函數(shù)定義域的類型和求法

1、函數(shù)定義域的類型和求法本文介紹函數(shù)定義域的類型和求法，目的在于使學(xué)生全面認識定義域，深刻理解定義域，正確求函數(shù)的定義域?，F(xiàn)舉例說明。一、常規(guī)型即給出函數(shù)的解析式的定義域求法，其解法是由解析式有意義列出關(guān)于自變量的不等式或不等式組，解此不等式（或組）即得原函數(shù)的定義域。例1 求函數(shù)的定義域。解：要使函數(shù)有意義，則必須滿足由解得 或。 由解得 或 和求交集得且或x5。故所求函數(shù)的定義域為。例2 求函數(shù)的定義域。解：要使函數(shù)有意義，則必須滿足由解得 由解得 由和求公共部分，得故函數(shù)的定義域為評注：和怎樣求公共部分？你會嗎？二、抽象函數(shù)型抽象函數(shù)是指沒有給出解析式的函數(shù)，不能常規(guī)方法求解，一般表示為已

2、知一個抽象函數(shù)的定義域求另一個抽象函數(shù)的解析式，一般有兩種情況。（1）已知的定義域，求的定義域。其解法是：已知的定義域是a，b求的定義域是解，即為所求的定義域。例3 已知的定義域為2，2，求的定義域。解：令，得，即，因此，從而，故函數(shù)的定義域是。（2）已知的定義域，求f(x)的定義域。其解法是：已知的定義域是a，b，求f(x)定義域的方法是：由，求g(x)的值域，即所求f(x)的定義域。例4 已知的定義域為1，2，求f(x)的定義域。解：因為。即函數(shù)f(x)的定義域是。三、逆向型即已知所給函數(shù)的定義域求解析式中參數(shù)的取值范圍。特別是對于已知定義域為R，求參數(shù)的范圍問題通常是轉(zhuǎn)化為恒成立問題來解

3、決。例5 已知函數(shù)的定義域為R求實數(shù)m的取值范圍。分析：函數(shù)的定義域為R，表明，使一切xR都成立，由項的系數(shù)是m，所以應(yīng)分m=0或進行討論。解：當(dāng)m=0時，函數(shù)的定義域為R；當(dāng)時，是二次不等式，其對一切實數(shù)x都成立的充要條件是綜上可知。評注：不少學(xué)生容易忽略m=0的情況，希望通過此例解決問題。例6 已知函數(shù)的定義域是R，求實數(shù)k的取值范圍。解：要使函數(shù)有意義，則必須0恒成立，因為的定義域為R，即無實數(shù)當(dāng)k0時，恒成立，解得；當(dāng)k=0時，方程左邊=30恒成立。綜上k的取值范圍是。四、實際問題型這里函數(shù)的定義域除滿足解析式外，還要注意問題的實際意義對自變量的限制，這點要加倍注意，并形成意識。例7

4、將長為a的鐵絲折成矩形，求矩形面積y關(guān)于一邊長x的函數(shù)的解析式，并求函數(shù)的定義域。解：設(shè)矩形一邊為x，則另一邊長為于是可得矩形面積。由問題的實際意義，知函數(shù)的定義域應(yīng)滿足。故所求函數(shù)的解析式為，定義域為（0，）。例8 用長為L的鐵絲彎成下部為矩形上部為半圓的框架，如圖，若矩形底邊長為2x，求此框架圍成的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求定義域。解：由題意知，此框架圍成的面積是由一個矩形和一個半圓組成的圖形的面積，如圖。因為CD=AB=2x，所以，所以，故根據(jù)實際問題的意義知故函數(shù)的解析式為，定義域（0，）。五、參數(shù)型對于含參數(shù)的函數(shù)，求定義域時，必須對分母分類討論。例9 已知的定義域為0，1，求函數(shù)的定義域。解：因為的定義域為0，1，即。故函數(shù)的定義域為下列不等式組的解集：，即即兩個區(qū)間a，1a與a，1+a的交集，比較兩個區(qū)間左、右端點，知（1）當(dāng)時，F(xiàn)（x）的定義域為；（2）當(dāng)時，F(xiàn)（x）的定義域為；（3）當(dāng)或時，上述兩區(qū)間的交集為空集，此時F（x）不能構(gòu)成函數(shù)。六、隱含型有些問題從表面上看并不求定義域，但是不注意定義域，往往導(dǎo)致錯解，事實上定義域隱含在問題中，例如函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集。因此，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求定義域。例10 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解：由，即，解得。即函數(shù)y的定義域為（1，3）。函數(shù)是由函數(shù)復(fù)合