2011屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 函數(shù)的單調(diào)性 理 課件

1、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x) 的定義域為的定義域為 I :一、函數(shù)的單調(diào)性一、函數(shù)的單調(diào)性注注: 函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)是對定義域內(nèi)某個函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)是對定義域內(nèi)某個區(qū)間區(qū)間而言而言的的. 有的函數(shù)在一些區(qū)間上是增函數(shù)有的函數(shù)在一些區(qū)間上是增函數(shù), 而在另一些區(qū)間上可能而在另一些區(qū)間上可能是減函數(shù)是減函數(shù). . 如果對于屬于定義域如果對于屬于定義域 I 內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值值 x1, x2, 當(dāng)當(dāng) x1x2 時時, 都有都有 f(x1)f(x2), 那么就說那么就說 f(x) 在這個區(qū)間在這個區(qū)間上是增函數(shù)上是增函數(shù); 如果對于屬于定義域如果對于屬于

2、定義域 I 內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值值 x1, x2, 當(dāng)當(dāng) x1f(x2), 那么就說那么就說 f(x) 在這個區(qū)間在這個區(qū)間上是減函數(shù)上是減函數(shù). 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù), 那么就說函那么就說函數(shù)數(shù) y=f(x) 在這一區(qū)間上具有在這一區(qū)間上具有( (嚴(yán)格的嚴(yán)格的) )單調(diào)性單調(diào)性, 這一區(qū)間叫做函這一區(qū)間叫做函數(shù)數(shù) y=f(x) 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.二、單調(diào)區(qū)間二、單調(diào)區(qū)間1.取值取值: 對任意對任意 x1, x2M, 且且 x10(0, b0) 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.xb解解: 函數(shù)函數(shù)

3、f(x) 的的定義域為定義域為(-, 0)(0, +), 典型例題典型例題函數(shù)函數(shù) f(x) 的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) f (x)=a- - = , bx2ax2- -b x2函數(shù)函數(shù) f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是 (-, - - ) 與與 ( , +), abab函數(shù)函數(shù) f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是 (- - , 0) 與與 (0, ). abab令令 f (x)0 得得: x2 - - x0 或或 0 x0 得得: x2 x ; ababab 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是單調(diào)性學(xué)習(xí)中的最基本的問題求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是單調(diào)性學(xué)習(xí)中的最基本的問題, 但必須注意但必須注意, 如果函數(shù)的

4、解析式含有如果函數(shù)的解析式含有參數(shù)參數(shù), 而且參數(shù)的取值而且參數(shù)的取值影響函數(shù)的單調(diào)區(qū)間影響函數(shù)的單調(diào)區(qū)間, 這時必須對參數(shù)的取值進(jìn)行這時必須對參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論分類討論. 注注: 這個函數(shù)的單調(diào)性十分重要這個函數(shù)的單調(diào)性十分重要, 應(yīng)用非常廣泛應(yīng)用非常廣泛, 它的圖它的圖象如圖所示象如圖所示:oyx2 ab- -2 ab baba- -2.求函數(shù)求函數(shù) f(x)= x+2 - - ax 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.解解: 函數(shù)函數(shù) f(x) 的的定義域為定義域為-2, +), 當(dāng)當(dāng) a0 時時, f (x)0( (x(- -2, +) ), 當(dāng)當(dāng) a0 時時, 定義域定義域-2, +)為為 f

5、(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間的單調(diào)遞增區(qū)間; f (x)= - -a= , 2 x+2 1 2 x+2 1- -2a x+2 當(dāng)當(dāng) a0 時時, 令令 f (x)0, 則則 2a x+2 1. 4a2(x+2)1 而而 f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是 ( - -2, +). 4a2 1 x - -2; 4a2 1 令令 f (x) - -2. 4a2 1 當(dāng)當(dāng) a0 時時, f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是 - -2, - -2),4a2 1 3.試討論函數(shù)試討論函數(shù) y=2log2 x- -2log x + 1 的單調(diào)性的單調(diào)性.1212解解: 令令 t=log x, 則則

6、t 關(guān)于關(guān)于 x 在在 (0, +) 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減.12而而 y=2t2- -2t+1 在在 (-, 上單減上單減, 在在 , +) 上單增上單增,1212又由又由 t得得 x , 1222由由 t 得得 0 x , 1222故函數(shù)故函數(shù) y=2log2 x- -2log x+1 在在 , +) 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增, 在在 (0, 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減.12122222 4.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)=kx3+3(k- -1)x2- -k2+1. (1)當(dāng)當(dāng) k 為何值時為何值時, 函數(shù)函數(shù) f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是 (0, 4); (2)當(dāng)當(dāng) k 為何值時為何值時,

7、函數(shù)函數(shù) f(x) 在在(0, 4)內(nèi)內(nèi)單調(diào)遞減單調(diào)遞減.不等式不等式 f (x)0 的解集為的解集為( (0, 4) ), 0 與與 4 是方程是方程 kx2+2(k- -1)x=0 的兩根的兩根,即即 kx2+2(k- -1)x0 的解集為的解集為( (0, 4) ), 故由根與系數(shù)的關(guān)系可求得故由根與系數(shù)的關(guān)系可求得 k 值為值為 . 13(2)命題等價于命題等價于 kx2+2(k- -1)x0 對對 x (0, 4) 恒成立恒成立, 設(shè)設(shè)g(x)=kx+2(k- -1), 等價于等價于 kx+2(k- -1)0 對對 x (0, 4) 恒成立恒成立, 由于由于 g(x) 的圖象為一條直

8、線的圖象為一條直線, g(0)0 g(4)0 k . 13則則 ( (或分離變量或分離變量 k0 得得: x- -1 或或 0 x1; 由由g (x)0 得得: - -1x1. 故故 g(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是 (- -, - -1) 與與 (0, 1);單調(diào)遞減區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間是 (- -1, 0) 與與 (1, +).5.已知已知 f(x)=8+2x- -x2, 若若 g(x)=f(2- -x2), 試確定試確定 g(x) 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間. 6.已知已知f(x)是定義在是定義在R上的增函數(shù)上的增函數(shù), 對對xR有有f(x)0, 且且f(5)=1, 設(shè)設(shè)F(x)=f(

9、x)+ , 討論討論 F(x) 的單調(diào)性的單調(diào)性, 并證明你的結(jié)論并證明你的結(jié)論. f(x) 1 分析分析: 這是抽象函數(shù)的單調(diào)性問題這是抽象函數(shù)的單調(diào)性問題, 應(yīng)該用單調(diào)性定義解決應(yīng)該用單調(diào)性定義解決. 解解: 在在 R 上任取上任取 x1, x2, 設(shè)設(shè) x1f(x1) 且且:F(x2)- -F(x1)=f(x2)+ - -f(x1)+ f(x1)1f(x2)1=f(x2)- -f(x1)1- - . f(x1)f(x2) 1f(x) 是是 R 上的增函數(shù)上的增函數(shù), 且且 f(5)=1, 當(dāng)當(dāng) x5 時時 0f(x)1, 而當(dāng)而當(dāng) x5 時時 f(x)1.若若 x1x25, 則則 0f(

10、x1)f(x2)1, 0f(x1)f(x2)0, F(x2)F(x1); 1- - x15, 則則 f(x2)f(x1)1, f(x1)f(x2)1, 綜上綜上, F(x) 在在 (- -, 5 上上為減函數(shù)為減函數(shù), 在在 5, +) 上上為增函數(shù)為增函數(shù).f(x2)- -f(x1)0, F(x2)F(x1). 1- - 0, f(x1)f(x2) 1(1)證證: 由已知由已知, 對任意的對任意的 x1, x2(-, +) 且且 x10, f(x2- - x1)1. f(x2- - x1)- -10. f(x2)- -f(x1)0 即即 f(x2)f(x1). f(x) 是是 R 上上 的增

11、函數(shù)的增函數(shù).(2)解解: f(4)=5, 令令 a=b=2 得得: f(4)=f(2)+f(2)- -1, 從而從而 f(2)=3.原原不等式等價于不等式等價于 f(3m2- -m- -2)f(2).f(x) 是是 R 上上 的增函數(shù)的增函數(shù), 3m2- -m- -22, 即即 3m2- -m- -40. 解得解得: - -1m . 4343故不等式故不等式 f(3m2- -m- -2)0 時時, 有有 f(x)1. (1)求證求證: f(x) 是是 R 上上 的增函數(shù)的增函數(shù); (2)若若 f(4)=5, 解不等式解不等式 f(3m2- -m- -2)0. 解得解得: - -1x0. 1x

12、2 1- -x1 1+x1 1- -x2 1+x2 又對任意的又對任意的 x1, x2(0, 1) 且且 x10, 且有且有: 1x1 1x2 1+x21+x10; 1- -x11- -x20, 1- -x1 1+x1 1- -x2 1+x2 - - 0. log2 - -log2 0. 1- -x1 1+x1 1- -x2 1+x2 即即 f(x1)f(x2). 函數(shù)函數(shù) f(x) 在在 (0, 1) 內(nèi)單調(diào)遞減內(nèi)單調(diào)遞減. 由于由于 f(x) 是奇函數(shù)是奇函數(shù),故故函數(shù)函數(shù) f(x) 在在 (- -1, 0) 內(nèi)也單調(diào)遞減內(nèi)也單調(diào)遞減. 9.已知函數(shù)已知函數(shù) f(x) 的定義域為的定義域為

13、 (- -, 0)(0, +), 且滿足條件且滿足條件: f(xy)=f(x)+f(y), f(2)=1, 當(dāng)當(dāng) x1 時時, f(x)0. (1)求證求證: f(x)為偶函數(shù)；為偶函數(shù)；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)求不等式求不等式 f(x)+f(x- -3)2的的解集解集.(1)證證: 在在中令中令 x=y=1, 得得 f(1)=f(1)+f(1) f(1)=0. 令令 x=y=- -1, 得得 f(1)=f(- -1)+f(- -1)f(- -1)=0. 再令再令 y=- -1, 得得 f(- -x)=f(x)+f(- -1)=f(x). f(x) 為偶函數(shù)為偶函數(shù).

14、先討論先討論 f(x) 在在 (0, +) 上的單調(diào)性上的單調(diào)性, 任取任取x1, x2, 設(shè)設(shè)x2x10, f(x2)f(x1). f(x) 在在 (0, +) 上是增函數(shù)上是增函數(shù), 由由 (1) 知知, f(x) 在在(- -, 0) 上是減函數(shù)上是減函數(shù). 偶函數(shù)圖象關(guān)于偶函數(shù)圖象關(guān)于 y 軸對稱軸對稱, (2)解解: 在在中令中令 y=, 得得: x1由由知知 f( )0. x2 x1 1, x2 x1 f(1)=f(x)+f( )f( ) =- -f(x), x 1 x 1 則則 f(x2)- -f(x1)=f(x2)+f( )=f( ). x2 x1 x1 1 (3)解解: fx

15、(x- -3)=f(x)+f(x- -3)2, 由由 、 得得 2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)=f(- -4), 1) )若若 x(x- -3)0, f(x) 在在 (0, +) 上為增函數(shù)上為增函數(shù), 由由 fx(x- -3)f(4) 得得: 2) )若若 x(x- -3)0 x(x- -3)4 x3 - -1x4 - -1x0 或或 3x4; x(x- -3)0 x(x- -3)- -4 0 x3. 0 x3 x R 原不等式的解集為原不等式的解集為-1, 0)(0, 3)(3, 4 . 注注 抽象函數(shù)問題是函數(shù)學(xué)習(xí)中一類比較特殊的問題抽象函數(shù)問題是函數(shù)學(xué)習(xí)中一類比較特殊的問題,

16、 其基其基本方法是變量代換、換元等本方法是變量代換、換元等, 應(yīng)熟練掌握它們的這些特點應(yīng)熟練掌握它們的這些特點. 法二法二 原不等式等價于原不等式等價于 f|x(x- -3)|f(4)( (x 0, x- -3 0) ), 由由 f(x) 在在 (0, +) 上為增函數(shù)得上為增函數(shù)得: |x(x- -3)|4. 再進(jìn)一步求得解集再進(jìn)一步求得解集. 10.(04福建福建)已知已知f(x)= (xR) 在區(qū)間在區(qū)間-1, 1 上是增函數(shù)上是增函數(shù). ( (1) )求實數(shù)求實數(shù) a 的值所組成的集合的值所組成的集合 A；( (2) )設(shè)關(guān)于設(shè)關(guān)于 x 的方程的方程 f(x)= 的兩個非零實根為的兩個

17、非零實根為 x1, x2. 試問試問: 是否存在實數(shù)是否存在實數(shù) m, 使得不等式使得不等式m2+tm+1|x1- -x2| 對任意對任意 aA 及及 t-1, 1 恒成立恒成立? 若存在若存在, 求求 出出 m 的取值范圍；若不存在的取值范圍；若不存在, 說明理由說明理由.x2+2 2x- -a 1x解解: ( (1) )f (x)= = . 4+2ax - -2x2 (x2+2)2 - -2(x2 - -ax - -2) (x2+2)2 f(x) 在區(qū)間在區(qū)間-1, 1 上是增函數(shù)上是增函數(shù), f (x)0 對對 x-1, 1 恒成立恒成立. 即即 x2 - -ax - -20 對對 x-

18、1, 1 恒成立恒成立. 設(shè)設(shè) (x)=x2- -ax- -2. 方法一方法一: - -1a1. (1)=1- -a - -20 (- -1)=1+a - -20 對對 x-1, 1 , f(x) 是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù), 且只有當(dāng)且只有當(dāng) a=1 時時, f (- -1)=0以及當(dāng)以及當(dāng) a=- -1 時時, f (1)=0, A=a | - -1a1 . 方法二方法二: 對對x-1, 1 , f(x) 是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù), 且只有當(dāng)且只有當(dāng) a=1 時時, f (- -1)=0以及當(dāng)以及當(dāng) a=- -1 時時, f (1)=0, A=a | - -1a1 . (- -1)=1+a - -20 a20 0a1 或或 - -1a0 (1)=1- -a- -20 a20, x1, x2 是方程是方程 x2- -ax- -2=0 的兩實根的兩實