立體幾何中長方體和三棱柱的外接球模型

1、1 .長方體的外接球模型1.1 長方體的外接球f設(shè)長方體.486-489。'的長、寬、高分別為巴則其外接球的直徑就是卜。|，設(shè)外接圓的半徑為火，則4斤=" +"+c表面積S = ( +/ +/)打,體積/=(/ +b2 + c2)4a2 +b2 +c2 .6例1 (2017年全國卷IH文)長方體的長，寬，高分別為321，其頂點(diǎn)都在球。的球面上，則球。的表面積 為.解：設(shè)球。的半徑為R,則4火上=+22+32=14,所以球。的表面積S = 47?% = 14笈.1.2 長方體的外接球模型對(duì)于三棱錐來說，如果滿足共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直或者有線面垂直和線線垂 直，可考慮把

2、三棱錐補(bǔ)成長方體，轉(zhuǎn)化為長方體的外接球問題 .例2 （2010年遼寧卷）已知邑4民。是球。表面上的點(diǎn)，S4 J_ 平面 ABC , AB1.BC , SA = AB = lBC = >/2f則球。的表面積等于（）A. 44 B. 34 C. 2/r D.兀解：因?yàn)镾A1平面ABC ,所以SA1AB,SA1BC f 又 AB 工 BC,如圖 1,故將三棱錐S-45C補(bǔ)成長方體，如圖2,則三棱錐 的外接球即長方體的外接球，所以（2R）2 = AB2+BC2+SA2=4 ,球 O 的表面積例3 （2008年浙江卷）如圖3,己知球O的面上四點(diǎn)4BCQ,O/J_平面/8C,da = ab = bc

3、 = E則球O的體積等于解：因?yàn)镈4_L平面月BC,得DA1AB.DA1BC.又 ABJLBC, 所以可把三棱錐O-48C補(bǔ)成長方體，如圖4, 三棱錐。-4的外接球即長方體的外接球,3 所以 4斤=3 + 3 + 3 = 9,R = ,所以球。的體積 內(nèi)=2- 32（2017年云南師大附中高三月考）如圖5,在 邊形 ABCD 中，AB = AD = CD,BDf,BDLCD.將其沿對(duì)角線30折成四面體ABCD,使平面48。，平面BCZ）,如圖6.若四面體 48C。的頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的體積為（）解：因?yàn)榍移矫?BO1.平面8CZ）, 所以8,平面力8Z）,由ZB，4。，故可把三棱錐C-4

4、5。放到正方體中，如圖7.所以 4R2=3xF=3,所以球的體積/ = ±成3=走）.選A./ 例5 （2008年福建卷）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂 直，且側(cè)棱長均為石，則其外接球的表面積是解：因?yàn)槿忮F的三條側(cè)棱兩兩垂直且長度相等，故可把三棱錐放到正方體中，問題轉(zhuǎn)化為求棱長為75的正方體的外接球的表面積，所以4箝=4x3 = 12, 表面積S = 4日=12人.2 J例6（2017年沈陽市質(zhì)量檢測）已知例4尻C是球。表面上的不同點(diǎn)，54 1平面ABC , aBLBC、A8=l.BC = e,若球。的表面積為4萬，則 SA 二(3Dr 一2V2A, 解:設(shè)”=、，由題意，把三棱錐S-4

5、3。放到長方體中，則4K二=1 + 2 +/，所以球。的表面積S ARTr (3 + x)/r = ，故 t = 1,選 B. _,2 .三棱柱的外接球模型（在直三棱柱工""中，AB = c,HC = b、BC = a,AA=h,設(shè)其外接球的球心 為O,半徑為H.過球心O作兩個(gè)底面的垂線，垂足 分別為。則。4 =O8=OC =K，如圖8,可知陽0Q4三。18三對(duì)0。， 所以是/笈。的外心，同理2是力避£的外心，且oox = OO, .如圖 9 ,在 RtOO.A 中，h現(xiàn)在的關(guān)鍵問題是孫Aia圖8圖9 在4ABC中，由正弦定理，得 ，一=/_ = _J = 2/Q

6、 ,由一邊及其對(duì)角即得 sin A sin B sin C2) h1AO,所以火2= 40J+-.1 14高中初宇Nil/ 例7 （2010年新課程全國卷）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂/直于底面，所有棱長都為。，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上.則該球的表面積為（）C.11一汽。3，7 、A.4CTB.一加QT3解：如圖8,在正中由正弦定理得, 平。卜山即知=3如圖9,在&力中，00、=2, 22 « 2由勾股定理得，7?2=+ ,1412所以表面積S = 4火6 = 271aL選B.3高中勁字n/例8 （2009年全國卷1 ）直三棱柱/9r卜。卜2,又的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上， 若 /3 = /C

7、= 44'=2, N"4c = 120"則此球的表面 積為.解：如圖8,在中由正弦定理得，,.224。=4111 sin 30°如圖9,在對(duì)O。/中由勾股定理得.上二卜。+|。卜5,所以表面積S = 4/?” =20”.棱錐尸中，P/1底面”C,且NBAC = e也手上）,則可三棱錐補(bǔ)成三棱柱，那么三 2棱錐的外接球問題可轉(zhuǎn)化為三棱柱的外接球問題，如圖10.若6=三，則是長方體的外接球模型.2B/HOC =60。，故可把體4-8C。放到三棱柱,例9 （2017年貴陽市二模）已知等腰直角AABC 的斜邊3。= 2,沿斜邊的高線將ZBC折起，使二面角C為二，則

8、四面體45。的外接 3球的表面積為解，如圖11,將等腰直角4SC沿斜邊的高線NQ將折起，得四面體Z 8CQ ,如圖12.為 4QJ.OC,力OJLD?,得 平面 BCQ,4QC就是二面角B-AD-C的平面角，圖11圖1213, AD = 1 , |00j = L，8CZ）是邊長為 1的正三角形，由正弦定理得，2CO1 =1 sin 60°所以臚得外接-7球的表面積S = 4六兀=一冗、 3圖130（2017年陜西省適應(yīng)性考試）如圖14,在 中，AB = BC = V6, AABC = 90° , D 為 AC的中點(diǎn).將力AD沿折起到尸的位置，使 PC = PD ,連接PC,得到三棱錐P-8C。，若該三 棱錐的所有頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的表面積為 （）A. 7萬 B. 57r C. 3乃 D.乃解：因?yàn)椤５牧中點(diǎn)且45 = 5。，所以BDLDP.BDLDC ,所以 平面 PC。，且 P