2011非線性振動(dòng)試題解答

1、課程名稱：非線性振動(dòng)與控制 課程類別公共課R專業(yè)課考核形式 R開卷閉卷學(xué)生類別考試日期 2011. 12. 21學(xué)生所在院系學(xué)號(hào) 姓名任課教師題1：（20分）Figure 1 Particle on a rotating parabolaxzWOmgConsider the motion of a particle of masssliding freely on a wire described by parabola which rotates about the z-axis as shown in Figure 1. We assume that the wire is weightl

2、ess and that its angular velocityis changing with the position of the mass along the wire. There is no outside influence acting on the wire.(a) Show that the equations of motion are and(b) Show that whereis a constant of integration (essentially this is a statement of conservation of angular momentu

3、m) and that the governing equation forcan be written in the form (c) Discuss the motion of the mass along parabola. Show that the motion is always bounded in this system. (d) Forand, plot the trajectories in the phase plane. 【注：這里為重力加速度，這一值的單位為。】題2：（20分）Determine the singular points and their types

4、for the system Sketch the trajectories and the separatrices in the state plane. 題3：（20分）Consider the motion of a system governed by where . (a) Show that where (Note that must be positive for a realistic system.)(b) Determine the stationary motions and their stability as a function of the magnitudes

5、 and the signs of and . 題4：（20分）Consider the system governed by (a) When is near unity, show that for small but finite amplitudes of the response where Here is a measure of the amplitude of the response. Obtain the frequency-response equation. Show that . How does this value of compare with that the

6、 case of linear viscous damping? Plot versus and .Is there a jump phenomenon?(b) When is near one third (superharmonic response), show that where Obtain the frequency-response equation. Plot versus and .Is there a jump phenomenon?(c) When is near 3 (subharmonic response), show that where Obtain the

7、frequency-response equation. Plot versus and .Is there a jump phenomenon?題5：（20分）Consider the system shown in Figure 5 when the tension . (a) Show that the governing equation is (b) Linearize the governing equation to obtain (c) Determine second-order expansions for the transition curves separating

8、stability from instability when (d) If , determine the influence of the nonlinear terms to first order when . Figure 5 Particle attached to stretched stringllmxTTTT注意：所有的題目并沒有給出完整的解答，以此作為提供一個(gè)解題思路，希望自己推導(dǎo)一遍（使用自己習(xí)慣的一套符號(hào)），修改和完善其中的不妥之處，然后補(bǔ)全沒有給出解答的部分即可。切勿雷同！題一解：這題關(guān)鍵算Jacobi積分，可以參考Nayfeh的非線性振動(dòng)第二章，或用Mathemat

9、ica軟件計(jì)算。本題有的地方推導(dǎo)過于簡單，有些地方?jīng)]有必要，希望稍作修改。第三問的分析可能不太恰當(dāng)?。╝）系統(tǒng)動(dòng)能為系統(tǒng)的勢能為代入Lagrange方程這里取廣義坐標(biāo)為和，其中是金屬絲旋轉(zhuǎn)過的角度，有關(guān)系，由此得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程（b）積分式得到其中是積分常數(shù)。把式代入式并整理得到（c）下面來求出描述相平面上的運(yùn)動(dòng)方程。設(shè)從方程中消去，我們得到此式可以改寫為方程積分有式中是常數(shù)。方程表明，此系統(tǒng)的不是一個(gè)常數(shù)。積分稱為Jacobi積分。改寫可以得到并由此可以得出注意到，所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào)。式右邊分子必須半正定，即解得因此運(yùn)動(dòng)是有界的，它用圍繞原點(diǎn)的一些閉軌線來表示，而原點(diǎn)是一個(gè)中心。（d）編程

10、的方法課上老師已經(jīng)交給大家了，自己編寫一小段程序即可。下面的程序僅為示例，不是最終結(jié)果。勿用此程序畫的圖。% 題一：畫軌線圖 %畫一條曲線，先確定參數(shù)x范圍%clear all;clc;p=1.0;h=1000.0;H=12.0;dt=0.0001;x0=0.5;v0=0.5;II=6740;X(1:II)=0.0;V(1:II)=0.0;X(1)=x0;V(1)=v0;for i=2:II x1=x0+v0*dt; v1=v0-(2*g*p-H/(x14)*x1+4*p2*x1*v02)/(1+4*p2*x12)*dt; x0=x1; v0=v1; X(i)=x0; V(i)=v0;endf

11、igure;plot(X,V,'r');hold on;on;題二解：因?yàn)樗韵到y(tǒng)的奇點(diǎn)滿足由此解得奇點(diǎn)為（1）對(duì)原方程在奇點(diǎn)附近線性化，得系統(tǒng)矩陣的特征方程為特征值為由于和異號(hào)，所以奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)，它是一個(gè)不穩(wěn)定奇點(diǎn)。（2）對(duì)原方程在奇點(diǎn)附近線性化，（3）對(duì)原方程在奇點(diǎn)附近線性化，（4）對(duì)原方程在奇點(diǎn)附近線性化，（2）、（3）和（4）方法同（1），此處略。這里只提供一個(gè)例子，修改初值會(huì)得到不同的曲線，需畫3040條線可以反映出題目的要求。下面仍然是舉例說明，例子中只畫出了其中兩條相軌線。% 題二畫相軌跡圖 %clear all;x0=1.0001;y0=2.00;dt=0.001

12、;II=2350;X(1:II)=0;Y(1:II)=0;X(1)=x0;Y(1)=y0;for i=2:II; x1=x0+(x02+y02-5.0)*dt; y1=y0+(x0*y0-2.0)*dt; x0=x1; y0=y1; X(i)=x0; Y(i)=y0;endfigure;plot(X,Y,'r')hold on;%clear all;x0=0.9999;y0=2.00;dt=0.001;II=10000;X(1:II)=0;Y(1:II)=0;X(1)=x0;Y(1)=y0;for i=2:II; x1=x0+(x02+y02-5.0)*dt; y1=y0+(x

13、0*y0-2.0)*dt; x0=x1; y0=y1; X(i)=x0; Y(i)=y0;endplot(X,Y,'r')hold on;題三解：說明：（b）小題中線性化可能存在問題，因?yàn)榘凑毡窘獯鸬慕Y(jié)果在后面做穩(wěn)定性分析時(shí)，十分復(fù)雜。在奇點(diǎn)附近和奇點(diǎn)附近線性化時(shí)可能沒有中括號(hào)中的第三項(xiàng)？！其中（a）使用多尺度方法求解。設(shè)方程的解為將此代入方程，令的同次冪系數(shù)相等，得方程的解為其中現(xiàn)在還是任意的。將代入方程，得可知為的周期函數(shù)，將其展開為Fourier級(jí)數(shù)，有其中為了從方程中消去永久項(xiàng)，必須有上式是關(guān)于的自洽微分方程，因此，可以按解出。求方程的一階近似解，那么只是的函數(shù)。于是，

14、可令將代入式，得分離實(shí)部和虛部，得因?yàn)椋杂纱说玫阶⒁獾胶褪菍?duì)，因此它們對(duì)的導(dǎo)數(shù)為那么，方程的一階近似解為（b）方程的一階近似解為，由于，所以為常值，關(guān)于的方程的奇點(diǎn)為（注意到）令，可得到三個(gè)奇點(diǎn)附近的線性化方程分別為奇點(diǎn)附近奇點(diǎn)附近奇點(diǎn)附近（1）奇點(diǎn)的穩(wěn)定條件為，但此時(shí)穩(wěn)態(tài)常值振幅為0，存在振幅為0的穩(wěn)定極限環(huán)。（2）奇點(diǎn)的穩(wěn)定條件為，參考課件穩(wěn)定性分析參考可見上的相關(guān)內(nèi)容（略）。題四解：說明：本題給出了（a）（b）兩問的推導(dǎo)過程，（c）問的推導(dǎo)類似于（b），實(shí)際上還要用到（b）的部分結(jié)果，因此相對(duì)簡單得多，希望自己推導(dǎo)一遍。所有的圖都沒有給出，需要自己畫。（a）首先將作冪級(jí)數(shù)展開，并保留

15、到三階項(xiàng)，則原方程變?yōu)?，接?，為主共振。為了得到主共振響應(yīng)，必須使阻尼項(xiàng)、非線性項(xiàng)和激勵(lì)項(xiàng)同時(shí)出現(xiàn)在同一階方程中。令，為解諧參數(shù)。設(shè)方程的解為將代入，保留到項(xiàng)，得令上式中的同次冪的系數(shù)為零，得方程的解為將代入，得為了從上式中消去永久項(xiàng)，必須有那么，方程的解為把和代入，得為了從上式中消去永久項(xiàng)，必須有令，得其中式成立的條件是實(shí)部和虛部都為零，即有方程的一階近似解為方程和有定常解必須滿足。由此得到消去，得到頻率-響應(yīng)方程為從式中解出，得由，可得到從式中解出，得分析及結(jié)論略，圖片根據(jù)課件及課堂上老師介紹的方法畫。（b）為求超諧共振，需要指定激勵(lì)項(xiàng)為非共振硬激勵(lì)，為此令將代入原方程，保留到項(xiàng)，并令的

16、同次冪系數(shù)相等，得方程的解為其中。把代入，得為了從上式中消去永久項(xiàng)，必須有那么，方程的解為把和代入，得把代入式，消去永久項(xiàng)，有令，得令，分離實(shí)部和虛部，得注意到，即有所以一階近似解為其中。頻率-響應(yīng)方程為（c）為求亞諧共振，把代入式，消去永久項(xiàng)，有參考超諧共振題五解：說明：（a）（b）過程簡略，希望寫詳細(xì)點(diǎn)。（a）細(xì)繩本身不能伸長，但兩端可以運(yùn)動(dòng)，在不計(jì)重力的條件下，細(xì)繩中的張力大小沿繩長不變，處處為，因此，對(duì)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用Newton第二定律，得其中。又，代入式并整理，得（b）當(dāng)小而有限時(shí)，在附近將方程中的函數(shù)展開，保留到項(xiàng)，得（c）方程為Hill方程，的周期。使用約束參數(shù)法。設(shè)方程的解為代入方程，可得即方程的解為因此，為了使是或的周期函數(shù)，應(yīng)有，即，亦即。當(dāng)即時(shí)：方程變?yōu)闉榱藦纳鲜街邢ビ谰庙?xiàng)，必須有注