累加法與累乘法在數(shù)列不等式證明中的應(yīng)用

1、累加法與累乘法在數(shù)列不等式證明中的應(yīng)用占雷我們知道等差數(shù)列的通項(xiàng)公式由累加法得出， 等比數(shù)列的通項(xiàng)由累乘法得出。而在數(shù)列不等式的證明中這兩種方法有著廣泛的應(yīng)用。其指導(dǎo)思想就是將有限項(xiàng)(通常是一項(xiàng)或兩項(xiàng))轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)，使得所證明的不等式兩邊在形式上達(dá)成統(tǒng)一， 從而通過(guò)證明局部來(lái)證明整個(gè)命題。下面我通過(guò)幾個(gè)例子具體談?wù)勗摲椒ā＠?.：已知數(shù)列 an 2n ,求證： a1a2a3 an 2n 1.n 2n 1 1 2 3 n通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn)該不等式的左邊有 n 項(xiàng)，而右邊只有一項(xiàng)， 為了達(dá)成左右統(tǒng)一的形式，我們可把 2n 1拆成 n 項(xiàng)積的形式。 解：設(shè)數(shù)列 bn的前n項(xiàng)積為 Tn 2n 1, 當(dāng) n

2、 2時(shí)bn Tn2n 1,當(dāng) n 1時(shí) b1 3成立。n Tn 1 2n 1 1要證明 a1a2a3 an 2n 1，則只需證明 a1a2a3 an b1b2b3 bnan 0,bn 0. 只需證明 an bn即可，即證 2n 2n 1.(1)n n n n 2n 1 2n 12n 1 2n 1 4n2 1 4n2 2n. (1)成立，則原不等式成立。例2：求證：對(duì)任意的正整11數(shù)n，均有 1 12 131 lnnn!類(lèi)似于例 1，根據(jù)左右兩邊的形式可先將右邊部分拆成n 項(xiàng)和n解：設(shè)數(shù)列 an的前 n項(xiàng)和為 Sn ln en!n n 1當(dāng)n 2時(shí),an Sn Sn 1 ln e ln e ln

3、 e 1 ln n,當(dāng)n 1時(shí),a1 1也成立n! (n 1)! n則原不等式可轉(zhuǎn)化為： 1 1 11a1a2a3an2 3n1 23n1要證明上述不等式則只需證明： 1 1 ln(n 2)n經(jīng)過(guò)這次轉(zhuǎn)換后接下來(lái)的思路就非常清晰了，可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)來(lái)證明( 2)設(shè)函數(shù) f x 1 ln x 1, 定義域?yàn)?1，xf (x)12 1 x 21 0 f x 在 1， 上為單調(diào)增函數(shù)x2 x x2f x f 1 0. f n 0則( 2)得證。原不等式成立 。通過(guò)上面這兩個(gè)例子我們發(fā)現(xiàn)，在對(duì)于證明關(guān)于正整數(shù) n 的類(lèi)似于 f (1) f (2) f (3) f (n) g(n)或f (1) f(2)

4、f (3) f (n) g (n)的相關(guān)命題時(shí)，引入累加與累乘的思想后很容易觀察出下面的思路， 從而比較方便準(zhǔn)確的找到解題方法。1例3：已知數(shù)列 an 滿(mǎn)足： a1 2,an 1 an,(n N* ),cn nan.an證明： cn 2 1 2 3 n該題在形式上和上述兩例一致，有的同學(xué)拿到題目后首先想到的可能是如何把 cn求出來(lái)， 這樣一來(lái)就相對(duì)復(fù)雜了。 運(yùn)用累加思想將cn拆成 (cn cn 1) (cn 1 cn 2) (c2 c1) c1 ，所證明的不等式就可以進(jìn)步簡(jiǎn)化。證明：原不等式可轉(zhuǎn)化 為(cn cn 1) (cn 1 cn 2)(c2 c1) c1 2 1 2 3 n則只需要證明

5、下列結(jié)論 即可： n 1時(shí)不等式成立 ,n 2時(shí)cn cn 1 2 n 當(dāng) n 1時(shí), 左邊 1 右邊 , 顯然不等式成立 .當(dāng)n 2時(shí),cn cn 1 nan n 1an 1 n1a1 , n 1 a a n 1n 1an 1 na n 1an 0, cn cn 1 an 1n 2 a n 1 n 2 n .a n 1an 1從而原命題得證。在該方法的運(yùn)用過(guò)程中， 最關(guān)鍵的就是將一項(xiàng)拆成多項(xiàng)， 值得注意的是在拆完后， 左右兩邊呈現(xiàn)一對(duì)一的現(xiàn)象。 基于該方法的指導(dǎo)思想我們可進(jìn)一步延伸， 對(duì)于左右兩邊不對(duì)稱(chēng)的形式我們同樣可采用累加累乘思想先拆分再配對(duì)，從而來(lái)尋找證明的突破口。例4：在數(shù)列 an

6、中，已知 a1 1 ，且 an an 1 1 2 12an 1 a nn n 1記數(shù)列 an 的前項(xiàng)和 Sn .證明 : 1 ln n Sn 1 ln nn n n 2面我們將所證明的不等式中的三部分均寫(xiě)成和的形式當(dāng)n 2時(shí)： 1 lnn -1 ln 2 ln1 ln3 ln2 ln n ln n 1 3 1Sn 2 a2 a3an 411ln nln2 ln1 ln3 ln2 ln n ln n 1 5將上述三個(gè)式子代入所證明的結(jié)論中我們發(fā)現(xiàn)：右邊部分的常數(shù)可約去 1 ，約完后兩邊恰好一對(duì)一，可直接采用前面的方法求解，2下面先證明右邊部分證明一：由 4 5 兩式可將證明結(jié)果變形 為111 a

7、2 3an 1 ln 2 ln1 ln3 ln2 ln n ln n 1221當(dāng) n 1時(shí)：左邊 1 右邊2當(dāng)n 2時(shí)：要證原不等式則只 需證an ln n ln n 1根據(jù)題目條件可求得 a2n ,即證 2nln nn2 1n2 1 n 1對(duì)于這個(gè)不等式就好辦了，借助我們所熟悉的 函數(shù)不等式 x ln 1 x x 0.1x在這個(gè)函數(shù)不等式中進(jìn)顯然這個(gè)式子是成立的行賦值x 1 得到 1 ln n ,下面只要證明 2n1n 1 n n 1n 2 1 n，從而不等式的右半部 分得證。對(duì)于左半部分結(jié)合 3 4 發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)關(guān)系如下(ln 2 ln1) 1 , ln3 ln 2 a2, , ln n ln

8、 n 1這樣在 3 中多出了 1，在 4 中多出了 an 。 此時(shí)上述方法無(wú)法直接運(yùn)用，我們?nèi)钥衫蒙鲜鏊枷雽⒕哂袑?duì)應(yīng)關(guān)系的部分結(jié)合， 剩下部分結(jié)合再來(lái)尋找突破口。下面給出左半部分的證明：證明二：由 3 4 兩式可將所證明的結(jié)論 轉(zhuǎn)化為：11 lnn -1 ln 2 ln1 ln 3 ln2 ln n ln n 1a2 3an1當(dāng)n 1時(shí),左邊 1 12 右邊當(dāng)n 2時(shí), 要證原不等式只需證明12 ln2a2 ln 312a3 ln 433an 1 ln n1 a n n1記bn an1 ln n ,類(lèi)似于證明一，我們借 助另一個(gè)函數(shù)不等式 ln1 x x x 0 n1令x1 ,則有 ln n 1n 1 n 1 n 1n n 1n 1 n 1 2 1 n 1 n 1 n 12 1 n 1 n 1 1, bn an 1 ln11n n 11 ln 221ln32a3 ln 43a n 1