根軌跡法習(xí)題及答案

1、第四章 根軌跡法習(xí)題及答案4-1 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試證明在根軌跡上，并求出相應(yīng)的根軌跡增益和開環(huán)增益。解 若點(diǎn)在根軌跡上，則點(diǎn)應(yīng)滿足相角條件，如圖所示。對于，由相角條件滿足相角條件，因此在根軌跡上。將代入幅值條件：解出 ： ， 4-2 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試求參數(shù)從零變化到無窮大時(shí)的根軌跡方程，并寫出時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。（1） （2）解 (1) (2) = 4-3 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試?yán)L制參數(shù)b從零變化到無窮大時(shí)的根軌跡，并寫出s=-2這一點(diǎn)對應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。解 根軌跡如圖。 時(shí)， 4-4 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試概略繪出系統(tǒng)根軌跡。 (2)

2、(3) (4) 解 三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)：, 實(shí)軸上的根軌跡：, 漸近線： 分離點(diǎn)：解之得：，(舍去)。 與虛軸的交點(diǎn)：特征方程為令 解得與虛軸的交點(diǎn)（0，）。根軌跡如圖所示。 根軌跡繪制如下： 實(shí)軸上的根軌跡：, 分離點(diǎn)： 解之得：。根軌跡如圖所示。根軌跡繪制如下： 實(shí)軸上的根軌跡：, 漸近線： 分離點(diǎn)： 用試探法可得 。根軌跡如圖所示。(4) 根軌跡繪制如下： 實(shí)軸上的根軌跡：0, 1,-1,-2分離點(diǎn)： 求解得：根軌跡如圖所示。4-5 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 要求：(1) 繪制系統(tǒng)的根軌跡；(2) 確定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)開環(huán)增益k的值； (3) 確定系統(tǒng)臨界阻尼比時(shí)開環(huán)增益k的值。解 (1

3、) 實(shí)軸上的根軌跡：0, -50,-100,- 分離點(diǎn)： 求解得 漸近線： 根軌跡如圖所示。(2) 系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)(3) 系統(tǒng)臨界阻尼比時(shí)4-6 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，要求繪制根軌跡并確定系統(tǒng)階躍響應(yīng)無超調(diào)時(shí)開環(huán)增益k的取值范圍。解 實(shí)軸上的根軌跡： 漸近線： 分離點(diǎn)： 解之得：。與虛軸交點(diǎn)： 把代入上方程，整理，令其實(shí)、虛部分別為零得：解得： 起始角：由相角條件，。根軌跡如圖所示。所有根為負(fù)實(shí)根時(shí)階躍響應(yīng)無超調(diào)，此時(shí) 所以4-7 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為， 試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡，并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍。解 ：根軌跡繪制如下： 實(shí)軸上的根軌跡： 漸近線： 與虛軸交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程為把代

4、入上方程， 令解得： ， 根軌跡如圖所示。由圖可知使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍為 。4-8 已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡（要求求出起始角）。 解 根軌跡繪制如下： 實(shí)軸上的根軌跡： 漸近線： 分離點(diǎn)：解之得： (舍去)與虛軸交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程為把代入上方程， 令解得： 起始角： 解出 根軌跡如圖所示。4-9 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試分別繪制以a和T為變化參數(shù)的根軌跡。(1) ，；(2) ，解 (1) 實(shí)軸上的根軌跡： 漸近線： 分離點(diǎn)： 根軌跡如圖所示。(2) 實(shí)軸上的根軌跡： 起始角終止角： 解得起始角 解得終止角 根軌跡如圖所示。4-10 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試概略繪

5、出相應(yīng)的根軌跡，并求出所有根為負(fù)實(shí)根時(shí)開環(huán)增益k的取值范圍及系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)k的值。解 實(shí)軸上的根軌跡： 分離點(diǎn)：， 漸近線：， 與虛軸交點(diǎn)：，根軌跡如圖所示。，結(jié)論：時(shí)所有根為負(fù)實(shí)根，時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。4-11 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試?yán)L制時(shí)間常數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)的根軌跡，并分析參數(shù)的變化對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響。 解：作等效開環(huán)傳遞函數(shù)根軌跡繪制如下： （注意： 實(shí)軸上的根軌跡：, 分離點(diǎn)： 解得。根據(jù)幅值條件，對應(yīng)的。 虛軸交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程為把代入上方程，整理，令實(shí)虛部分別為零得：解得： 起始角：參數(shù)從零到無窮大變化時(shí)的根軌跡如圖所示。(請注意根軌跡的方向！)從根軌跡圖可以看出，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)階躍響應(yīng)為單調(diào)收

6、斂過程；時(shí)，階躍響應(yīng)為振蕩收斂過程；時(shí)，有兩支根軌跡在s右半平面，此時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。若取另外一種等效開環(huán)傳遞函數(shù)則解題步驟如下： 三條根軌跡中兩條起于-10，一條起于，均終止于原點(diǎn) 實(shí)軸上的根軌跡：, 分離點(diǎn)： 解得。 其余步驟與上基本相同，根軌跡相同，只是-10處為兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，原點(diǎn)處為3個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，根軌跡方向與圖中一樣。4-12 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示，試概略繪制其根軌跡()。 解 此系統(tǒng)為正反饋系統(tǒng)，應(yīng)繪零度根軌跡。 實(shí)軸上的根軌跡：, 分離點(diǎn)： 解得 起始角：根據(jù)相角條件， 得 ，。根軌跡如圖所示。4-13 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試?yán)L制其根軌跡，并求出使系統(tǒng)產(chǎn)生重實(shí)根和純虛根的值。解 由開環(huán)傳遞函數(shù)的表達(dá)式知需繪制根軌跡。 實(shí)軸上的根軌跡： ； 分離點(diǎn)： 解得： , 將, 代入幅值條件得：, 與虛軸交點(diǎn)：閉環(huán)特征方