malthus人口模型

1、常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用 這里介紹幾個(gè)典型的用微分方程建立數(shù)學(xué)模型的例子 一、人口預(yù)測模型 由于資源的有限性，當(dāng)今世界各國都注意有計(jì)劃地控制人口的增長，為了得到人口預(yù)測 模型，必須首先搞清影響人口增長的因素，而影響人口增長的因素很多，如人口的自然出生 率、人口的自然死亡率、人口的遷移、自然災(zāi)害、戰(zhàn)爭等諸多因素，如果一開始就把所有因 素都考慮進(jìn)去，則無從下手.因此，先把問題簡化，建立比較粗糙的模型，再逐步修改，得到較完善的模型. 例 1(1(馬爾薩斯(Malthus)(Malthus)模型)英國人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家馬爾薩斯(17661766- -1834)1834)在擔(dān)任牧師期間，查看了教堂 100

2、100 多年人口出生統(tǒng)計(jì)資料，發(fā)現(xiàn)人口出生率是一個(gè)常數(shù)，于 17891789 年在人口原理一書中提出了聞名于世的馬爾薩斯人口模型，他的基本假設(shè)是：在人口自 然增長過程中，凈相對增長(出生率與死亡率之差)是常數(shù)，即單位時(shí)間內(nèi)人口的增長量與人口成正比，比例系數(shù)設(shè)為r,在此假設(shè)下，推導(dǎo)并求解人口隨時(shí)間變化的數(shù)學(xué)模型. 解設(shè)時(shí)刻t的人口為N(t),把N(t)當(dāng)作連續(xù)、可微函數(shù)處理(因人口總數(shù)很大，可 近似地這樣處理，此乃離散變量連續(xù)化處理)，據(jù)馬爾薩斯的假設(shè)，在t至Utt時(shí)間段內(nèi)，人 口的增長量為 N(tt)N(t)rN(t)t, , 并設(shè)tt時(shí)刻的人口為NO,于是 dtN(to)NO. 這就是馬爾薩

3、斯人口模型，用分離變量法易求出其解為 N(t)Noer(tt0), ,此式表明人口以指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間無限增長. . 模型檢驗(yàn)：據(jù)估計(jì) 19611961 年地球上的人口總數(shù)為3.06109, ,而在以后 7 7 年中，人口總數(shù) 以每年 2%2%勺速度增長，這樣t01961, ,N03.06109, ,r0.02，于是 N(t)3.06109e0.02(t1961). . 這個(gè)公式非常準(zhǔn)確地反映了在 1700170019611961 年間世界人口總數(shù).因?yàn)?，這期間地球上的人 口大約每 3535 年翻一番，而上式斷定 34.634.6 年增加一倍(請讀者證明這一點(diǎn)). 但是，后來人們以美國人口為例，用

4、馬爾薩斯模型計(jì)算結(jié)果與人口資料比較，卻發(fā)現(xiàn)有很 大的差異，尤其是在用此模型預(yù)測較遙遠(yuǎn)的未來地球人口總數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)更令人不可思議的問 題，如按此模型計(jì)算，到 26702670 年，地球上將有 3600036000 億人口.如果地球表面全是陸地(事實(shí)上，地球表面還有 80%M80%M 水覆蓋)，我們也只得互相踩著肩膀站成兩層了，這是非常荒謬的，因此, 這一模型應(yīng)該修改. 例 2 2(邏輯 LogisticLogistic 模型)馬爾薩斯模型為什么不能預(yù)測未來的人口呢？這主要是地 球上的各種資源只能供一定數(shù)量的人生活，隨著人口的增加，自然資源環(huán)境條件等因素對人 口增長的限制作用越來越顯著，如果當(dāng)人口較

5、少時(shí)，人口的自然增長率可以看作常數(shù)的話，那 么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量以后，這個(gè)增長率就要隨人口的增加而減小.因此，應(yīng)對馬爾薩斯模 型中關(guān)于凈增長率為常數(shù)的假設(shè)進(jìn)行修改. . 18381838 年，荷蘭生物數(shù)學(xué)家韋爾侯斯特(Verhulst)(Verhulst)引入常數(shù)Nm, ,用來表示自然環(huán)境條件 所能容許的最大人口數(shù)(一般說來，一個(gè)國家工業(yè)化程度越高，它的生活空間就越大，食物就 越多，從而Nm就越大)，并假設(shè)將增長率等于r1Nt)，即凈增長率隨著N(t)的增加而Nm 減小，當(dāng)N(t)Nm時(shí)，凈增長率趨于零，按此假定建立人口預(yù)測模型 解由韋爾侯斯特假定，馬爾薩斯模型應(yīng)改為 dN r dt 上式就

6、是邏輯模型，該方程可分離變量，其解為, 卜面，我們對模型作一簡要分析 ,N(t)Nm，即無論人口的初值如何，人口總數(shù)趨向于極限值Nm； (2)當(dāng)0NNm時(shí)，dNr1N0,這說明N(t)是時(shí)間t的單調(diào)遞增函dtNm 0,dN單減，即人口增長率型由增變減，在-Nm處最大，也就是說dtdt2 在人口總數(shù)達(dá)到極限值一半以前是加速生長期，過這一點(diǎn)后，生長的速率逐漸變小，并且遲早 會達(dá)到零，這是減速生長期； (4)(4)用該模型檢驗(yàn)美國從 17901790 年到 19501950 年的人口，發(fā)現(xiàn)模型計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際人口 在 19301930 年以前都非常吻合，自從 19301930 年以后，誤差愈來愈大，

7、一個(gè)明顯的原因是在 2020 世紀(jì) 6060 年代美國的實(shí)際人口數(shù)已經(jīng)突破了2020 世紀(jì)初所設(shè)的極限人口. .由此可見該模型的缺點(diǎn)之一是Nm不易確定，事實(shí)上，隨著一個(gè)國家經(jīng)濟(jì)的騰飛，它所擁有的食物就越豐富，Nm的值 也就越大； (5)(5)用邏輯模型來預(yù)測世界未來人口總數(shù).某生物學(xué)家估計(jì)，r0.029, ,又當(dāng)人口總數(shù)N, N(t0) No N(t)- 1 Nm Nm1er(tto) N7 (3)(3)由于 d2N dt2 r21兒1型N,所以當(dāng)N NmNm Nm m時(shí), 2 d2N dt2 -dN的,0,單增; dt 2 電時(shí)，駕 2dt2 為3.06109時(shí)，人口每年以 2%2%勺速率增

8、長,由邏輯模型得 1dNNdt 即0.020.0291 從而得Nm9.86 即世界人口總數(shù)極限值近 100100 億. 值得說明的是：人也是一種生物，因此，上面關(guān)于人口*II型的討論，原則上也可以用于在自然環(huán)境下單一物種生存著的其他生物，如森林中的樹木、池塘中的魚等，邏輯模型有著廣泛的應(yīng)用. 二、市場價(jià)格模型 對于純粹的市場經(jīng)濟(jì)來說，商品市場價(jià)格取決于市場供需之間的關(guān)系，市場價(jià)格能促使 商品的供給與需求相等(這樣的價(jià)格稱為(靜態(tài))均衡價(jià)格).也就是說，如果不考慮商品價(jià)格形成的動態(tài)過程，那么商品的市場價(jià)格應(yīng)能保證市場的供需平衡，但是，實(shí)際的市場價(jià)格不會 恰好等于均衡價(jià)格，而且價(jià)格也不會是靜態(tài)的，

9、應(yīng)是隨時(shí)間不斷變化的動態(tài)過程. 例 3 3 試建立描述市場價(jià)格形成的動態(tài)過程的數(shù)學(xué)模型 解假設(shè)在某一時(shí)刻t,商品的價(jià)格為p(t),它與該商品的均衡價(jià)格間有差別，此時(shí)，存 在供需差，此供需差促使價(jià)格變動.對新的價(jià)格，又有新的供需差，如此不斷調(diào)節(jié)，就構(gòu)成市場價(jià)格形成的動態(tài)過程，假設(shè)彳格p(t)的變化率曳與需求和供給之差成正比，并記f(p,r) dt 為需求函數(shù)，g(p)為供給函數(shù)(r為參數(shù))，于是 dpf fp,rgpdt p(0)PO, 其中a,b,c,d均為正常數(shù)，其解為 N 1- Nm 9 3.06109 Nm 109, , 其中p0為商品在t0時(shí)亥I的價(jià)格, 為正常數(shù). 若設(shè)f(p,r)a

10、pb, ,g(p) cpd,則上式變?yōu)?dpdt (ac)p(bd), P(0)PO， P(t) bd(ac)tbd POe 100(32)t 2dt，這樣即可列出方程 下面對所得結(jié)果進(jìn)行討論： (1)(1)設(shè) p p 為靜態(tài)均衡價(jià)格,則其應(yīng)滿足 f(6,r)g(p)0, , 即apbcpd, , 一bd 于得p,從而價(jià)格函數(shù)p(t)可寫為 ac P(t)(PoP)e(ac)tp, 令t,取極限得 tlimp(t)p 這說明，市場價(jià)格逐步趨于均衡價(jià)格.又若初始價(jià)格p0p,則動態(tài)價(jià)格就維持在均衡價(jià)格 P P 上，整個(gè)動態(tài)過程就化為靜態(tài)過程； (2)(2)由于 dp(ac)t (ppo)(ac)e

11、, ,dt 所以，當(dāng)p0p時(shí)，dp0, ,p(t)單調(diào)下降向p靠攏；當(dāng)p06時(shí)，dp0, ,p(t)單調(diào)增 dtdt 加向p靠攏.這說明：初始價(jià)格高于均衡價(jià)格時(shí)，動態(tài)價(jià)格就要逐步降低，且逐步靠近均衡價(jià) 格；否則，動態(tài)價(jià)格就要逐步升高.因此，式在一定程度上反映了價(jià)格影響需求與供給，而需 求與供給反過來又影響價(jià)格的動態(tài)過程，并指出了動態(tài)價(jià)格逐步向均衡價(jià)格靠攏的變化趨 勢. 三、混合溶液的數(shù)學(xué)模型 例 4 4 設(shè)一容器內(nèi)原有 100L100L 鹽， 內(nèi)含有鹽 10kg,10kg,現(xiàn)以 3L/min3L/min 的速度注入質(zhì)量濃度為 0.01kg/L0.01kg/L 的淡鹽水，同時(shí)以 2L/min2L

12、/min 的速度抽出混合均勻的鹽水，求容器內(nèi)鹽量變化的數(shù)學(xué)模型. 解設(shè)t時(shí)刻容器內(nèi)的鹽量為x(t)kg,kg,考慮t到tdt時(shí)間內(nèi)容器中鹽的變化情況，在dt 時(shí)間內(nèi) 容器中鹽的改變量注入的鹽水中所含鹽量一抽出的鹽水中所含鹽量 容器內(nèi)鹽的改變量為dx, ,注入的鹽水中所含鹽量為0.013dt, ,t時(shí)刻容器內(nèi)溶液的質(zhì) 量濃度為必，假設(shè)t至ijtdt時(shí)間內(nèi)容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度不變(事實(shí)上，容器內(nèi) 100(32)t 的溶液質(zhì)量濃度時(shí)刻在變，由于dt時(shí)間很短，可以這1看).于是抽出的鹽水中所含鹽量為 2x dx0.03dtdt, , 100t x(0)10, 這是一階非齊次線性方程的初值問題，其解為

13、時(shí)，p(t)0.01，即長時(shí)間地進(jìn)行上述稀釋過程，容器內(nèi)鹽水的質(zhì)量濃度將趨 于注入溶液的質(zhì)量濃度 溶液混合問題的更一般的提法是：設(shè)有一容器裝有某種質(zhì)量濃度的溶液，以流量V1注入質(zhì)量濃度為C1的溶液(指同一種類溶液，只是質(zhì)量濃度不同)，假定溶液立即被攪勻，并以 V2的流量流出這種混合溶液，試建立容器中質(zhì)量濃度與時(shí)間的數(shù)學(xué)模型. . 首先設(shè)容器中溶質(zhì)的質(zhì)量為x(t), ,原來的初始質(zhì)量為x0, ,t=0=0 時(shí)溶液的體積為V2, ,在 d dt時(shí)間內(nèi)，容器內(nèi)溶質(zhì)的改變量等于流入溶質(zhì)的數(shù)量減去流出溶質(zhì)的數(shù)量，即 dxCMdtC2V2dt, , 其中C1是流入溶液的質(zhì)量濃度，C2為t時(shí)刻容器中溶液的質(zhì)

14、量濃 該模型不僅適用于液體的混合 四、振動模型 C1VlC2V2, dt1122 x(0)x0. 而且還適用于討論氣體的混合度，C2 V0(V1V2)t 于是，有混合溶液的數(shù)學(xué)模型 dt 又因?yàn)閠0時(shí)，容器內(nèi)有鹽 100t 10kg,kg,于是得該問題的數(shù)學(xué)模型為 dx2xdt100 0.03, x(t)0.01(100t) 9104 (100t)2 卜面對該問題進(jìn)行一下簡單的討論 ,由上式不難發(fā)現(xiàn)：t時(shí)刻容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度為 P(t) x(t) 100t 0.01 9104 (100t)3 且當(dāng)t 振動是生活與工程中的常見現(xiàn)象.研究振動規(guī)律有著極其重要的意義.在自然界中，許多 振動現(xiàn)象都可

15、以抽象為下述振動問題. . 例 5 5 設(shè)有一個(gè)彈簧，它的上端固定，下端掛一個(gè)質(zhì)量為m的物體，試研究其振動規(guī)律. . 解假設(shè)（1 1）物體的平衡位置位于坐標(biāo)原點(diǎn)，并取 x x 軸的正向鉛直向下（見圖 4 4）. .物體的平衡位置指物體處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)的位置.此時(shí)，作用在物體上的重力與彈性力大小相等，方向相反；（2 2）在一定的初始位移 x x0及初始速度 V V0下，物體離開平衡位置，并在平衡位置附 物體在t時(shí)刻的位置坐標(biāo)為xx（t）,即t時(shí)刻物體偏離平衡 這就是該物體的強(qiáng)迫振動方程 或?qū)⑵鋵憺?近作沒有搖擺的上下振動；（3 3） 位置的位移；（4 4）在振動過程中 是與速度方向相反，因此阻力為

16、 的彈簧恢復(fù)力是與位移成正比的 ，受阻力作用.阻力的大小與物體速度成正比，阻力的方向總 dx h一,h為阻尼系數(shù)；（5）當(dāng)質(zhì)點(diǎn)有位移x（t）時(shí)，假設(shè)所受dt ,而恢復(fù)力的方向總是指向平衡位置，也就是總與偏離平衡 位置的位移方向相反，因此所受彈簧恢復(fù)力為kx,其中k為勁度系數(shù); （6 6）在振動過程中 受外力f（t）的作用.在上述假設(shè)下，根據(jù)牛頓第二定律得 d2x m-亍 dt2 h空dt kxf(x), 由于方程中，f（t）的具體形式?jīng)]有給出 ,所以，不能對式 直接求解.下面我們分四種情形對其進(jìn)行討論 1.1.無阻尼自由振動 在這種，f f# #況下，假定物體在振動過程中作用.此時(shí)方程變?yōu)?，

17、既無阻力、又不受外力 lx 2,方程變?yōu)?特征方程為 特征根為 1,2 通解為 d2xm2 dt2 d2xdt2 C1sint kx C2cos 2sint 2 1c2尸cost CIC2 x(C1C2t)e 這兩種情形，由于阻尼比較大，都不發(fā)生振動.當(dāng)有一初始擾動以后，質(zhì)點(diǎn)慢慢回到平衡位置，位移隨時(shí)間t的變化規(guī)律分別如圖 5 5 和圖 6 6 所示. 圖5圖6 (3)(3)小阻尼情形，.特征根為共軻復(fù)根，通解為Acossint sin cost Asin(t) 其中AC2C2，sin C2 C2C； ，cos C1 C12C2 這就是說，無阻尼自由振動的振幅 A v-Ci2C；,頻率 k I

18、 I均為常數(shù). m 2.2.有阻尼自由振動 在該種，f f# #況下，考慮物體所受到的阻力 ，不考慮物體所受的外力.此時(shí)，方程變?yōu)?特征方程為 為如下三種情形： (1)(1)大阻尼情形， d2x m-5 dt2 ,dx h- dt kx 0, , ，方程變?yōu)?d2xdt2 dxdt 2x0, , 1,2 .特征根為二不等實(shí)根 ,通解為 (2)(2)臨界阻尼情形， 2.根據(jù)與的關(guān)系，又分 xC1e( 22)tC；e( .特征根為重根，通解為 22)t xet(C1sin.22tC2sin,22t) 將其簡化為 xAetsin(.22t) 其中 A1cl2C22,sin,C2,cosC1，振幅Ae,隨時(shí)間t的增加而 2222 .;CiC2；CiC2 減小.因此，這是一種衰減振動. .位移隨時(shí)間t的變化規(guī)律見圖 7.7. 3