齊民友高數(shù)下冊復習考試

1、高等數(shù)學復習考試（下冊）第8章 空間解析幾何與向量代數(shù)一、向量及其運算1、空間直角坐標系空間直角坐標系：三條兩兩垂直相交于原點的坐標軸，軸、軸和軸構成右手關系。（1） 學會：a）找出空間中給定點的坐標。b）找出空間中以給定為坐標的點。c）空間各部分點坐標的特點。（2） 兩點、的距離公式2、向量（1）向量的概念數(shù)量：只有大??；向量：既有大小又有方向。向量只有大小和方向。在空間中用有向線段表示向量。其長度表示向量的大小也稱為?；蚍稊?shù)；其方向表示向量的方向。一個向量可以放在空間中任意位置。（2）特殊向量零向量：大小為0。任意方向都是的方向。只有一個零向量。單位向量：大小為1。有無窮多個單位向量。如果

2、，則是與方向一致的單位向量，稱為的單位化。（3）兩向量的關系向量和有夾角。當時說；當時說。（4）向量的坐標把向量的始點放在原點，得的終點，則有的分解式其中是標準單位向量。是向量的坐標。分別是在、軸上的投影；分別是在、軸上的投影向量。向量與坐標一一對應。向量的理論分為兩部分：用幾何描述的向量理論和用坐標描述的向量理論。兩部分理論對應地出現(xiàn)，互相翻譯。設、，則（終點坐標減始點坐標。）始點坐標、終點坐標、向量坐標知其二求第三。（5）模和方向余弦設，則其中分別是與、軸的夾角，它們支定了的方向。一次性求出三個方向余弦：3、向量運算（1）加減法a）幾何方法 兩向量用平行四邊形法則或三角形法則（接龍法）相加

3、。 與大小相等方向相反。b）坐標方法設，則（2）數(shù)乘向量a）幾何方法。的方向：當時與同向；當時與反向。b）坐標方法（3）兩向量的數(shù)量積a）幾何方法b）坐標方法設，則c）物理意義位移外力做的功（4）兩向量的向量積 是一個新的向量。a）幾何方法；成右手關系。b）坐標方法設，則c）幾何意義以為邊的平行四邊形的面積。（5）三向量的混合積a）。b）幾何意義以為邊的平行六面體的體積。（6）熟悉各種運算的運算律。4、平行、垂直、共面條件（1）設。下列命題等價：a）；b）存在實數(shù)使得；c）；d）。（2）下列命題等價：a）；b）；（3）共面。二、空間解析幾何1、一般概念空間幾何對象：曲面和曲線。平面是特殊的曲面

4、，直線是特殊的曲線?？臻g解析幾何就是用代數(shù)方程研究幾何對象。幾何對象和它的代數(shù)方程的關系如下：（1）上每點的坐標都滿足方程；（2）坐標滿足方程的點都在上?？臻g解析幾何的主要任務:（1）根據(jù)已知條件寫出幾何對象的方程；（2）根據(jù)幾何對象的方程分析幾何對象的形狀。2、空間解析幾何（1）平面a）點法式方程其中是的隨便一個固定的法向量，是隨便固定的一點。利用條件求出即可寫出平面的點法式方程。b）一般方程其中是的法向量。軸可以用一般式方程寫滿足條件的平面方程。利用條件求出即可寫出平面的一般方程。c）三點式方程i）取ii）寫出點法式方程。d）截距式方程如果平面與軸分別交于非原點，則e）點到平面的距離f）設

5、則（2）直線a）點向式方程其中是的隨便一個固定的方向向量，是隨便固定的一點。利用條件求出即可寫出直線的點向式方程。b）參數(shù)方程其中是的隨便一個固定的方向向量，是隨便固定的一點，是參數(shù)。c）一般方程作為平面和的交線。d）點向式方程化為一般方程e）一般方程化點向式方程：i）求出方程組的一個解；ii）??；iii）用和寫出點向式方程。f）兩直線的夾角直線與平面的夾角g）過直線的平面束用已知條件確定，從而在平面束中求出滿足要求的平面。（3）常見的空間曲面（1）柱面二元方程在空間中表示母線平行于軸的柱面。（2）旋轉曲面曲線繞軸旋轉一周得的旋轉曲面的方程為其它曲線繞其它軸轉的情況類似（請你試寫出來）。（3）

6、二次曲面a）學會用“截痕法”分析曲面的形狀。b）熟悉P56-P64列出的各種二次曲面及它們的方程。c）特別常用的曲面：柱面、錐面、（橢）球面、拋物面。（4）空間曲線a）空間曲線的一般方程（曲線作為兩曲面的交線）參數(shù)方程b）由一般方程寫參數(shù)方程的常用方法：先由一般方程變形出；令；再進一步寫出參數(shù)方程。c）曲線在坐標平面上的投影由方程消去得到在面上的投影第9章 多元函數(shù)微分法及其應用一、 多元函數(shù)的極限和連續(xù)性1 多元函數(shù)的極限（1）計算多元函數(shù)極限的方法：（i）要善于變形；（ii）把一組東西看出一個整體，轉化為一元函數(shù)的極限，再用一元函數(shù)求極限的方法求極限。（2）證明極限不存在：舉一些的方式（比

7、如），使極限不存在或與方式（）有關。2 多元函數(shù)的連續(xù)性（1）證明在點不連續(xù)：（i）用前面方法證明不存在；或（ii）求出。（2）證明在點連續(xù)就是證明。二、 偏導數(shù)和全微分1偏導數(shù)（1）在點的偏導數(shù)分兩步：（i）作一元函數(shù)；（ii）。因此（2）偏導數(shù)的幾何意義：（i） = 曲線在點切線對軸的斜率；（ii）曲線在點切線對軸的斜率 = 。關于完全類似。（3）當相應的高階導數(shù)連續(xù)時，高階偏導數(shù)與求導次序無關。2全微分（1）全微分概念如果存在與和無關的和使則稱在點可微。在點的全微分 關于任意點的全微分，上面改為。當是復合函數(shù)的中間變量時，全微分公式也一樣。（2）如果在點可微，則在點的偏導數(shù)都存在，并且（

8、3）（i）在點可微(ii)證明在點不可微就是證明極限不存在或不為0。3 導數(shù)的計算（1）一般函數(shù)求導方法：（i）保留求導變元，固定其他變元為常數(shù)，得一元函數(shù)；（ii）對此一元函數(shù)求導。（2）復合函數(shù)求導方法：（i）畫復合函數(shù)圖；（ii）根據(jù)復合函數(shù)圖寫求導公式（設對求導）：每個所在的路徑都對應一項：此路徑中的每個相鄰函數(shù)關系都求導，這些導數(shù)相乘作公式的一個求導項；（iii）根據(jù)求導公式求得偏導數(shù)。（iv）利用低階偏導數(shù)求高階偏導數(shù)，遇到求偏導函數(shù)的導數(shù)時，各階偏導函數(shù)與原函數(shù)有相同的函數(shù)圖。（復合函數(shù)求導一定要求到底?。?）隱函數(shù)求導方法：（i）把隱函數(shù)變量看作其它變量的函數(shù)得恒等式（組）；

9、（ii）對恒等式（組）兩邊求導得含所求導數(shù)的方程（組）；（iii）解方程（組）得所求導數(shù)；（iv）求隱函數(shù)的高階偏導數(shù)有兩種方法：(a) 利用低階偏導數(shù)求高階偏導數(shù)；(b)繼續(xù)對求低階導數(shù)時得的方程（組）求導，得含高階導數(shù)的方程（組），解此方程（組）得高階導數(shù)。不管用哪種方法，都要代入低階導數(shù)的結果，都要清清楚楚地知道哪里含有要求導的變量。隱函數(shù)求導也可解出隱函數(shù)再求導。反函數(shù)看作隱函數(shù)處理。4 連續(xù)、可導、可微、偏導數(shù)連續(xù)的關系可導偏導數(shù)連續(xù) th C3 可微連續(xù) C2 C3 th反例：；都在(0,0)點。要熟悉一些典型例題。三、 多元函數(shù)微分法的應用1曲線在的切向量切線：法平面：如果則用作

10、參數(shù)。（用或作參數(shù)的情況類似）2曲面在點的法向量切平面：法線：當曲面以參數(shù)方程給出時，消去參數(shù)變成一般方程再做。3 方向導數(shù)與梯度（1）在點沿方向的方向導數(shù)其中是的方向余弦。 求在點沿方向的方向導數(shù)的方法：（i）求導；（ii）求的方向余弦；（iii）代入上面公式。有時要用上面極限求方向導數(shù)。（2）在點的梯度 梯度是方向導數(shù)最大的方向，梯度的反方向是方向導數(shù)最小的方向，與梯度垂直方向的方向導數(shù)為0：。梯度是等值面的法向量。4 極值與最值（1）無條件極值 如果存在去心鄰域使則稱為的極值點，稱為的極值?？梢?，極值是小范圍的最值。如果在點有二階偏導數(shù)，必要條件：；充分條件： 其中。解無條件極值問題的方

11、法：（i） (ii)用定義對逐點判定；用充分條件對逐點判定。是否極值點，是極大值點還是極小值點，一定要有明確的結論；(iii)必要時求出相應的極值。（2）最值 在(閉)區(qū)域上的最大（?。┲迭c有兩種可能 因此求最大（?。┲档姆椒ǎ海╥）求在的最大值（最小值）；（ii）求出（iii）結果 如果根據(jù)問題的實際知：最大（?。┲翟趦炔咳〉茫⑶?，在內部到處可導且只有唯一個駐點或導數(shù)不存在的點，則這點就是最大（?。┲迭c。5 條件極值條件極值問題的解法：（i）寫拉格朗日函數(shù)；（ii）求函數(shù)非條件極值的駐點（不用解出）；（iii）根據(jù)問題的實際判斷每個駐點是否極值點，是極大值點還是極小值點。6泰勒公式設函數(shù)充

12、分可導，則其中。有時可以把一組東西看作一個，利用一元函數(shù)寫出關于的泰勒公式，再把代回得到原函數(shù)的泰勒公式。四、相關題目1求多元函數(shù)的極限；2證明多元函數(shù)在某點的極限不存在；3證明多元函數(shù)在某點不連續(xù)（連續(xù)）；4求給定多元函數(shù)（在某點）的偏導數(shù)；5求多元函數(shù)（在某點）的全微分；6求多元復合函數(shù)、隱函數(shù)的一階或高階偏導數(shù)，或全微分；7求曲線在某點的切線方程、法面方程；求曲面在某點的切面方程、法線方程；（可能要先 根據(jù)已知寫出方程）8求給定函數(shù)在某點的梯度，在某點沿某方向的方向導數(shù)；9求函數(shù)的極值、最大（?。┲?、條件極值；10證明多元函數(shù)在某點不可導（不可微或導函數(shù)不連續(xù)）。第10章 重積分一、二重

13、積分1二重積分的概念 設是平面上的有界閉區(qū)域，是上有界函數(shù)。分割：把分割為個小區(qū)域：“近似”： ，作求和：取極限：記，當有了實際意義，也相應地有實際意義。例如，如果是質量面密度，則二重積分就是的總質量；當是以為底的曲頂柱體的高度函數(shù)時，二重積分是此曲頂柱體的體積。2二重積分的性質（1）線性性（2）可加性 如果分割成兩個區(qū)域和，則（3）單調性 如果則特別，如果則如果則其中是的面積。（4）中值定理 如果在上連續(xù)，則存在使其中是的面積。3二重積分的計算（1）直角坐標 X-型區(qū)域 其中，小邊界：；大邊界：。 y D x O a b Y-型區(qū)域其中，小邊界：；大邊界：。 y d D c O x 如果是X

14、-型區(qū)域，則（后積分） 如果是Y-型區(qū)域，則（后積分） 如果既是X-型區(qū)域又是Y-型區(qū)域，則哪個簡單就計算哪個。里層上下限總是外層積分變量的函數(shù)。 如果既不是X-型區(qū)域又不是Y-型區(qū)域，則需作適當分割。（2）極坐標 如果其中是的張角；是小邊界；是大邊界（右圖）。則（總是后積分） O （注意：面積元素多一個；當包含原點時 ）。當?shù)倪吔缡菆A弧或被積函數(shù)含有時，用極坐標積分比較簡單。 曲線極坐標方程的求法：設曲線方程，則，解出。二、三重積分1三重積分的概念 設是空間的有界閉區(qū)域，是上有界函數(shù)。分割：把分割為個小區(qū)域：“近似”：，作求和：取極限：記，當有了實際意義，也相應地有實際意義。例如，如果是質量

15、體密度，則三重積分就是的總質量。2三重積分的性質（1）線性性（2）可加性 如果分割成兩個區(qū)域和，則（3）單調性 如果則特別，如果則如果則其中是的體積。（4）中值定理 如果在上連續(xù)，則存在使其中是的體積。 z3三重積分的計算（1）直角坐標 v（i）二套一 設區(qū)域 其中，是在xy平面上的投影，小邊界：；大邊界：。（右圖）。則 y x（ii）一套二 設區(qū)域其中，是在z軸上的投影；是平面截的截口。則 d z v z c O yx 一般情況下用二套一方法計算；當不含，或用極坐標計算時不含，用一套二計算比較簡單。往其它坐標平面或坐標軸投影完全類似。（2）柱面坐標用柱面坐標計算三重積分的方法：（i）先把三重

16、積分寫成二套一（ii）再用極坐標計算外層積分往其它坐標平面投影完全類似。（3）球面坐標（i）球面坐標與直角坐標的關系（ii）主要掌握以下三種簡單情形：(a) 原點是的內點。此時其中是的外邊界。(b) 的邊界在原點與xy平面相切，包含z軸正向。此時其中是的外邊界。(c) 是錐面與外邊界包圍。此時 不管是計算二重積分還是三重積分，如果區(qū)域邊界的表達式不一致，就要作適當區(qū)域分割。里層上下限總是外層積分變量的函數(shù)。三、重積分的應用1體積2曲面的面積其中是面積微分；是曲面在xy上的投影。 曲面表示成或時類似。3質心設區(qū)域的密度為，則的質量質心坐標在平面情形少一個坐標且為二重積分。4轉動慣量（1）平面情形

17、 設區(qū)域的密度為，則轉動慣量（2）空間情形 設區(qū)域的密度為，則的轉動慣量5引力設區(qū)域的密度為，則對以外的質量為的質點的引力為其中的復雜性是由力的分解時乘引起的。計算時注意對稱性。四、 相關題目1用直角坐標計算二重積分，當邊界的表達式不一致時會適當分割區(qū)域；知道什么時候用極坐標計算簡單并會用極坐標計算二重積分；2用直角坐標計算三重積分，當邊界的表達式不一致時會適當分割區(qū)域；知道什么時候用柱面坐標或球面坐標計算簡單并會用柱面坐標或球面坐標坐標計算三重積分；3用二重積分或三重積分計算幾何體的體積；4用二重積分計算空間曲面的面積；5用二重積分或三重積分計算質量、質心、轉動慣量、引力等物理應用。第11章

18、 曲線積分與曲面積分一、 曲線積分1 對弧長的曲線積分（1）概念 設是空間有界曲線，是上有界函數(shù)。分割：把分割為個小弧段：“近似”：，為弧的弧長，作求和：取極限：記當有了實際意義，也相應地有實際意義。例如，如果是質量弧長密度，則曲線積分就是的總質量。 平面曲線積分是空間曲線積分的特例。 （2）性質（i）線性性（ii）曲線段可加性 把分割成兩段和，則（iii）單調性 如果在上有，則特別，如果在上有，則如果在上有，則其中是的弧長。（iv）中值定理 如果在上連續(xù)，則存在使其中是的弧長。（3）計算 設，則其中是弧長微分。當時就用作參數(shù)；類似地有時用或作參數(shù)。2 對坐標的曲線積分（1）概念 設是空間有界

19、的有向曲線，是始點是終點，是上有界向量函數(shù)。分割：把分割為個小弧段：“近似”：。設的長是，是在點與方向一致的單位切向量。作求和：取極限：記其中是與方向一致的單位切向量，。當有了實際意義，也相應地有實際意義。例如，如果是外力，則上面曲線積分就是質點沿從運動到外力做的功。 平面曲線積分是空間曲線積分的特例。 （2）性質（i）線性性（ii）曲線段可加性 把分割成方向一致的兩段和，則（iii）方向性 如果記的反方向為，則其中。（iv）中值定理其中是的弧長。（3）計算（三個積分一個一個地計算） 設 ，則當時就用作參數(shù)；類似地有時用或作參數(shù)。注意：和不管哪個大哪個小。 可以利用把三個積分互相轉化。如果垂直

20、于軸則；垂直于軸則；垂直于軸，則。平面是空間的特例。二、 格林公式、第二類曲線積分與路徑無關、原函數(shù)1格林公式條件：在有界閉區(qū)域上無奇點。結論： 如果不封閉，添上簡單的使封閉，再用格林公式計算注意：要保持成為的正向邊界。如果在區(qū)域上有奇點，用很小的曲線把奇點挖掉再用格林公式。但要保持的方向成為新的的正向邊界。2第二類曲線積分與路徑無關前提：是單聯(lián)通區(qū)域；在上沒有奇點。結論：在內與路徑無關（只與始終點有關）。 只要驗證了，就知道在內與路徑無關，就可以選一條簡單的路徑計算積分。一般來說，平行于坐標軸的折線最簡單。3原函數(shù)前提：是單聯(lián)通區(qū)域；在上沒有奇點。結論：在內是某原函數(shù)的全微分。此時（選平行于

21、坐標軸的折線計算曲線積分）。也可以用湊微分法求。 驗證了后，的通解為，其中。三、 曲面積分1對面積的曲面積分 設在有界曲面上有界。分割：把分割為小塊：“近似”：，作求和：取極限：記當有了實際意義，也相應地有實際意義。例如，如果是質量面密度，則曲面積分就是的總質量。（2）性質（i）線性性（ii）可加性 把分割成兩片和，則（iii）單調性 如果在上有，則特別，如果在上有，則如果在上有，則其中是的面積。（iv）中值定理 如果在上連續(xù)，則存在使其中是的面積。（3）計算 設，則 設，則 設，則其中，分別是在xy，xz，yz平面上的投影；是曲面的面積元素。2對坐標的曲面積分 設在有界的有向曲面上有界。分割

22、：把分割為小塊：“近似”：，設是在點與同向的單位法向量，作求和：取極限：記其中是與同向的單位法向量，。當有了實際意義，也相應地有實際意義。例如，如果是流體速度，則曲面積分就是流體在單位時間內通過流向選定側的總體積。（2）性質（i）線性性（ii）可加性 把分割成兩片和，方向一致，則（iii）方向性 如果記的反側為，則其中，是面積元素向量。（iv）中值定理（3）計算（三個積分一個一個地計算） 設，則當為上側時取號，下側時取號。 設，則當為右側時取號，左側時取號。 設，則當為前側時取號，后側時取號。其中。分別是在xy，xz，yz平面上的投影。 可以利用把三個積分互相轉化。 如果垂直于xy平面，則。垂

23、直于yz平面或zx平面類似。四、 高斯公式、散度、斯特克斯公式、旋度1高斯公式條件：在區(qū)域上無奇點。結論： 如果不封閉，添上簡單的使封閉，再用高斯公式計算注意：要保持成為的外側。如果在區(qū)域上有奇點，用很小的曲面把奇點挖丟再用高斯公式。但要保持的方向成為新的的外側。2散度向量函數(shù)在的散度是實數(shù)因此3斯特克斯公式條件：在曲面上無奇點。結論：可適當選擇。4旋度向量函數(shù)在的旋度是向量因此五、 相關題目1計算第一、二類曲線積分；2用格林公式（補曲線、挖奇點）計算第二類曲線積分；3驗證第二類曲線積分與路徑無關，然后選簡單曲線計算之；4已知某第二類曲線積分與路徑無關，求被積函數(shù)中的未知函數(shù)；5驗證某表達式是

24、某原函數(shù)的全微分，并求原函數(shù)；6已知某表達式是某原函數(shù)的全微分，求表達式中的未知函數(shù)；7計算第一、二類曲面積分；8用高斯公式（補曲面、挖奇點）計算第二類曲面積分；9計算向量函數(shù)的散度、旋度。第13章 無窮級數(shù)一、常數(shù)項級數(shù)1常數(shù)項級數(shù)的概念形式地用加號把一個數(shù)列連起來 （1）稱為一個常數(shù)項級數(shù)。稱為一般項。一般項確定了級數(shù)也就確定了。 （1）的前項的和稱為（1）的部分和。級數(shù)是收斂還是發(fā)散的性質稱為級數(shù)的收斂性。判定級數(shù)是否收斂稱為審斂。審斂是級數(shù)的核心內容。2常數(shù)項級數(shù)的性質（1）收斂也收斂。如果，則和同斂散。（2）和都收斂也收斂。 三個級數(shù)、和，如果任意兩個收斂，則第三個也收斂；如果有一個

25、發(fā)散，則至少有兩個發(fā)散。（3）級數(shù)的收斂性與前面有限項無關。（但級數(shù)的和有關。）（4）收斂的級數(shù)可以隨便添括號，不影響收斂性，也不影響和。（注意：逆不成立。）（5）收斂。（千萬注意：逆不成立。） 最常用是（5）的逆否：如果不存在或不是0，則發(fā)散。3熟記一些級數(shù)（1）等比級數(shù)（2）調和級數(shù)發(fā)散。但交錯級數(shù)收斂。（3）級數(shù)4常數(shù)項級數(shù)的審斂（1）正項級數(shù)審斂法 如果，則稱為正項級數(shù)。定理1 正項級數(shù)收斂它的部分和數(shù)列有上界。定理2（比較審斂法） 設和都是正項級數(shù)。如果， （*）則（i）收斂 收斂；（ii）發(fā)散發(fā)散。（大項級數(shù)收斂則小項級數(shù)也收斂；小項級數(shù)發(fā)散則大項級數(shù)也發(fā)散。） 因為前有限項不影響

26、級數(shù)的收斂性，與同斂散，所以（*）可改為， 定理3（比較審斂法） 設和都是正項級數(shù)，。（i）如果（是的高價無窮?。?，則收斂 收斂；（ii）如果（是的低價無窮?。?，則發(fā)散發(fā)散；（iii）如果（和是同價無窮?。?，則與同斂散。（常常用等比級數(shù)或級數(shù)與要審斂的級數(shù)比較。） 定理4（比值審斂法） 設是正項級數(shù)，。（i）如果，則收斂；（ii）如果，則發(fā)散；（iii）如果，此法無效。 定理4（根值審斂法） 設是正項級數(shù)，。（i）如果，則收斂；（ii）如果，則發(fā)散；（iii）如果，此法無效。 審斂正項級數(shù)，當可擴大（縮?。┮稽c點得簡單級數(shù)時，用比較審斂法；當是的簡單遞推時，用比值審斂法；當是次冪時，用根值審斂

27、法。定理5（積分審斂法） 設是正項級數(shù)，如果存在在單調減少的連續(xù)函數(shù)使得，則和同斂散。（2）交錯級數(shù)審斂法 如果且，則收斂。并且，（3）絕對審斂法收斂 收斂（絕對收斂）。 如果收斂但發(fā)散，則稱條件收斂。二、冪級數(shù)1函數(shù)項級數(shù)項是函數(shù)的級數(shù) （#）稱為函數(shù)項級數(shù)。如果收斂（發(fā)散），則稱為（#）的收斂（發(fā)散）點。集合稱為（#）的收斂域（可能為空集）。函數(shù)稱為（#）的和函數(shù)。函數(shù)稱為（#）的余項。2冪級數(shù)的收斂域和收斂半徑函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù)。（1）對于任意冪級數(shù)，。定理1 對于任意冪級數(shù)，收斂域都是以為中心的區(qū)間（可能是、全實數(shù)、開區(qū)間、閉區(qū)間或半開半閉的區(qū)間）。冪級數(shù)收斂域的可能性(iii)中的

28、稱謂的收斂半徑，（ii）時收斂半徑，（i）時收斂半徑。和的收斂性要單獨審斂。冪級數(shù)在內絕對收斂。 定理2 如果則的收斂半徑，即（2）求收斂半徑和收斂域的方法：（i）求收斂半徑；（ii）如果，分別討論和的收斂性；（iii）根據(jù)（i）和（ii）確定的收斂域。（3）連續(xù)性、逐項定積分、逐項求導 定理3 （i）和函數(shù)在收斂域上連續(xù)、可積；在中任意階可導；（ii）可以逐項定積分，（） （*）可以逐項求導，（） （*）并且，、（*）和（*）三級數(shù)有相同的收斂半徑。（但是，三級數(shù)在端點的收斂情況可能不同。必要時要分別判定。）利用逐項定積分、逐項求導、四則運算和一些已知的冪級數(shù)和函數(shù)，可以方便地求冪級數(shù)的和函

29、數(shù)。當要在點討論冪級數(shù)時，令利用關于的冪級數(shù)討論得到在點冪級數(shù)的結論。（4）把函數(shù)展開成冪級數(shù)若找到使在某區(qū)間內則稱在內函數(shù)展開成冪級數(shù)。 由定理3知，不是無限階可導的函數(shù)一定不能展開成冪級數(shù)。下面設無限階可導。（i）泰勒級數(shù)和麥克勞琳級數(shù)稱為在點的泰勒級數(shù)（不管是否收斂，也不管和函數(shù)是否）。當時，稱為麥克勞琳級數(shù)。（ii）展開冪級數(shù)的唯一性根據(jù)逐項求導，如果在點能展開成冪級數(shù)，則這冪級數(shù)一定是在點的泰勒級數(shù)。（iii）展開定理定理4 設在點的泰勒公式能在點鄰域內展開成（泰勒）冪級數(shù)的充要條件是在內（iv）把展開成冪級數(shù)的方法 第一步 寫出的麥克勞琳級數(shù)第二步 在某個范圍內證明則， 如果通過恒等變換、逐項求導、逐項積分、變量代換，利用已知的冪級數(shù)展開式寫出的冪級數(shù)，就不需要證明。這就是間接展開法。需要熟記一些常用展開式：， 如果要把展開成的冪級數(shù)，先作變換然后展開，最后代回。三、傅里葉級數(shù)1三角函數(shù)系及三角級數(shù)（1）三角函數(shù)系的正交性是指如下積分性質，(2)函數(shù)項級數(shù) （*）稱為三角級