特征值與特征向量定義與計算

1、精品文檔特征值與特征向量特征值與特征向量的概念及其計算定義 1.設(shè) A是數(shù)域 P 上的一個 n 階矩陣，是一個未知量，稱為 A 的特征多項(xiàng)式，記()=|E-A| ，是一個 P 上的關(guān)于的 n 次多項(xiàng)式， E 是單位矩陣。( )=|E-A|= n+ 1n-1 + n= 0 是一個 n 次代數(shù)方程，稱為 A的特征方程。特征方程()=|E-A|=0 的根 ( 如： 0)稱為 A的特征根 ( 或特征值 ) 。 n 次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有且僅有n 個根，而在實(shí)數(shù)域內(nèi)不一定有根，因此特征根的多少和有無，不僅與A 有關(guān)，與數(shù)域 P 也有關(guān)。以 A 的特征值0 代入(E-A)X=，得方程組 (0E-A)X=，

2、是一個齊次方程組，稱為 A 的關(guān)于0 的特征方程組。因?yàn)閨0E-A|=0 ，(0E-A)X=必存在非零解X(0)，X(0) 稱為 A 的屬于0 的特征向量。所有0 的特征向量全體構(gòu)成了0 的特征向量空間。.精品文檔一. 特征值與特征向量的求法對于矩陣 A，由 AX= 0X， 0EX=AX，得：0E-AX=即齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是：即說明特征根是特征多項(xiàng)式 |0 E-A| =0的根，由代數(shù)基本定理有 n 個復(fù)根1,2, ,n，為A 的 n 個特征根。.精品文檔當(dāng)特征根i(I=1,2,n) 求出后， (i E-A)X=是齊次方程，i均會使 |i E-A|=0 ，(i E-A)X=必

3、存在非零解，且有無窮個解向量，(i E-A)X=的基礎(chǔ)解系以及基礎(chǔ)解系的線性組合都是 A 的特征向量。例 1.求矩陣的特征值與特征向量。解：由特征方程解得 A有 2 重特征值 =-2 ，有單特征值3=412對于特征值 =-2 ，解方程組 (-2E-A)x=12得同解方程組 x 1-x 2+x3=0解為 x1=x2-x 3 (x 2,x 3 為自由未知量).精品文檔分別令自由未知量得基礎(chǔ)解系所以 A 的對應(yīng)于特征值1 =2=-2的全部特征向量為x=k1 1+k2 2(k 1,k 2 不全為零 )可見，特征值 =-2 的特征向量空間是二維的。注意，特征值在重根時，特征向量空間的維數(shù) 特征根的重數(shù)。

4、對于特征值3=4，方程組(4E-A)x=得同解方程組為通解為.精品文檔令自由未知量 x 3=2 得基礎(chǔ)解系所以 A 的對于特征值3=4得全部特征向量為x= k 33例 2.求矩陣的特征值與特征向量解：由特征方程解得 A 有單特征值1=1，有 2 重特征值=3=02對于=1，解方程組 (E-A) x =1得同解方程組為.精品文檔同解為令自由未知量 x 3=1，得基礎(chǔ)解系所以 A 的對應(yīng)于特征值1 =1 的全部特征向量為x=k 1 1 (k 1 0)對于特征值2=3=0，解方程組(0E-A)=得同解方程組為通解為令自由未知量 x 3=1，得基礎(chǔ)解系此處，二重根=0 的特征向量空間是一維的，特征向量

5、空間的維數(shù)<特征根的重數(shù)，這種情況下，矩陣A 是虧損的。所以 A 的對應(yīng)于特征值2 =3=0得全部特征向量為x=k 2 3.精品文檔例 3 矩陣的特征值與特征向量解：由特征方程解得 A 的特征值為1=1,2=i,3=-i對于特征值1=1，解方程組(E-A)=，由得通解為令自由未知量 x=1，得基礎(chǔ)解系T=(1,0,0) ，所以 A 的對應(yīng)于特征11值1=1 得全部特征向量為x=k 1 1對于特征值2=i ，解方程組(iE-A)=.精品文檔得同解方程組為通解為令自由未知量 x 3=1，得基礎(chǔ)解系2=(0,i,1)T，所以 A 對應(yīng)于特征值2=1 的全部特征向量為x=k 2 2 (k 20)

6、 。對于特征值3=-i，解方程組 (-E-A)x=，由得同解方程組為通解為.精品文檔令自由未知量 x 3=1，得基礎(chǔ)解系3=(0,-i,1)T，所以 A 的對應(yīng)于3=-i 的全部特征向量為 x=k 3 3 。特征根為復(fù)數(shù)時，特征向量的分量也有復(fù)數(shù)出現(xiàn)。特征向量只能屬于一個特征值。而特征值窮多個，他們都是齊次線性方程組 ( i E-A)x= 程組 ( i E-A)x= 的基礎(chǔ)解系就是屬于特征值量。i 的特征向量卻有無的非 0 解。其中，方i 的線性無關(guān)的特征向性質(zhì) 1. n階方陣 A=(aij ) 的所有特征根為1， 2，,n( 包括重根 ) ，則證第二個式子：.精品文檔由偉達(dá)定理，12 n=(

7、-1)nn又 |E-A|=n+ 1 n -1 + n-11+n中用=0 代入二邊，得：|-A|=n，而 |A|=(-1)nn =12n，性質(zhì) 2.若是可逆陣 A 的一個特征根， x 為對應(yīng)的特征向量，則是 A-1 的一個特征根， x 仍為對應(yīng)的特征向量。證：可見是 A-1 的一個特征根。其中0，這是因?yàn)?0 不會為可逆陣的特征根， 不然，若i =0,|A|=12n=0，A 奇異，與A可逆矛盾。性質(zhì) 3.若是方陣 A 的一個特征根， x 為對應(yīng)的特征向量，則m是 Am的一個特征根， x 仍為對應(yīng)的特征向量。.精品文檔證： 1) Ax=x，二邊左乘 A，得： A2x=A x= Ax=x= 2 x，

8、可見2 是 A2 的特征根；2) 若 m 是 A m 的一個特征根， Amx= mx，二邊左乘 A，得： Am+1x=AAmx=A mx= mAx= m x= m+1x，得 m+1 是 Am+1的特征根用歸納法證明了m 是 A m 的一個特征根。性質(zhì) 4.設(shè)1，2， ,m是方陣A 的互不相同的特征值。xj 是屬于i 的特征向量 ( i=1,2, ,m) ，則 x 1,x 2, ,x m線性無關(guān)，即不相同特征值的特征向量線性無關(guān) 。性質(zhì) 4 給出了屬于不相同特征值的特征向量之間的關(guān)系， 因而是一個很重要的結(jié)論。性質(zhì) 4可推廣為：設(shè)1， 2 ， ,m為方陣 A 的互不相同的特征值， x11,x 12, ,x 1,k1是屬于1 的線性無關(guān)特征向量，xm1,x m