特殊四邊形中常添加的輔助線

1、特殊四邊形 -作輔助線 添加輔助線解特殊四邊形 特殊四邊形主要包括平行四邊形、 矩形、 菱形、正方形和梯形 .在解決一些和 四邊形有關(guān)的問題時往往需要添加輔助線 .下面介紹一些輔助線的添加方法 .知識點(diǎn)一：平行四邊形有關(guān)的輔助線作法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的 平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三 角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：（1）連對角線或平移對角線：（2）過頂點(diǎn)作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形（3）連接對角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過對角

2、線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造 線段平行或中位線（4）連接頂點(diǎn)與對邊上一點(diǎn)的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等 積三角形。（5）過頂點(diǎn)作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等 . 第一類：連結(jié)對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個全等三角形。例1 、 如圖 1，在平行四邊形 ABCD中，點(diǎn)E,F 在對角線 AC上，且 AE CF , 請你以 F 為一個端點(diǎn)， 和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線段， 猜想并證明 它和圖中已有的某一條線段相等（只需證明一條線段即可）連結(jié) BF BF DE證明：連結(jié) DB,DF ,設(shè)DB, AC交于點(diǎn) O四邊形 ABCD為平行四邊形 AO OC,DO OB AE FC A

3、O AE OC FC 即 OE OF四邊形 EBFD 為平行四邊形 BF DE圖1圖2第二類：平移對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例 2 、如圖 2，在平行四邊形 ABCD 中，對角線 AC 和 BD 相交于點(diǎn) O，如果 AC 12，BD 10， AB m，那么m的取值范圍是（）A 1 m 11 B2 m 22 C 10 m 12 D 5 m 6解：將線段DB沿DC方向平移，使得DB CE,DC BE ,則有四邊形 CDBE 為平行四邊形 ,在 ACE中, AC 12,CE BD 10, AE 2AB 2m12 10 2m 12 10，即2 2m 22 解得1 m 11 故選 A 第三類：過一

4、邊兩端點(diǎn)作對邊的垂線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形 問題。例 3 、已知：如圖 3，四邊形 ABCD 為平行四邊形ABC DCFAEBDFC 900ABEDCF求證：AC2BD2AB2BC2 CD 2DA2證明：過 A,D 分別作 AEBC于點(diǎn) E，DF BC 的延長線于點(diǎn) FAC2AE2CE2AB2BE 2 (BCBE) 2 AB2 BC 2 2BE BCBD 2DF2BF2(CD 22CF 2) (BC2 2 2CF)2 CD 2 BC2 2BC CF則 AC2 BD2 AB2 BC2 CD 2 DA2 2BC CF 2BC BE四邊形 ABCD 為平行四邊形 AB CD 且 AB

5、CD, ADBC BE CF AC2 BD2 AB2 BC 2 CD2 DA2FA第四類：延長一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。 例4：已知：如圖 4，在正方形 ABCD中，E, F 分別是CD 、DA的中點(diǎn)， BE與CF交于 P 點(diǎn)，求證： AP AB證明：延長 CF 交 BA的延長線于點(diǎn) K ， 四邊形 ABCD為正方形 AB CD 且 ABCD ,CD AD,BADBCDD9001 K 又D DAK 900,DF AFCDF KAFAK CD AB 1CE CD,DF21AD 2CEDFBCD D 900 BCE CDF 1213 9002 3 90 0 CPB 900 ,則

6、0KPB 900 APAB第五類：延長一邊上一點(diǎn)與一頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為平行線型相似三 角形。例 5、如圖 5，在平行四邊形 ABCD中，點(diǎn) E為邊 CD上任一點(diǎn)，請你在該圖基 礎(chǔ)上，適當(dāng)添加輔助線找出兩對相似三角形。解：延長 AE與BC的延長線相交于 F ，則有 AED FEC,FAB FEC,AED FABFD第六類：把對角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)連結(jié)，構(gòu)造三角形中位線1 例 6、已知：如圖 6，在平行四邊形 ABCD 中， AN BN,BE BC,NE3 交 BD 于 F ，求 BF :BD解：連結(jié) AC交 BD于點(diǎn)O,連結(jié) ON四邊形 ABCD為平行四邊形 OA OC,OB OD BD

7、2ANBNON 1BC且ON11 BCBEBF11BC22 BFONFOBE BE:ON 2:323 FO3BF2 BF :BD 1:5BO5綜上所述，平行四邊形中常添加輔助線是：連對角線，平移對角線，延長一 邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線等，這樣可將平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形（或特殊三角形） 、矩 形（梯形）等圖形，為證明解決問題創(chuàng)造條件。知識點(diǎn)二：和菱形有關(guān)的輔助線的作法 和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或 性質(zhì)定定理解決問題 .例 7 、如圖 7，在 ABC中， ACB=90， BAC的平分線交 BC于點(diǎn) D，E是 AB 上一點(diǎn)，且 AE=AC， EF分析：要證明四邊形

8、CDEF是菱形，根據(jù)已知條件， 本題有兩種判定方法， 一是證明四邊相等的四邊形是菱形， 二是證明對角線互相 垂直平分的四邊形是菱形 .根據(jù) AD是 BAC的平分線， AE=AC，可通過連接 CE， 構(gòu)造等腰三角形，借助三線合一證明 AD垂直 CE. 求AD平分 CE. 證明：連結(jié) CE交 AD于點(diǎn) O，由 AC=AE，得 ACE是等腰三角形，因?yàn)锳O平分 CAE，所以 AOCE，且OC=OE，因?yàn)?EF以四邊形 CDEF是菱形. 例 8、 如圖 8，四邊形 ABCD是菱形， E 為邊 AB上一個定點(diǎn)， F 是 AC上一個動 點(diǎn)，求證 EF+BF的最小值等于 DE長 .圖7圖8分析：要證明 EF

9、+BF的最小值是 DE 的長，可以通過連結(jié)菱形的對角線 BD，借助 菱形的對角線互相垂直平分得到 DF=BF，然后結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊解 決問題.證明：連結(jié) BD、DF.因?yàn)?AC、BD是菱形的對角線，所以 AC垂直 BD 且平分 BD， 所以 BF=DF，所以 EF+BF=EF+DFDE，當(dāng)且僅當(dāng) F運(yùn)動到 DE與 AC的交點(diǎn) G 處時，上式等號成立，所以 EF+BF的最小 值恰好等于 DE的長 .綜上所述， 菱形是一種特殊的平行四邊形， 和菱形的有關(guān)證明題或計(jì)算題作輔助 線的不是很多，常見的幾種輔助線的方法有：（ 1）作菱形的高；（2）連結(jié)菱形的對角線 .知識點(diǎn)三：與矩形有輔助線作

10、法和矩形有關(guān)的題型一般有兩種： （1）計(jì)算型題， 一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角 形借助勾股定理解決問題； （2）證明或探索題， 一般連結(jié)矩形的對角線借助對角 線相等這一性質(zhì)解決問題 .和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少 .例 9、如圖 9，已知矩形 ABCD內(nèi)一點(diǎn)， PA=3，PB=4，PC=5求. PD的長 . 分析：要利用已知條件，因?yàn)榫匦?ABCD，可過 P 分別作兩組對邊的平行線，構(gòu) 造直角三角形借助勾股定理解決問題 .解：過點(diǎn) P分別作兩組對邊的平行線 EF、GH交AB于 E，交CD于 F，交BC于點(diǎn)H，交 AD 于 G.因?yàn)樗倪呅?ABCD是矩形，所以 PF2=CH2=PC2-PH

11、2，DF2=AE2=AP2-EP2， PH2+PE2=BP2，所以 PD2=PC2-PH2+AP2-EP2=PC2+AP2-PB2=52+32-42=18，所以 PD=3 2.圖 10圖9說明：本題主要是借助矩形的四個角都是直角， 通過作平行線構(gòu)造四個小矩形， 然后根據(jù)對角線得到直角三角形，利用勾股定理找到 PD與 PA、PB、 PC之間的 關(guān)系，進(jìn)而求到 PD 的長 .知識點(diǎn)四：與正方形有關(guān)輔助線的作法正方形是一種完美的幾何圖形， 它既是軸對稱圖形， 又是中心對稱圖形， 有關(guān) 正方形的試題較多 .解決正方形的問題有時需要作輔助線，作正方形對角線是解 決正方形問題的常用輔助線 .1例 10、如

12、圖 10，過正方形 ABCD的頂點(diǎn) B 作 BE證： BCF=2 AEB.1分析：由 BE2證明：連接 BD交AC于O，作 AHBE交BE于 H.11在正方形 ABCD中， ACBD，AO=BO，又 BE2 2說明： 本題是一道綜合題，既涉及正方形的性質(zhì)，又涉及到菱形的性質(zhì) .通過連 接正方形的對角線構(gòu)造正方形 AHBO，進(jìn)一步得到菱形， 借助菱形的性質(zhì)解決題 . 知識點(diǎn)五：與梯形有關(guān)的輔助線的作法和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的 .主要涉及以下幾種類型： （1）作一腰的平行線構(gòu)造平行四邊形和特殊三角形； （2）作梯形的高，構(gòu)造矩 形和直角三角形；（3）作一對角線的平行線， 構(gòu)造直角三角形和平

13、行四邊形； （4） 延長兩腰構(gòu)成三角形； （5）作兩腰的平行線等 .例 11 、已知如圖 11，在梯形 ABCD中，AD 證： CO=CD.分析：要證明 CO=CD，可證明 COD=CDO，由于已知 BAC=90，所以可通 過作梯形高構(gòu)造矩形，借助直角三角形的性質(zhì)解決問題 .證明：過點(diǎn) A、D 分別作 AEBC，DFBC，垂足分別是 E、F，則四邊形 AEFD 為矩形，因?yàn)?AE=DF，AB=AC，AEBC， BAC=90，11 所以 AE=BE=CE2= BC， ACB=45，所以 AE=DF=2 ， 又 DFBC，所以在 RtDFB中， DBC=30，75180 DBC又 BD=BC，所以 BDC= BCD=2所以 DOC=DBC+ACB=30+45=75.所以 BDC=DOC，所以 C0=CD.圖 11說明： 在證明線段相等時，一般利用等角對等邊來證明，本題作梯形的高將梯 形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形，進(jìn)而根據(jù)直角三角形知識解決 .例 12 、如圖 12，在等腰梯形 ABCD中，ADDE的長 . 分析：根據(jù)本題的已知條件， 可通過平移一條對角線， 把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形 和直角三角形，借助勾股定理解決 .1111解：過點(diǎn) D作DF2 2 2 2因?yàn)?AC說明:當(dāng)有對角線或垂直成梯形時 ,常作梯形對 角線的平行線 ,構(gòu)造平行四邊形 ,等腰三角形或直角三角形來解決 .知識點(diǎn)六：