高中數(shù)學(xué)典型例題分析與解答：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1、.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)x2 sin1, x 0例 求函數(shù)f ( x)x的導(dǎo)數(shù)0, x0分析 ：當(dāng) x0 時(shí)因?yàn)?f(0)存在，所以應(yīng)當(dāng)用導(dǎo)數(shù)定義求f (0) ，當(dāng) x0 時(shí)， f ( x) 的關(guān)系式是初等函數(shù) x 2 sin 1 ，可以按各種求導(dǎo)法同求它的導(dǎo)數(shù)xf ( x)f (0)x2 sin 1lim x sin 1解： 當(dāng) x0時(shí)， f(0)limlimxx0x0xx 0x 0x當(dāng)x0時(shí)f ( x) (x2 s1) ( x2 ) s1x2 (1i) 2xs1i x2 (12cs 1 )n 2xs i 1cn 1oixxxxxxxx說(shuō)明： 如果一個(gè)函數(shù)g( x) 在點(diǎn) x0 連續(xù)

2、，則有 g (x0 )lim g( x) ，但如果我們不能斷定f ( x)xx0，i no的導(dǎo)數(shù)f ( x) 是否在點(diǎn) x00 連續(xù)，不能認(rèn)為f (0)lim f ( x) x0指出函數(shù)的復(fù)合關(guān)系例 指出下列函數(shù)的復(fù)合關(guān)系1 y(a bx n ) m ； 2 y ln 3 ex2 ；3 y3 log 2 (x22x 3) ； 4 ysin( x1) 。x分析： 由復(fù)合函數(shù)的定義可知，中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu)，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，一般是從最外層開(kāi)始，由外及里，一層一層地分析，把復(fù)合函數(shù)分解成若干個(gè)常見(jiàn)的基本函數(shù)，逐步確定復(fù)合過(guò)程解： 函數(shù)的復(fù)合關(guān)系分別是1 y u

3、 m, u a bxn ；2 y ln u, u 3 v, v ex2 ；3 y3u , ulog 2 v,vx 22x 3 ；4 yu3 , usin v, vx1 .x說(shuō)明： 分不清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，忽視最外層和中間變量都是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，而最內(nèi)層可以是關(guān)于自變量 x 的基本函數(shù)，也可以是關(guān)于自變量的基本函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算而得到的函數(shù)，導(dǎo)致陷入解題誤區(qū)，達(dá)不到預(yù)期的效果;.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1 y(2x3x1 ) 4 ；2 y11；x2x23 ysin 2 ( 2x) ； 4 yx 1x2。3分析： 選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵必須正確分析復(fù)合函數(shù)是由哪些基本

4、函數(shù)經(jīng)過(guò)怎樣的順序復(fù)合而成的，分清其間的復(fù)合關(guān)系要善于把一部分量、式子暫時(shí)當(dāng)作一個(gè)整體，這個(gè)暫時(shí)的整體，就是中間變量求導(dǎo)時(shí)需要記住中間變量，注意逐層求導(dǎo)，不遺漏，而其中特別要注意中間變量的系數(shù)求導(dǎo)數(shù)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)解： 1解法一：設(shè) u2x3x1 , yu4 ，則1x11yxyu ux4u3(6x213x3(6x21).x2 ) 4(2xx)x214131解法二： y2x3x4 2x3x2x3xxxx4 2 x3x16x2 112 .xx12x2 ，則2解法一：設(shè) y u2 , u13yxyu ux1 u 24x2123212x4x2322x 12x22x.(12x2 ) 1

5、2x21解法二： y112x2212x2;.13(12x 2 ) 212x2213(12x 2 ) 2(4x)232x(12x2 ) 22 x.(12x 2 )1 2x23解法一：設(shè) yu2 ,usin v, v2x，則3yxyuuvvx2ucos v 22 sin2x3cos2x322 sin4x2.3解法二： ysin 2 2x32 sin2x3sin2x32 sin2x3cos 2x32x32 sin2x3cos 2x322 sin4x2.3x2x2x4 .設(shè) y1x2x 4 ，則4解法一： yx1u 2 , u114x3 )yxyuuxu 2(2x21 (x21x4 ) 2(2x4x3

6、 )22x32x 2 )2x2xx(11.x2x4x 1 x21 x2解法二：y(x1x2)x1x2( 1x2)x1x2x2x212x2.11x2說(shuō)明： 對(duì)于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，要注意分析問(wèn)題的具體特征，靈活恰當(dāng)?shù)剡x擇中間變量，不可機(jī)械照搬某種固定的模式，否則會(huì)使確定的復(fù)合關(guān)系不準(zhǔn)確，不能有效地進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算學(xué)生易犯錯(cuò)誤是混淆變量或忘記中間變量對(duì)自變量求導(dǎo);.求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（其中f ( x) 是可導(dǎo)函數(shù)）1 y f1； 2 y f ( x21).x分析： 對(duì)于抽象函數(shù)的求導(dǎo)，一方面要從其形式上把握其結(jié)構(gòu)特征，另一方面要充分運(yùn)用復(fù)合關(guān)系的求導(dǎo)法則。先設(shè)出中間變量，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)

7、數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算。一般地，假設(shè)中間變量以直接可對(duì)所設(shè)變量求導(dǎo)，不需要再次假設(shè)，如果所設(shè)中間變量可直接求導(dǎo)，就不必再選中間變量。解： 1解法一：設(shè) yf (u), u1 ，則x111yxyu uxf (u)x2x2 fx.解法二： y1f111fxxx2 fx2解法一：設(shè)yf (u), uv, vx21，則1yxyu uuvxf (u)1 v 22x2f ( xx21)1112 x2x2xf (x21).x21解法二： yf (x21)f(x21)(x21 (x21f ( x21)1) 2 ( x21)21f ( x21) (x21) 2 2x.xf(x21).x211 .x1)說(shuō)明： 理解概念應(yīng)準(zhǔn)