線性代數(shù)試題及答案

1、第一部分選擇題 （共 28 分） 單項選擇題（本大題共 14 小題，每小題 2分，共 28 分）在每小題 列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填在題 后的括號內(nèi)。錯選或未選均無分。1. 設(shè)行列a11a12a13a11=m ，a21a22a23a21式=n等于（D )則行列式a11a12a138.設(shè) Ax=b 是一非齊次線性方程組， 1， 2 是其任意2 個解，則下列結(jié)論錯誤的是（ A ）A.1+2是 Ax=0 的一個解B. 1 11+2 是 Ax=b 的22一個解C. 1-2是 Ax=0 的一個解D.21-2是 Ax=b的一個解9.設(shè) n階方陣 A 不可逆，則必有（A )A.秩

2、(A )<nB.秩 (A )=n- 1C.A=0D.方程組 Ax=0 只有零解10.設(shè) A 是一個 n（ 3）階方陣，下列陳述中正確的是（B ）A.如存在數(shù) 和向量 使 A= ，則 是 A 的屬于特征值 的特征向 量01062133，已知 =121082是它的一個特征向量，23.設(shè)矩陣 A=正慣性指數(shù)為 3，則其規(guī)范形為 .6 分，共 42 分）a21 A.m+n C. n- ma22a23B. - (m+n)D. m- n1 2 02 3 125.設(shè) A=3 4 0，B=2 4 0121.求（ 1）ABT；（2）|4A|.則所對應(yīng)的特征值為 .24.設(shè)實二次型 f（x1,x2,x3,x

3、4,x5）的秩為 4， 三、計算題（本大題共 7 小題，每小題2.設(shè)矩陣A=，則A- 1等于（10031001100B.002200110031100002130 1 0D.001300001203A.C.B.如存在數(shù) 和非零向量 ，使 （E- A）=0，則 是 A 的特征值C.A 的 2 個不同的特征值可以有同一個特征向量D.如 1，2，3 是 A 的 3 個互不相同的特征值， 1，2， 3 依次是 A 的屬于 1，2，3 的特征向量，則 1， 2， 3有可能線性相關(guān)11.設(shè) 0是矩陣 A的特征方程的 3重根，A 的屬于0的線性無關(guān)的特征向 量的個數(shù)為 k，則必有（ A ）A. k3B. k

4、<3C. k=3D. k>312.設(shè) A 是正交矩陣，則下列結(jié)論錯誤的是（B ）A.|A|2 必為 1B.|A|必為 1C.A- 1=ATD.A 的行（列）向量組是正交單位向量組13.設(shè) A 是實對稱矩陣， C 是實可逆矩陣， B= CTAC .則（ D ）A.A 與 B 相似B. A與 B不等價C. A 與 B 有相同的特征值D. A 與 B 合同14.下列矩陣中是正定矩陣的為（C ）26.試計算行列式27.設(shè)矩陣 A=3.設(shè)矩陣312101214B )，A*是 A 的伴隨矩陣，A=則 A * 中位于（1，2）1 0 01112334A.B.C.0 2 3D.1 2 034260

5、 3 5102，求矩陣 B 使其滿足矩陣方程AB=A+2B.328.給定向量組試判斷 的元素是（A.6C. 24.設(shè) A 是方陣，如有矩陣關(guān)系式 AB=AC ，則必有（ A.A =0B. B C 時 A=0C.A 0時 B=CD. |A| 0時 B=C5.已知 3×4矩陣 A 的行向量組線性無關(guān)，則秩（ AT） A. 1C. 36.設(shè)兩個向量組 A.有不全為 0 的數(shù) 1， 1+22+ss=0B.有不全為 0 的數(shù) 1 +s（s+s） =0C.有不全為 0 的數(shù) 1 + s（ s- s） =0D.有不全為 0 的數(shù) 1， 使11+2 2+ 7.設(shè)矩陣 A 的秩為 r，則 A 中（ A

6、.所有 r-1 階子式都不為 0 為0 C.至少有一個 r 階子式不等于 0第二部分 非選擇題（共 72 分）、填空題（本大題共 10小題，每小題 2分，共 20分）不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內(nèi)。錯填或不填均無分。1210224266210233333429.設(shè)矩陣 A=求：（ 1）秩（ A）；（ 2） A 的列向量組的一個最大線性無關(guān)組。等于（B. 6D.21 1 115. 3 5 69 25 361，2，2，1，1，2，2，s和1，2， s均線性相關(guān)， ， s 使 11+22+C )B. 2D. 4 則( D ss=0 和 116.設(shè) A=23.則 A+2B=.24|A |

7、=2，A ij 表示 |A|中元素2022234243的全部特征值為 1， 130.設(shè)矩陣 A=使 T- 1AT=D.31.試用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形和對角矩陣 D ，和- 8.求正交矩陣 T，s使 1(1+ 1)+2(2+2)，s使 1(1- 1)+ 2(2- 2)2， s和不全為 0 的數(shù) s s=0 和 1 1+ 2 2+ +C ) 1， 2 ， s s=0+sB.所有 r- 1 階子式全D. 所有 r 階子式都不為 017.設(shè) A=(aij )3×aij 的代數(shù)余子式（ i,j=1,2,3 ）,則22× 3 ，(a11A 21+a12A22+a13A23)2+(

8、a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)18.設(shè)向量（ 2，-3 ，5）與向量（ -4，6，a）線性相關(guān)，則 a=.19.設(shè) A 是 3×4 矩陣， 其秩為 3，若 1， 2為非齊次線性方程組 Ax=b 的 2 個不同的解，則它的通解為 .20.設(shè) A 是 m×n 矩陣，A 的秩為 r（<n） ，則齊次線性方程組 Ax=0 的一個基 礎(chǔ)解系中含有解的個數(shù)為 .21.設(shè)向量 、 的長度依次為 2 和 3，則向量 +與 - 的內(nèi)積（ + ， - ） =.22.設(shè)3階矩陣 A的行列式|A|=8，已知 A有2個特征值- 1和4

9、，則另一特 征值為 .f（x1,x2,x3）= x12 2x22 3x32 4x1x2 4x1x3 4x2x3 ， 并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題（本大題共 2 小題，每小題 5 分，共 10分）32.設(shè)方陣 A 滿足 A3=0，試證明 E- A 可逆，且（ E- A）- 1=E+A+A2.33.設(shè)0是非齊次線性方程組 Ax=b 的一個特解，1，2是其導(dǎo)出組 Ax=0 的一個基礎(chǔ)解系 . 試證明（1）1=0+ 1， 2= 0 + 2均是 Ax=b 的解；（2）0，1， 2線性無關(guān)。答案：一、單項選擇題（本大題共 14小題，每小題 2 分，共 28分）1.D 2.B 3.B 4.D5.C6

10、.D10.B11.A 12.B 13.D 二、填空題（本大題共 10 空，每空 2分，共 20 分） 15. 63 3 716.7.C8.A9.A14.C1 3 717. 418. 1019. 1+c(2- 1)(或 2+c( 2- 1)，c為任意常數(shù)20. n- r21.22.23.5212222 z1 z2 z3 z4 計算題(本大題共2 1 3 00 5 3211/31 3 0 11 3 013=2，經(jīng)單位化得3=2/302240 1 1222/33 4 1 90 13 1122 5/52 15/15 1/31 0 3 51035所求正交矩陣為T=5/54 5/15 2/30 1 1 2

11、011205/32/30 0 8 800111000 0 14 140000對角矩陣D=01028.解一120228625.解(1)ABT=34034=1810121103107 小題，每小題6 分，共 42 分）|4A|=43|A|=64|A|，而2）24.三、0所以解二 考慮 4=x1 1+x2 2+x33，2x1 x2 3x3 0|A|=2.- 2) =- 1283112513420111533511所以|4A|=64·26.解2 5/50 4=20 1+ 2+ 3，組合系數(shù)為x1 3x2 1方程組有唯一解（29.解對矩陣 A 施行初等行變換12也可取T=2，1，1）.31.解

12、 f(x1，x2， x3)=05/52 15/155/34 5/151/32/3.）2x2 2x3 43x1 4x2 x3 9.T，組合系數(shù)為( 2，2，1，1）1，1）x1x2y1115155116=620555027.解 AB= A+2B 即(A-30 10 40.=B.2231143A- 2E)- 1=110153.1211642E）B=A，而143423386B=(A- 2E)- 1A=153110=296.1641232129所1 2 1 0 21 2 1 0 20 3 2 8 30 3 2 8 30 0 0 6 20 0 0 3四1、0 0 0 21 70 0 0 0032.證所以

13、秩=秩（ B）=3.A）=3，1）秩（ B）2）由于 A 與 B 的列向量組有相同的線性關(guān)系，而 形， B 的第 1、2、 無關(guān)組，故 A 的第 大線性無關(guān)組。（ A 的第 1、 2、 5 列或30.解 A 的屬于特征值 =1 1=（2，- 1，0）4 列是1、2、1、3、B 是階梯B 的列向量組的一個最大線性4 列是 A 的列向量組的一個最4 列，或 1、 3、 5 列也是）2 5/52 5/15經(jīng)正交標(biāo)準(zhǔn)化，得 1=5/5， 2=4 5/1505/3T的 2 個線性無關(guān)的特征向量為 T， 2=（2，0，1） =-8 的一個特征向量為2/32 2 2- 2x2 +4x2x3- 7x32 2 2=( x1+2x2- 2x3) - 2(x2-x3) - 5x3 . x1 2x2 2x3x1+2x2- 2x3)y1y2x2 x3y32y2y2 y3y3因其系數(shù)矩陣C=x3可逆，故此線性變換滿秩。0f（x1，x2，222y1 - 2y2 - 5y3 .證明題（本大題共 2 小題，每小題 5 分，共 10分）由于（ E - A ）（ E +A +A 2） =E- A3=E，所以 E- A 可逆，且（E- A）- 1= E+A+A2.33.證 由假設(shè) A0=b，A1=0，A