線性系統(tǒng)的頻域分析法

1、第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法Frequency-response analysis 5.1頻率特性及其表示法 幅相曲線 對(duì)數(shù)頻率特性曲線 5.2典型環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)頻率特性曲線的繪制5.3典型環(huán)節(jié)的幅相曲線的繪制 5.4穩(wěn)定裕度和判據(jù) 5.2典型環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)頻率特性曲線的繪制5.2.5最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)Minimum phase systems and non-minimum phase systems在右半s平面內(nèi)既無(wú)極點(diǎn)也無(wú)零點(diǎn)的傳遞函數(shù)，稱為最小相位傳遞函數(shù)；反之，在右半s平面內(nèi)有極點(diǎn)和（或）零點(diǎn)的傳遞函數(shù)，稱為非最小相位傳遞函數(shù)。具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)，反之，具有非最

2、小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)，稱為非最小相位系統(tǒng)。在具有相同幅值特性的系統(tǒng)中，最小相位傳遞函數(shù)（系統(tǒng)）的相角范圍，在所有這類(lèi)系統(tǒng)中是最小的。任何非最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍，都大于最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍。對(duì)于最小相位系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)由單一的幅值曲線唯一確定。對(duì)于非最小相位系統(tǒng)則不是這種情況。作為例子，考慮下列兩個(gè)系統(tǒng)，它們的特性頻率分別為：， 圖5-18最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的零-極點(diǎn)分布圖如前所述，對(duì)于最小相位系統(tǒng)，幅值特性和相角特性之間具有唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這意味著，如果系統(tǒng)的幅值曲線在從零到無(wú)窮大的全部頻率范圍上給定，則相角曲線被唯一確定，反之亦然。這個(gè)結(jié)論對(duì)于非最小相位系統(tǒng)不成立。圖5

3、-19的相角特性圖5-19的相角特性對(duì)于最小相位系統(tǒng)，相角在時(shí)變?yōu)?，n為極點(diǎn)數(shù)，m為零點(diǎn)數(shù)。兩個(gè)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅值曲線在時(shí)的斜率都等于。因此，為了確定系統(tǒng)是不是最小相位的既需要檢查對(duì)數(shù)幅值曲線高頻漸近線的斜率，又需檢查在時(shí)相角。如果當(dāng)時(shí)對(duì)數(shù)幅值曲線的斜率為，并且相角等于，那么該系統(tǒng)就是最小相位系統(tǒng)。5.2.6傳遞延遲(Transport lag)See p190傳遞延時(shí)是一種非最小相位特性。如果不采取對(duì)消措施，高頻時(shí)將造成嚴(yán)重的相位滯后。這類(lèi)傳遞延遲通常存在于熱力、液壓和氣動(dòng)系統(tǒng)中。延遲環(huán)節(jié)的輸入和輸出的時(shí)域表達(dá)式為其幅值總是等于1。這是因?yàn)橐虼耍瑐鬟f延遲的對(duì)數(shù)幅值等于0分貝。傳遞延遲的相角為圖5

4、-20傳遞延遲的相角特性曲線5.2.7系統(tǒng)類(lèi)型與對(duì)數(shù)幅值之間的關(guān)系考慮單位反饋控制系統(tǒng)。靜態(tài)位置、速度和加速度誤差常數(shù)分別描述了0型、1型和2型系統(tǒng)的低頻特性。對(duì)于給定的系統(tǒng)，只有靜態(tài)誤差常數(shù)是有限值，才有意義。當(dāng)趨近于零時(shí)，回路增益越高，有限的靜態(tài)誤差常值就越大。系統(tǒng)的類(lèi)型確定了低頻時(shí)對(duì)數(shù)幅值曲線的斜率。因此，對(duì)于給定的輸入信號(hào)，控制系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差，以及穩(wěn)態(tài)誤差的大小，都可以從觀察對(duì)數(shù)幅值曲線的低頻區(qū)特性予以確定。j靜態(tài)位置誤差常數(shù)的確定圖5-21單位反饋控制系統(tǒng)考慮圖5-21所示的單位反饋控制系統(tǒng)。假設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為圖5-22為一個(gè)0型系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅值曲線的例子。在這個(gè)系統(tǒng)中，在低

5、頻段等于，即由此得知，低頻漸近線是一條幅值為分貝的水平線。cf2_dB = 9.54242509439325cf3_dB = -30.45757490560675圖5-22 某一0型系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅值曲線k靜態(tài)速度誤差常數(shù)的確定考慮圖5-21所示的單位反饋控制系統(tǒng)。圖5-23為一個(gè)1型系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅值曲線的例子。斜率為的起始線段/或其延長(zhǎng)線，與的直線的交點(diǎn)具有的幅值為。這可證明如下：在1型系統(tǒng)中因此 斜率為的起始線段/或其延長(zhǎng)線與0分貝線的交點(diǎn)的頻率在數(shù)值上等于。假設(shè)交點(diǎn)上的頻率為，于是即作為一個(gè)例子，考慮具有單位反饋的1型系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：如果定義轉(zhuǎn)角頻率為，假設(shè)斜率為的直線與/或其延長(zhǎng)線與0分

6、貝線的交點(diǎn)為， ， ，由此得到即 在伯德圖上，因此，點(diǎn)恰好是點(diǎn)與點(diǎn)之間的中點(diǎn)。圖5-23 某個(gè)1型系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅值曲線cf2_dB = 6.02059991327962cf1_dB = 26.02059991327962cf3_dB = -33.97940008672038l靜態(tài)加速度誤差常數(shù)的確定考慮圖5-21所示的單位反饋控制系統(tǒng)。圖5-24為一個(gè)2型系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅值曲線的例子。斜率為的起始線段/或其延長(zhǎng)線，與的直線的交點(diǎn)具有的幅值為。由于低頻時(shí)所以 斜率為的起始線段/或其延長(zhǎng)線與0分貝線的交點(diǎn)的頻率為在數(shù)值上等于的平方根。證明如下： 于是圖5-24 2型系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅值曲線5.3極坐標(biāo)圖(Polar

7、 plot)，幅相頻率特性曲線，奈奎斯特曲線頻率特性是復(fù)數(shù)?？捎梅岛拖嘟堑南蛄勘硎?。當(dāng)輸入信號(hào)的頻率由零變化到無(wú)窮大時(shí)，向量的幅值和相位也隨之作相應(yīng)的變化，其端點(diǎn)在復(fù)平面上移動(dòng)的軌跡稱為極坐標(biāo)圖。在極坐標(biāo)圖上，正/負(fù)相角是從正實(shí)軸開(kāi)始，以逆時(shí)針/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)來(lái)定義的。圖5-25是這類(lèi)極坐標(biāo)圖的一個(gè)例子。圖5-25 極坐標(biāo)圖的極坐標(biāo)圖上的每一點(diǎn)，都代表一個(gè)特定值上的向量端點(diǎn)。在實(shí)軸和虛軸上的投影，就是的實(shí)部和虛部。采用極坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn)是它能在一幅圖上表示出系統(tǒng)在整個(gè)頻率范圍內(nèi)的頻率響應(yīng)特性。但它不能清楚地表明開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中每個(gè)因子對(duì)系統(tǒng)的具體影響。5.3.1積分與微分因子所以的極坐標(biāo)圖是負(fù)虛軸。的

8、極坐標(biāo)圖是正虛軸。圖5-26 積分因子極坐標(biāo)圖圖5-27 微分因子極坐標(biāo)圖5.3.2一階因子 圖5-27 微分因子極坐標(biāo)圖圖5-28 一階因子極坐標(biāo)圖圖5-29 一階因子極坐標(biāo)圖5.3.3二階因子 的高頻部分與負(fù)實(shí)軸相切。極坐標(biāo)圖的精確形狀與阻尼比有關(guān)，但對(duì)于欠阻尼和過(guò)阻尼的情況，極坐標(biāo)圖的形狀大致相同。對(duì)于欠阻尼情況，當(dāng)時(shí)，我們得到，相角為。因此可以看出，的軌跡與虛軸交點(diǎn)處的頻率，就是無(wú)阻尼自然頻率。在極坐標(biāo)圖上，距原點(diǎn)最遠(yuǎn)的頻率點(diǎn)，相應(yīng)于諧振頻率。這時(shí)的峰值，可以用諧振頻率處的向量幅值，與處向量幅值之比來(lái)確定。對(duì)于過(guò)阻尼情況，當(dāng)增加到遠(yuǎn)大于1時(shí)，的軌跡趣近于半圓。這是因?yàn)閷?duì)于強(qiáng)阻尼系統(tǒng)，特

9、征方程的根為實(shí)根，并且其中一個(gè)根遠(yuǎn)小于另一個(gè)根。因?yàn)閷?duì)于足夠大的值，比較大的一個(gè)根對(duì)系統(tǒng)影響很小，因此系統(tǒng)的特征與一階系統(tǒng)相似。圖5-30 二階因子極坐標(biāo)圖對(duì)于 極坐標(biāo)圖的低頻部分為： 極坐標(biāo)圖的高頻部分為：圖5-31 二階因子極坐標(biāo)圖例5-2 考慮下列二階傳遞函數(shù)：試畫(huà)出這個(gè)傳遞函數(shù)的極坐標(biāo)圖。解：極坐標(biāo)圖的低頻部分為： 極坐標(biāo)圖的高頻部分為： 圖5-32 極坐標(biāo)圖5.3.4傳遞延遲極坐標(biāo)圖極坐標(biāo)圖欠阻尼極坐標(biāo)圖極坐標(biāo)圖極坐標(biāo)圖的一般形狀圖5-335.4對(duì)數(shù)幅-相圖(Nichols Chart)尼柯?tīng)査箞D圖5-34 二階因子對(duì)數(shù)幅-相圖5.5奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(Nyquist Stabilit

10、y Criterion)圖3-35 閉環(huán)系統(tǒng)考慮圖5-35所示的閉環(huán)系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，特征方程的全部根，都必須位于左半s平面。雖然開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)可能位于右半s平面，但如果閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均位于左半s平面，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)正是將開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng)與在右半s平面內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)聯(lián)系起來(lái)的判據(jù)。這種方法無(wú)須求出閉環(huán)極點(diǎn)，得到廣泛應(yīng)用。由解析的方法和實(shí)驗(yàn)的方法得到的開(kāi)環(huán)頻率特性曲線，均可用來(lái)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是建立在復(fù)變函數(shù)理論中的圖形影射基礎(chǔ)上的。假設(shè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可以表示成s的多項(xiàng)式之比。對(duì)于物理上可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式

11、的階數(shù)必須大于或等于分子多項(xiàng)式的階數(shù)，這表明，當(dāng)s趨于無(wú)窮大時(shí)，任何物理上可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的的極限，或趨于零，或趨于常數(shù)。預(yù)備知識(shí)可以證明，對(duì)于S平面上給定的一條不通過(guò)任何奇點(diǎn)的連續(xù)封閉曲線，在平面上必存在一條封閉曲線與之對(duì)應(yīng)。平面上的原點(diǎn)被封閉曲線包圍的次數(shù)和方向，在下面的討論中具有特別重要的意義。我們將包圍的次數(shù)和方向與系統(tǒng)的穩(wěn)定性聯(lián)系起來(lái)。例如考慮下列開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：其特征方程為：函數(shù)在s平面內(nèi)除了奇點(diǎn)外處處解析。對(duì)于s平面上的每一個(gè)解析點(diǎn)，平面上必有一點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)。例如，則為：這樣，對(duì)于s平面上給定的連續(xù)封閉軌跡，只要它不通過(guò)任何奇點(diǎn)，在平面上就必有一個(gè)封閉曲線與之對(duì)應(yīng)。S平面 平面（a）(b)

12、(d)圖5-36 s平面上的圖形在平面上的保角變換圖5-36（a）所示為上半s平面內(nèi)的直線和在平面上的保角變換。例如，上半s平面內(nèi)的直線映射到平面上，就變成了平面上的的曲線。對(duì)于s平面上順時(shí)針轉(zhuǎn)出的軌跡ABCD，其在平面上對(duì)應(yīng)曲線是A1B1C1D1。曲線的箭頭表示運(yùn)動(dòng)方向。根據(jù)保角變換的性質(zhì)，s平面相上和平面上對(duì)應(yīng)的角度是相等的，并且具有相同的意義（例如，因?yàn)閟平面內(nèi)的直線AB與CD相互垂直，所以在 平面上A1B1與C1D1在B1點(diǎn)也構(gòu)成直角）。由圖5-36(b)可以看出，當(dāng)s平面上的圖形包圍兩個(gè)的極點(diǎn)時(shí)，的軌跡將反時(shí)針?lè)较虬鼑矫嫔显c(diǎn)兩次。在的平面上，圖形包圍原點(diǎn)的次數(shù)，取決于s平面上的封

13、閉曲線。例如，這個(gè)曲線當(dāng)s平面上的圖形包圍的兩個(gè)極點(diǎn)和兩個(gè)零點(diǎn)，相應(yīng)的的軌跡將不包圍原點(diǎn)。如圖5-36（c）所示。如果這個(gè)曲線只包圍一個(gè)零點(diǎn)，相應(yīng)的的軌跡將順時(shí)針包圍原點(diǎn)一次，如圖5-36（d）所示。如果s平面上的封閉曲線既不包圍原點(diǎn)又不包圍極點(diǎn)，的軌跡將永遠(yuǎn)不會(huì)包圍平面上的原點(diǎn)，如圖5-36（d）所示。對(duì)于s平面上的每一點(diǎn)，除了奇點(diǎn)外，在平面上只有一個(gè)相應(yīng)的點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)，即從s平面到平面的影射是一一對(duì)應(yīng)的。但是，從平面到s平面的影射不是一一對(duì)應(yīng)的，因?yàn)閷?duì)于平面上的某一給定點(diǎn)，在s平面上可能有一個(gè)以上的點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)。例如如圖5-36（c）中，對(duì)于平面上的B1點(diǎn)，在s平面上與之對(duì)應(yīng)的有(-3,3)和

14、(0,-3)兩個(gè)點(diǎn)。如果在s平面上曲線包圍k個(gè)零點(diǎn)和k個(gè)極點(diǎn)(k=0,1,2)，即包圍的零點(diǎn)數(shù)與極點(diǎn)數(shù)相同，則在平面上，相應(yīng)的封閉曲線不包圍平面上的原點(diǎn)。上述討論是影射定理的圖解說(shuō)明。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)正是建立在影射定理的基礎(chǔ)上。影射定理設(shè)為兩個(gè)s的多項(xiàng)式之比，并設(shè)P為的極點(diǎn)數(shù)，Z為的零點(diǎn)數(shù)，它們位于s平面上的某一封閉曲線內(nèi)，且有多重極點(diǎn)和多重零點(diǎn)的情況。又設(shè)上述封閉曲線不通過(guò)的任何極點(diǎn)和零點(diǎn)。于是，s平面上的這一封閉曲線影射到平面上，也是一條封閉曲線。當(dāng)變量s順時(shí)針通過(guò)封閉曲線時(shí)，在平面上，相應(yīng)的軌跡順時(shí)針包圍原點(diǎn)的總次數(shù)R等于Z-P。若R為正數(shù)，表示的零點(diǎn)數(shù)超過(guò)了極點(diǎn)數(shù)；若R為負(fù)數(shù)，表示的極

15、點(diǎn)數(shù)超過(guò)了零點(diǎn)數(shù)。在控制系統(tǒng)應(yīng)用中，由很容易確定的P數(shù)。因此，如果，的軌跡圖中確定了R，則s平面上封閉曲線內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)很容易確定。影射定理在閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用為了分析線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，令s平面上的封閉曲線包圍整個(gè)右半s平面。這時(shí)的封閉曲線由整個(gè)軸(從到)和右半s平面上半徑為無(wú)窮大的半圓軌跡構(gòu)成。該封閉曲線為奈奎斯特軌跡(軌跡的方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较?，如圖5-37所示。因?yàn)槟慰固剀壽E包圍了整個(gè)右半s平面，所以它包圍了的所有正實(shí)部的極點(diǎn)和零點(diǎn)。如果在右半s平面不存在零點(diǎn)，則不存在閉環(huán)極點(diǎn)，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定的。封閉曲線，即奈奎斯特曲線不通過(guò)的任何極點(diǎn)和零點(diǎn)。如果將影射定理應(yīng)用到的特殊情況，可以

16、陳述如下：如果s平面上的封閉曲線包圍整個(gè)右半s平面，則函數(shù)在右半s平面內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)等于函數(shù)右半s平面內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)，加上在平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)封閉曲線對(duì)平面上原點(diǎn)的順時(shí)針?lè)较虬鼑螖?shù)。圖5-37 s平面內(nèi)的封閉曲線根據(jù)前面的假設(shè)條件，有閉環(huán)即當(dāng)s沿半徑為無(wú)窮大的半圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，函數(shù)保持常數(shù)。因此，的軌跡是否包圍了平面上的原點(diǎn)，可以考慮s平面上的封閉曲線的一部分，即只考慮軸來(lái)確定。傳函數(shù)奈奎斯特閉環(huán)系統(tǒng)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 利用的軌跡，對(duì)-1+j0點(diǎn)的包圍情況以及分析系統(tǒng)的方法概括為下列奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)（對(duì)于在軸上既無(wú)極點(diǎn)也無(wú)零點(diǎn)的特殊情況）：如果開(kāi)環(huán)傳遞函在s右半平面內(nèi)有k個(gè)極點(diǎn)，并且，則為了使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，當(dāng)從變

17、到時(shí)，的軌跡必須反時(shí)針包圍-1+j0點(diǎn)k次。 關(guān)于奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的幾點(diǎn)說(shuō)明這一判據(jù)可表示為：式中函數(shù)在右半s平面內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)對(duì)-1+j0點(diǎn)順時(shí)針包圍的次數(shù)函數(shù)在右半s平面內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)如果P不等于零，對(duì)于穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，必須或，這意味著必須反時(shí)針?lè)较虬鼑?1+j0點(diǎn)P次。如果函數(shù)在右半s平面內(nèi)無(wú)任何極點(diǎn)，則。因此，為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，的軌跡必須不包圍-1+j0點(diǎn)。含有位于上極點(diǎn)和/或零點(diǎn)的特殊情況 圖5-39 s平面上的封閉曲線和GH平面上的軌跡，其中 因?yàn)槟慰固剀壽E不能通過(guò)的極點(diǎn)/和或零點(diǎn)。S平面上的封閉曲線的形狀必須加以改進(jìn)。在原點(diǎn)附近采用半徑為無(wú)窮小的半圓，如圖5-39所示。變量沿著軸從運(yùn)動(dòng)

18、到，從到，變量沿著半徑為（）的半圓運(yùn)動(dòng)，再沿著正軸從運(yùn)動(dòng)到。從開(kāi)始，軌跡為半徑為無(wú)窮大的半圓，變量沿著此軌跡返回到起始點(diǎn)。圖5-40 s平面上的封閉曲線和GH平面上的軌跡，其中對(duì)于包含因子的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，當(dāng)變量s沿半徑為()的半圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，的圖形中將有個(gè)半徑為無(wú)窮大的順時(shí)針?lè)较虻陌雸A環(huán)繞原點(diǎn)。例如，考慮開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：設(shè) 則當(dāng)s平面上的時(shí)，的相角。如圖5-40所示。在右半s平面內(nèi)沒(méi)有極點(diǎn)，并且對(duì)所有的正K值，軌跡包圍點(diǎn)兩次。所以函數(shù)在右半s平面內(nèi)存在兩個(gè)零點(diǎn)。因此，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 如果含有位于軸上的極點(diǎn)和/或零點(diǎn)，則可以采用類(lèi)似的方法進(jìn)行分析。 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)（對(duì)于含有位于軸上的極點(diǎn)和/或零點(diǎn)

19、的一般情況）：如果開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面內(nèi)有k個(gè)極點(diǎn)，則為了使系統(tǒng)穩(wěn)定，當(dāng)變量s順時(shí)針通過(guò)變化后的奈奎斯特軌跡時(shí)，軌跡必須反時(shí)針?lè)较虬鼑c(diǎn)k次。5.6穩(wěn)定性分析如果在s平面內(nèi)，奈奎斯特軌跡包含的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)，并且當(dāng)s變量順時(shí)針沿奈奎斯特軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)，不通過(guò)的任何極點(diǎn)或零點(diǎn)，則在平面上相對(duì)應(yīng)的曲線將沿順時(shí)針?lè)较虬鼑c(diǎn)次（負(fù)R值表示反時(shí)針包圍點(diǎn)）。a)不包圍-1+j0。如果這時(shí)在右半s平面內(nèi)沒(méi)有極點(diǎn)，說(shuō)明系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。b)反時(shí)針包圍點(diǎn)。如果反時(shí)針?lè)较虬鼑拇螖?shù)，等于在右半s平面內(nèi)沒(méi)有極點(diǎn)數(shù)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。c)順時(shí)針包圍點(diǎn)。系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例5-3

20、設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：的軌跡如圖5-41所示。在右半s平面內(nèi)沒(méi)有任何極點(diǎn)，并且的軌跡不包圍，所以對(duì)于任何的值，該系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。圖5-41 例5-3中的極坐標(biāo)圖例5-4 設(shè)系統(tǒng)具有下列開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：試確定以下兩種情況下，系統(tǒng)的穩(wěn)定性：j增益K較小k增益K較大。小K值大K值圖5-42 例5-4中的極坐標(biāo)圖在右半s平面內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)等于零。為了使系統(tǒng)穩(wěn)定必須保證，或者說(shuō)的軌跡不包圍點(diǎn)。對(duì)于小K，的軌跡不包圍點(diǎn)，因此系統(tǒng)在小K值時(shí)是穩(wěn)定的。對(duì)于大K，的軌跡順時(shí)針包圍點(diǎn)兩次，說(shuō)明有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為位于右半s平面，因此系統(tǒng)在大K值時(shí)是穩(wěn)定的。例5-5 設(shè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：該系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性取決于和相對(duì)大小

21、。試畫(huà)出該系統(tǒng)的奈奎斯特圖，并確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。穩(wěn)定不穩(wěn)定圖5-43 例5-5中的極坐標(biāo)圖 時(shí)，的軌跡不包圍，因此，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)時(shí)，的軌跡通過(guò)點(diǎn)，這表明閉環(huán)極點(diǎn)位于軸上。當(dāng) 時(shí)，的軌跡順時(shí)針?lè)较虬鼑c(diǎn)兩次，因此系統(tǒng)有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)位于右半s平面，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例5-6 設(shè)一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)具有下列開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：試確定該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。圖5-44 例5-6中的極坐標(biāo)圖在右半s平面內(nèi)有一個(gè)極點(diǎn)()，因此。圖5-44中的奈奎斯特圖表明，軌跡順時(shí)針?lè)较虬鼑c(diǎn)一次，因此，。因?yàn)?。這表明閉環(huán)系統(tǒng)有兩個(gè)極點(diǎn)在右半s平面，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例5-7 設(shè)一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)具有下列開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：試確定該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定

22、性。在右半s平面內(nèi)有一個(gè)極點(diǎn)()，因此。開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。圖5-45表明軌跡逆時(shí)針?lè)较虬鼑c(diǎn)一次，因此，因?yàn)?，這說(shuō)明沒(méi)有零點(diǎn)位于右半s平面內(nèi)，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。這是一個(gè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，但是回路閉合后，變成穩(wěn)定系統(tǒng)的例子。圖5-45 例5-7中的極坐標(biāo)圖例5-8 一單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為式中均為正值。為使系統(tǒng)穩(wěn)定，開(kāi)環(huán)增益與時(shí)間常數(shù)之間滿足什么關(guān)系？解 ：此式太復(fù)雜利用上式直接令虛部為零即可。虛部為零與負(fù)實(shí)軸相交于畫(huà)出一半利用對(duì)稱性畫(huà)出另一半。 圖5-45b 例5-8 題的極坐標(biāo)圖圖5-46 的極坐標(biāo)圖圖-46所示為3種具有不同開(kāi)環(huán)增益值的極坐標(biāo)圖。對(duì)于大的K值，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當(dāng)增

23、益減小到一定值時(shí)，的軌跡通過(guò)點(diǎn)。對(duì)于小的K值，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。一般來(lái)說(shuō)，的軌跡越接近與包圍-1+j0點(diǎn)，系統(tǒng)響應(yīng)的震蕩性越大。因此，的軌跡對(duì)點(diǎn)的靠近程度，可以用來(lái)度量穩(wěn)定裕量(對(duì)條件穩(wěn)定系統(tǒng)不適用)。在實(shí)際系統(tǒng)中常用相位裕量和增益裕量表示。Positive Gain MarginPositive Phase Margin-11Negative Gain MarginNegative Phase Margin-11Stable SystemUnstable System圖5-47 穩(wěn)定系統(tǒng)和不穩(wěn)定系統(tǒng)的相位裕度和幅值裕度j相位裕度、相角裕度(Phase Margin)設(shè)系統(tǒng)的截止頻率(Gain c

24、ross-over frequency)為定義相角裕度為相角裕度的含義是，對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果開(kāi)環(huán)相頻特性再滯后度，則系統(tǒng)將變?yōu)榕R界穩(wěn)定。當(dāng) 時(shí)，相位裕量相位裕度為正值；當(dāng)時(shí)，相位裕度為負(fù)值。為了使最小相位系統(tǒng)穩(wěn)定，相位裕度必須為正。在極坐標(biāo)圖上的臨界點(diǎn)為0分貝和-180度。k增益裕度、幅值裕度(Gain Margin)設(shè)系統(tǒng)的穿越頻率(Phase cross-over frequency)，定義幅值裕度為幅值裕度的含義是，對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅頻特性再增大倍，則系統(tǒng)將變?yōu)榕R界穩(wěn)定狀態(tài)。若以分貝表示，則有當(dāng)增益裕度以分貝表示時(shí)，如果，則增益裕度為正值；如果，則增益裕度為負(fù)值。正增益

25、裕度(以分貝表示)表示系統(tǒng)是穩(wěn)定的；負(fù)增益裕度(以分貝表示)表示系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對(duì)于穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，增益裕度指出了系統(tǒng)在不穩(wěn)定之前，增益能夠增大多少。對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)，增益裕度指出了為使系統(tǒng)穩(wěn)定，增益應(yīng)當(dāng)較少多少。一階或二階系統(tǒng)的增益裕度為無(wú)窮大，因?yàn)檫@類(lèi)系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖與負(fù)實(shí)軸不相交。因此，理論上一階或二階系統(tǒng)不可能是不穩(wěn)定的。當(dāng)然，一階或二階系統(tǒng)在一定意義上說(shuō)只能是近似的，因?yàn)樵谕茖?dǎo)系統(tǒng)方程時(shí)，忽略了一些小的時(shí)間滯后，因此它們不是真正的一階或二階系統(tǒng)。如果計(jì)及這些小的滯后，則所謂的一階或二階系統(tǒng)可能是不穩(wěn)定的。關(guān)于相位裕度和增益裕度的幾點(diǎn)說(shuō)明 控制系統(tǒng)的相位裕度和增益裕度是系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖對(duì)

26、-1+j0點(diǎn)靠近程度的度量。因此，這兩個(gè)裕度可以用來(lái)作為涉及準(zhǔn)則。 只用增益裕度和相位裕度，都不足以說(shuō)明系統(tǒng)的的相對(duì)穩(wěn)定性。為了確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，必須同時(shí)給出這兩個(gè)量。 對(duì)于最小相位系統(tǒng)，只有當(dāng)相位裕度和增益裕度都是正值時(shí)，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。負(fù)的裕度表示系統(tǒng)不穩(wěn)定。適當(dāng)?shù)南辔辉６群驮鲆嬖６瓤梢苑乐瓜到y(tǒng)中元件變化造成的影響，并且指明了頻率值。為了得到滿意的性能，相位裕度應(yīng)當(dāng)在之間，增益裕度應(yīng)當(dāng)大于6分貝。例5-9 已知一單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為。試求：K=1時(shí)系統(tǒng)的相位裕度和增益裕度。要求通過(guò)增益K的調(diào)整，使系統(tǒng)的增益裕度20logh=20dB，相位裕度。解： 即 在處的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅值為根據(jù)

27、K=1時(shí)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，可以求出截止頻率(Gain cross-over frequency)為 由題意知 驗(yàn)證是否滿足相位裕度的要求。根據(jù)的要求，則得： 不難看出，就能同時(shí)滿足相位裕度和增益裕度的要求。圖5-48 例5-9的幅值裕度和相位裕度示意圖例5-10 已知一單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性如圖5-49所示（最小相位系統(tǒng)）。試求：j所示所示單位反饋系統(tǒng)已知已知已知已知例5-11 設(shè)一單位反饋系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性如圖5-50所示(最小相位系統(tǒng))。j寫(xiě)出系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)k判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性l如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則求時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。圖5-50 最小相位系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性解：j由圖得k由于是最小相位

28、系統(tǒng)，因而可通過(guò)計(jì)算相位裕度是否大于零來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由圖可知。在處則得0 系統(tǒng)穩(wěn)定l單位斜坡輸入時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為諧振峰值幅值和諧振峰值頻率 (5-22)令 (5-23) (5-24)或 (5-25)，時(shí)有最小值有最大值，這個(gè)最大值稱為諧振峰值，用表示。 (5-26)諧振頻率標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)中階躍瞬態(tài)響應(yīng)與頻率響應(yīng)之間的關(guān)系書(shū)上例5-13p203在圖3-8所示的標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)中，單位階躍響應(yīng)中的最大超調(diào)量可以精確地與頻率響應(yīng)中的諧振峰值聯(lián)系在一起。因此，從本質(zhì)上看，在頻率響應(yīng)中包含的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性信息與在瞬態(tài)響應(yīng)中包含的系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性信息是相同的。設(shè)為截止頻率，則有 根據(jù)相位裕度的定義 上式說(shuō)明相位裕度僅僅與阻尼比有關(guān)。圖5-51標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的相位裕度與阻尼比