zhǔn)誤為：分布，其標(biāo)準(zhǔn)誤為：13ZSEn11=ln21rZr1=1.1513lg1rZr二、積差相關(guān)系數(shù)的區(qū)間估計(jì)二、積差相關(guān)系數(shù)的區(qū)間估計(jì)（一）當(dāng)總體相關(guān)系數(shù)為零時(shí)（一）當(dāng)總體相關(guān)系數(shù)為零時(shí)dfdf=n=n2 2/2/2rrr tr t 212rrn（二）當(dāng)總體相關(guān)系數(shù)不為零時(shí)（二）當(dāng)總體相關(guān)系數(shù)不為零時(shí)1.n1.n500500/2/2rrrZrZ211rrn2.2.利用費(fèi)舍利用費(fèi)舍Z Z

29、函數(shù)分布計(jì)算函數(shù)分布計(jì)算利用利用Z Z的置信區(qū)間，估計(jì)相關(guān)系數(shù)的置信區(qū)間，估計(jì)相關(guān)系數(shù)r r的置信區(qū)的置信區(qū)間的具體步驟間的具體步驟（1 1）將樣本相關(guān)系數(shù)轉(zhuǎn)換成）將樣本相關(guān)系數(shù)轉(zhuǎn)換成Z Z函數(shù)函數(shù)利用公式計(jì)算利用公式計(jì)算查查rrZ Zr r轉(zhuǎn)換表轉(zhuǎn)換表11=ln21rZr1=1.1513lg1rZr（2 2）計(jì)算）計(jì)算Z Zr r的置信區(qū)間的置信區(qū)間Z Zr rZ Z /2/2SESEZ Z13ZSEn（3 3）將）將Z Zr r的置信區(qū)間轉(zhuǎn)換成相關(guān)系數(shù)的置信區(qū)間轉(zhuǎn)換成相關(guān)系數(shù)利用公式計(jì)算利用公式計(jì)算r r值值查附表查附表rrZ Zr r轉(zhuǎn)換表，將轉(zhuǎn)換表，將Z Zr r轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成r r值值

30、221=1rrZZere【例例7-97-9】某校某校120120名學(xué)生通過甲乙兩測驗(yàn)，計(jì)算相關(guān)名學(xué)生通過甲乙兩測驗(yàn)，計(jì)算相關(guān)系數(shù)為系數(shù)為r=0.24r=0.24，問該兩測驗(yàn)總體相關(guān)系數(shù)的，問該兩測驗(yàn)總體相關(guān)系數(shù)的0.950.95置信區(qū)間。置信區(qū)間。 解：假設(shè)其總體相關(guān)系數(shù)為解：假設(shè)其總體相關(guān)系數(shù)為=0=0，t t0.05/2(118)0.05/2(118)=1.98=1.98（取（取dfdf=120=120的近似值）的近似值）0.950.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2211 0.240.08921202rrSEn0.24 1.98 0.0890.24 1.98 0.0890.0640.416查附

31、表查附表8 8，r=0.24r=0.24時(shí)時(shí)Z Zr r=0.245 =0.245 Z Z0.05/20.05/2=1.96,=1.96,因此因此0.950.95置信區(qū)間：置信區(qū)間：110.092531203ZSEn0.245 1.96 0.09250.245 1.96 0.0925rZ0.0640.426rZZ Zr r=0.064=0.064，差附表，差附表8 8（Z Zr r-r-r轉(zhuǎn)換表）得轉(zhuǎn)換表）得r r為為0.0640.064Z Zr r=0.426=0.426，查附表，查附表8 8（Z Zr r-r-r轉(zhuǎn)換表）得轉(zhuǎn)換表）得r r為為0.400.40（近似值）（近似值）因此，總體相

32、關(guān)系數(shù)因此，總體相關(guān)系數(shù)的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為0.0640.0640.400.40。三、等級(jí)相關(guān)系數(shù)的區(qū)間估計(jì)三、等級(jí)相關(guān)系數(shù)的區(qū)間估計(jì)n斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)在斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)在9 9n n2020時(shí)，時(shí)，r rR R的分布的分布近似為近似為dfdf=n=n2 2， 的的t t分布。分布。212RrrSEn2/212RRrrtndf=n2若若n n2020，r rR R的分布近似正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)誤的分布近似正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)誤t t /2/2改為改為Z Z /2/2求置信區(qū)間。求置信區(qū)間。21=2RrrSEn【例例7-107-10】N=15N=15，r rR R=0.41=0.41，問其總體相

33、關(guān)系數(shù)的，問其總體相關(guān)系數(shù)的0.950.95置信區(qū)間。置信區(qū)間。解：解：查查t t表，表， t t0.05/2(13)0.05/2(13)=2.160=2.160，0.950.95置信區(qū)間：置信區(qū)間：2211 0.410.2532152RrrSEn0.41 2.16 0.2530.136 0.956 第五節(jié)第五節(jié) 比率及比率差異的區(qū)間估計(jì)比率及比率差異的區(qū)間估計(jì)n一、比率的區(qū)間估計(jì)一、比率的區(qū)間估計(jì)n（一）比率的抽樣分布（一）比率的抽樣分布n比率的分布為二項(xiàng)分布。比率的分布為二項(xiàng)分布。n當(dāng)當(dāng)npnp5 5（或（或nqnq5 5）時(shí)，樣本比率）時(shí)，樣本比率 的分布為漸的分布為漸近正態(tài)分布。近正態(tài)

34、分布。n平均數(shù)平均數(shù)n標(biāo)準(zhǔn)誤標(biāo)準(zhǔn)誤ppppqn p樣本比率樣本比率 ，是總體比率，是總體比率p p的點(diǎn)估計(jì)的點(diǎn)估計(jì)值，因此當(dāng)總體值，因此當(dāng)總體p p、q q未知時(shí)，可用未知時(shí)，可用 、 代替，代替， 比率的標(biāo)準(zhǔn)誤：比率的標(biāo)準(zhǔn)誤：xpn p q ppqnn比率的標(biāo)準(zhǔn)誤與二項(xiàng)分布的標(biāo)準(zhǔn)差意義相同，只比率的標(biāo)準(zhǔn)誤與二項(xiàng)分布的標(biāo)準(zhǔn)差意義相同，只是使用的單位不同。二項(xiàng)分布用成功的次數(shù)表示：是使用的單位不同。二項(xiàng)分布用成功的次數(shù)表示：n若用比率表示，則：若用比率表示，則：=np= npq=pnpqpqnnn=pnppnn（二）比率的區(qū)間估計(jì)（二）比率的區(qū)間估計(jì)n1.1.當(dāng)當(dāng) 時(shí)，比率的置信區(qū)間時(shí)，比率的置

35、信區(qū)間np5/2/2ppqpqpZpZnn 【例例7-117-11】從四年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)選從四年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)選5050人，施測某測驗(yàn)，人，施測某測驗(yàn)，結(jié)果通過者結(jié)果通過者3030人，未通過者人，未通過者2020人，問整個(gè)四人，問整個(gè)四年級(jí)學(xué)生對該測驗(yàn)通過的人數(shù)比率。若四年年級(jí)學(xué)生對該測驗(yàn)通過的人數(shù)比率。若四年級(jí)有級(jí)有500500人，通過人數(shù)為多少？人，通過人數(shù)為多少？解：解： Z Z0.05/20.05/2=1.96=1.96，p p的的0.950.95置信區(qū)間置信區(qū)間: :通過該測驗(yàn)的人數(shù)則為：通過該測驗(yàn)的人數(shù)則為： 300.650p 10.60.4q 5np 0.6 0.40.069350p

36、pqn0.6 1.96 0.0693 0.460.74p0.46 5000.74 500 230370【7-127-12】某校隨機(jī)抽取某校隨機(jī)抽取174174名學(xué)生進(jìn)行興趣調(diào)查，結(jié)名學(xué)生進(jìn)行興趣調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)其中優(yōu)果發(fā)現(xiàn)其中優(yōu)7272人愛好音樂，是估計(jì)全校愛人愛好音樂，是估計(jì)全校愛好音樂的學(xué)生所占半分比的置信區(qū)間。好音樂的學(xué)生所占半分比的置信區(qū)間。解：解：p p的的0.950.95置信區(qū)間置信區(qū)間7204138174p 10.41380.5862q 5np 0.4138 0.58620.0373174pp qn0.4138 1.96 0.03730.341 0.4872.2.當(dāng)當(dāng) ，或，或 甚

37、小時(shí)，此時(shí)二項(xiàng)分甚小時(shí)，此時(shí)二項(xiàng)分布不接近正態(tài)，也就是說比率的抽樣分布不布不接近正態(tài)，也就是說比率的抽樣分布不接近正態(tài)。此時(shí)置信區(qū)間的估計(jì)，直接查根接近正態(tài)。此時(shí)置信區(qū)間的估計(jì)，直接查根據(jù)二項(xiàng)分布計(jì)算的統(tǒng)計(jì)表（附表據(jù)二項(xiàng)分布計(jì)算的統(tǒng)計(jì)表（附表1313）。）。5np p【例例7-137-13】隨機(jī)抽取初中三年級(jí)學(xué)生隨機(jī)抽取初中三年級(jí)學(xué)生3030人，調(diào)查得知嚴(yán)人，調(diào)查得知嚴(yán)重偏科者為重偏科者為3 3人，問初三學(xué)生偏科人數(shù)的人，問初三學(xué)生偏科人數(shù)的0.950.95置信區(qū)間，或初三學(xué)生偏科的真實(shí)人數(shù)置信區(qū)間，或初三學(xué)生偏科的真實(shí)人數(shù)是多少？是多少？二、比率差異區(qū)間估計(jì)二、比率差異區(qū)間估計(jì)（一）兩樣本比

38、率差異的抽樣分布（一）兩樣本比率差異的抽樣分布從總體比率分別為從總體比率分別為p p1 1與與p p2 2的兩總體中隨機(jī)抽取樣本容量為的兩總體中隨機(jī)抽取樣本容量為n n1 1與與n n2 2的樣本，得到的樣本，得到 與與 。當(dāng)。當(dāng)n n1 1p p1 15 5，n n2 2p p2 25 5時(shí)，時(shí)，統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 的分布為正態(tài)分布。的分布為正態(tài)分布。平均數(shù)：平均數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)誤：標(biāo)準(zhǔn)誤：1212pppp121 12212ppp qp qnn1 p2 p12 =pppDn如果如果p p1 1與與p p2 2未知，可分別用兩樣本的比率未知，可分別用兩樣本的比率 與與 作為作為p p1 1與與p p2 2的點(diǎn)估計(jì)值的點(diǎn)估