數(shù)學歸納法在中學數(shù)學證明中的應用本科畢業(yè)論文（可編輯）

1、 摘 要 數(shù)學歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關的數(shù)學命題的一種推理方法,同時也是數(shù)學命題證明的一種數(shù)學思想.針對與自然數(shù)有關的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等的證明,在中學數(shù)學課堂教學及證明中具有廣泛的運用,本文對它在中學數(shù)學不同類型證明中作簡要分析,目的在于培養(yǎng)學生觀察能力、邏輯思維能力、形象思維以及解決整體性問題的能力.數(shù)學歸納法作為由特殊概括出一般的一種思維方法,具有兩種基本意義,首先數(shù)學歸納法是一種推理方法,稱為歸納推理,它可以為我們提出猜想,為論證提供基礎和依據(jù).其次歸納是一種研究方法,歸納是一種又創(chuàng)造性的探索式思維方法,能開發(fā)智力,拓寬思路,引出猜想

2、,它在發(fā)現(xiàn)問題和探索解題途徑的過程中起著重要作用.數(shù)學歸納法可按照它的概括事物是否完全分為兩種基本形式?不完全歸納和完全歸納.本文還介紹了在數(shù)學解題過程中歸納發(fā)現(xiàn)的思考方法:利用歸納法發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學猜想,利用歸納法發(fā)現(xiàn)問題的結論,運用歸納法發(fā)現(xiàn)解題途徑等. 關鍵詞:數(shù)學歸納法;不完全歸納法;完全歸納法;中學數(shù)學;應用 Abstract Mathematical induction is a kind of reasoning methods, which is used to prove some propositions related mathematical natural number

3、, it is also a kind of mathematical proposition proof mathematical thoughts. According to the concerned with natural number , algebraic inequalities identities, triangular, inequality series problem, geometry problems, division of sexual problems ,it has widely applied to the classroom teaching and

4、proof in high school. As different mathematical inductions have different types of proof in middle school, this paper makes a brief analysis aims to cultivate the students' observation, logical thinking ability, visual thinking and solving integrity question ability. Mathematical induction, as s

5、ummarized by the general as a special way of thinking, has two basic meanings, the first mathematical induction is a kind of reasoning, known as inductive reasoning, it can bring up us suppose ,Provide the basis and foundation for the argument. Second, induction is a research method, induction is a

6、creative exploration of another type of thinking, can develop intelligence, broaden thinking, leads to speculation, it plays an important role in finding the problem and ways to explore the process of problem solving. Mathematical induction, in accordance with its general matter is completely divide

7、d into two basic forms - incomplete induction and complete induction. This article also describes the process of mathematics problem solving way of inductive methods of discovery: using mathematical induction to find and put forward mathematical suppose, using induction to find conclusions of the pr

8、oblems, using induction to find problem-solving approach. Keywords: mathematical induction;mathematics of middle school;application目 錄第1章 緒論1第2章 數(shù)學歸納法的概述12.1 數(shù)學歸納法的來源12.2 數(shù)學歸納法原理22.3 數(shù)學歸納思想?從特殊到一般22.4 數(shù)學歸納思想?遞推思想22.4.1 什么叫推理?22.4.2 推理的形成32.4.3 數(shù)學歸納法的形式3第3章 數(shù)學歸納法應注意的幾個問題33.1 應認真領會數(shù)學歸納法的實質43.2 與自然數(shù)有關的

9、具體命題內(nèi)容的理解43.3 對數(shù)學歸納法原理的理解4第4章 數(shù)學歸納法在幾種命題中的應用舉例54.1 運用數(shù)學歸納法證明數(shù)列問題54.2 運用數(shù)學歸納法證明不等式問題54.3運用數(shù)學歸納法證明幾何問題64.4運用數(shù)學歸納法證明整除性問題74.5運用數(shù)學歸納法證明三角恒等式問題8第5章 數(shù)學歸納法在中學數(shù)學中的地位和作用8第6章 結束語9致謝9參考文獻9第1章 緒論 數(shù)學歸納法是數(shù)學中一種重要的證明方法,用于證明與自然數(shù)有關的命題.一旦涉及無窮,總會花費人們大量的時間與精力,去研究它的真正意義.數(shù)學歸納法這個涉及“無窮”而無法直觀感覺的概念,自然也需要一個漫長的認識過程. 一般認為,歸納推理可以

10、追溯到公元前6世紀的畢達哥拉斯時代.畢達哥拉斯對點子數(shù)的討論是相當精彩的.他由有限個特殊情況而作出一般結論,具有明顯的推理過程,但這些推理只是簡單的列舉,沒有涉及歸納結果,因此是不完全的歸納推理.完整的歸納推理,即數(shù)學歸納法的早期例證是公元前3世紀歐幾里得幾何原本中對素數(shù)無限的證明.其中已經(jīng)蘊含著歸納步驟和傳遞步驟的推理.16世紀中葉,意大利數(shù)學家莫羅利科F?Maurolycus對與自然數(shù)有關命題的證明進行了深入的研究.莫羅利科認識到,對于一個與自然數(shù)有關的命題,為了檢驗其正確與否,若采取逐一代入數(shù)進行檢驗的方法,那不是嚴格意義上的數(shù)學證明,要把所有的自然數(shù)都檢驗一遍是不可能做得到的1,因為自

11、然數(shù)有無窮多個.那么對于這類問題該如何解決呢?1575年,莫羅利科在他的算術一書中,明確地提出了“遞歸推理”這個思想方法. 法國數(shù)學家B?帕斯卡Pascal對莫羅利科提出的遞歸推理思想進行了提煉和發(fā)揚.在他的論算術三角形中首次使用數(shù)學歸納法,并用其證明了“帕斯卡三角形”-項展開式系數(shù)表,中國稱為“賈憲i角性”或“楊輝三角形”等命題. “數(shù)學歸納法”這一名稱最早見于英國數(shù)學家A.德?摩根1838年所著的小百科全書的引言中.德?摩根指出“這和通常的歸納程序有極其相似之處”,故賦予它“逐次歸納法”的名稱.由于這種方法主要應用于數(shù)學命題的證明,德?摩根又提出了“數(shù)學歸納法”這個名稱.雖然數(shù)學歸納法早就

12、被提出并廣泛應用了,一直以來它的邏輯基礎都是不明確的.1889年意大利數(shù)學家皮亞諾G.Peano建立了自然數(shù)的序數(shù)理論,將“后繼”作為一種不加定義的基本關系,列舉了自然數(shù)不加證明的五條基本性質,其中歸納公理便為數(shù)學歸納法的邏輯基礎. 至此,數(shù)學歸納法有了嚴格的邏輯基礎,并逐漸演變?yōu)橐环N常用的數(shù)學方法. 我國著名的數(shù)學家華羅庚曾說:“把數(shù)學歸納法學好了,對進一步學好高等數(shù)學有幫助,甚至對認識數(shù)學的性質,也會有所裨益.” 數(shù)學歸納法是數(shù)學中一種證明與自然數(shù)有關的數(shù)學命題的重要方法,已知最早的使用數(shù)學歸納法的證明出現(xiàn)于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum lib

13、ri duo 1575年 2.Maurolico 證明了前個奇數(shù)的總和是,最簡單和常見的數(shù)學歸納法證明方法是證明當屬于所有自然數(shù)時一個表達式成立.它是一個遞推的數(shù)學論證方法,論證的第一步是證明命題在 或時成立,這是遞推的基礎;第二步是假設在時命題成立,再證明時命題也成立,這是無限遞推下去的理論依據(jù),它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般,實際上它使命題的正確性突破了有限,達到無限.這兩個步驟密切相關,缺一不可,完成了這兩步,就可以斷定“對任何自然數(shù)(或且)結論都正確2. 宏觀來看,數(shù)學歸納法看似單一,可看作一個公式來證明命題,實則不然,它要求學生掌握必備的知識與技能,同時還要有一定的邏輯思維能

14、力等.最后我們通過運用數(shù)學歸納法的了解和運用數(shù)學歸納法解決一些與自然數(shù)有關的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等的證明,最終熟練掌握“歸納?猜想?證明2”這一思維方法,這也是中學數(shù)學課堂教學的一項重要內(nèi)容. 第2章 數(shù)學歸納法的概述 數(shù)學歸納法作為數(shù)學命題證明中的一種重要方法,有其獨特的歷史來源、基本原理、推理思想以及固定模式.2.1 數(shù)學歸納法的來源 數(shù)學歸納法來源于皮亞諾(peano)自然公理4,其用非形式化的方法敘述如下: (1)1是自然數(shù); (2)每一個確定的自然數(shù)都有一個確定的后繼數(shù),記作或,也是自然數(shù); (3)如果、都是自然數(shù),那么 ; (4)1不是任何

15、自然數(shù)的后繼數(shù); (5)如果一些自然數(shù)的集合S具有性質:11在中;2若在中,則也在中.那么 公理中(5)就為數(shù)學歸納法提供了依據(jù),保證了數(shù)學歸納法的正確性,從而被稱為歸納法原理.2.2 數(shù)學歸納法原理 不同的領域數(shù)學歸納法有不同的形式,在中學數(shù)學中,數(shù)學歸納法原理有以下兩種基本形式4: 1)第一數(shù)學歸納法 設是一個關于正整數(shù)的命題,如果 (1)成立奠基; (2)假設成立,可以推出成立歸納; 那么,對一切大于等于的自然數(shù)都成立. 2)第二數(shù)學歸納法 設是關于自然數(shù)的命題,若 (1),()成立奠基; (2)假設 ,成立,則成立歸納; 那么,成立. 兩種數(shù)學歸納法都是分兩步完成,第一步是推理的過程,

16、第二步是遞推的依據(jù).也就相當于是對一切自然數(shù),命題成立的話,那么后面的一個自然數(shù)都滿足命題成立4.即在前一個命題成立的前提下,后一個命題就一定成立.這樣依次遞推下去就有了命題對任意(,成立.這也就將有限的問題轉化為無限次的驗證過程了,體現(xiàn)了數(shù)學歸納法由無限到有限的轉化.2.3 數(shù)學歸納思想?從特殊到一般 “從特殊到一般”與“由一般到特殊”乃是人類認識客觀世界的一個普遍規(guī)律,而在人類探索世界奧秘的奮斗中誕生和發(fā)展起來的任何一門學科,都將受到這一規(guī)律的制約.數(shù)學當然也不例外,同樣要被納入這一規(guī)律的模式之中. 由于事物的特殊性中包括著普遍性,即所謂共性存在于個性之中,而相對于“一般”而言,特殊的事物

17、往往顯得簡單、直觀和具體,并為人們所熟知.另一方面,由于“一般”概括了“特殊”,“普遍”比“特殊”更能反映事物的本質,因而當我們在處理問題的時候,若能置待解決的問題于更為普遍的情形中,進而通過對一般情形的研究去處理特殊情形的思考方式,不僅是可行的,而且是必要的. 正因為如此,實踐和歸納成了數(shù)學家尋找真理和發(fā)現(xiàn)真理的主要手段.如勾股定理,多面體的面頂棱公式,前個自然數(shù)的立方和公式,二項展開式和楊輝三角形等,無一不是觀察、實驗和歸納的結果.偉大的數(shù)學家歐拉曾說“數(shù)學這門科學,同樣需要觀察、實驗”.無獨有偶,大數(shù)學家高斯也曾說過,他的許多定理都是靠歸納法發(fā)現(xiàn)的,證明只是一個補行的手續(xù).縱觀古今,科學

18、的發(fā)展史其實也是一部觀察史、一部猜想史,更是一部論證史.數(shù)學的發(fā)展更是這樣的.科學結論的得到大致包含以下幾個階段:觀察、實踐推廣猜測一般性結論論證結論.而數(shù)學歸納法恰恰是論證結論的最佳方法.這與數(shù)學大師所說的“先從少數(shù)的事例中摸索出規(guī)律來,再從理論上論證這一規(guī)律的一般性,這是人們認識自然的客觀法則之一”的觀點大致相同.2.4 數(shù)學歸納思想?遞推思想5 數(shù)學歸納法獨到之處便是解決了有限與無限這一矛盾,即運用了有限個步驟解決無限多種數(shù)學情況,實現(xiàn)這一目的的工具就是遞推思想.遞推也就存在推理,既然是推理的過程,那就為數(shù)學歸納法奠定了基礎,那推理是如何體現(xiàn)數(shù)學歸納法的呢?2.3.1 什么叫推理? 由舊

19、知識通過實踐、推理、驗證,得出新知識的過程就叫推理5.2.3.2 推理的形成: 1°大前提:認可一些事理 2°小前提:和大前提相關的一些特殊事實 3°結論:依據(jù)大小前提做出判斷 以上就是我們所說的三段論法,就推理思維方式的不同得出歸納法的定義,也就是有特殊到一般的推理就是數(shù)學歸納法.2.3.3 數(shù)學歸納法的形式 對可數(shù)的事物要證其具有某種共有的性質,不可能一一加以證明,這時就需要用數(shù)學歸納法.原理5:將可數(shù)事物按自然數(shù)的系列排列為: , 若 1°具有性質; 2°在該系列中有遺傳性,即:當有性質時,必有性質,則自以后的都具有性質.步驟6:1

20、76; 將研究對象按自然數(shù)系列對應的順序排列; 2° 證明命題對系列的首項來說為真; 3° 假定命題對系列中任意指定項都為真; 4° 證明其后一項也為真; 5° 作出判斷,得出結論. 數(shù)學歸納法就推理證明的過程是很簡單明了的,只要涉及與自然數(shù)有關的命題證明,很容易反應到數(shù)學歸納法的思想,可推理和證明的三段式理論真正掌握,還得有其獨特的推理過程及邏輯結構.它要求學生掌握必備的知識與技能,在利用數(shù)學歸納法證題時,就存在各種技巧上的應用,同時數(shù)學歸納法的難點還是在于運用這種整體思想來穿插于其他不同類型的證明方法上7.因此我們對于數(shù)學歸納法的理解和應用上還得給予

21、足夠的重視,證法單一,運用卻十分廣泛.第3章 數(shù)學歸納法應注意的幾個問題 數(shù)學歸納法是中學數(shù)學中的一種重要的證明方法,它在中學數(shù)學中占有很重要的地位.對于初學者來說這部分內(nèi)容學起來雖困難不大,它呈現(xiàn)出固定的程式,人們一般容易簡單模仿,而在具體問題的運用中就會出現(xiàn)力不從心,錯誤百出,在應用數(shù)學歸納法證明題目時,就容易出現(xiàn)許多問題,值得注意.3.1 應認真領會數(shù)學歸納法的實質 數(shù)學歸納法由“奠基”和“歸納”兩步組成,在歸納過程中必須用到“歸納假設”.對數(shù)學歸納法遞推思想證明與自然數(shù)有關的數(shù)學問題時,不僅要掌握一定的知識背景,同時還應具備一定的轉化和技巧性8,比如常用到得數(shù)學思想:放縮法、解析法等.

22、現(xiàn)概括出數(shù)學歸納法推證步驟程序圖8如圖3-1:3.2 與自然數(shù)有關的具體命題內(nèi)容的理解 利用數(shù)學歸納法可以證明一類與自然數(shù)有關的數(shù)學命題,但不是只要與自然數(shù)有關的命題都可用數(shù)學歸納法求證,有時就具有可靠性的,“哥德巴赫猜想”的證明除我國數(shù)學家陳景潤得以證明外,至今就沒有哪位能用數(shù)學歸納法加以證明.同時,不是一切與自然數(shù)有關的命題用數(shù)學歸納法證就是最簡捷,同樣存在一定的局限性.圖3-1 數(shù)學歸納法推證步驟程序圖3.3 對數(shù)學歸納法原理的理解 數(shù)學歸納法證明的第一步中的取值應該和題目條件確定的第一個自然數(shù)取值開始,有時不一定就是自然數(shù)1,還有情況下可能不只取一個,在一般的情況下,只要建立起遞推的關

23、系即可11. 在第二步中由歸納假設到推理的下一步是關鍵,這里我們需要注意的地方有兩點: 1°必須要用到歸納假設; 2°在已有的歸納假設結論的基礎上,根據(jù)具體問題和已有的知識鏈合理選取與問題相關的定理、公理、性質等加以論證. 利用數(shù)學歸納法證明時,兩個步驟缺一不可,即有第一步?jīng)]有第二步或是只有第二步?jīng)]有第一步的過程,對要驗證的結論都不一定可靠,遞推思想,先從一般開始入手,然后對有限的結論作假設,再推廣到無限的假設進行驗證,得出結論6.形成以驗證、假設、證明的過程,這樣的推理驗證才具有一定的可靠性. 第4章 數(shù)學歸納法在幾種命題中的應用舉例4.1 運用數(shù)學歸納法證明數(shù)列問題 中

24、學我們在學習數(shù)列時就與自然數(shù)有直接的關系,因此在求解數(shù)列問題的證明中就常常用到數(shù)學歸納法來證明. 例19 已知數(shù)列 的通項公式,數(shù)列 的通項滿足,用數(shù)學歸納法證明. 證明 (1)當時,成立; (2)假設,則 . 即時命題成立. 由(1)(2)得得證. 例2 試證明:等差數(shù)列的前項和由下列公式表示: =+. 證明:1、當時,公式是正確的,=. 2、假設當時公式正確,即 =+,當時, = . 因此,對一切自然數(shù)的值,前項和公式都是成立的. 點評 在做此類型的題時容易出錯的是:既然是任意的自然數(shù),就是正確的,那么也是正確的,這很容易理解.可是一旦第二步假定出來,它就是一個固定的自然數(shù)了,所以說由的假

25、設后,必須驗證時命題也正確才可作出結論,這也就出現(xiàn)了數(shù)學歸納法問題的跨越,發(fā)生質的轉變,也正是數(shù)學歸納法的精髓所在.4.2 運用數(shù)學歸納法證明不等式問題 利用數(shù)學歸納法證明一些不等式的情形,常常需要我們利用一些等量轉化或放大(縮小)不等式的方法來解決.例3 設=+ ,證明:. 分析 與自然數(shù)有關,考慮用數(shù)學歸納法證明.時容易證得,時,因為,所以在假設成立得到的不等式中同時加上,再與目標比較而進行適當?shù)姆趴s求解. 證明 (1)當時,=,+1=,=2 , 時不等式成立. (2)假設當時不等式成立,即:, 當時,+,+ = ,+=+ +=. 所以,即時不等式也成立. 由(1)(2)得對所有的,不等式

26、 恒成立. 例410 設和.(n1) 求證: 證明:1、當時,因,所以 ,即 ,命題顯然成立. 當時,由.可知命題也成立. 2、假設當?shù)臅r候命題成立,則當時, ,即,可以推出, 故當時,命題成立,于是對于任意大于1的自然數(shù),原不等式成立. 點評 用數(shù)學歸納法解決與自然數(shù)有關的不等式問題,注意適當選用放縮法.本題中分別將縮小成k+1、將放大成+的兩步放縮是證時不等式成立的關鍵.為什么這樣放縮,而不放大成+2,這是與目標比較后的要求,也是遵循放縮要適當?shù)脑瓌t.4.3運用數(shù)學歸納法證明幾何問題 例 411 平面內(nèi)有條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不共點,求證:這條直線把平面分成個部分. 證明 (

27、1當=1時,一條直線將平面分成兩個部分,而,命題成立. 2假設當時,命題成立,即條直線把平面分成個部分, 當時,即增加一條直線,因為任何兩條直線不平行 與條直線都相交有個交點;又因為任何三條不共點,所以這個交點不同于條直線的交點,且個交點也互不相同.如此這個交點把直線分成段,每一段把它所在的平面區(qū)域分為兩部分,故新增加的平面分為. 時命題成立. 由(1),2)可知,當時,命題成立.4.4運用數(shù)學歸納法證明整除性問題 例512 當,求證:能被整除 證明 1當時,能被整除,命題成立 2假設時,命題成立,即能被整除 當時, 根據(jù)歸納假設,能被整除,又能被整除. 11k+1+122k+1-1能被整除,

28、即時,命題成立. 由1,2命題時都成立. 點評 用數(shù)學歸納法證明有關數(shù)或式的整除問題時,要充分利用整除的性質,若干個數(shù)(或整式)都能被某一個數(shù)(或整式)整除,則其和、差、積也能被這個數(shù)(或整式)整除.在由時命題成立,證明命題也成立時.要注意設法化去增加的項,通常要用到拆項、結合、添項、減項、分解、化簡等技巧4.5運用數(shù)學歸納法證明三角恒等式問題 例613 用數(shù)學歸納法證明:, 分析 本題第一步的驗證要取,在第二步的證明中應在歸納假設的基礎上正確地使用正切的和角公式 證明 1當時,右邊 左邊,等式成立 2假設當時,等式成立,就是 . 點評 本題在第2步的證明過程中使用了正切和差角的變形形式,即1

29、,因此在用數(shù)學歸納法證明三角命題時,應針對時命題的特征,合理地選擇和使用三角公式.證明三角恒等式時,常動用有關三角知識、三角公式及三角的變換法.4.6運用數(shù)學歸納法證明函數(shù)迭代問題 一些比較簡單的函數(shù),它的n次迭代表達式,可以根據(jù)定義直接代入計算,歸納出一般規(guī)律后,再用數(shù)學歸納法予以證明.所以,直接求法的本質,就是數(shù)學歸納法.其中,關鍵是通過不完全歸納法,找出的一般表達式.例7 ,求. 解:由定義,. , . 一般地,由不完全歸納可猜測, . 事實上,因為假定上式成立,則有, . 所以,由數(shù)學歸納法知,對所有的自然數(shù)n都成立.例8 ,求. 解:由定義, , , 一般地,可猜得,. 假定上式成立

30、,則有 . 由數(shù)學歸納法知,對所有自然數(shù)n都成立. 第5章 數(shù)學歸納法在中學數(shù)學中的地位和作用 數(shù)學歸納法作為一種證明與自然數(shù)相關的論證方法,通常用來證明數(shù)學上的一些猜想,而這些猜想正式我們通過某種歸納方法所獲得的.在中學數(shù)學證明中,它的地位和作用可從以下四個方面體現(xiàn): 1°從數(shù)學歸納法在教材中地位來看,教科書中多結論、公式、定理都可用數(shù)學歸納法來得到驗證,如等比數(shù)列、等差數(shù)列以及求和公式,二項式定理的證明.一般與自然數(shù)有關的數(shù)學命題大多都可用數(shù)學歸納法來證. 2°從給學生開闊視野的角度,在中學數(shù)學,數(shù)學歸納法主要用于證明題,給學生提供一個新的解題思路. 3°從應

31、試角度,數(shù)學歸納法是中學數(shù)學的必修課,也是考試必考的知識點,也是比較好拿分的知識點,還可以運用數(shù)學歸納法證明許多數(shù)學問題. 4°從未來應用的角度,將來會涉及到計算機編程,數(shù)學歸納法是遞歸循環(huán)的簡單形式,有利于學生今后理工科知識的理解和學習,為以后的高等代數(shù)等的學習打下良好基礎. 第6章 結束語 數(shù)學歸納法主要是針對一些與自然數(shù)的相關命題,所以在證明和自然數(shù)有關的命題中有著不可替代的作用,對于一些和自然數(shù)有關的長式子、繁式子都有化長為短、化繁為簡的功效.用數(shù)學歸納法證明數(shù)學問題時,要注意它的兩個步驟缺一不可,第一步是命題遞推的基礎,第二步是命題遞推的依據(jù),也是證明的關鍵和難點,兩個步驟各司其職,互相配合,同時,數(shù)學歸納法的證明步驟與格式的規(guī)范是數(shù)學歸納法的特征,如時的假設是第二步證明的“已知”步,證明時一定要用到它,否則就不是數(shù)學歸納法,證三角恒等式時,常動用有關三角知識、三角公式以及三角的變換法.通過這些變換可以更容易的讓命題得證.在證明時命題成立,要用到一些技巧,如:一湊假設,二湊結論,加減項、拆項、不等式的放縮、等價轉化等,這些解題的技巧要在實踐中不斷總結和積累,總之要記住:“遞推