似不相關(guān)回歸

1、第十二章 似不相關(guān)回歸一、單一方程估計與系統(tǒng)估計截至目前，我們僅考慮對單一方程的估計，但有時候會出現(xiàn)多個方程的情形。如果多個方程之間有某種聯(lián)系，那么將這些方程同時進行聯(lián)合估計有可能提高估計的效率，這被稱為系統(tǒng)估計。cross-equation restrictions有時多個方程是從同一個最大化問題推導(dǎo)而來（比如，從企業(yè)的利潤最大化問題導(dǎo)出對資本與勞動力的需求），故在理論上存在跨方程的參數(shù)約束（ ）。多方程聯(lián)合估計為檢驗這些跨方程約束提供了可能。也可以在加上這些約束條件后再進行系統(tǒng)估計。contaminate對多方程系統(tǒng)進行聯(lián)合估計的缺點是，如果某個方程的誤差較大，則系統(tǒng)估計會將這一方程的誤差

2、帶入其他方程中，進而污染（）整個方程系統(tǒng)。故選擇單一方程估計或系統(tǒng)估計，實際上是在有效性與穩(wěn)健性之間的權(quán)衡。simultaneous equations多方程系統(tǒng)主要分為兩類。一類為聯(lián)立方程組（），即不同方程之間的變量存在內(nèi)在的聯(lián)系，一個方程的解釋變量是另一方程的被解釋變量。SeeminglyUnrelated Regression EstimationSURSURE另一類為似不相關(guān)回歸（ ，或），即各方程的變量之間沒有內(nèi)在聯(lián)系，但各方程的擾動項之間存在相關(guān)性。本章介紹似不相關(guān)回歸例：以研一學(xué)生的計量經(jīng)濟學(xué)成績與英語成績作為兩個被解釋變量。這兩個方程所包含的解釋變量可以不同，比如，第一個方程可

3、以包括虛擬變量“是否學(xué)過本科計量學(xué)”，而第二個方程可以包括“考研英語成績”。這兩個方程的變量之間貌似沒有聯(lián)系，但由于同一學(xué)生的不可觀測因素同時對計量成績與英語成績造成影響，故兩個方程的擾動項應(yīng)該是相關(guān)的。如果將這兩個方程同時進行聯(lián)合估計，則可以提高估計效率。二、似不相關(guān)回歸的假定innTTniK似不相關(guān)回歸模型的假定如下：假設(shè)共有 個方程（ 個被解釋變量），每個方程共有 個觀測值，在第 個方程中，共有個解釋變量。iiiiiiT 1T K K1T 1iyXin第 個方程可以寫為 （ 1，2， ， ）nniii=1i=111112222nnnnnT 1nT 1K1nTKyX0yXyXy0X 將所有

4、方程疊放在一起可得112212nnn1 1121n2 1222nn1n2nnnT nTVarEE 可以想象，在電腦中，也把數(shù)據(jù)排成這個樣子（需要加上許多零）?？疾齑髷_動項 的協(xié)方差矩陣iiiiii TiiiEI 假設(shè)同一方程不同期的擾動項不存在自相關(guān)，且方差也相同，記第 個方程的方差為。則協(xié)方差矩陣中主對角線上的第 ， 個矩陣為ijitjstsE0ts 假設(shè)不同方程的擾動項之間存在同期相關(guān)（如果是橫截面數(shù)據(jù)，則指的是不同方程對應(yīng)的擾動項之間， 存在相關(guān)性），即，ijij Tijij EI 則協(xié)方差陣 中的第 ， 個矩陣為11 T12 T1n T21 T22 T2n Tn1 Tn2 Tnn TI

5、IIIIIIII綜合以上結(jié)果可知 TTIIKronecker product由于 中的每個小塊矩陣都有共同的因子 ，我們自然想把 從右邊提取出來。這可以通過矩陣的克羅奈克積（ ）來實現(xiàn)。111nm nm1mnp q111nm1mnmp nqaaAaaBABa Ba BABaBaB定義：對于任意兩個矩陣與（矩陣 ， 的維度可以完全不同），克羅奈克積為 111ABAB1ABCDACBD2ABAB 3ABAB容易看出，對于任意矩陣 ， ，其克羅奈克積總是有定義的?？梢宰C明，克羅奈克積具有以下性質(zhì)：11121n21222nTTn1n2nnII使用克羅奈克積，可以將擾動項 的協(xié)方差矩陣簡化為 11121

6、n21222nn1n2nn11TI 其中，為同期協(xié)方差矩陣。根據(jù)克羅奈克積的性質(zhì)， 的逆矩陣可以寫為 FGLS三、估計111GLS111TTOLSyXGLSXXXyXIXXIy由于 不是單位矩陣，故用估計這個多方程系統(tǒng) 不是最有效率的。假設(shè) 已知，則是最有效率的估計方法： GLSOLSGLSOLSGLS一般來說，這個估計量與單一方程估計量不同。但如果出現(xiàn)以下兩種情形之一，則與單一方程的結(jié)果完全相同，使用并不會提高效率。 1當各方程的擾動項互不相關(guān)時。在似不相關(guān)回歸模型中，各方程間唯一的聯(lián)系就是擾動項之間的相關(guān)性。如果擾動項互不相關(guān)，則 是單位矩陣，那么不難證明系統(tǒng)估計與單一方程估計并無區(qū)別。

7、2VAROLSVAR當每個方程包含的解釋變量完全相同時。比如，向量自回歸模型中的每個方程包含完全相同的解釋變量，故使用單一方程估計就夠了12nGLSXXXGLSGLSOLS除了以上兩種特殊情形外，通常來說，各方程的擾動項之間的相關(guān)性越大，則所能帶來的效率改進就越大；各方程的數(shù)據(jù)矩陣， ，之間的相關(guān)性越小，則所能帶來的效率改進也越大（如果各數(shù)據(jù)矩陣完全相同，則還原為單一方程）ijFGLSOLSOLS然而，在現(xiàn)實中 一般是未知的，故首先需要估計，然后進行估計。由于對每個方程分別進行回歸也是一致的，故可以使用單一方程的殘差來一致地估計。iijTijijitjtt=1iOLSe11e ee eTT假設(shè)

8、第 個方程的殘差向量為 ，則的一致估計量為 11121n21222nTn1n2nn111GLS111SURSURSURIXXXyXXXy FGLS因此， 將代入方程可得 這就是似不相關(guān)估計量，記為。使用后得到新的殘差，可以再一次計算，不斷迭代直至系數(shù)估計值收斂四、假設(shè)檢驗00SURHRrHRrRrFGLS在對多方程系統(tǒng)進行估計后，對線性假設(shè)“： ”的檢驗可以照常進行。由于 包含了所有方程的參數(shù)，故可以檢驗方程的參數(shù)約束。如果接受“： ”，則可把“ ”作為約束條件，進行有約束的估計。SUROLSSU需要指出的是，即使各方程的解釋變量完全相同（這種情況在經(jīng)濟學(xué)中常常出現(xiàn)。比如，對一組商品的需求取決

9、于這組商品的價格及收入；對一組資產(chǎn)的需求份額取決于這組資產(chǎn)的回報率及總財富。當需求份額必須加總為1時，可以選擇將其中一個方程去掉，否則擾動項的協(xié)方差矩陣將為不可逆的退化矩陣），有時也使用而不使用單一方程以便檢驗跨方程的參數(shù)約束。如果存在跨方程的參數(shù)約束，則即使各方程的解釋變量完全相同，ROLS估計與單一方程也不再等價。00SURHH模型的基本假設(shè)是，各方程的擾動項之間存在同期相關(guān)。為此，可以檢驗原假設(shè)“：各方程的擾動項無同期相關(guān)”，即“： 為對角矩陣”。ni-1d22LMiji=2 j1ijijijiijjBreusch and PaganLMTrn n-12r 建議使用以下統(tǒng)計量： 其中， 為根據(jù)殘差計算的擾動項 與 之間的同期相關(guān)系數(shù)，ni-12iji=2 j111121n21222nn1n2nnrrrrrrrrrr而為同期相關(guān)