多面體的外接球半徑怎么求？

1、多面體的外接球半徑怎么求？在立體幾何的學(xué)習(xí)資料中，有一類問(wèn)題是有關(guān)多面體的外接球的問(wèn)題。這類問(wèn)題綜合性較強(qiáng)，不僅同時(shí)考查了簡(jiǎn)單多面體和球的主要性質(zhì)等重點(diǎn)知識(shí)，而且對(duì)空間想象能力和問(wèn)題化歸能力有較深入的考查，所以既是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)，也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn)。但客觀上這種組合體的圖形較難畫(huà)出，線面關(guān)系也比較隱蔽；主觀上不少考生空間想象力較缺乏，對(duì)有關(guān)知識(shí)掌握得又不系統(tǒng)，找不到球心位置及球半徑與其它已知量的關(guān)系，所以常常導(dǎo)致考生解題失敗。為此下面先對(duì)有關(guān)多面體外接球的知識(shí)作一較系統(tǒng)的總結(jié)，然后結(jié)合歷年高考題說(shuō)明一些常見(jiàn)多面體的外接球半徑的求法。一多面體的外接球的定義和性質(zhì)：1.多面體的外接球的定義

2、：如果一個(gè)多面體的所有頂點(diǎn)都落在同一個(gè)球面上，就說(shuō)這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球，這個(gè)多面體則叫作這個(gè)球的內(nèi)接多面體。2.多面體的外接球的性質(zhì)：性質(zhì)1.多面體的每個(gè)頂點(diǎn)到球心的距離都相等，且等于球半徑。性質(zhì)2.多面體的每個(gè)面都有外接圓，且外接圓圓心O與球心O的連線垂直于這個(gè)面。性質(zhì)3.外接圓圓心O到球心O的距離d、圓O的半徑r與球半徑R的關(guān)系：d2+r2=R2。二常見(jiàn)多面體的外接球半徑的求法題型1.長(zhǎng)方體的外接球半徑的求法 -利用長(zhǎng)寬高與球半徑關(guān)系求解。根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)，長(zhǎng)方體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，且長(zhǎng)度都相等，恰好是長(zhǎng)方體的外接球直徑，即長(zhǎng)a、寬b、高c與外接球半徑R滿足關(guān)系：a2+b2+c2=4R

3、2，利用這個(gè)公式，就可以直接求出長(zhǎng)方體（包括正四棱柱、正方體）的外接球半徑。例1.（2007天津理12）一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1，2，3，則此球的表面積為解：設(shè)長(zhǎng)方體的外接球半徑為R。根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得：12+22+32=4R2 所以此球的表面積 S=4R2=14 。題型2.其它有外接球的直棱柱的外接球半徑的求法-利用底面外接圓半徑r、棱柱高h(yuǎn)與外接球半徑R的關(guān)系求解。有外接球的棱柱只能是直棱柱（因?yàn)槔庵拿總€(gè)側(cè)面是平行四邊形，且有外接圓，所以其側(cè)面只能是矩形）并且底面必須是有外接圓的多邊形，常見(jiàn)的有任意三角形、等腰梯形、矩形、正多邊形等。此時(shí)直

4、棱柱的上底面和下底面平行且全等，其外接圓圓心的連線O1O2等于棱柱的高h(yuǎn)，其中點(diǎn)就是球心O，所以只要求出底面外接圓半徑r，即可得到球半徑R：R2=r2+ 。例2（2008海南、寧夏理科）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的底面周長(zhǎng)為3，體積為，則這個(gè)球的體積為解：此棱柱是正六棱柱，且上下底面的外接圓圓心的連線O1O2等于棱柱的高h(yuǎn)，根據(jù)對(duì)稱性，其中點(diǎn)就是球心O。又底面是正六邊形，邊長(zhǎng)為，所以底面積為，O1BC且底面外接圓半徑r=；棱柱的高O2O1=，球半徑R=OC，R2=。 所以這個(gè)球的體積為 題型3.正棱錐的外接球半徑的求法-利用底面外

5、接圓半徑r、棱錐高h(yuǎn)與外接球半徑R的關(guān)系求解。正棱錐是底面為正多邊形，頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直與底面的特殊棱錐，所以所有正棱錐都有外接球，并且外接球球心O在正棱錐頂點(diǎn)與底面中心的連線上。設(shè)h為正棱錐的高，r為底面外接圓半徑，R為外接球半徑，利用球心到各頂點(diǎn)距離都等于球半徑的性質(zhì)，就可構(gòu)造出關(guān)于半徑的方程：R2=r2+(h-R)2,從而求得外接球半徑。例3.一個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)4，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為 解：由正弦定理，底面正三角形的外接圓直徑2r=O1B=r=,側(cè)棱長(zhǎng)AB=2,所以棱錐的高AO1=h=設(shè)外接球半徑為R, 則R2=r2+(h-R)2所以 ，球的表面積

6、S球=4R2= ORSQ題型4.有一條側(cè)棱與底面垂直的棱錐的外接球半徑的求法-用補(bǔ)形法補(bǔ)成直三棱柱或長(zhǎng)方體再用公式R2=r2+ 或a2+b2+c2=4R2求解。例4.（2012遼寧文16）已知點(diǎn)P，A，B，C，D是球O表面上的點(diǎn)，PA平面ABCD，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2正方形。若PA=2,則OAB的面積為_(kāi).解：因?yàn)镻A平面ABCD，以正方形ABCD為底面，PA為一條側(cè)棱作棱柱ABCDPQRS，則此棱柱為長(zhǎng)方體，且PC為球O的直徑。所以 OA=OB=AB,所以O(shè)AB的面積為題型5.有兩個(gè)側(cè)面是有公共斜邊的直角三角形的棱錐的外接球半徑的求法-公共斜邊就是外接球的直徑。例5.在矩形中，沿將矩形折

7、成一個(gè)二面角，則四面體的外接球的體積為 解：設(shè)AC中點(diǎn)為O。則由直角三角形性質(zhì)知：OA=OB=OC=OD，所以O(shè)為四面體ABCD的外接球球心，且AC=5，外接球半徑 R=OA=， 所以外接球的體積為V= 題型6.每對(duì)異面的棱的長(zhǎng)度分別相等的四面體的外接球半徑的求法-以每條棱為面對(duì)角線，把四面體鑲嵌到長(zhǎng)方體中再求解。例6.在四面體中，,BC=AD=4，AC=BD=5，求此四面體的外接球的表面積.解：設(shè)E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為CD中點(diǎn)。過(guò)CD中點(diǎn)F作AB的平行線A1B1，并且使F也平分A1B1。因?yàn)镈C=AB=A1B1,則四邊形A1DB1C是矩形。仿此可作出矩形AD1BC1，且與矩形A1DB1C平行并且全等。連接AA1、BB1、CC1、DD1。因?yàn)锳D=BC，AC=BD，所以另外四個(gè)面也是矩形。 所以所得幾何體為長(zhǎng)方體，且與四面體ABCD有相同的外接球。 設(shè)AC1=x,AD1=y,AA1=z則x2+y2=9,y2+z2=16,x2+z2=25三式相加得：2（x2+y2+z2