高中數(shù)學(人教版)高階微分方程習題課課件教學提綱

1、高中數(shù)學高中數(shù)學(人教版人教版)高階微分方程高階微分方程習題課課件習題課課件高階微分方程習題課高階微分方程習題課一、內(nèi)容小結(jié)二、題型練習一、內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容小結(jié)(一) 可降階的高階微分方程(二) 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(三) 常系數(shù)線性齊次方程(四) 常系數(shù)線性非齊次方程一、內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容小結(jié)(一) 可降階的高階微分方程(二) 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(三) 常系數(shù)線性齊次方程(四) 常系數(shù)線性非齊次方程)()(xfyn 型型只含只含x的項的項逐次積分逐次積分),(yxfy 型型 缺少缺少y的項的項設設)(xpy 則則)(xpy 類型類型特點特點解法解法降階方程降階方程 Cxxfynd)()1()

2、,(ddpxfxp ),(yyfy 型型 缺少缺少x的項的項設設)(xypy 則則yppydd ),(ddpyfypp 基本思路基本思路通過變量代換化為低階微分方程通過變量代換化為低階微分方程l注注對于初值問題對于初值問題,應邊降階邊確定常數(shù)應邊降階邊確定常數(shù).一、內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容小結(jié)(一) 可降階的高階微分方程(二) 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(三) 常系數(shù)線性齊次方程(四) 常系數(shù)線性非齊次方程一、內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容小結(jié)(一) 可降階的高階微分方程(二) 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(三) 常系數(shù)線性齊次方程(四) 常系數(shù)線性非齊次方程記記yxayxayxayyLnnnn)()()()(1) 1(1)(

3、1.nyyy,21是線性齊次方程是線性齊次方程0)( yL的的n個線性無關(guān)個線性無關(guān)的特解的特解nnyCyCyC 2211是齊次方程的通解是齊次方程的通解.2. y是線性非齊次方程是線性非齊次方程)()(xfyL 的一個特解的一個特解,Y是對應齊次方程是對應齊次方程0)( yL的通解的通解,Yy 是線性非齊次方程是線性非齊次方程)()(xfyL 的通解的通解.3.1y是方程是方程)()(1xfyL 的特解的特解,2y是方程是方程)()(2xfyL 的特解的特解,21yyy 是方程是方程)()()(21xfxfyL 的解的解.4.21, yy是方程是方程)()(xfyL 的兩個解的兩個解,21y

4、y 是對應齊次方程是對應齊次方程0)( yL的解的解.一、內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容小結(jié)(一) 可降階的高階微分方程(二) 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(三) 常系數(shù)線性齊次方程(四) 常系數(shù)線性非齊次方程一、內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容小結(jié)(一) 可降階的高階微分方程(二) 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(三) 常系數(shù)線性齊次方程(四) 常系數(shù)線性非齊次方程二階常系數(shù)線性齊次方程二階常系數(shù)線性齊次方程l方程形式方程形式0 qyypyl求解方法求解方法寫出特征方程寫出特征方程02 qprr解出特征根解出特征根寫出對應通解寫出對應通解l通解公式通解公式特征根特征根通解形式通解形式21,rr二相異實根二相異實根xrxreCeCY2121

5、 r重根重根rxexCCY)(21 i 二共軛復根二共軛復根12(cossin)xYeCxCx n階常系數(shù)線性齊次方程階常系數(shù)線性齊次方程l方程形式方程形式0)2(2)1(1)( ypypypynnnnl特征方程特征方程02211 nnnnprprpr若若r為特征方程的為特征方程的k重實根重實根,則通解中含有則通解中含有rxkkexCxCC)(121 若若為特征方程的為特征方程的k重復根重復根,則通解中含有則通解中含有 i 111212()cos()sinxkkkkeCC xC xxDD xD xx 一、內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容小結(jié)(一) 可降階的高階微分方程(二) 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(三) 常系數(shù)

6、線性齊次方程(四) 常系數(shù)線性非齊次方程一、內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容小結(jié)(一) 可降階的高階微分方程(二) 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(三) 常系數(shù)線性齊次方程(四) 常系數(shù)線性非齊次方程二階常系數(shù)線性非齊次方程二階常系數(shù)線性非齊次方程l方程形式方程形式)(xfqyypy l求解步驟求解步驟求出對應齊次方程的通解求出對應齊次方程的通解;Y求出非齊次方程的一個特解求出非齊次方程的一個特解; y寫出非齊次方程的一個通解寫出非齊次方程的一個通解. yYyl特解求法特解求法待定系數(shù)法待定系數(shù)法l特解形式特解形式( )( )cos( )sinxlnf xeP xxP xx (1)(2)( )cos( )sinkxmm

7、yx eRxxRxx +i 不是特征方程的根不是特征方程的根k=0 +i 是特征方程的根是特征方程的根k=1(1)(2)( ),( )mmRxRx為為m次多項式次多項式max , ml n ( )( )xmf xePx ( )kxmyx Qx e 不是特征方程的根不是特征方程的根k=0 是特征方程的單根是特征方程的單根k=1 是特征方程的重根是特征方程的重根k=2(1)(2)高階微分方程習題課高階微分方程習題課一、內(nèi)容小結(jié)二、題型練習高階微分方程習題課高階微分方程習題課一、內(nèi)容小結(jié)二、題型練習二、題型練習二、題型練習（一）可降階的高階微分方程（二）高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）高階常系數(shù)線性方

8、程的解（四）高階常系數(shù)線性方程的構(gòu)造（五）應用題二、題型練習二、題型練習（一）可降階的高階微分方程（二）高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）高階常系數(shù)線性方程的解（四）高階常系數(shù)線性方程的構(gòu)造（五）應用題u例例1(1)求下列微分方程的通解或特解求下列微分方程的通解或特解yxyyx 2220122 yyy(2)1)0(, 1)0(,222 yyyyyy4)0(, 1)0(, 0)0(,1322 yyyyxxy(3)(4)二、題型練習二、題型練習（一）可降階的高階微分方程（二）高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）高階常系數(shù)線性方程的解（四）高階常系數(shù)線性方程的構(gòu)造（五）應用題二、題型練習二、題型練習（一）可降

9、階的高階微分方程（二）高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）高階常系數(shù)線性方程的解（四）高階常系數(shù)線性方程的構(gòu)造（五）應用題u例例2u例例3u例例4已知微分方程已知微分方程是否是是否是023 xxx的三個特解為的三個特解為,2321tttextexex 問問ttteCteCeC22112 微分方程的通解微分方程的通解( (其中是其中是C1 1, ,C2 2任意常數(shù)任意常數(shù)) )，為什么？，為什么？ 已知已知textexttcos5,cos21 022 xxx是微分方程是微分方程的兩個特解的兩個特解, ,問問teCteCxttcos5cos21 是否是方程的通解是否是方程的通解? ?則該方程的通解為則該

10、方程的通解為: :( (A) )設線性無關(guān)的函數(shù)設線性無關(guān)的函數(shù))(),(),(321xyxyxy均是二階線性均是二階線性)()()(xfyxqyxpy 32211yyCyC 3212211)(yCCyCyC 3212211)1 (yCCyCyC 3212211)1 (yCCyCyC ( (B) )( (C) )( (D) )非齊次方程非齊次方程的解的解, ,二、題型練習二、題型練習（一）可降階的高階微分方程（二）高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）高階常系數(shù)線性方程的解（四）高階常系數(shù)線性方程的構(gòu)造（五）應用題二、題型練習二、題型練習（一）可降階的高階微分方程（二）高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）高

11、階常系數(shù)線性方程的解（四）高階常系數(shù)線性方程的構(gòu)造（五）應用題u例例5 寫出下列方程的通解形式寫出下列方程的通解形式( (不必求解不必求解) )(1)(1)1653 xxeyyy(2)(2)xxxyyycossin65 (3)(3)2sin3(cos102xxeyyyx (4)(4)xxxxyyycossin10672 u例例6 設設)(xf為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù), ,且滿足方程且滿足方程 xxttftxexf02d)()()(求求).(xf二、題型練習二、題型練習（一）可降階的高階微分方程（二）高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）高階常系數(shù)線性方程的解（四）高階常系數(shù)線性方程的構(gòu)造（五）應用題二、題

12、型練習二、題型練習（一）可降階的高階微分方程（二）高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）高階常系數(shù)線性方程的解（四）高階常系數(shù)線性方程的構(gòu)造（五）應用題u例例7u例例8u例例9設微分方程設微分方程xcebyyay ,)1 (2xxexey cba,的值及通解的值及通解. .的一個特解為的一個特解為求求求具有特解求具有特解xxxeyxeyey3,2,321 的三階的三階常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程. .設設xxxxxxxeexeyexeyexey 23221,是某二階是某二階求此方程求此方程. .常系數(shù)非齊次線性微分方程的三個解常系數(shù)非齊次線性微分方程的三個解, ,二、題型練習二、題型練

13、習（一）可降階的高階微分方程（二）高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）高階常系數(shù)線性方程的解（四）高階常系數(shù)線性方程的構(gòu)造（五）應用題二、題型練習二、題型練習（一）可降階的高階微分方程（二）高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）高階常系數(shù)線性方程的解（四）高階常系數(shù)線性方程的構(gòu)造（五）應用題（五）應用題（五）應用題1幾何應用2物理應用（五）應用題（五）應用題1幾何應用2物理應用關(guān)鍵量關(guān)鍵量曲率：曲率： 3221yy u例例10 在上半平面內(nèi)求一條凹的曲線，其上任一點在上半平面內(nèi)求一條凹的曲線，其上任一點P(x,y)處處的曲率等于此曲線在該點的法線段的曲率等于此曲線在該點的法線段PQ的長度的倒數(shù)的長度的倒數(shù)（

14、Q是法線與是法線與x軸的交點）且曲線在點軸的交點）且曲線在點(1,1)處的切線與處的切線與x軸平行。軸平行。u例例11已知曲線已知曲線y=y(x)(x0)過原點，位于過原點，位于x軸上方，且曲線軸上方，且曲線上任一點上任一點M(x0,y0)處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與x軸，直線軸，直線x=x0所圍成的面積與該點橫坐標的和，求所圍成的面積與該點橫坐標的和，求此曲線方程。此曲線方程。u例例12 一曲線過原點，且曲線上任一點一曲線過原點，且曲線上任一點M(x,y)處的切線斜率處的切線斜率在數(shù)值上等于從原點到點在數(shù)值上等于從原點到點M的弧長，求該曲線方程。的弧長，求該曲線方程。（五）應用題（五）應用題1幾何應用2物理應用（五）應用題（五）應用題1幾何應用2物理應用u例例13 一鏈條掛在一釘子上，啟動時一端離開釘子一鏈條掛在一釘子上，啟動時一端離開釘子8米，另米，另一端離開釘子一端離開釘子12米，若不計釘子對鏈條產(chǎn)生的摩擦力米，若不計釘子對鏈條產(chǎn)生的摩擦力,求鏈條滑下來需要的時間求鏈條滑下來需要的時間u例例14設有一彈簧，其上端固定，已知當彈簧上掛設有一彈簧，其上端固定，已知當彈簧上掛1克重的克重的物體時，彈簧伸長物體時，彈簧伸長5厘米，現(xiàn)在彈簧上掛一