通信第三章 常見函數的傅里葉變換

1、精選課件11.1.傅里葉級數定義及適用條件傅里葉級數定義及適用條件2.2.常見周期信號的頻譜常見周期信號的頻譜, ,非周期性信號的頻譜非周期性信號的頻譜3.3.傅里葉變換的定義及適用條件及性質傅里葉變換的定義及適用條件及性質4.4.周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換5.5.抽樣定理抽樣定理6.6.功率頻譜與能量頻譜功率頻譜與能量頻譜7.7.系統(tǒng)頻域分析法系統(tǒng)頻域分析法8.8.希爾伯特變換希爾伯特變換第第3 3章章 傅里葉變換傅里葉變換l 重點：重點：精選課件2 傅里葉傅里葉17681768年生于法國年生于法國,1807,1807年提年提出出“任何周期信號都可用正弦函數任何周期信號都可用正

2、弦函數級數表示級數表示”, 1822, 1822年在年在“熱的分析熱的分析理論理論”一書中再次提出。一書中再次提出。18291829年狄年狄里赫利給出傅里葉變換收斂條件。里赫利給出傅里葉變換收斂條件。傅里葉變換得到大規(guī)模的應用，則傅里葉變換得到大規(guī)模的應用，則是到了上世紀是到了上世紀6060年代之后。年代之后。3.1 傅里葉變換的產生傅里葉變換的產生傅里葉的兩個最主要的貢獻：傅里葉的兩個最主要的貢獻：（1）“周期信號都可表示為諧波關系的正弦信號的周期信號都可表示為諧波關系的正弦信號的加權和加權和”;（2）“非周期信號都可用正弦信號的加權積分表非周期信號都可用正弦信號的加權積分表示示”.精選課件

3、31,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,cos,sin,ttttktkt21*( )( )d1tiitf t ftt 21*( )( )d0tijtf t fttij，三角函數三角函數就是一個標準的兩兩正交的函數空間。它滿足下列完就是一個標準的兩兩正交的函數空間。它滿足下列完備正交函數的三個條件：備正交函數的三個條件：3.2 周期信號的傅里葉分析周期信號的傅里葉分析1. 歸一化：歸一化：2. 歸一正交化：歸一正交化：3. 歸一化完備性：可以用其線性組合表示任意信號歸一化完備性：可以用其線性組合表示任意信號精選課件4周期的終點周期的終點 1111111,cos,sin,cos2,sin

4、2,cos,sin,ttttktkt12122Ttt 設三角函數的完備函數集為設三角函數的完備函數集為：其中其中三角函數集也可表示為：三角函數集也可表示為：11cos(),sin()0,1,2,ntntn3.2.1 傅里葉級數的三角形式傅里葉級數的三角形式基頻基頻 周期周期 周期的起點周期的起點 精選課件52111cos()sin()d0ttntmtt21211111cos()cos()d0,sin()sin()d0ttttntmttmnntmtt2211222111cos ()dsin ()d22ttttttTnttntt21211dtttTtt0n 時，有時，有（2 2）“單位單位”常數性

5、，即當常數性，即當 滿足滿足： （1）正交性：函數集中的任意函數兩兩相正交，有正交性：函數集中的任意函數兩兩相正交，有 精選課件6可以將可以將“任意任意”周期函數周期函數 在這個正交函數集中展開為在這個正交函數集中展開為( )f t0111( )(cossin)nnnf taantbnt22112211112121212( )cos()d , 0( )cos()d1cos ()d( )d ,0ttttnttttf tnttnf tnttttanttf ttntt221211112211( )sin()d2( )sin()dsin ()dtttntttf tnttbf tnttttntt系系數數

6、稱為傅里葉級數稱為傅里葉級數 精選課件7011( )cos()2nnnaf tcnt0111 ( )(cossin)2nnnaf tantbnt或211212( )cos()dtntaf tntttt 同上式同上式 傅里葉級數的傅里葉級數的三角展開式三角展開式 另一種形式另一種形式 t 直流分量直流分量 n=1n1基波分量基波分量 n次諧波分量次諧波分量 精選課件8可展開為傅里葉級數的條件：可展開為傅里葉級數的條件：( )f t（2 2） 在區(qū)間內有有限個間斷點；在區(qū)間內有有限個間斷點；( )f t（1 1） 絕對可積，即：絕對可積，即：( )f t21( ) dttf tt （3 3） 在區(qū)

7、間內有有限個極值點。在區(qū)間內有有限個極值點。( )f tDirechlet條件條件傅里葉級數存傅里葉級數存在的充要條件在的充要條件22OppositeHypotenusennncabarctannnnba式中，式中， 為為n次諧波振幅。次諧波振幅。 為為n次諧波初始相位。次諧波初始相位。！并非任意周期信號都能進行傅里葉級數展開并非任意周期信號都能進行傅里葉級數展開！ 精選課件91. 從三角函數形式的傅里葉級數推導從三角函數形式的傅里葉級數推導3.2.2 傅里葉級數的復指數形式傅里葉級數的復指數形式11j()j()1eecos()2nnntntnnt 利用歐拉公式利用歐拉公式:11j()j()1

8、1( )ee22nntntnnnnf tcA式中式中j22e(cosjsin)nnnnnnnAcab 22nnncabarctan()nnnba幅度幅度 相位相位 復指數復指數 幅度幅度 精選課件1022112211111j1122j( )cos()dj( )sin()d22 ( )cos()jsin()d( )edttnnnttttntttAabf tnttf tnttTTf tntnttf ttTT nA的具體求法如下：的具體求法如下：1j()( )entnnf tF2. 直接從復變正交函數集推導直接從復變正交函數集推導1j()e1,2,ntn中展開，有中展開，有( )f t在復變正交函數

9、空間在復變正交函數空間將原函數將原函數精選課件112121121111j*jjj*( )(e) d1( )ed(e)(e) dtntttntnttntnttf ttFf ttTtje2nnnnAFF式中式中例例00( )()TkttkT求求 的指數傅里葉級數和三角傅里葉級數。的指數傅里葉級數和三角傅里葉級數。0( )Tt已知沖激序列已知沖激序列-T0 O T0 2T0 t0( )Tt0()tT( ) t精選課件1200j01( )entTntT0010012( )cosTntntTT0( )Tt的三角傅里葉級數為：的三角傅里葉級數為：001aT002000222( )cosdTTnatnt t

10、TT0nb 又又解解000j200211( )edTntTnFttTT精選課件13100( )()( )()Af tAtu tu tTT100000( )()() ()(1) )nnAf tf t nTAt nTu t nTu tnTT求下圖中三角波求下圖中三角波的三角傅里葉級數。的三角傅里葉級數。1( )f t( )f t則則為為的周期延拓，即的周期延拓，即 將將( )f tAC( )ft去除直流分量，則僅剩交流分量去除直流分量，則僅剩交流分量( )f t00,tT在在內的函數記為內的函數記為（1）將周期函數）將周期函數例例解解A( )f t-T0 O T0 2T0 t精選課件14AC000

11、00000001100000( )( ) ()(1) () ()(1)122()(cos)cosnnnnnAftf tu tnTu tnTTAAtnTtnTtnTTAAAAtnTAntntTTTTT 0AC0110sin2( )cosdtnnntAAftnTn D/ 2fA01sin( )2nntAAf tn 故精選課件15000001d2TAAat tTT0na 000002sindnTAAbtnt tTTn（2 2）利用直接法求解）利用直接法求解故故 01sin( )2nntAAf tn精選課件16111j011( )ecos()sin()NNNntnnnnNnnf tFaantbnt常稱

12、為常稱為f(t)的截斷傅里葉級數表示式。的截斷傅里葉級數表示式。用MATLAB的符號積分函數int()可表示上式。格式為：（1）intf=int(f,v) ； 給出符號表達式給出符號表達式f對指定變量對指定變量v的的（不帶積分常數）不定積分；（不帶積分常數）不定積分；（2）intf=int(f,v,a,b) ； 給出符號表達式給出符號表達式f對指定變量對指定變量v的定積分。的定積分。3.2.3 傅里葉級數的傅里葉級數的MATLAB仿真實現(xiàn)仿真實現(xiàn)精選課件173.3 周期信號的對稱性周期信號的對稱性 1縱軸對稱性縱軸對稱性 （1）如果原函數是偶函數，則其傅里葉級數中只有）如果原函數是偶函數，則其

13、傅里葉級數中只有直流和余弦分量（即偶函數之和仍然是偶函數）。直流和余弦分量（即偶函數之和仍然是偶函數）。 （2）如果原函數是奇函數，則其傅里葉級數中只有）如果原函數是奇函數，則其傅里葉級數中只有正弦分量（即奇函數之和仍然是奇函數）。正弦分量（即奇函數之和仍然是奇函數）。滿足滿足 的周期為的周期為T 的的函數；即平移半個周期后的信號與原函數；即平移半個周期后的信號與原信號關于橫軸對稱。信號關于橫軸對稱。(/2)( )f tTf t 定義：定義：l 奇諧函數奇諧函數l 偶諧函數偶諧函數滿足滿足 的周期為的周期為T 的的函數；即函數；即平移半個周期后信號與原信號重合。(/2)( )f tTf t精選

14、課件182橫軸對稱性橫軸對稱性（2）偶諧函數的傅里葉級數中只有偶次諧波分量。）偶諧函數的傅里葉級數中只有偶次諧波分量。（1）奇諧函數的傅里葉級數中只有奇次諧波分量）奇諧函數的傅里葉級數中只有奇次諧波分量。 如果原信號既不是奇諧函數也不是偶諧函數，那如果原信號既不是奇諧函數也不是偶諧函數，那么其傅里葉級數展開式中就會既包含有奇次諧波分么其傅里葉級數展開式中就會既包含有奇次諧波分量也包含有偶次諧波分量。量也包含有偶次諧波分量。！利用奇諧函數、偶諧函數性質的時候，最好將利用奇諧函數、偶諧函數性質的時候，最好將其直流分量去掉，以免發(fā)生誤判。其直流分量去掉，以免發(fā)生誤判。精選課件19已知奇諧函數：已知奇

15、諧函數：例例解解t( )f to12T 12T2E 2E1cost 11cos()2Tt t( )f to12T 12T2E 2E1sint 11sin()2Tt t( )f to12T 12T2E 2E( )f t1()2Tf t t( )f to12T 12T2E 2E1sin2t t( )f to12T 12T2E 2E1cos2t 精選課件203.4 常見周期信號的頻譜常見周期信號的頻譜3.4.1 頻譜的概念頻譜的概念頻頻譜譜圖圖表示信號含有的各個頻率分量表示信號含有的各個頻率分量的幅度值。其橫坐標為頻率的幅度值。其橫坐標為頻率 （單位為赫茲），縱坐標對應各（單位為赫茲），縱坐標對應各

16、頻率分量的幅度值頻率分量的幅度值 。nFl 振幅頻譜振幅頻譜（幅頻特性圖）（幅頻特性圖）表示信號含有的各個頻率分量表示信號含有的各個頻率分量的相位。其橫坐標為頻率；縱坐的相位。其橫坐標為頻率；縱坐標對應各頻率分量的相位標對應各頻率分量的相位 （單（單位常用度或弧度）。位常用度或弧度）。nl 相位頻譜相位頻譜（相頻特性圖）（相頻特性圖）精選課件211,( )220,kTtkTf t其它例例，求頻譜，求頻譜解解（1 1）單邊頻譜：）單邊頻譜： 1114sin(),022Sa()22,0nnnnnTATnT ( )f tT2t2oT1精選課件22（2）雙邊頻譜：）雙邊頻譜： 11111/2j2/2j

17、2/211/2212sin11 e24edj2sin (), 0,1,2,2nntntnnnbbacFtTTnTnanSanTT 包絡線包絡線 頻譜圖隨參數的變化規(guī)律：頻譜圖隨參數的變化規(guī)律： 1）周期）周期T不變，脈沖寬度不變，脈沖寬度 變化變化精選課件232Sa()0 2 2 2T nF 2O 141,()()444nTnnFSaSaTT情況情況1 1：第一個過零點為第一個過零點為n =4 。在在 有值（譜線）有值（譜線）nF12/4( )f tT2t2oT1精選課件241,()()888nTnnFSaSaTT情況情況2 2：( )f tT2t2oT1nF2 o182T 精選課件251,(

18、)()161616nTnnFSaSaTT情況情況3 3：( )f tT2t2oT1示意圖示意圖 2T nF1162o精選課件26 由大變小，由大變小，F(xiàn)n 第一過零點頻率增大，即第一過零點頻率增大，即 所以所以 稱為信號的帶寬，稱為信號的帶寬， 確定了帶寬。確定了帶寬。 由大變小，頻譜的幅度變小。由大變小，頻譜的幅度變小。 由于由于 T 不變，譜線間隔不變，即不變，譜線間隔不變，即 不變。不變。結結 論論2/T 1/f2/精選課件27第一個過零點第一個過零點情況情況 1：4T2/(2 )T2/時，譜線間隔時，譜線間隔2）脈沖寬度）脈沖寬度 不變不變, 周期周期T變化變化 ( )f tT2t2o

19、T1示意圖示意圖 22T nF142041)0(0SaTF精選課件28第一個過零點第一個過零點情況情況 2：8T24T2時，譜線間隔時，譜線間隔( )f t2t2oT1示意圖示意圖 TnF4120TnF182o精選課件29第一個過零點第一個過零點 情況情況 3：16T28T2時，譜線間隔時，譜線間隔T( )f t2t2o1T2T2T示意圖示意圖 nF8120nF1162 0精選課件30 不不變，變，F(xiàn) Fn n 的第一個過零點頻率不變，的第一個過零點頻率不變，即即 帶寬不變。帶寬不變。T T 由小變大，諧波頻率成分豐富，且頻譜幅度變小。由小變大，諧波頻率成分豐富，且頻譜幅度變小。 T T 時時

20、，譜線間隔，譜線間隔 0 0 ，這時：，這時： 周期信號周期信號 非周期信號；離散頻譜非周期信號；離散頻譜 連續(xù)頻譜連續(xù)頻譜1f2結結 論論精選課件31典型周期信號的頻譜分析，可利用傅里葉級數或傅典型周期信號的頻譜分析，可利用傅里葉級數或傅里葉變換。典型周期信號如下：里葉變換。典型周期信號如下： 1. 1. 周期矩形脈沖信號周期矩形脈沖信號 2 2. 周期對稱方波信號周期對稱方波信號 3 3. 周期鋸齒脈沖信號周期鋸齒脈沖信號 4 4. 周期三角脈沖信號周期三角脈沖信號 5 5. 周期半波余弦信號周期半波余弦信號 6 6. 周期全波余弦信號周期全波余弦信號3.4.2 常見周期信號的頻譜常見周期

21、信號的頻譜精選課件321. 周期矩形脈沖信號周期矩形脈沖信號 (1) (1) 周期矩形脈沖信號的傅里葉級數求解周期矩形脈沖信號的傅里葉級數求解設周期矩形脈沖：脈寬為設周期矩形脈沖：脈寬為 ，脈沖幅度為，脈沖幅度為E，周期為，周期為T111( ) ()(),2222TTf tE u tu tt o/2/2E1Tt( )f t1T精選課件33110111,()20,0,01()22nnnnnnnnEnEcacSaTccnEFFaSaT 1j1111111( )()cos()()22entnnEnnEEf tSantSaTT三角指數1101 ( ) ,0,()2nnf tEnEabaSaT是偶函數精

22、選課件341,20 21(,)fnBBB周期矩形脈沖信號的幅度頻譜中收斂規(guī)律為主要能量集中在第一個零點以內，即稱為其頻帶寬度（2 2）周期矩形脈沖信號的幅度、相位譜）周期矩形脈沖信號的幅度、相位譜相位譜相位譜On2411ETnC1nO1224幅度譜幅度譜精選課件35復數頻復數頻11ETnFO2122 4實數頻譜實數頻譜幅度譜與相位譜合并幅度譜與相位譜合并10cnCO1224精選課件36 周期對稱方波信號是周期矩形信號的一種特殊情況，周期對稱方波信號是周期矩形信號的一種特殊情況，對稱方波信號有兩個特點：對稱方波信號有兩個特點：(1)(1)是正負交替的信號，其直流分量是正負交替的信號，其直流分量a

23、0等于零；等于零；(2)(2)它的脈寬恰等于周期的一半，即它的脈寬恰等于周期的一半，即t = =T1/2/2。2. 2. 周期對稱方波信號的傅里葉級數周期對稱方波信號的傅里葉級數O2E1/ 4T1/ 4T1Tt( )f t2E1T精選課件3700 (), 1,3,5.20,01, (),0222nnnnnnnnnccaESancEnFFcSac，111j21( )sin()cos()21sin(),1,3.2enntnEnf tntnEnnn 三角指數0 002(), 1,3,5.2nnabnEaESann 偶函數且，奇諧函數精選課件381n周期對稱方波信號的幅度頻譜中收斂規(guī)律na1O1213

24、1415幅度譜幅度譜1na15O121314相位譜相位譜On1131517精選課件393. 3. 周期鋸齒脈沖信號的傅里葉級數求解周期鋸齒脈沖信號的傅里葉級數求解周期鋸齒脈沖信號，是奇函數故周期鋸齒脈沖信號，是奇函數故 ，可求出傅里葉級數系數可求出傅里葉級數系數bn。如何求如何求bn留作思考！留作思考！0na t( )f t2EO12T12T2E精選課件4011111111( )sin()sin(2)sin(3)231( 1)sin()nnEf ttttEntn其傅里葉級數表達式為：其傅里葉級數表達式為：此信號的頻譜只包含正弦分量，諧波的幅此信號的頻譜只包含正弦分量，諧波的幅度以度以1/n的規(guī)

25、律收斂。的規(guī)律收斂。精選課件414. 4. 周期三角脈沖信號的傅里葉級數求解周期三角脈沖信號的傅里葉級數求解t( )f tEO12T12T0nb 周期三角脈沖信號，是偶函數，故周期三角脈沖信號，是偶函數，故 ，可求出傅里葉級數系數可求出傅里葉級數系數a0 、an。如何求如何求bn留作思考！留作思考！精選課件42此信號的頻譜只包含直流、基波及奇次諧此信號的頻譜只包含直流、基波及奇次諧波分量，諧波的幅度以波分量，諧波的幅度以1/n2 2的規(guī)律收斂。的規(guī)律收斂。111221221411( )cos()cos(3 )cos(5 )292541 sin ()cos( )22nEEf ttttEEnn t

26、n其傅里葉級數表達式為：其傅里葉級數表達式為：精選課件435. 5. 周期半波余弦信號的傅里葉級數求解周期半波余弦信號的傅里葉級數求解0nb 周期半波余弦信號，是偶函數，故周期半波余弦信號，是偶函數，故 ，可求出傅里葉級數系數可求出傅里葉級數系數a0 、an。如何求如何求bn留作思考！留作思考！t( )f tEo12T12T1T1T精選課件44此信號的頻譜只包含直流、基波及偶次諧此信號的頻譜只包含直流、基波及偶次諧波分量，諧波的幅度以波分量，諧波的幅度以1/n2 2的規(guī)律收斂。的規(guī)律收斂。1111121144( )cos()cos(2)cos(4)2315212cos()cos() (1)2n

27、EEf ttttEEnntnT，其傅里葉級數表達式為其傅里葉級數表達式為：精選課件456. 6. 周期全波余弦信號的傅里葉級數求解周期全波余弦信號的傅里葉級數求解周期全波余弦信號，是偶函數。周期全波余弦信號，是偶函數。令余弦信號為令余弦信號為10002( )cos(),f tEtTt( )f tEo12T12T1T1T則，全波余弦信號為：則，全波余弦信號為：10( )( )cos()f tf tEt精選課件46此信號的頻譜只包含直流、基波及偶次諧此信號的頻譜只包含直流、基波及偶次諧波分量，諧波的幅度以波分量，諧波的幅度以1/n2的規(guī)律收斂。的規(guī)律收斂。111102124111( )cos(2)

28、cos(4)cos(6)31535241( 1)cos(2)41nnEEf ttttEEntn其傅里葉級數表達式為：其傅里葉級數表達式為：精選課件47如果用有限如果用有限傅里葉級數代替無窮傅里葉級數表示信傅里葉級數代替無窮傅里葉級數表示信號，必然引進一個誤差。如果完全逼近，則號，必然引進一個誤差。如果完全逼近，則 n= .實際中，實際中，n=N, N是有限整數。是有限整數。如果如果 N愈接近愈接近 n ，則，則 其均方誤差愈小其均方誤差愈小若用若用2N1項逼近，則項逼近，則0111( )(cossin)NNnnnStaatbt3.4.3 吉布斯效應吉布斯效應精選課件48誤差函數和均方誤差誤差函

29、數和均方誤差 誤差函數誤差函數 均方誤差均方誤差( )( )( )NNtf tS t2222201( )( )()2NNnnEtftaab精選課件49對稱方波對稱方波, , 是偶函數且奇諧函數。是偶函數且奇諧函數。所以其只有奇次諧波的余弦項。所以其只有奇次諧波的余弦項。2sin2nEnan21111135( )(coscos3cos5)Ef tttt例例-E/2T1/4-T1/4tE/2o精選課件50對稱方波有限項的傅里葉級數對稱方波有限項的傅里葉級數 （N=1N=1、2 2、3 3時的逼近波形）時的逼近波形）（3）N=3:210.05EE21121(coscos 3),3EStt220.02

30、EE212(cos),ESt311121(coscos331 cos5),5ESttt230.01EE（1）N=1:（2）N=2:-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81精選課件51有限項的有限項的N越大，誤差越小例如越大，誤差越小例如: N=9911112111(coscos3cos5cos11)3511EStttt-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81精選課件52 N越大，越接近方波越大，越接近方波

31、 快變信號，高頻分量，主要影響跳變沿；快變信號，高頻分量，主要影響跳變沿； 慢變信號，低頻分量，主要影響頂部；慢變信號，低頻分量，主要影響頂部； 任一分量的幅度或相位發(fā)生相對變化時，任一分量的幅度或相位發(fā)生相對變化時，波形將會失真；波形將會失真； 有吉伯斯現(xiàn)象發(fā)生。有吉伯斯現(xiàn)象發(fā)生。lim( )NNSf t結論結論精選課件53以周期矩形脈沖以周期矩形脈沖為例：為例：只需修改上面程序只需修改上面程序(3.2.3節(jié)節(jié))中函數中函數CTFShchsym.m的內容，需注意：因周期信號頻譜是離散的，故在的內容，需注意：因周期信號頻譜是離散的，故在繪制頻譜時采用繪制頻譜時采用stem而非而非plot命令。

32、命令。諧波階數取諧波階數取還需用到還需用到MATLAB的反褶函數的反褶函數fliplr來實現(xiàn)頻譜的來實現(xiàn)頻譜的反褶。反褶。 上機練習！上機練習！( )(),nf tG tnT(1, 5)T60Nf 3.4.4 周期信號的周期信號的MATLAB仿真實現(xiàn)仿真實現(xiàn)精選課件54112Sa()nnEncaTT 對周期矩形脈沖信號，有對周期矩形脈沖信號，有t( )f t2212T12T1T1TE1T t( )f t22E3.5 非周期性信號的頻譜非周期性信號的頻譜3.5.1 從傅里葉級數到傅里葉變換從傅里葉級數到傅里葉變換精選課件551T 112T譜線間隔譜線間隔1T 1120T譜線間隔譜線間隔0 從物理

33、概念考慮：信號的能量存在，其頻譜從物理概念考慮：信號的能量存在，其頻譜分布的規(guī)律就存在。分布的規(guī)律就存在。由于由于1,T 111j2121( )ed0TntTnFf ttT1從周期信號到非周期信號從周期信號到非周期信號 從傅里葉級數到傅里葉變換從傅里葉級數到傅里葉變換精選課件56信號的頻譜分布是不會隨著信號的周信號的頻譜分布是不會隨著信號的周期的無限增大而消失的。期的無限增大而消失的。T 時，時，信號的頻譜分布仍然存在。信號的頻譜分布仍然存在。 結論結論無限多個無窮小量之和仍可等于一個有限量。無限多個無窮小量之和仍可等于一個有限量。11jj1( )ee2ntntnnnnf tFC 從數學角度來

34、看：從數學角度來看：精選課件57所以，傅里葉級數展開為：所以，傅里葉級數展開為：1j1( )()entnf tF n111j21121()( )edTntTF nf ttT111111111j1211012, , 0, 2 ()lim()limlim( )edTntTTTTTF nT F nf tt 兩兩邊邊同同乘乘以以取取極極限限: :為頻譜密度函數。為頻譜密度函數。11111j12122 ()( )limlim( )edTntTTTF nFf tt 定義定義精選課件58周期信號：周期信號：頻譜是離散的，且各頻率分量頻譜是離散的，且各頻率分量的復振幅的復振幅 為有限值。為有限值。nF非周期信

35、號：非周期信號：頻譜是連續(xù)的，且各頻率分量的頻譜是連續(xù)的，且各頻率分量的復振幅復振幅 為無限小量。為無限小量。()d2F 所以，對非周期信號來說，僅僅去所以，對非周期信號來說，僅僅去研究那無限小量是沒有意義的，其頻研究那無限小量是沒有意義的，其頻譜不能直接引用復振幅的概念。譜不能直接引用復振幅的概念。！精選課件59(j )F( )f t2傅里葉逆變換傅里葉逆變換怎樣用怎樣用計算計算1111jj1jj10(j)( )limelime11lim(j)e(j)ed22ntntnTTnnnttnFnf tFTFnF 精選課件60jj ( )jj( )1( )(j )ed211(j ) eed(j )

36、ed221(j ) cos( )jsin( )d21j(j ) cos( )d(j ) sin( )d221(j ) cos( )d2tttf tFFFFttFtFtFt 精選課件613. 正、逆傅里葉變換正、逆傅里葉變換j( )( )edtFf tt 反變換反變換正變換正變換j1( )( )ed2tf tF !傅里葉變換對的形式并不唯一傅里葉變換對的形式并不唯一傅里葉變換存在的充分條件傅里葉變換存在的充分條件:( )dftt 用廣義函數的概念，允許奇異函數也能滿足上述條件，用廣義函數的概念，允許奇異函數也能滿足上述條件，因而象階躍、沖激一類函數也存在傅里葉變換。因而象階躍、沖激一類函數也存在

37、傅里葉變換。精選課件624傅傅里葉變換的另外幾種形式里葉變換的另外幾種形式j2(j2)( )edf tFff tt j2j21( )(j2 )ed(2 )2 (j2 )edf tf tf tFffFff j2()( )edftFff tt j2( )()edf tf tF ff 精選課件63j(j)( )2( )edtFF f tf tt 1j( )(j)(j)edtf tFFF j1(j)( )( )ed2tFFf tf tt 1j1( )(j)(j)ed2tf tFFF 精選課件64 本節(jié)主要介紹以下幾種典型的非周期信號的頻譜。本節(jié)主要介紹以下幾種典型的非周期信號的頻譜。1.1.單邊指數信

38、號單邊指數信號 6 6. 符號函數符號函數2 2. 雙邊指數信號雙邊指數信號 7 7. 沖激函數傅里葉變換對沖激函數傅里葉變換對 3 3. 奇雙邊指數信號奇雙邊指數信號 8 8. 沖激偶的傅里葉變換沖激偶的傅里葉變換 4 4. 矩形脈沖信號矩形脈沖信號 9. 階躍信號的傅里葉變換階躍信號的傅里葉變換5 5. 鐘形脈沖信號鐘形脈沖信號 1010. 復正弦信號復正弦信號 3.5.2 常見信號的傅里葉變換常見信號的傅里葉變換精選課件651. 單邊指數信號的傅里葉變換單邊指數信號的傅里葉變換 ( )( ) (0)eatf tu ta單邊指數：（復函數）221()1(),j()arctanFaFaa （

39、）其傅里葉變換為：其傅里葉變換為：精選課件66利用傅里葉變換定義公式利用傅里葉變換定義公式jj0(j)(j)00()( )ed (0)eed11ede(j)jtattatatFf ttattaa 精選課件67( )( )(0)eatf tu taO1t時域波形221( )FaO1a12a3a單邊指數信號的頻譜如下：單邊指數信號的頻譜如下：O2( )arctan()a 2頻域頻譜精選課件68( ) (0)ea tf ta偶雙邊指數：2. 雙邊指數信號的傅里葉變換雙邊指數信號的傅里葉變換 22222()2()()0aFaaFa 其傅里葉變換為：其傅里葉變換為：（正實函數）（正實函數）精選課件69利

40、用傅里葉變換定義公式利用傅里葉變換定義公式求解過程求解過程jj0jj00(j)(j)022( )( )edeed e edeed11 ee(j )(j )112 , (0)jjatttattattatatFf tttttaaaaaaa 精選課件70( ) (0)ea tf taO1t時時域域波波形形雙邊指數信號的頻譜如下：雙邊指數信號的頻譜如下：頻頻域域頻頻譜譜222( )aFaO2a1a3a相位相位( )0 精選課件71( )(0)e,0e,0atf taattt奇雙邊指數：22222()2j(), ,02(),02FaFa （純虛函數）3. 3. 奇雙邊指數信號的傅里葉變換奇雙邊指數信號的

41、傅里葉變換精選課件72頻域頻譜頻域頻譜O202( )02 2O1aa222( )FaaO1t時域波形時域波形( )(0)e0e0atf tatatt，頻譜如下：頻譜如下：精選課件73( ) ()()22f tE u tu t矩形脈沖：( )2( ), 20,( )0( ),( )0FE SaFE SaFF 4. 矩形脈沖信號的傅里葉變換矩形脈沖信號的傅里葉變換實函數實函數精選課件7421, 21fBf 時域有限的矩形脈沖信時域有限的矩形脈沖信號，在頻域上是無限分號，在頻域上是無限分布。常認為信號占有頻布。常認為信號占有頻率范圍（率范圍（頻帶頻帶B）為）為( ) ()()22f tEu tu t

42、Ot( )2FE Sa（）O226E-精選課件752( )etf tE（ ）鐘形脈沖：5. 5. 鐘形脈沖信號的傅里葉變換鐘形脈沖信號的傅里葉變換 （高斯脈沖）（高斯脈沖）22( )eFE（）其傅里葉變換為：其傅里葉變換為：（正實函數）（正實函數）22( )( )0eFE （）精選課件7622( )eFE（）OE2eE因為鐘形脈沖信號是因為鐘形脈沖信號是一正實函數，所以其一正實函數，所以其相位頻譜為零相位頻譜為零。2( )etf tE（ ）OtEeE時域波形時域波形頻域頻譜頻域頻譜精選課件77010e,0sgn( )00lime,010atatattf ttttt，( )=，6. 符號函數的傅

43、里葉變換符號函數的傅里葉變換2()jF；其傅里葉變換為：其傅里葉變換為：2( ),02( ),02F （純虛數函數）（純虛數函數）精選課件78sgn( ) tOt11O( ) 22 符號函數不滿足絕對可積符號函數不滿足絕對可積條件，但它卻存在傅里葉變換。條件，但它卻存在傅里葉變換。 采用符號函數與雙邊指數采用符號函數與雙邊指數衰減函數相乘，求出奇雙邊指衰減函數相乘，求出奇雙邊指數的頻譜，再取極限，從而求數的頻譜，再取極限，從而求得符號函數的頻譜。得符號函數的頻譜。O( )F精選課件797. 沖激函數傅里葉變換對沖激函數傅里葉變換對直流信號的傅里葉變換是沖激函數直流信號的傅里葉變換是沖激函數)(

44、21F)(2EEF1de)()()(jtttFFt21de)(21)(j1Ft！( )( )f tt精選課件80均勻譜或白色譜均勻譜或白色譜1O)(Ft)(to1)(tf1Ot)(2O精選課件818. 沖激偶的傅里葉變換沖激偶的傅里葉變換 ( )( )f ttj1( )ed2ttjd( )1(j )edd2tttd( )( )jdFFTtt記為d ( )jdFTtt d( )(j )dnnnFTttd( )2(j)( )dnnnnFT t 同理，有同理，有精選課件829. 階躍信號的傅里葉變換階躍信號的傅里葉變換 11( )( )sgn( )22f tu tt11( ) sgn( )221 (

45、 )jFFTFTt 2221( )( )F幅頻特性幅頻特性 0,0( )/2,0/2,0 相頻特性相頻特性 u(t)Ot1)(FO精選課件8310復正弦信號復正弦信號 j( )ectf tj1(1)ed( )2 tIF Tt jjjedededtxttxjed2 ( )ttjj()(e)ed2 ()ccttcFTt tctje2 ()ctc jectc2的傅里葉變換為一位于的傅里葉變換為一位于且強度為且強度為的沖激函數。的沖激函數。 結論結論( )F 2Oc精選課件84升余弦脈沖信號的傅里葉變換升余弦脈沖信號的傅里葉變換 補充補充升余弦脈沖信號：升余弦脈沖信號：( )1 cos(), (0)2

46、Etf tt其傅里葉變換為：其傅里葉變換為：22sin()Sa()( )1 () 1 ()EEF（實數）（實數）其頻譜由三項構成，均為矩其頻譜由三項構成，均為矩形脈沖頻譜，只是有兩項沿形脈沖頻譜，只是有兩項沿頻率軸左、右平移了頻率軸左、右平移了/( )f tOtE/2E222( )FO2EE34精選課件85利用傅里葉變換定義公式利用傅里葉變換定義公式jjjj0jjj00( )( )ed1cos()ed2edeedeed244Sa()Sa() Sa() 22tttttttEtFf tttEEEtttEEE化簡得：化簡得：求解過程求解過程22sin()Sa()( )1 () 1 ()EEF精選課件

47、863.5.3 MATLAB仿真實現(xiàn)仿真實現(xiàn)MATLAB數學工具箱數學工具箱Symbolic Math Toolbox提供提供了能直接求解傅氏變換及逆變換的函數了能直接求解傅氏變換及逆變換的函數fourier()和和ifourier()。（1）傅里葉變換調用格式）傅里葉變換調用格式1）F=fourier(f) 2）F=fourier(f,v) 3）F=fourier(f,u,v) j(j )( )edvtFvf ttj(j )( )edvtFvf ut)(ff 精選課件87（2）傅里葉逆變換調用格式）傅里葉逆變換調用格式1）f=ifourier(F) 2）f=ifourier(F,u) 3）f

48、=ifourier(F,v,u) 在調用在調用fourier()和和ifourier()之前，要用之前，要用syms命令對所用到命令對所用到的變量進行說明，即將這些變量說明成符號變量。對的變量進行說明，即將這些變量說明成符號變量。對fourier()中的函數中的函數f及及ifourier()中的函數中的函數F也要用符號定義也要用符號定義符符syms將將f或或F說明為符號表達式；若說明為符號表達式；若f或或F是是MATLAB中中的通用函數表達式，則不必用的通用函數表達式，則不必用syms加以說明。加以說明。 ！書中例題可上機練習書中例題可上機練習精選課件88j1j( )( )( ) ( )( )

49、ed1( ) ( )( )ed2Fttf tFFF f tf ttf tFF tF時間函數時間函數 頻譜頻譜某種運算某種運算 變化變化 變變 化化 運算運算關系建立對應借助基本性質 3.6 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質1. 1. 傅里葉變換的唯一性傅里葉變換的唯一性傅里葉變換的唯傅里葉變換的唯一性表明了信號一性表明了信號的時域和頻域是的時域和頻域是一一對應的關系一一對應的關系。 ！精選課件892.2.對稱性（頻域、時域呈現(xiàn)的對應關系）對稱性（頻域、時域呈現(xiàn)的對應關系）若若 ，則，則( )( )Ff tF( )2 ()FF tfj() ( )( )( ) ( )( )ed12( )ed2 (

50、)21()( ) ( )2 ()2FtjtFF tffF F tF ttF ttfffF tf 即即證明證明證畢證畢精選課件90如如沖激和直流函數的頻譜的對稱性沖激和直流函數的頻譜的對稱性就就是一例子是一例子：！( )f t( )2 ( )F tf1( )()2F tf若若 為偶函數，為偶函數，則則 或或 即即f(t)為偶函數為偶函數，則時域和頻域完全對稱，則時域和頻域完全對稱。F()OOOOF(t)tt2 ( ) ( ) t（1）沖激函數沖激函數精選課件91（2）直流函數直流函數( )f t/2t1O/2( )F2 2 O()2Sa( )F2c2c1O( )f t2 ct2cO()22cct

51、Sa2 c精選課件92attf e)(FTj1)(aF?j1)(1taFTF對稱性對稱性a fFe2)(2)(1t 換成換成f 換成換成F1換成換成t精選課件9321:1Ft求222ea taa2211e21112ee12tt例例解解精選課件94 3. 3. 線性（疊加性、均勻性）線性（疊加性、均勻性） 相加信號頻譜各個單獨信號的頻譜之和相加信號頻譜各個單獨信號的頻譜之和1 122j1 122jj1122( ) ( )( )( )( )( )ed( )ed( )edtttFF f tF a f ta f ta f ta f ttaf ttaf tt111 12211221 1221122111

52、11221122( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )a f ta f ta FFa FFF a f ta f ta F f ta F f tFa Fa Fa FFa FF證明證明推論推論精選課件95( ) ()() ()()22f tu tu tu tu t ()(/ 2)2()FSaSa 求求 f(t) 的傅里葉變換的傅里葉變換例例( )f t/212t/2解解精選課件964. 4. 奇偶虛實性奇偶虛實性無論無論 f (t) 是實函數還是復函數，下面四式均成立是實函數還是復函數，下面四式均成立:*( )()FT ftF*()( )FT ftF ( )( )

53、FT f tF ()()FT ftF時域反摺時域反摺頻域也反摺頻域也反摺時域共軛頻域時域共軛頻域共軛并且反摺共軛并且反摺更廣泛地講，函數更廣泛地講，函數f(t)是是t的復數；令的復數；令12( )( )j( )ftftft虛部虛部實部實部精選課件97()()j()FjRXj12j(j)( )( )edecosjsinttFf tftttt整理上式得出：整理上式得出：12()( ) cos( ) sindRfttfttt21()( )sin( ) cosdXfttfttt 精選課件98 jecosjsin. 3ttt j1( )( j)ed. 12 tftF( j)( j)j(). 2FRX把式

54、（把式（2）、（）、（3）代入式（）代入式（1）整理得：）整理得：11( )() co s() sin ()d2 ftRtXt 21( )() sin() cosd2 ftRtXt精選課件99()( )cosd ,Rf tt t( )( )sindXf tt t 性質性質1 實數函數實數函數 設設f(t)是是t的實函數的實函數,則則 的實部與虛部將的實部與虛部將分別等于分別等于 f2(t)=0，f(t)=f1(t)，則有，則有 ( )F特殊情況討論：特殊情況討論：從上式可以得出結論從上式可以得出結論: : *()( ) , ()( )( )( )j ( ), ()( )j ( )()( )RR

55、XXFRXFRXFF精選課件100)()()()(*FtfFTFtfFT實信號的頻譜具有很重要的特點，正實信號的頻譜具有很重要的特點，正負頻率部分的頻譜是相互共軛的負頻率部分的頻譜是相互共軛的. .特點特點( )( )cosdj( )sindFf tt tf tt t( )()RR*()( )FF( )()XX偶函數偶函數奇函數奇函數精選課件101性質性質2 虛函虛函數數設設f(t)是純虛函數是純虛函數21( )j ( ),( )0f tf tf t則則22()( ) sind()( ) cosdRftt tXftt t*()( )FF反之也正確反之也正確. .因而因而 是是 的奇函數的奇函數

56、, ,而而 是是 的偶函數。的偶函數。( )R( )X精選課件102j( )( )ed( )cosdj( )sindtFf ttf tt tf tt t0()( )cosd2( )cosd ()0Rf tt tf tt tX性質性質3 實偶函數實偶函數實偶函數的傅里葉實偶函數的傅里葉變換仍為實偶函數變換仍為實偶函數結論結論反之，若一實函數反之，若一實函數f(t)的傅里葉積分的傅里葉積分也是實函數，則也是實函數，則f(t)必是偶函數。必是偶函數。推論推論( )()f tft設設f(t)是是t的實偶函數，則的實偶函數，則精選課件103( )e()tf tt 例例222()F()0 解解tOf(t)

57、F()tO精選課件104性質性質4 奇實函數奇實函數 設設f(-t)=-f(t) ，則：，則：(j )0R0()( )sind2( )sindXf tt tf tt t 01( )()sindf tXt 反之，若一實函數反之，若一實函數f(t)付里葉積分是付里葉積分是一純虛函數，則一純虛函數，則f(t)必是奇函數。必是奇函數。實奇函數的傅里葉變換則為虛奇函數實奇函數的傅里葉變換則為虛奇函數結論結論推論推論()( ) cosd0Rf tt t()( )sindXf tt t 精選課件105(0)2( )(0)2 222()Fe(0)( )e(0)atattf tt222 j()F例例解解tOf(

58、t)O|F()|OF()O()/2-/2精選課件106同理可以推出：同理可以推出：若若 是虛函數且還是偶函數，則是虛函數且還是偶函數，則 的傅的傅里葉變換為虛偶函數。里葉變換為虛偶函數。性質性質5：性質性質6： 若若 是虛函數且還是奇函數，則是虛函數且還是奇函數，則 的傅的傅里葉變換為實奇函數。里葉變換為實奇函數。( )f t( )f t( )f t( )f t讀者可以仿照性質讀者可以仿照性質3、性質、性質4給予簡單證明給予簡單證明精選課件107eoeeoo00eo00 ( )( )( ) ( )(), f ( )()()2( )cosd , ()2( )sind11( )()cosd, (

59、)()sindf tftftftRtXRftt tXftt tftRtftXt eojeo()( )( )ed( ) cosdj( )sindtFftfttftt tftt t如果將如果將 按照奇偶來劃分按照奇偶來劃分( )f t精選課件108( )Re ( )jIm ( )FFF而eo ( )Re ( ), ( )jIm ( )f tFf tF12()( )cos( )sindRf ttfttt21()( ) sin( ) cosdXfttfttt 11( )()cos()sind2f tRtXt21( )()sin() cosd2ftRtXt精選課件109 由此可看出，此時由此可看出，此時

60、F()是虛函數且是是虛函數且是的奇函數。對的奇函數。對于于f(t)為虛函數的情況，分析方法同上，結論相反。為虛函數的情況，分析方法同上，結論相反。 上述討論的結果如下上述討論的結果如下: :精選課件1105. 5. 尺度變換特性尺度變換特性時間波形的擴展和壓縮時間波形的擴展和壓縮, ,將影響頻譜的波形將影響頻譜的波形對于一個實常數對于一個實常數a ，其關系為，其關系為1( )()()()ftFfa tFaa-j ()()edtF f atf att令令x=at，則，則dx=adt ，代入上式可得，代入上式可得則則證明證明時域壓縮則頻域展寬；展寬時域則頻域壓縮。時域壓縮則頻域展寬；展寬時域則頻域