立體幾何中二面角的平面角的定位

1、立體幾何中二面角的平面角的作法新野縣第三高級(jí)中學(xué)校胡國(guó)曉空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容，解決立體幾何問(wèn)題的關(guān)鍵在于三定：定性分析 定位作圖 定量計(jì)算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而定量則是定位、定性的深化，在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般來(lái)說(shuō)，對(duì)其平面角的定位是問(wèn)題解決的先決一步，可是，從以往的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)致思維混亂，甚至錯(cuò)誤地定其位，使問(wèn)題的解決徒勞無(wú)益，本文就是針對(duì)這一點(diǎn)，來(lái)談一談平日教學(xué)中的體會(huì)。一、二面角的平面角的定義如圖（ 1）， 、 是由 l 出發(fā)的兩個(gè)平面,O 是 l 上任意一點(diǎn)OC ，且 O

2、Cl ；CD ，且 OD l 。這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即COD 是二面角l的平面角，從中不難得到下列特征：、過(guò)棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；、其平面角所在平面與其兩個(gè)半平面均垂直；另外，如果在 OC 上任取上一點(diǎn) A ，作 AB OD 垂足為 B,那么由特征可知 AB . 突出 l、OC、 OD 、 AB ，這便是另一特征；、體現(xiàn)出完整的三垂線定理（或逆定理）的環(huán)境背景。二、對(duì)以上特征進(jìn)行剖析由于二面角的平面角是由一點(diǎn)和兩條射線構(gòu)成， 所以二面角的平面角的定位可化歸為 “定點(diǎn) ”或 “定線（面）”的問(wèn)題。特征表明，其平面角的定位可先在棱上取一 “點(diǎn) ”，耐人尋味的是這一點(diǎn)可以隨便取

3、，但又總是不隨便取定的，它必須與問(wèn)題背景相互溝通，給計(jì)算提供方便。例 1 已知正三棱錐V ABC 側(cè)棱長(zhǎng)為 a，高為 b，求側(cè)面與底面所成的角的大小。由于正三棱錐的頂點(diǎn) V 在底面 ABC 上的射影 H 是底面的中心，所以連結(jié)CH 交 AB 于 O，且 OCAB ，則 VOC 為側(cè)面與底面所成二面角的平面角如圖（2）。正因?yàn)檎忮F的特性，解決此問(wèn)題，可以取AB的中點(diǎn) O 為其平面角的頂點(diǎn)，而且使背景突出在面VOC 上，給進(jìn)一步定量創(chuàng)造得天獨(dú)厚的條件。特征指出，如果二面角l的棱 l 垂直某一平面 ;那么 與 、的交線所成的角就是 l的平面角，如圖。由此可見，二面角的平面角的定位可以考慮找“垂平

4、面 ”。例 2 矩形 ABCD ，AB=3 ，BC=4，沿對(duì)角線 BD 把 ABD 折起， 使點(diǎn) A 在平面 BCD 上的射影 A落在 BC 上，求二面角 A BC- D 的大小。這是一道由平面圖形折疊成立體圖形的問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于搞清折疊前后“變 ”與“不變 ”。在平面圖形中過(guò) A 作 AE BD 交 BD 于 O、交 BC 于 E，則折疊后OA 、OE 與 BD 的垂直關(guān)系不變。但OA 與 OE此時(shí)變成相交兩線段并確定一平面，此平面必與棱垂直。由特征可知，面AOE 與面 ABD 、面 CBD 的交線 OA 與 OE 所成的角，即為所求二面角的平面角。另外，A 在面 BCD 上的射影必

5、在OE 所在的直線上，又題設(shè)射影落在BC 上,所以 E 點(diǎn)就是 A，這樣的定位給定量計(jì)算提供了優(yōu)質(zhì)服務(wù)。通過(guò)對(duì)例2 的定性分析、定位作圖和定量計(jì)算，特征從另一角度告訴我們：要確定二面角的平面角，我們可以把構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面“展平 ”，然后，在棱上選取一適當(dāng)?shù)拇咕€段，即可確定其平面角?！捌矫鎴D形 ”與 “立體圖形 ”相映生輝，不僅便于定性、定位，更利于定量。特征顯示， 如果二面角 l的兩個(gè)半平面之一， 存在垂線段 AB ，那么過(guò)垂足 B 作 l 的垂線交 l 于 O，連結(jié) AO，由三垂線定理可知 OAl ；或者由 A 作 l 的垂線交 l 于 O，連結(jié) OB，由三垂線定理逆定理可知 OB l

6、，此時(shí)， AOB 就是二面角 l的平面角，如圖。由此可見，二面角的平面角的定位可以找“垂線段 ”。例 3 在正方體ABCD A 1B 1C1D 1 中，棱長(zhǎng)為2，E 為 BC 的中點(diǎn)。求面B 1D 1E 與面積 BB 1C1C 所成的二面角的大小。例 3 的環(huán)境背景表明，面B 1D 1E 與面 BB 1C1C 構(gòu)成兩個(gè)二面角，由特征可知，這兩個(gè)二面角的大小必定互補(bǔ)，下面，如果思維由特征監(jiān)控,背景中的線段C1D1 會(huì)使眼睛一亮 ,我們只須由C1 (或 D1)作 B1E 的垂線交 B1E 于 O,然后連結(jié) OD 1(或 OC1 ),即得面 D1BE 與面 CC1B1 E 所成二面角的平面角C1OD

7、 1，如圖。三、三個(gè)特征的關(guān)系以上三個(gè)特征提供的思路在解決具體總是時(shí)各具特色，其標(biāo)的是分別找“點(diǎn) ”、 “垂面 ”、“垂線段 ”。事實(shí)上，我們只要找到其中一個(gè)，另兩個(gè)就接踵而來(lái)。掌握這種關(guān)系對(duì)提高解題技能和培養(yǎng)空間想象力非常重要。在許多問(wèn)題中可借助由特征，找到(作出 ) “垂線段 ”便可定位。例4已知RtABC的兩直角邊AC=2 ， BC=3 ， P為斜邊上一點(diǎn)，沿CP將此直角三角形折成直二面角A CP B ，當(dāng) AB=71/2 時(shí)，求二面角PAC B 的大小。作法 A CPB為直角二面角，過(guò)B 作BDCP交CP 的延長(zhǎng)線于D ，則BD DM APC。過(guò)D 作DEAC ，垂足為E ，連BE。 DEB為二面角ACP B 的平面角。再說(shuō)，定位是為了定量，求角的大小往往要化歸到一個(gè)三角形中去解，有了“垂線段 ”就可把它化歸為解一