平行四邊形判定題型歸納較難

1、對(duì)角線取值范圍問(wèn)題同三角形第三邊中線取值范圍平行四邊形一邊長(zhǎng)為10, 條對(duì)角線長(zhǎng)為6,那么它的另一條對(duì)角線長(zhǎng) a的取值范圍為（）A. 4<a<16B. 14<a<26 C. 12<a<20D. 8<a<32平行四邊形的判定：1:定義法：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形2: 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形3:兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形4:對(duì)角線相互平分的四邊形是平行四邊形14平行四邊形的判定一定義法：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形例題1:如圖，四邊形 ABCD是平行四邊形，連接 AC .過(guò)點(diǎn)A作AE丄BC于點(diǎn)E;過(guò)點(diǎn)C作

2、CF / AE，交AD于點(diǎn)F;求證：四邊形AECF為平行四邊形-匚_D/7BEC練習(xí)：1、如圖， ABC是等邊三角形，D、E分別是BA、CA的延 長(zhǎng)線上的點(diǎn),且AD=AE 連接ED并延長(zhǎng)到F,使得EF=EC,連接 AF、CF、BE.1求證：四邊形BCFD是平 行四邊形;證明：1 v ABC為等邊三角形，且AE=AD由題可知/ AED=Z ADE=Z EAD=60° EF/ BC,又 EC=EF, ECF 為等邊三角 形，即/ EFC=Z EDB=60°,P, BN與CM相交于點(diǎn)Q試說(shuō)明PQ與MN互相平分 N3、如 圖，在四 邊形 ABCD中, AH、CG BE、FD分別 是

3、/ A、/ C、/ B、/ D的角平 分線，且BE/ FD, AH/ CG,證明四 邊形ABCD為平 行四 邊形.15平行四邊形的判定二：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形例題1:如圖，在門(mén)ABCD中，延長(zhǎng) CD到E,使DE = CD，連接BE交AD于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)Go 求證：AF = DF【答案】 解：1證明：如圖1,連接BD、AE ,四邊形ABCD是平行四邊形， AB / CD , AB = CD。/ DE = CD , AB / DE , AB = DE o四邊形ABDE是平行四邊形。. AF = DF。練習(xí)：1、如圖，平行四邊形 ABCD，過(guò)A作AM丄BC于M，交BD于E,過(guò)C作

4、CN丄AD于N , 交BD于F,連結(jié)AF、CE .求證：四邊形 AECF為平行四邊形；A7C【答案】1證明四邊形 ABCD是平行四邊形, BC / AD平行四邊形的對(duì)邊相互平行。又 AM 丄 BC， AM 丄AD。/ CN 丄 AD， AM / CN。二 AE / CF。又由平行得/ ADE= / CBD，又AD=BC平行四邊形的對(duì)邊相等。在厶 ADE 和厶 CBF 中， / DAE= / BCF=90 , AD=CB , / ADE= / FBC , ADE CBF ASA， AE=CF全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等。四邊形AECF為平行四邊形對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。2、如圖：在二ABC

5、中，E,G,F,H分別是四條邊上的點(diǎn)，且AE CF,BG DH ,試說(shuō)明：EF與GH相互平分.例題2:如圖， ABCPADE都是等邊三角形，點(diǎn)D在BC邊上，AB邊上有一點(diǎn)F,且 BF=DC 連接 EF、EB. 1求證： ABEA ACD 2求證：四邊形 EFCD是平行四邊形練習(xí)：1、如圖 1,在厶 OAB中,/ OAB=90 , / AOB=30 ,0B=8.以 OB為一邊,在厶 OAB外作等邊三角形OBC,D是OB的中點(diǎn),連接AD并延長(zhǎng)交OC于E.求點(diǎn)B的坐標(biāo). 求證：四邊形ABCE是平行四邊形. 如圖2,將圖1中的四邊形ABCOff疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為FG,求OG勺長(zhǎng).cJ1c尸E

6、2Gr0圖iAQ圖2【解析】 I/ AOB=30 ,OB=8,二 AB=4,OA=4需 二 B(4 v3,4).OBC是等邊三角形，OC=OB=8.D點(diǎn)為OB的中點(diǎn)，OD=4.又 AD是 Rt OAB斜邊的中線，1 AD=OB=OD,/ ODA=180 -2 X 30° =120° ,/ EDO=60 .又/ EOD=60，二 OED為等邊三角形， 0E=4E(0,4), CE=4,CE=AB又 tCE/ AB,四邊形ABCE是平行四邊形.(3) V ga=gc；.gA=gC.即 Od+OAOC-OGIOG+S v3)2=(8-OG)2, A OG=1.16平行四邊形的判定

7、三：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形BC、.r曰疋疋例題1:如圖，點(diǎn)A是直線I外一點(diǎn)，在I上取兩點(diǎn)B、C,分別以A、C為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)D，分別連接 AB、AD、CD，那么四邊形 ABCDA 平行四邊形 B.矩形 C.菱形 D 梯形練習(xí):B、C三1、如圖，點(diǎn)A、B、C是坐標(biāo)平面內(nèi)不在同一直線上的三點(diǎn)，畫(huà)出以 A、 點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形.例題2:如下圖，試證明：四邊形PONM是平行四邊形P1 1-X*10練習(xí):1、在ABCC中,分別以AD,BC為邊向內(nèi)作等邊厶ADE和等邊 BCF連接BE,DF.求證：四邊形BEDF是平行四邊形.2、四邊形的四條邊長(zhǎng)分別是a、b、c、d，其中

8、a、c為對(duì)邊，且滿足a2 b2 c2 d2 2ab 2cd，那么這個(gè)四邊形一定是（）A.平行四邊形B兩組對(duì)角分別相等的四邊形C對(duì)角線互相垂直的四邊形D 對(duì)角線相等的四邊形3、等 邊厶ABC中，點(diǎn)D在BC上,點(diǎn)E在AB上,且CD=BE以 AD為邊作等邊厶ADF,如圖求證：四邊形CDFE是平行四邊形.B3 C4、如下圖，以 ABC的三邊為邊在BC的同側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形 ABD BCE、 ACF, 猜測(cè)：四邊形ADEF是什么四邊形，試證明你的 結(jié)論.證明：四邊形ADEF是平行四邊形.連接ED EF, ABD BCE、 ACF分別是 等邊三角形, AB=BD BC=BE / DBA=Z EBC=6

9、0°./ DBE=Z ABC. ABC DBE同理可證 ABC FEC, AB=EF, AC=DE AB=AD AC=AF, AD=EF, DE=AF.四邊形ADEF是平行四邊形17平行四邊形的判定四：對(duì)角線相互平分的四邊形是平行四邊形例題1: A2,3B-2,5，A B點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為 C D,依次連接AB、C、D點(diǎn)，那么四邊形ABCD1什么四邊形？例題2、如圖，在平行四邊形 ABCD中，連接對(duì)角線 BD，過(guò)A、C兩點(diǎn)分別作 AE BD于E點(diǎn)，CF BD于F點(diǎn)，求證：四邊形 AECF是平行四邊形練習(xí):1如圖是某市一公園的路面示意圖，其中， ABCD是平行四邊形，BE AC,

10、 DFAC, E、F是垂足，G、H分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接 EG、GF、FH，HE為公園中小路，問(wèn)小明從 B地經(jīng)E地，H地到F地，與小強(qiáng)從 D地經(jīng)F地，G地到E地，誰(shuí)的路程遠(yuǎn)？2、如下圖，在:. ABCD中，E、F是對(duì)角線BEDF是平行四邊形.3、如圖，在；- ABCD中，點(diǎn) M、N是對(duì)角線 AC上的點(diǎn)，且 AM = CN , DE = BF，求證：四邊形MFNE是平行四邊形18坐標(biāo)平行四邊形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：假設(shè)A、B、C為點(diǎn)，那么求一點(diǎn)D與他們構(gòu)成平行四邊形， 那么有三個(gè)點(diǎn) D,、D2、D3，那么有Di =A+B-CD2 =A+C-BD3 =B+C-A按照中點(diǎn)坐標(biāo)公式和對(duì)角線相互平分性質(zhì)例題

11、1、點(diǎn)A- 1 , 0，B 2, - 1，D 0, 1.請(qǐng)?jiān)谥苯亲鴺?biāo)系中找一點(diǎn)C與A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，那么點(diǎn)C的坐標(biāo)為 _.練習(xí):1假設(shè)以A-0.5, 0，B2, 0，C0, 1三點(diǎn)為頂點(diǎn)要畫(huà)平行四邊形，那么第四個(gè)頂點(diǎn)不可能在【】A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2、點(diǎn)D與點(diǎn)A 8, 0，B 0, 6，C a,- a是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，那么CD長(zhǎng)的最小值為 .例題2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,并且OA OB的長(zhǎng)分別是方程 x27 xRt AOB的兩條直角邊 0A、08分別在y軸和x軸上,120的兩根(OA<0B)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)場(chǎng)在線段 AO上以每秒I個(gè)

12、單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn) Q從點(diǎn)B開(kāi)場(chǎng)在線段BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)。(2)當(dāng)t=2時(shí)，在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點(diǎn) M使以A P、Q M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊 形？假設(shè)存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出M點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由練習(xí)：1、如圖BC x軸于C點(diǎn)，BA y軸于A點(diǎn), B(3,4)，四邊形ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)A 落在BC邊上的G處，E、F分別在 AD AB上，且AF=2. 1求G點(diǎn)坐標(biāo)；2求直線 EF解析式；3點(diǎn)N在x軸上，直線EF上是否存在點(diǎn) M使以M N F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？假設(shè)存在，請(qǐng)直

13、接寫(xiě)出M點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由19.動(dòng)點(diǎn)平行四邊形例題1:在四邊形 ABCD中, AD/ BC,且AD> BQ BC=6cm P、Q分別從 AC同時(shí)出發(fā)，P以1cm/s的速度由A向D運(yùn)動(dòng)，Q以2cm/s的速度由C出發(fā) 向B運(yùn)動(dòng)，幾秒后四邊形 ABQP是平行四邊形？練習(xí)：1、女口圖，在厶ABC中，AB=AC,射線AM/ BC,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿 射線 AM運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.1連接PQ AQ PC,當(dāng)PQ經(jīng)過(guò)AC的中點(diǎn)D時(shí)，求證：四邊形 AQCP是平行四邊形；2假設(shè)BC=6cm,點(diǎn)P速度為1cm/s，點(diǎn)Q的速度為4cm/s，填空：當(dāng)t為s時(shí)，以

14、A、Q、C、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；1證明：D為AC中點(diǎn)， AD=CD AM/ BC,/ PAC=Z ACB心 ADP和 CDQ中，/ PA DCQAD= CD/ ADP=Z CDQ ADP CDQ ASA, PD=DQ 又 AD=CD四邊形AQCP是平行四邊形;2當(dāng)Q在線段BC上，AP=QC時(shí)，以A、Q、C、P為頂點(diǎn)的四邊形 是平行四邊形，由題意得：t=6-4t，解得：t=1.2 ，當(dāng)Q在C的右邊時(shí)，AP=QC時(shí)，以A、Q C、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行 四邊形，由題意得：t=4t-6，解得:t=2，故答案為：1.2或2 ;2、如圖，/ ABM為直角，點(diǎn)C為線段BA的中點(diǎn)，點(diǎn)D是射線BM上

15、的 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)不與點(diǎn)B重合，連接AD,作BE丄AD,垂足為E，連接CE,過(guò)點(diǎn)E作EF丄CE，交BD于F.1求證：BF=FD;2點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能否使得四邊形ACFE為平行四邊形？如不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；如能，求出此時(shí)/ A的度數(shù).解: 1在 Rt AEB中, t AC=BC1- CE= AB2 CB=CE / CEB=Z CBEvZ CEF=Z CBF=90°, / BEF=Z EBF, EF=BF.vZ BEF+Z FED=90°,/ EBD+Z EDB=90°,/ FED=Z EDF,v EF=FD. BF=FD.2能.理由如下：假設(shè)四邊形ACFE為平行四邊形，那么

16、AC/ EF, AC=EF, BC=BF, BA=BD Z A=45°.當(dāng)Z A=45。時(shí)四邊形ACFE為平行四邊形.3、將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺 ABC的長(zhǎng)直角邊與含45° 角的三角尺 ACD的斜邊恰好重合.AB= 243 , P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).1當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到Z ABC的平分線上時(shí)，連接 DP求DP的長(zhǎng)；2當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中出現(xiàn)PD= BC時(shí)，求此時(shí)Z PDA的度數(shù)；3當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以D, P, B, Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的頂點(diǎn) Q恰好在邊BC上？求出此時(shí) DPBC的面積.34、直線y x 6與坐標(biāo)軸分別交與點(diǎn) A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P、Q

17、同時(shí)從O點(diǎn)出發(fā),4同時(shí)到達(dá)A點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)停頓。點(diǎn)Q沿線段OA運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn) P沿O-B-A運(yùn)動(dòng)。 1直接寫(xiě)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)； 2設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí) 間為t秒， OPC的面積為S,求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式。 3當(dāng)S 時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出以點(diǎn) O P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊5形的第四個(gè)頂點(diǎn)M的坐標(biāo)。20.性質(zhì)和判定綜合例題1、如圖E、F是四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AF=CE , DF=BE , DF / BE . 求證：1" AFD 也"CEB .2四邊形ABCD是平行四邊形.解：1因?yàn)?DF / BE , 所以/ AFD =Z CEB. 又因?yàn)?

18、AF=CE , DF=BE , 所以 AFD也"CEB .2丨由 AFD也"CEB 知 AD=BC，/ DAF =Z BCE , 所以 AD / BC ,所以四邊形ABCD是平行四邊形.例題2:如圖，在 ABC中，/ ACB = 90° D是BC的中點(diǎn)，DE丄BC , CE/AD，假設(shè) AC=2, CE = 4,那么四邊形 ACEB的周長(zhǎng)為。1考品 平行四逆形的判宦和性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)。1分析】先證明四邊形ACED是平行四邊形，可得DE-AC-2.由勾股定理和中建的宦義可求AB和EB 的長(zhǎng)，從而求出四邊形ACEB的周按.ZACB=90c, DE丄

19、BC, ACD匕又TCEWADI四辺形甌ED是平行四邊形.DE>M2RtACDE 中* DBA CE=4,由勾股定理得 CD = V CEa - DE3 = 2-3 TD杲BC的中點(diǎn)，.呂CCCDT 麗.&AABC 中，ZACB=90% 由勾股AB = 7aC2 + BCa = 2<3 n；D 是 BC 的中點(diǎn)，DE_LBC,二ER=ECX二四邊形皿EE的周保ACME十EB十呢=10十例題3、如圖，點(diǎn)D是厶ABC的邊AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)不與點(diǎn)B重合.以BD BF為鄰邊作平行四邊形BDEF又AP BE點(diǎn)P、E在直線AB的同側(cè)，如果BD 1aB，那么 P

20、BC勺面積與 ABCS積之比4為【A. 14B.【答案】Db31C.5D.【考點(diǎn)】平行四邊形的判定和性質(zhì)?！痉治觥窟^(guò)點(diǎn)P作PH/ BC交AB于H,連接CH PF, AP BE 四邊形APEB是平行四邊形。.四邊形BDEF是平行四邊形， EF BD EF/ AB P, E，F(xiàn) 共線。設(shè) BD=a-BD -AB , PE=AB=4a 二 Pf=PE- EF=3a4 PH/ BC S HB(=SlPBCo PF/ AB 四邊形 BFPH是平行四邊形。 BH=PF=3a'/S hbc Sabc=BH AB=3a 4a=3: 4,S pbc Smbc=3: 4。應(yīng)選 D。 練習(xí)：1、如圖， AB

21、C是等邊三角形，P是三角形內(nèi)任一點(diǎn)，PD AB,PE/BC,PF / AC，假設(shè) ABC 周長(zhǎng)為 12，求 PD+PE+P的值.2、圖3是某城ECLBC, BA/ DE BD/ AE EF=FC甲、乙兩人同時(shí)從 B站乘車(chē)到F站，甲乘1市局部街道示意圖，圖中 AF/ BC路車(chē)，路線是B-A-E-F， 乙乘2路車(chē)，路 線是BDC F.假設(shè)兩車(chē)速度一樣，途中耽誤時(shí)間一樣， 那么誰(shuí)先到達(dá)F點(diǎn)，？請(qǐng)說(shuō)明理由.£3、如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，DE/AC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E, EF丄AB 于點(diǎn)F,求證：AD=CFE4、如圖，在口 ABCD中E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，BE= DF,點(diǎn)G H分別在 BA和DC的延長(zhǎng)線上，且 AG= CH連接GE EH HF FG 求證：四邊形GEHF是平行四邊形。H5、如圖，在口 ABCD中，延長(zhǎng)DA到點(diǎn)E,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F,使得AE= CF,連接 EF,分別交AB CD于點(diǎn)M N,連接DM BN.1求證： AEIA CFN2求證：四邊形BMDN1平行四邊形.【答案】證明：（1四邊形ABCD是平行四邊形，二AB/ DC , AD/ BC/ E=Z F,Z DABM BCD /-Z EAMM FCN又AE=CF.AE降A(chǔ)CFNI ASA。2。由 AEIWCFN /AM=CN又四邊形ABCD是平行四邊形，/ AB CD。/ BM DN