電路方程的矩陣形式

1、第十五章電路方程的矩陣形式重點：1.關(guān)聯(lián)矩陣；2. 結(jié)點電壓方程的矩陣形式；3. 狀態(tài)方程。難點：電路狀態(tài)方程列寫的直觀法和系統(tǒng)法。§ 15.1 圖的矩陣表示1. 有向圖的關(guān)聯(lián)矩陣2. 電路的圖是電路拓撲結(jié)構(gòu)的抽象描述。假設(shè)圖中每一支路都賦予一個參考方向，它成為有向圖。有向圖的拓撲性質(zhì)可以用關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣和割集矩陣描述3. 關(guān)聯(lián)矩陣是用結(jié)點與支路的關(guān)系描述有向圖的拓撲性質(zhì)。4. 回路矩陣是用回路與支路的關(guān)系描述有向圖的拓撲性質(zhì)。5. 割集矩陣是用割集與支路的關(guān)系描述有向圖的拓撲性質(zhì)。6. 本節(jié)僅介紹關(guān)聯(lián)矩陣以及用它表示的基爾霍夫定律的矩陣形式。7. 一條支路連接某兩個結(jié)點，那么稱

2、該支路與這兩個結(jié)點相關(guān)聯(lián)。支路與結(jié)點的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用關(guān)聯(lián)矩陣描述。 設(shè)有向圖的結(jié)點數(shù)為n ,支路數(shù)為b ,且所有結(jié)點與支路均加以編號。于是，該有向圖的關(guān)聯(lián)矩陣為一個 '-'階的矩陣，用 J表示。它的每一行對應(yīng)一個結(jié) 點，每一列對應(yīng)一條支路，它的任一元素定義如下：8'宀，表示支路 k與結(jié)點j關(guān)聯(lián)并且它的方向背離結(jié)點 ；0 9 一，表示支路 k與結(jié)點j關(guān)聯(lián)并且它指向結(jié)點；a = 0 一10.-，表示支路 k與結(jié)點j無關(guān)聯(lián)。對于圖15.1所示的有向圖，它的關(guān)聯(lián)矩陣是12 3456母/:-1-1 0100二 200 1-1-10U7Jrr：-+10 00+1_ 0+1 -100

3、-1/關(guān)聯(lián)矩陣4每一列只有兩個非零元素，一個是 +1，一個是-1，-的每一列元素之和為零。如果把丄的任一行劃去，剩下的 卜-矩陣用.1表示，并稱為降階關(guān)聯(lián)矩陣今 后主要用這種降階關(guān)聯(lián)矩陣， 所以往往略去“降階二字 ，被劃去的行對應(yīng)的結(jié)點可以當(dāng)作參 考結(jié)點。例如，假設(shè)以結(jié)點4為參考結(jié)點，把上式中月的第4行劃去，得 1-1 -10+10 0A= 00-kl-1-10+100 0+1+1_假設(shè)以結(jié)點3為參考結(jié)點，把上式中的第3行劃去，得 1-1-10+10 I)A= 00 -Fl -1 -100+1-10 0 -1矩陣1的某些列將只具有一個+1或一個-1 ，每一個這樣的列必對應(yīng)于與參考結(jié)點相關(guān)聯(lián)的一

4、條支路注意：給定 4可以確定,從而畫岀有向圖2用A表示矩陣形式的 KCL電路中的b個支路電流可以用一個b階列向量表示，即假設(shè)用矩陣 -1左乘電流列向量，那么乘積是一個階列向量，由矩陣相乘規(guī)那么可知,它的每一元素即為關(guān)聯(lián)到對應(yīng)結(jié)點上各支路電流的代數(shù)和，即結(jié)點1上的口_卄結(jié)點2上的主吉點3 1上的工j上式是用矩陣-1表示的KCL的矩陣形式。例如對圖15.1，以結(jié)點4為參考結(jié)點，有:上式為n-1個獨立方程。b階列向量表示，即3用A表示矩陣形式的 KVL 電路中b個支路電壓可以用一個個結(jié)點電壓可以用一個冷-1階列向量表示，即由于矩陣1的每一列，也就是矩陣的每一行，表示每一對應(yīng)支路與結(jié)點的關(guān)聯(lián)情況,所以

5、有例如，對圖15.1有:101參考結(jié)可見上式說明電路中的各支路電壓可以用與該支路關(guān)聯(lián)的兩個結(jié)點的結(jié)點電壓點的結(jié)點電壓為零表示，這正是結(jié)點電壓法的根本思想。同時，可以認為該式是用矩陣示的KVL的矩陣形式。小結(jié)：矩陣-1表示有向圖結(jié)點與支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)。用表示的KCL的矩陣形式為4i = 0用J表示的KVL的矩陣形式為§ 15.2支路電壓電流的矩陣形式在列矩陣形式電路方程時，必須有一組支路約束方程。因此需要規(guī)定一條支路的結(jié)構(gòu)和內(nèi)容。可以采用所謂“復(fù)合支路。1 復(fù)合支路設(shè)復(fù)合支路如圖15.2所示，其中下標k表示第k條支路，'二和'分別表示獨立電壓源和獨立電流源，或 *表示阻抗

6、或?qū)Ъ{，且規(guī)定它只可能是單一的電阻、電感Jr1 1 或電容，而不能是它們的組合，即+ 圖 15.2注意：復(fù)合支路只是定義了一條支路最多可以包含的不同元件數(shù)及連接方式，但允許缺少某些元件。另外，為了 寫岀復(fù)合支路的支路方程，還應(yīng)規(guī)定電壓和電流的參考方向。本章中采 用的電壓和電流的參考方向如圖15.2 所示。2用支路阻抗表示的支路方程的矩陣形式復(fù)合支路如圖 15.2所示應(yīng)用KCL和KVL可以寫岀用阻抗表示的k支路電壓、電流關(guān)系方程：Z二乙厶+心一乞丄假設(shè)設(shè):7 f為支路電流列向量;兔】為支路電壓列向量;A= 41 匚T為支路電流源的電流列向量;S 為支路電壓源的電壓列向量。對整個電路，支路方程為

7、10H Ih +4 20A_式中z稱為支路阻抗矩陣，它是一個的對角陣。當(dāng)電路中存在耦合電感時，支路阻抗矩陣 Z不再是對角陣，這里不再詳述。3用支路導(dǎo)納表示的支路方程的矩陣形式即 30 ，電感間無耦合時,設(shè)復(fù)合支路如圖15.3所示。當(dāng)電路中無受控電流源 對于第k條支路有人汀衛(wèi)廣厶廠耳N十咲A 對整個電路有m+磯-人式中Y稱為支路導(dǎo)納矩陣，它是一個對角陣。當(dāng)電路中含有受控電流源，電感間無耦合時， 設(shè)第k支路中有受控電流源并受第j支路中無源元件上的電壓 或電流'控制，其中'_' -或此時，對第 k支路有皿+如仏-而在CCCS的情況下,在VCCS情況下，上式中的:：。于是有式中

8、當(dāng)九為vceH當(dāng)九為CCCSBt可見此時支路方程在形式上仍與情況1時Y也不再是對角陣。時相同，只是矩陣 Y的內(nèi)容不同而已。 注意此§15.3結(jié)點電壓電流的矩陣形式1 KCL、KVL和支路方程的矩陣形式結(jié)點電壓法以結(jié)點電壓為電路的獨立變量，并用 路與結(jié)點關(guān)聯(lián)性質(zhì)的是矩陣A，因此宜用以 AKCL列岀足夠的獨立方程。由于描述支 表示的 KCL和KVL推導(dǎo)結(jié)點電壓方程的矩陣形式。設(shè)結(jié)點電壓列向量為乩，KVL方程為""1兒'上述KVL方程表示了與支路電壓列向量"的關(guān)系，它提供了選用作為獨立電路變量的可能性。用矩陣A表示的KCL為X/ = 0式中i表示支路電

9、流列向量作為導(dǎo)出結(jié)點電壓方程的依據(jù)。 對于結(jié)點電壓方程，宜采用支路導(dǎo)納表示的矩陣形式的支路方程即2 結(jié)點電壓方程的矩陣形式A表示的 KCL和KVL以及用支路導(dǎo)納表為了推導(dǎo)岀結(jié)點電壓方程的矩陣形式，將用 示的支路方程重寫如下：KCL 丄一 U支路方程把支路方程代入 KCL可得:再把KVL代入便得A¥Un = A/3-A¥Us上式即結(jié)點電壓方程的矩陣形式。由于乘積AY的行和列數(shù)分別為"-和b，乘積D s 的行和列數(shù)都是''-，所以乘積十是一個 - 階方陣。同理，乘積4、和都是廣'階的列向量。如設(shè)，丿""，那么式"小

10、化可寫為譏=£°；稱為結(jié)點導(dǎo)納矩陣，它的元素相當(dāng)于第三章中結(jié)點電壓方程等號左邊的系數(shù)；/為由獨立電源引起的注入結(jié)點的電流列向量，它的元素相當(dāng)于第三章中結(jié)點電壓方程等號右邊的常數(shù)項。3 結(jié)點電壓法的一般步驟1將電路圖抽象為有向圖；2形成有向圖的關(guān)聯(lián)矩陣A;3形成支路導(dǎo)納矩陣 丫 ；4形成電壓源向量和電流源向量； 5用矩陣相乘形成結(jié)點電壓方程石-我；-.盯廠：§5.4 狀態(tài)方程1.網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)與狀態(tài)變量1網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)指能和鼓勵一道唯一確實定網(wǎng)絡(luò)現(xiàn)時和未來的行為的最少的一組信息量。2狀態(tài)變量在分析網(wǎng)絡(luò)或系統(tǒng)時在網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部選一組最少數(shù)量的特定變量 X , X=X 1 ,X2X n

11、T，只要知道這組量在某一時刻值Xto,再知道輸入 et就可以確定to及to以后任何時刻網(wǎng)絡(luò)的性狀 響應(yīng)，稱這一組最少數(shù)目的特定變量為狀態(tài)變量。網(wǎng)絡(luò)中各獨立的電容電壓或電荷，電感電流或磁通鏈在任意瞬間to的值確定，就可完全確定t3to以后的完全響應(yīng)。如一階二階電路，因此可以選擇為狀態(tài)變量。注意：這里講的為數(shù)最少的網(wǎng)絡(luò)變量是互相獨立的。因此：1當(dāng)一個網(wǎng)絡(luò)中存在純電容回路，由KVL可知其中必有一個電容電壓可由回路中其它元件的電壓求岀，此電容電壓為非獨立的電容電壓。2網(wǎng)絡(luò)中與獨立電壓源并聯(lián)的電容元件，其電壓Uc由us決定。3當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中存在純電感割集，由KCL可知其中必有一個電感電流可由其它元件的電流求岀

12、，此電感電流為非獨立的。4網(wǎng)絡(luò)中與獨立電流源串聯(lián)的電感元件，其iL由is決定。以上四種請況中非獨立的Uc和iL不能作為狀態(tài)變量， 不含以上四種情況的網(wǎng)絡(luò)稱為常態(tài)網(wǎng)絡(luò)。狀態(tài)變量數(shù)等于C、L元件總數(shù)。含有以上四種情況的網(wǎng)絡(luò)稱為非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)變量數(shù)小于網(wǎng)絡(luò)中C、L元件總數(shù)，下面著重討論常態(tài)網(wǎng)絡(luò)。2 狀態(tài)方程求解狀態(tài)變量的方程稱為狀態(tài)方程。每個狀態(tài)方程中只含有一個狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)。狀態(tài)方程的特點：1聯(lián)立的一階微分方程組；2左端為狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)；3右端含狀態(tài)變量和輸入量狀態(tài)方程的標準形式如下：i= Ax+Ev其中，x稱為狀態(tài)向量，v稱為輸入向量。在一般情況下，設(shè)電路具有n個狀態(tài)變量m個獨立源，上式中的T和x為n階向量， A為二方陣，B為訂：厲矩陣。上式有時稱為向量微分方程。3 狀態(tài)方程的列寫1丨直觀列寫法適用于簡單的電路。要列岀包含項的方程，必須對只接有一個電容的結(jié)點或割集寫岀KCL 。要列岀包含 止項的方程，必須對只包含一個電感的回路列寫KVL 。當(dāng)列岀全部這樣的KCL和KVL方程后，通常可以整理成標準形式的狀態(tài)方程。注意：對于上述 KCL和KVL方程中岀現(xiàn)的非狀態(tài)變量，只有將它們表示為狀態(tài)變量后，才能得到狀態(tài)方程的標準形式。直觀編寫法的缺