專題六尖子四邊形中的相似問題專題答案

1、四邊形中的相似問題專題題型一：平行四邊形中的相似問題例14（2006威海）已知：如圖，在ABCD中，O為對角線BD的中點過O的直線MN交直線AB于點M，交直線CD于點N；過O的另一條直線PQ交直線AD于點P，交直線BC于點Q，連接PN、MQ（1）試證明PON與QOM全等；（2）若點O為直線BD上任意一點，其他條件不變，則PON與QOM又有怎樣的關系？試就點O在圖所示的位置，畫出圖形，證明你的猜想；（3）若點O為直線BD上任意一點（不與點B、D重合），設OD：OB=k，PN=x，MQ=y，則y與x之間的函數關系式為y=考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的性質3056

2、60 專題：綜合題分析：（1）根據平行四邊形的性質容易得到全等條件證明DOPBOQ，PONQOM，然后利用全等三角形的性質得到PO=QO，MO=NO，然后再證明PONQOM就可以解決問題；（2）點O為直線BD上任意一點，則MOQNOP根據APBQ，BMCN可以得到比例線段，而NOP=MOQ，可以證明MOQNOP了；（3）根據（2）和已知可以得到，根據這個等式可以求出y與x之間的函數關系式解答：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，ADBC，PDO=QBODOP=BOQ，DO=BO，DOPBOQPO=QO（2分）同理MO=NOPON=QOM，PONQOM（4分）（2）解：畫圖（5分）MOQNOP（

3、6分）APBQ，BMCN，OD：OB=OP：OQ，OD：OB=ON：OMOP：OQ=ON：OM（7分）NOP=MOQMOQNOP（8分）（3）解：根據（2）和已知可以得到，y=（10分）點評：此題綜合性比較強，把全等三角形，相似三角形放在平行四邊形的背景下，綜合利用這些知識來解題15（2010成都）已知：在菱形ABCD中，O是對角線BD上的一動點（1）如圖甲，P為線段BC上一點，連接PO并延長交AD于點Q，當O是BD的中點時，求證：OP=OQ；（2）如圖乙，連接AO并延長，與DC交于點R，與BC的延長線交于點S若AD=4，DCB=60°，BS=10，求AS和OR的長考點：全等三角形的

4、判定與性質；勾股定理；菱形的性質；相似三角形的判定與性質305660 專題：綜合題分析：（1）求簡單的線段相等，可證線段所在的三角形全等，即證ODQOBP（2）首先求AS的長，要通過構建直角三角形求解；過A作BC的垂線，設垂足為T，在RtABT中，易證得ABT=DCB=60°，又已知了斜邊AB的長，通過解直角三角形可求出AT、BT的長；進而可在RtATS中，由勾股定理求出斜邊AS的值；由于四邊形ABCD是菱形，則ADBC，易證得ADOSBO，已知了AD、BS的長，根據相似三角形的對應邊成比例線段可得出OA、OS的比例關系式，即可求出OA、OS的長；同理，可通過相似三角形ADR和SCR

5、求得AR、RS的值；由OR=OSRS即可求出OR的長解答：（1）證明：ABCD為菱形，ADBCOBP=ODQO是BD的中點，OB=OD在BOP和DOQ中，OBP=ODQ，OB=OD，BOP=DOQBOPDOQ（ASA）OP=OQ（2）解：如圖，過A作ATBC，與CB的延長線交于TABCD是菱形，DCB=60°AB=AD=4，ABT=60°AT=ABsin60°=TB=ABcos60°=2BS=10，TS=TB+BS=12，AS=ADBS，AODSOB，則，AS=，OS=AS=同理可得ARDSRC，則，OR=OSRS=（12分）點評：此題考查了菱形的性質、

6、全等三角形及相似三角形的判定和性質；（2）中能夠正確的構建出直角三角形，求出AS的長是解答此題的關鍵17（2010寧波）如圖1在平面直角坐標系中，O是坐標原點，ABCD的頂點A的坐標為（2，0），點D的坐標為（0，2），點B在x軸的正半軸上，點E為線段AD的中點，過點E的直線l與x軸交于點F，與射線DC交于點G（1）求DCB的度數；（2）連接OE，以OE所在直線為對稱軸，OEF經軸對稱變換后得到OEF'，記直線EF'與射線DC的交點為H如圖2，當點G在點H的左側時，求證：DEGDHE；若EHG的面積為3，請直接寫出點F的坐標考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定；平行四

7、邊形的性質；軸對稱的性質305660 專題：綜合題；壓軸題；數形結合；分類討論分析：（1）由于平行四邊形的對角相等，只需求得DAO的度數即可，在RtOAD中，根據A、D的坐標，可得到OA、OD的長，那么DAO的度數就不難求得了（2）根據A、D的坐標，易求得E點坐標，即可得到AE、OE的長，由此可判定AOE是等邊三角形，那么OEA=AOE=EOF=60°，由此可推出OFAE，即DEH=OFE，根據軸對稱的性質知OFE=EFA，通過等量代換可得EFA=DGE=DEH，由此可證得所求的三角形相似過E作CD的垂線，設垂足為M，則EM為EGH中GH邊上的高，根據EGH的面積即可求得GH的長，在

8、題已經證得DEGDHE，可得DE2=DGDH，可設出DG的長，然后表示出DH的值，代入上面的等量關系式中，即可求得DG的長，根據軸對稱的性質知：DG=AF，由此得到AF的長，進而可求得F點的坐標，需注意的是，在表示DH的長時，要分兩種情況考慮：一、點H在G的右側，二、點H在G的左側解答：解：（1）在直角OAD中，tanOAD=OD：OA=，A=60°，四邊形ABCD是平行四邊形，C=A=60°；（2）證明：A（2，0），D（0，2），且E是AD的中點，E（1，），AE=DE=2，OE=OA=2，OAE是等邊三角形，則AOE=AEO=60°；根據軸對稱的性質知：AO

9、E=EOF，故EOF=AEO=60°，即OFAE，OFE=DEH；OFE=OFE=DGE，DGE=DEH，又GDE=EDH，DGEDEH過點E作EM直線CD于點M，CDAB，EDM=DAB=60°，EM=DEsin60°=2×=，SEGH=GHME=GH=3，GH=6；DHEDEG，=即DE2=DGDH，當點H在點G的右側時，設DG=x，DH=x+6，4=x（x+6），解得：x1=3+，x2=3（舍），點F的坐標為（1，0）；當點H在點G的左側時，設DG=x，DH=x6，4=x（x6），解得：x1=3+，x2=3（舍），DEGAEF，AF=DG=3+，O

10、F=AO+AF=3+2=+5，點F的坐標為（5，0），綜上可知，點F的坐標有兩個，分別是F1（1，0），F2（5，0）點評：此題涉及的知識點較多，主要有：平行四邊形的性質、軸對稱的性質、全等三角形以及相似三角形的判定和性質，綜合性強，難度較大題型二：梯形中的相似問題21（2000朝陽區(qū)）已知：在梯形ABCD中，ADBC，點E在AB上，點F在DC上，且AD=a，BC=b（1）如果點E、F分別為AB、DC的中點，如圖求證：EFBC，且EF=；（2）如果，如圖，判斷EF和BC是否平等，并用a、b、m、n的代數式表示EF請證明你的結論考點：梯形中位線定理；全等三角形的判定與性質；平行線分線段成比例30

11、5660 分析：（1）連接AF并延長，交BC的延長線于M，利用ASA可證ADFMCF，那么，AF=MF，AD=CM，于是EF就轉化為ABM的中位線，那么EF=BM，而CM=AD，所以EF=BM=（BC+CM）=（BC+AD）；（2）證法和（1）相同，只是換成求線段的長先利用平行線分線段成比例定理的推論，可得AF：FM=AD：CM=DF：FC=m：n，從而在ABM中，AE：BE=AF：FM，再利用比例線段的性質，就有AE：AB=AF：AM，再加上一個公共角，可證AEFABM，則AEF=ABM，那么EFBM，從而有EF：BM=AE：AB=m：（m+n），而AD：CM=m：n，可求CM，那么BM可求

12、，把BM代入上式即可求EF解答：（1）證明：連接AF并延長，交BC的延長線于點M，（1分）ADBM，D=1，點F為DC的中點，DF=FC，又2=3，ADFMCF，AF=FM，AD=CM，（3分）點E為AB的中點，EF是ABM的中位線，EFBC，EF=BM，BM=BC+CM=BC+AD，EF=（AD+BC），即EF=（a+b）；（5分）（2）答：EFBC，EF=，證明：連接AF并延長，交BC的延長線于點M，ADBM，又，在ABM中，有=EFBC，（9分）=，EF=BM=，（10分）而，CM=，（11分）EF=（b+），EF=點評：本題利用了平行線的性質、全等三角形的判定和性質、平行線分線段成比例

13、定理的推論、比例線段的性質等知識10（2007岳陽）已知：等腰RtABC中，A=90°，（1）如圖1，E為AB上任意一點，以CE為斜邊作等腰RtCDE，連接AD，則有ADBC；（2）若將等腰RtABC改為正ABC，如圖2所示，E為AB邊上任一點，CDE為正三角形，連接AD，上述結論還成立嗎？答成立；（3）若ABC為任意等腰三角形，AB=AC，如圖3，E為AB上任一點，DECABC，連接AD，請問AD與BC的位置關系怎樣？答：ADBC請你在上述3個結論中，任選一個結論進行證明考點：相似三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；等腰直角三角形305660 專題：幾何綜合題分析：欲證ADBC，

14、可以根據等腰直角三角形，正三角形，等腰三角形的性質，證明ACDBCE，再證明AD與BC的內錯角相等，得出結論解答：解：（1）ABC和DEC是等腰直角三角形，ABCDEC，ACB=DCE=45°=，DCA=ECBACDBCEDAC=EBC=45°DAC=ACBADBC（2）ABC和DEC是正三角形，ABCDEC，ACB=DCE=60°=，DCA=ECBACDBCEDAC=EBC=60°DAC=ACBADBC成立（3）ABC和DEC是等腰直角三角形，ABCDEC，ACB=DCE=，DCA=ECBACDBCEDAC=EBCDAC=ACBADBC點評：觀察測量，

15、然后進行推理證明，是數學知識發(fā)現的基本規(guī)律本題考查了等腰直角三角形，正三角形，等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，平行線的判定注意證明方式相同8（2008安徽）如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點R為DE的中點，BR分別交AC、CD于點P、Q（1）請寫出圖中各對相似三角形（相似比為1除外）；（2）求BP：PQ：QR考點：相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質305660 專題：幾何綜合題分析：此題的圖形比較復雜，需要仔細分析圖形（1）根據平行四邊形的性質，可得到角相等BPC=BRE，BCP=E，可得BCPBER；（2）根據ABCD、ACDE，可得出PCQPAB，PCQ

16、RDQ，PABRDQ根據相似三角形的性質，對應邊成比例即可得出所求線段的比例關系解答：解：（1）四邊形ACED是平行四邊形，BPC=BRE，BCP=E，BCPBER；同理可得CDE=ACD，PQC=DQR，PCQRDQ；四邊形ABCD是平行四邊形，BAP=PCQ，APB=CPQ，PCQPAB；PCQRDQ，PCQPAB，PABRDQ（2）四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，BC=AD=CE，ACDE，BC：CE=BP：PR，BP=PR，PC是BER的中位線，BP=PR，又PCDR，PCQRDQ又點R是DE中點，DR=RE，QR=2PQ又BP=PR=PQ+QR=3PQ，BP：PQ：QR

17、=3：1：2點評：此題考查了相似三角形的判定和性質：如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似題型三：矩形中的相似問題12（2008廈門）已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（ADAB），將紙片折疊一次，使點A與C重合，再展開，折痕EF交AD邊于E，交BC邊于F，分別連接AF和CE（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，ABF的面積為24cm2，求ABF的周長；（3）在線段AC上是否存在一點P，使得2AE2=ACAP？若存在，請說明點P的位

18、置，并予以證明；若不存在，請說明理由考點：菱形的判定；勾股定理；矩形的性質；相似三角形的判定與性質305660 專題：開放型；存在型分析：（1）因為是對折所以AO=CO，利用三角形全等證明EO=FO，四邊形便是菱形；（2）因為面積是24，也就是AB、BF的積可以求出，所以求周長只要求出AB、BF的和就可以，而結合勾股定理它們和的平方減去乘積二倍就是AF的平方；（3）因為AC=AO所以可以從與AOE相似的角度考慮，即過E作EPAD解答：（1）證明：連接EF交AC于O，當頂點A與C重合時，折痕EF垂直平分AC，OA=OC，AOE=COF=90°（1分）在矩形ABCD中，ADBC，EAO=

19、FCO，AOECOF（ASA）OE=OF（2分）四邊形AFCE是菱形（3分）（2）解：四邊形AFCE是菱形，AF=AE=10設AB=x，BF=y，B=90，（x+y）22xy=100又SABF=24，xy=24，則xy=48（5分）由、得：（x+y）2=196（6分）x+y=14，x+y=14（不合題意舍去）ABF的周長為x+y+AF=14+10=24（7分）（3）解：過E作EPAD交AC于P，則P就是所求的點（9分）證明：由作法，AEP=90°，由（1）得：AOE=90°，又EAO=EAP，AOEAEP（AA），=，則AE2=AOAP（10分）四邊形AFCE是菱形，AO=

20、AC，AE2=ACAP（11分）2AE2=ACAP（12分）即P的位置是：過E作EPAD交AC于P點評：本題主要考查（1）菱形的判定方法“對角線互相垂直且平分的四邊形”，（2）相似三角形的判定和性質30（2006成都）已知：如圖，在正方形ABCD中，AD=12，點E是邊CD上的動點（點E不與端點C，D重合），AE的垂直平分線FP分別交AD，AE，BC于點F，H，G，交AB的延長線于點P（1）設DE=m（0m12），試用含m的代數式表示的值；（2）在（1）的條件下，當時，求BP的長考點：正方形的性質；平行線的性質；相似三角形的判定與性質305660 專題：幾何綜合題分析：（1）通過構建相似三角形

21、來求解，過點H作MNAB，分別交AD，BC于M，N兩點那么MH就是三角形ADE的中位線，MH=m，那么HN=12m，只要證出兩三角形相似，就可表示出FH：HG的值，已知了一組對頂角，一組直角，那么兩三角形就相似，FH：HG=MH：NH，也就能得到所求的值（2）可通過構建相似三角形求解，過點H作HKAB于點K，那么HN=KB，MH=AK，根據FH：HG=1：2，就能求出m的值，也就求出了MH，HN的長，又知道了HK的長，那么通過三角形AKH和HKP相似我們可得出關于AK，KH，KP的比例關系，就可求出KP的長，然后BP=KPKB就能求出BP的長了解答：解：（1）過點H作MNAB，分別交AD，BC

22、于M，N兩點，FP是線段AE的垂直平分線，AH=EH，MHDE，RtAHMRtAED，=1，AM=MD，即點M是AD的中點，AM=MD=6，MH是ADE的中位線，MH=DE=m，四邊形ABCD是正方形，四邊形ABNM是矩形，MN=AD=12，HN=MNMH=12m，ADBC，RtFMHRtGNH，即（0m12）；（2）過點H作HKAB于點K，則四邊形AKHM和四邊形KBNH都是矩形，解得m=8，MH=AK=m=8=4，HN=KB=12m=128=8，KH=AM=6，RtAKHRtHKP，即KH2=AKKP，又AK=4，KH=6，62=4KP，解得KP=9，BP=KPKB=98=1點評：本題主要

23、考查了相似三角形的判定和性質，要充分利用好正方形的性質，通過已知和所求的條件構建出相似三角形來求解是解題的關鍵13（2009寧波）如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（8，0），直線BC經過點B（8，6），C（0，6），將四邊形OABC繞點O按順時針方向旋轉度得到四邊形OABC，此時OA、BC分別與直線BC相交于P、Q（1）四邊形OABC的形狀是矩形，當=90°時，的值是；（2）如圖2，當四邊形OABC的頂點B落在y軸正半軸上時，求的值；如圖3，當四邊形OABC的頂點B落在直線BC上時，求OPB的面積；（3）在四邊形OABC旋轉過程中，當0°180°時，是否存在這樣的點P和點Q，使BP=BQ？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明