平面向量基本定理

1、平面向量基本定理教案教材內(nèi)容：人教版必修四第二章第三節(jié)第一課時(shí)教材分析：本節(jié)課的主要內(nèi)容實(shí)質(zhì)是向量在平面內(nèi)的用基底線性表示。本節(jié)課的內(nèi)容是學(xué)生在學(xué)習(xí)了向量的相關(guān)概念及向量的線性運(yùn)算的基礎(chǔ)上對(duì)向量在平面內(nèi)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，為向量的坐標(biāo)表示提供理論依據(jù)。在知識(shí)系統(tǒng)中起到了承上啟下重要作用。學(xué)情分析：從知識(shí)水平來(lái)看學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的相關(guān)概念以及線性運(yùn)算，在物理學(xué)中學(xué)習(xí)了有實(shí)際意義的向量的合成與分解，有了一個(gè)良好的知識(shí)基礎(chǔ)。學(xué)生在這個(gè)基礎(chǔ)之上可以很快的進(jìn)入數(shù)學(xué)情境。但學(xué)生在用基底線性表示任意向量上有一定的思維難度，需要教師從特殊到一般層層遞進(jìn)的引導(dǎo)。從思維、心理水平發(fā)展水平來(lái)看

2、，此階段學(xué)生已經(jīng)具備一定的邏輯思維、探究歸納、類比推理能力。在知識(shí)學(xué)習(xí)的過程中有了一定的主動(dòng)性。教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：了解平面向量的基本定理；掌握平面內(nèi)任意一個(gè)向量都可以用不共線的兩個(gè)向量表示方法，并能夠在具體問題中選用適當(dāng)?shù)幕住＿^程與方法：在適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力；通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)定理在具體問題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力；在教學(xué)過程中多采用探究合作的教學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生合作探究自主學(xué)習(xí)能力。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過本節(jié)課的內(nèi)容，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待內(nèi)容；讓學(xué)生體驗(yàn)到知識(shí)系統(tǒng)的整體性與應(yīng)用性；在教學(xué)過程中充分讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的無(wú)

3、窮魅力。教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的基本定理教學(xué)難點(diǎn)：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用教學(xué)過程：一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知我們知道矢量是有實(shí)際意義的向量，那么我們來(lái)看這樣的一道題。引例：小明和哥哥共提一桶5kg的水，小明與哥哥的手臂與水平面的夾角都為45°，那么小明和哥哥分別用了多大的力？分析：如果要提起5kg的水，即有一個(gè)大小50N方向向上的力與之平衡即可。那么這50N的力來(lái)自于哥哥與弟弟的分力。根據(jù)平行四邊形法則求解合力在定方向上的分力?！驹O(shè)計(jì)意圖】：通過創(chuàng)設(shè)簡(jiǎn)單的物理學(xué)里的合成與分解情境，在未形成概念之前讓學(xué)生初步感受基底。在練習(xí)思考中探究向量加法的逆運(yùn)算，引發(fā)學(xué)生思考如何把任意的向量用其他兩

4、個(gè)分量線性表示呢？激發(fā)學(xué)生探求新知的欲望。2、 啟發(fā)合作，探究交流問題1：已知平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量，你能作出嗎?預(yù)設(shè)：學(xué)生在向量的線性運(yùn)算知識(shí)基礎(chǔ)上，運(yùn)用平行四邊形法則，得出答案。【設(shè)計(jì)意圖】：從學(xué)生已有的知識(shí)著手，向新知過渡。讓學(xué)生作出向量的圖形，直觀的感受向量與基底之間的關(guān)系。問題2：那么已知任意非零，那么可以表示成的形式嗎？ 提示：若向量不共起點(diǎn)，我們先將其平移至同一起點(diǎn)。預(yù)設(shè)：?jiǎn)栴}1中的是由線性運(yùn)算得到的。如果是任意的，那么很據(jù)平行四邊行法則，將視為平行四邊形的對(duì)角線，必定能找到一組鄰邊。那么對(duì)于任意的也能得到這個(gè)結(jié)論?！驹O(shè)計(jì)意圖】：學(xué)生在問題1的基礎(chǔ)上很容易就能知道可以由其他兩個(gè)向量

5、經(jīng)過向量的線性運(yùn)算得到。進(jìn)而理解任意的非零向量都可以得到這個(gè)結(jié)論。由正向運(yùn)算向逆向運(yùn)算過渡，由特殊個(gè)例向一般任意過渡。問題3：平面內(nèi)的任意向量都可以由這個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)向量表示出來(lái)嗎？預(yù)設(shè)：有同學(xué)未加詳細(xì)思考，沒有注意到細(xì)節(jié)問題，答案是肯定的，但是肯定有同學(xué)在問題1，作圖的過程中已經(jīng)考慮到任意向量共線的情況，或者出現(xiàn)有同學(xué)在圖形中觀察到了共線的情況下這個(gè)命題是不成立的。最后得出任意的向量都可以用平面內(nèi)的其他兩個(gè)不共線向量線性表示【設(shè)計(jì)意圖】：此處學(xué)生的思維出現(xiàn)了分歧，不同基礎(chǔ)的學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的角度是不一樣的。通過不同思維的碰撞能夠使學(xué)生發(fā)現(xiàn)、彌補(bǔ)自己的不足。在與同學(xué)交流、探索中的過程中獲得新知，建

6、立學(xué)習(xí)過程中的自信心，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感。在此提供給學(xué)生試誤的機(jī)會(huì)，更助于學(xué)生對(duì)概念的理解，突破重點(diǎn)。問題4：已知任意的向量都可以用平面內(nèi)的其他兩個(gè)不共線向量線性表示，那么這種表示是唯一的嗎？如果確定了，那么是唯一確定的嗎？預(yù)設(shè)：根據(jù)前3個(gè)問題的探討，已經(jīng)能夠知道這種表示是不唯一的。那么反過來(lái)當(dāng)確定了，會(huì)發(fā)現(xiàn)線性表示的系數(shù)是唯一的?！驹O(shè)計(jì)意圖】：進(jìn)一步的廓清概念的外延。讓學(xué)生在探究中辨析定理，理解定理?？偨Y(jié)：平面內(nèi)任意向量都可以由這個(gè)平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量表示出來(lái)。這兩個(gè)向量確定之后，任何一個(gè)向量都可以用這個(gè)向量來(lái)量化。三、知識(shí)建構(gòu)，形成概念1、平面向量的基本定理： 如果是同一平面內(nèi)的兩

7、個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使。（ 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）定理解讀：1.不共線。2.確定之后，是唯一確定的。3.任意向量都可以有無(wú)窮多對(duì)基底線性表示。2、關(guān)于向量夾角的規(guī)定：范圍：【設(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生通過合作探究的方式自主完成對(duì)新知的構(gòu)建。在學(xué)生自主合作探究之后給出嚴(yán)格的定理。有助于學(xué)生對(duì)定理的理解。并且對(duì)定理的關(guān)鍵內(nèi)容進(jìn)行解讀，突破難點(diǎn)。四、牛刀小試，夯實(shí)基礎(chǔ)例1：已知，求作向量？還有其他的做法嗎？例2：引例中小明與哥哥提水，哥哥有什么方法可以讓弟弟更省力？【設(shè)計(jì)意圖】：兩道例題由易到難，層層遞進(jìn)。例題1 即為概念的基礎(chǔ)運(yùn)用，例題2融入引例情

8、境。讓同學(xué)們深入探究將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用具體問題。符合當(dāng)代數(shù)學(xué)“人人學(xué)習(xí)有用的數(shù)學(xué)”理念。在例題2中可以讓同學(xué)進(jìn)行開放式的討論。讓學(xué)生能在學(xué)習(xí)新知過后，解決問題，建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心。五、教學(xué)評(píng)價(jià)1、 過程性評(píng)價(jià)：在新知構(gòu)建過程中，我將采用問題探究的形式展開課堂，課堂結(jié)構(gòu)層層深入。在問題探究環(huán)節(jié)，教師作為課堂活動(dòng)引導(dǎo)者、組織者和合作者，我將重視學(xué)生思維的轉(zhuǎn)變，在問題拋出之后針對(duì)學(xué)生的回答及討論情況，對(duì)存疑問題進(jìn)行討論，在學(xué)生合作探討的過程中對(duì)部分學(xué)生進(jìn)行個(gè)別點(diǎn)撥。2、 終結(jié)性評(píng)價(jià)：隨堂小測(cè)：書上簡(jiǎn)單例題13道大致把握本節(jié)課學(xué)生對(duì)內(nèi)容的掌握情況，以便后續(xù)學(xué)習(xí)活動(dòng)的開展。同時(shí)讓學(xué)生檢驗(yàn)學(xué)習(xí)的成果。六、隨堂歸納，課堂小結(jié)提出問題：本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)，他們之間的內(nèi)在聯(lián)系？ 在探究學(xué)習(xí)過程中你體會(huì)最深刻的是什么？ 這個(gè)知識(shí)可以應(yīng)用到那些方面？ 對(duì)于本節(jié)課的內(nèi)容你有什么疑惑的地方？有什么感想（收獲）？【設(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生自主對(duì)本節(jié)課的知識(shí)進(jìn)行梳理，針對(duì)學(xué)生沒有注意到的點(diǎn)及時(shí)的反饋，發(fā)現(xiàn)問題，及時(shí)解決問題。達(dá)到生生合作，師生合作的的良性溝通。七、課后作業(yè)，課堂延展1、 必做題：書：2、 選做題：在正方體中將體對(duì)角