化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法

1、 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法二、 二次型及其矩陣表示 在解析幾何中，我們看到，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)與中心重合時(shí)，一個(gè)有心二次曲線的一般方程是 . （1）為了便于研究這個(gè)二次曲線的幾何性質(zhì)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)慕嵌?，作轉(zhuǎn)軸（反時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)軸） （2）把方程（1）化成標(biāo)準(zhǔn)方程。在二次曲面的研究中也有類(lèi)似的情況。 （1）的左端是一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式。從代數(shù)的觀點(diǎn)看，所謂化標(biāo)準(zhǔn)方程就是用變量的線性替換（2）化簡(jiǎn)一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式，使它只含平方項(xiàng)。二次齊次多項(xiàng)式不但在幾何中出現(xiàn)，而且數(shù)學(xué)的其他分支以及物理、力學(xué)中也常會(huì)碰到?，F(xiàn)在就來(lái)介紹它的一些最基本的性質(zhì)。 設(shè)P是一數(shù)域，一個(gè)系數(shù)在數(shù)域P上的的二次齊次多項(xiàng)式稱(chēng)為數(shù)域P上的

2、一個(gè)n元二次型，或者在不致引起混淆時(shí)簡(jiǎn)稱(chēng)二次型。 設(shè)；是兩組文字，系數(shù)在數(shù)域P中的一組關(guān)系式 （4）稱(chēng)為由到的一個(gè)線性替換，。如果，那么線性替換（4）就稱(chēng)為非退化的。 在討論二次型時(shí)，矩陣是一個(gè)有力的工具，因此把二次型與線性替換用矩陣來(lái)表示。另，i1），不是一般性，設(shè)。令它是非退化線性替換，且使= =這時(shí)上式右端是的二次型，且的系數(shù)不為0，屬于第一種情況，定理成立。3）由于對(duì)稱(chēng)性，有這時(shí)是n-1元二次型。根據(jù)歸納假設(shè)，它能用非退化線性替換變成平方和。 這樣就完成了定理得證明。說(shuō)明：雖然配方法是基礎(chǔ)方法，但在應(yīng)用化簡(jiǎn)二次型時(shí)比較麻煩。配方法需要通過(guò)觀察來(lái)配方，對(duì)初學(xué)者來(lái)講，具有一定的盲目性。四、

3、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形方法之二：合同變換法（初等變換法）由上述配方法即得：定理 在數(shù)域P上，任意一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣都合同于以對(duì)角矩陣。即對(duì)于任意一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣A，都可以找到一個(gè)可逆矩陣C使成對(duì)角形。即任意對(duì)稱(chēng)矩陣都可用同樣類(lèi)型的初等行變換和初等列變換化成與之合同的對(duì)角矩陣。典型例題：用合同變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫(xiě)出非退化的線性替換。解：的矩陣為A= 以下為合同變換過(guò)程： 因此D=，C=令X=CY，得=五、 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形方法之三：正交變換法（實(shí)二次型）利用歐式空間的理論，我們得到這樣的結(jié)論：對(duì)于任意一個(gè)n級(jí)是對(duì)稱(chēng)矩陣A，都存在一個(gè)n級(jí)是正交矩陣T，使 成對(duì)角形。定理 任意一個(gè)實(shí)二次型 （=）都可經(jīng)過(guò)正

4、交的線性替換變成平方和=其中平方項(xiàng)系數(shù)就使矩陣A的特征多形式全部的根。 因此只要求出特征根，二次型標(biāo)準(zhǔn)形也就求出來(lái)了。正交變換更具實(shí)用性。如：典型例題：作直角變換，把下述二次曲面方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，并指出它是什么二次曲面？解：此方程左端的二項(xiàng)式部分為： =下把它正交替換成標(biāo)準(zhǔn)型：它的矩陣A=（）（）（）,A的全部特征值是2，5，-1.對(duì)于特征值2，求出（2E-A）X=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系：,把單位化，得;對(duì)于特征值5，求出（5E-A）X=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系：,把單位化，得;對(duì)于特征值-1，求出（-E-A）X=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系：,把單位化，得令T=，則T是正交矩陣，且令，則=所以原二次型在新的直角坐標(biāo)系

5、中的方程為：=1由此看出，這是單葉雙曲面。六、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形方法之四：雅可比方法（一）相關(guān)定義1、 雙線性函數(shù)定義V是數(shù)域P上一個(gè)線性空間，f(,)是V上一個(gè)二元函數(shù)，即對(duì)V中任意兩個(gè)向量、，根據(jù)f都唯一地對(duì)應(yīng)于P中一個(gè)數(shù)f(,)。如果f(,)有下列性質(zhì)：1） f(,+)=2） 其中是V中任意向量，是P中任意數(shù)，則稱(chēng)f(,)為V上的一個(gè)雙線性函數(shù)。 例如：歐式空間V的內(nèi)積是V上雙線性函數(shù)。2、 對(duì)成雙線性函數(shù)的定義 f(,) 線性空間V上的一個(gè)雙線性函數(shù)，如果對(duì)V中任意兩個(gè)向量,都有f（，）=f(,),則稱(chēng)f(,)為對(duì)稱(chēng)雙線性函數(shù)。3、 度量矩陣定義 設(shè)f(,)是數(shù)域P上n維線性空間V上的一

6、個(gè)雙線性函數(shù)。是V的一組基，則矩陣叫做f(,)在下的度量矩陣。 結(jié)論：雙線性函數(shù)是對(duì)稱(chēng)的，當(dāng)且僅當(dāng)它在任一組基下的度量矩陣是對(duì)稱(chēng)矩陣。（二）化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的雅可比方法 設(shè)V是數(shù)域P上一個(gè)n維線性空間，取定V的一組基，令=,=，x=,y=,那么給定一個(gè)F上的n元二次型（其中A是n階對(duì)稱(chēng)矩陣），則由A可以定義一個(gè)V上對(duì)稱(chēng)雙線性函數(shù)f(,)= ，其中。反之亦然。在固定的基下，二次型和對(duì)稱(chēng)雙線性函數(shù)f(,)=是互相唯一確定的（都是由A確定的）。 這種方法的中心問(wèn)題是：對(duì)在V的基下游二次型確定的對(duì)稱(chēng)雙線性函數(shù)f(,)=，滿足條件=0，對(duì)ij(i,j=1,2,n) 我們知道，設(shè)是V的另一組基，而B(niǎo)=是f

7、(,)關(guān)于這個(gè)基的矩陣，又設(shè)C=是由基到基的過(guò)渡矩陣，即=，i=1,n那么 B=， (1)即一個(gè)雙線性函數(shù)關(guān)于V的兩個(gè)基的兩個(gè)矩陣式合同的。 由于任一對(duì)稱(chēng)矩陣必能合同于對(duì)角矩陣。設(shè)可逆矩陣C使成對(duì)角陣，B=, (2)再設(shè)C是基到基的過(guò)渡矩陣，由（1）式知，f(,)關(guān)于基的矩陣是對(duì)角矩陣（2）式，即=0，對(duì)ij(i,j=1,2,n)這表明，對(duì)于每一個(gè)對(duì)稱(chēng)雙線性函數(shù)f(,)，都存在一個(gè)適當(dāng)?shù)幕?，使它可以?xiě)成如下形式f(,)=,其中，從而它所確定的二次型可以寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形=且二次型化為所作的非退化線性替換為x=Cz，其中C是由基到基的過(guò)渡矩陣，它使=B。于是，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的問(wèn)題就可以歸結(jié)為上述關(guān)于對(duì)

8、稱(chēng)雙線性函數(shù)的“中心問(wèn)題”，為此，需要尋找滿足條件（2）得V的一個(gè)基。 在中，從一個(gè)基出發(fā)，利用施密特正交化方法，可以構(gòu)造一個(gè)與之等價(jià)的正交基。該方法的實(shí)質(zhì)就是設(shè)然后用待定系數(shù)法求使得=0（其中 ij，i,j=1,2,n）的系數(shù)。為此我們先解決下問(wèn)題：1）設(shè)V是數(shù)域P上一個(gè)n維線性空間，f(,)=使V上對(duì)稱(chēng)雙線性函數(shù)，其中是V的一組基，=,=，x=,y=,A是n階對(duì)稱(chēng)矩陣，那么從基出發(fā)，是否能構(gòu)造如下形式的基：使得 =0，對(duì)ij(i,j=1,2,n) 解：將代入得=，所以，若對(duì)任意的i及ji有=0，則對(duì)ji，有=0，即是所求的基。于是，問(wèn)題歸結(jié)為求待定系數(shù)使向量 （3）滿足條件 =0，j=1,

9、2,i-1 （4）顯然，若滿足=0，則的數(shù)量倍也滿足=0，故為了確定，我們?cè)僖鬂M足條件=1。 （5） 這樣，可以利用條件（4）（5）唯一確定了，將（3）式代入（4)和（5），得到關(guān)于的線性方程組 （6）這方程組的系數(shù)行列式為。因此，當(dāng)0時(shí)，方程組（6）由唯一解，從而可求得向量。于是，當(dāng)A=的順序主子式=，=，=都不等于0時(shí)，可以由方程組（6）求出向量，i=1，2，n2）由1）可知，在0，i=1，2，n的情形下，由方程組（6）可求出上三角矩陣C=,從而由（3）式求得，i=1，2，n，它們滿足=0，對(duì)ij，i,j=1,2,n使得雙線性函數(shù)f(,)關(guān)于基的矩陣為B=,是對(duì)角矩陣，由此可見(jiàn)，二次型可

10、經(jīng)非退化線性替換x=Cz，化成標(biāo)準(zhǔn)形=其中x=,z=.下面計(jì)算=i=1，2，n，由（3）（4）（5）可得 =再由克拉默法則，由方程組（6）可解得=（其中令=1）。因此，=，i=1，2，n綜上所述，我們可得以下結(jié)論：設(shè)二次型（其中=）中，順序主子式，, 都不等于零，則該二次型必可化為下面的標(biāo)準(zhǔn)形：其中=1。這個(gè)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法稱(chēng)為雅可比方法。典型例題：用雅可比方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫(xiě)出非退化的線性替換。=解：由于矩陣A=,它的順序主子式=2，=，=都不等于零，故可用雅可比方法。 設(shè)，雙線性函數(shù)f(,)關(guān)于基，的矩陣為A,則A=設(shè)系數(shù)可由條件=1求出，即=2=1故=，故有=系數(shù)可由方程組求出，得，故=系數(shù)可由方程組求出，得，故由此可得，由基，到的過(guò)渡矩陣為C=因此經(jīng)線性替換X=CZ化成標(biāo)準(zhǔn)型=（三）雅可比方法在判定二次型的正定性問(wèn)題上的應(yīng)用1）實(shí)二次型=是正定的充要條件是：矩