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文檔簡介
1、【1、數(shù)軸與實(shí)際問題】例15個(gè)城市的國際標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間(單位:時(shí))在數(shù)軸上表示如下,那么北京時(shí)間2006年6月17日上午9時(shí)應(yīng)是( )A、倫敦時(shí)間2006年6月17日凌晨1時(shí)B、紐約時(shí)間2006年6月17日晚上22時(shí)C、多倫多時(shí)間2006年6月16日晚上20時(shí)D、首爾時(shí)間2006年6月17日上午8時(shí)解:觀察數(shù)軸很容易看出各城市與北京的時(shí)差城市名稱時(shí)差北京時(shí)間當(dāng)?shù)貢r(shí)間紐約58=1317日上午9時(shí)913=4,244=20,17日晚上20時(shí)多倫多48=1217日上午9時(shí)912=3,243=21,17日晚上21時(shí)倫敦08=817日上午9時(shí)98=1,16日凌晨1時(shí)首爾98=117日上午9時(shí)9+1=10,16日
2、上午10時(shí)例2 在一條東西走向的馬路旁,有青少年宮、學(xué)校、商場、醫(yī)院四家公共場所。已知青少年宮在學(xué)校東300米處,商場在學(xué)校西200米處,醫(yī)院在學(xué)校東500米處。將馬路近似地看成一條直線,以學(xué)校為原點(diǎn),以正東方向?yàn)檎较?,?個(gè)單位長度表示100米。 在數(shù)軸上表示出四家公共場所的位置。 計(jì)算青少年宮與商場之間的距離。解: (1)(2)青少年宮與商場相距:3(2)=5 個(gè)單位長度 所以:青少年宮與商場之間的距離=5×100=500(米)練習(xí)1、如圖,數(shù)軸上的點(diǎn)P、O、Q、R、S表示某城市一條大街上的五個(gè)公交車站點(diǎn),有一輛公交車距P站點(diǎn)3km,距Q站點(diǎn),則這輛公交車的位置在()A、R站點(diǎn)
3、與S站點(diǎn)之間 B、P站點(diǎn)與O站點(diǎn)之間C、O站點(diǎn)與Q站點(diǎn)之間 D、Q站點(diǎn)與R站點(diǎn)之間解:判斷公交車在P點(diǎn)右側(cè),距離P:(),位于Q、R間 而公交車,距離Q:0.7+1=1.7(km),驗(yàn)證了,這輛公交車的位置在Q、R間2、如圖,在一條數(shù)軸上有依次排列的臺機(jī)床在工作,現(xiàn)要設(shè)置一個(gè)零件供應(yīng)站,使這臺機(jī)床到供應(yīng)站的距離總和最小,點(diǎn)建在哪?最小值為多少?解: (此題是實(shí)際問題,涉及絕對值表示距離,后面會(huì)有更深入的理解)此題揭示了,問題過于復(fù)雜時(shí),要“以退為進(jìn)”,回到問題的起點(diǎn),找出規(guī)律。后面你還會(huì)遇到這種處理問題的辦法。(1)假設(shè)數(shù)軸上只有A、B二臺機(jī)床時(shí),很明顯,供應(yīng)站P應(yīng)該是設(shè)在A和B之間的任何地方
4、都行,反正P到A和P到B的距離之和就是A到B的距離,值為:1(1)=2;(2)假設(shè)數(shù)軸上有A、B、C三臺機(jī)床時(shí),我們不難想到,供應(yīng)站設(shè)在中間一臺機(jī)床B處最合適,因?yàn)槿绻鸓放在B處,P到A和P到C的距離之和恰好為A到C的距離,而如果把P放在別處,如原點(diǎn)處,P到A和P到C的距離之和仍是A到B的距離,可是B機(jī)床到原點(diǎn)還有一段距離,這是多出來的,所以,P設(shè)在B處時(shí),P到A、B、C的距離總和最小,值為:2(1)=3;(3)如果數(shù)軸上有A、B、C、D四臺機(jī)床,經(jīng)過分析,P應(yīng)設(shè)BC之間任何地方,此時(shí)P到A、B、C、D的距離總和最小,值為:4(1)+BC距離=5+1=6;(4)如果數(shù)軸上有有5臺機(jī)床呢,經(jīng)過分
5、析,P應(yīng)設(shè)在C處,此時(shí)P到5臺機(jī)床的距離總和最小,值為:AE距離+BC距離+CD距離=9+1+2=12;(5)擴(kuò)展:如果數(shù)軸上有n臺機(jī)床,要找一點(diǎn)P,使得P到各機(jī)床距離之和最小如果n為奇數(shù),P應(yīng)設(shè)在第臺的位置如果n為偶數(shù),P可設(shè)在第臺和第()臺之間任意位置規(guī)律探索無處不在,你體會(huì)到了嗎?此題可變?yōu)椋篈、當(dāng)為何值時(shí),式子有最小值,最小值為多少?B、求的最小值。3、老師在黑板上畫數(shù)軸,取了原點(diǎn)O后,用一個(gè)鐵絲做的圓環(huán)作為工具,以圓環(huán)的直徑在數(shù)軸上畫出單位長1,再將圓環(huán)拉直成一線段,在數(shù)軸的正方向上以此線段長自原點(diǎn)O起截得A點(diǎn),則A點(diǎn)表示的數(shù)是_。解:由題知:直徑為1個(gè)單位長度,那么半徑為的單位長度
6、,圓的周長為:個(gè)單位長度圓從原點(diǎn)沿著數(shù)軸的正方向拉直,那么點(diǎn)A表示的數(shù)就是要注意審題,此題告訴我們無理數(shù)也可以在數(shù)軸上表示出來。【2、數(shù)軸與比較有理數(shù)的大小】例3 已知a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖。則在,中,最大的一個(gè)是( )A B C D解:應(yīng)試法:設(shè)數(shù)代入計(jì)算下最快速,如設(shè)a=,b=,C=,一下就可以得出答案D 正式的做法就是分析,a是負(fù)數(shù)且介于0和1之間,那么是正數(shù)且大于1,是a的相反數(shù),應(yīng)該在C附近,顯然也是小于1,由圖知趨近于0,綜上,答案還是D例4 三個(gè)有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示,則( )A BC D解:應(yīng)試法:設(shè)數(shù)代入計(jì)算下最快速,如設(shè)c=1,b=2,c=4,代入計(jì)算
7、,可以得出答案B正式的做法就是逐個(gè)分析,采取排除法,跳出正確選項(xiàng)。A中,顯然錯(cuò)誤;B中,因此B對與都是負(fù)數(shù),絕對值大的,反而小,取倒數(shù),分母大的,反而小 C、D為什么錯(cuò)自己試一試分析。練習(xí)1、己知,兩數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示,下列結(jié)論正確的是( )。 A BC D解:由題知 ,因此A對。2個(gè)負(fù)數(shù)之積大于0,故B錯(cuò),數(shù)軸左邊的數(shù)比右邊的數(shù)小,所以C錯(cuò),2個(gè)負(fù)數(shù)之和還是負(fù)數(shù),則D錯(cuò)。2、如圖,數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)分別對應(yīng)實(shí)數(shù)、則下列結(jié)論正確的是( )A BC D解:由題知,故B錯(cuò),則,故A、D錯(cuò);,故C對3、若兩個(gè)非零的有理數(shù)a、b,滿足:|a|=a,|b|=-b,a+b0,則在數(shù)軸上表示數(shù)a、b的
8、點(diǎn)正確的是()A、 B、C、 D、解:|a|=a,說明,|b|=-b,則,a+b0,說明,即b離原點(diǎn)更遠(yuǎn) 故C是對的【3、尋找、判斷數(shù)軸上的點(diǎn)】例5如圖,數(shù)軸上的A、B、C三點(diǎn)所表示的數(shù)分別是a、b、c,其中AB=BC,如果|a|b|c|,那么該數(shù)軸的原點(diǎn)O的位置應(yīng)該在()A、點(diǎn)A的左邊B、點(diǎn)A與點(diǎn)B之間C、點(diǎn)B與點(diǎn)C之間D、點(diǎn)B與點(diǎn)C之間或點(diǎn)C的右邊解:答案D,用排除法例6 如圖,數(shù)軸上標(biāo)出若干點(diǎn),每相鄰的兩點(diǎn)相距一個(gè)單位長度,點(diǎn)A、B、C、D對應(yīng)的數(shù)分別為整數(shù)a、b、c、d,且。試問:數(shù)軸上的原點(diǎn)在哪一點(diǎn)上?ABCDMNabcd解:由于每相鄰的兩點(diǎn)相距一個(gè)單位長度 所以有:,代入式子 則,
9、所以原點(diǎn)在B處練習(xí)1、在數(shù)軸上,坐標(biāo)是整數(shù)的點(diǎn)稱為“整點(diǎn)”。設(shè)數(shù)軸的單位長度是1厘米,若在這個(gè)數(shù)軸上隨意畫出一條長2008厘米的線段AB, 則線段AB蓋住的整點(diǎn)至少有_個(gè),至多有個(gè)。解:2008太大,以退為進(jìn),假設(shè)線段AB長為1,易知AB蓋住的整點(diǎn)至少有1個(gè),至多有2個(gè)假設(shè)線段AB長為2,易知AB蓋住的整點(diǎn)至少有2個(gè),至多有3個(gè),所以: 本題,線段AB蓋住的整點(diǎn)至少有2008個(gè),至多有2009個(gè)。2、如圖,數(shù)軸上標(biāo)出若干個(gè)點(diǎn),每相鄰兩點(diǎn)相距1個(gè)單位,點(diǎn)A、B、C、D對應(yīng)的整數(shù)a、b、c、d,且,那么數(shù)軸的原點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)是( )。 A、A點(diǎn) B、B點(diǎn) C、C點(diǎn) D、D點(diǎn)解:由題知,代入 則,所以原點(diǎn)
10、是C點(diǎn)3、如圖所示,圓的周長為4個(gè)單位長度,在圓的4等分點(diǎn)處標(biāo)上字母A,B,C,D,先將圓周上的字母A對應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)軸的數(shù)字1所對應(yīng)的點(diǎn)重合,若將圓沿著數(shù)軸向左滾動(dòng),那么數(shù)軸上的2010所對應(yīng)的點(diǎn)將與圓周上字母所對應(yīng)的點(diǎn)()重合解:2010到1之間有:1(2010)+1=2012個(gè)數(shù)A對應(yīng)1,B對應(yīng)0,C對應(yīng)1,D對應(yīng)2,以此類推,4個(gè)數(shù)為1循環(huán)節(jié)而2012÷4=303 余數(shù)0,正好循環(huán)完,所以數(shù)軸上的2010所對應(yīng)的點(diǎn)是D【4、與數(shù)軸有關(guān)的計(jì)算】例7如圖所示,在數(shù)軸上有六個(gè)點(diǎn),點(diǎn)所表示的數(shù)是,且,則與點(diǎn)所表示的數(shù)最接近的整數(shù)是。解:可用方程來做,沒學(xué)就這么做因?yàn)椋?易知:=0.8 ,
11、則 C到F:,因?yàn)辄c(diǎn)所表示的數(shù)是例8 上午8點(diǎn),某人駕駛一輛汽車從A地出發(fā),向東記為正,向西記為負(fù)。記錄前4次行駛過程如下:-15公里,+25公里,-20公里,+30公里,若要汽車最后回到A地,則最后一次如何行駛?已知汽車行駛的速度為55千米/小時(shí),在這期間他辦事花去2小時(shí),問他回到A地的時(shí)間?解:前4次行駛完成后,汽車位于: A點(diǎn)東邊20公里處若要汽車最后回到A地,則最后一次:,即向西行進(jìn)20公里 總共路程:,路上花費(fèi)時(shí)間:110÷55=2小時(shí)期間他辦事花去2小時(shí),所以總共耗時(shí)4小時(shí),他回到A地的時(shí)間:8+4=12練習(xí)1、如圖,數(shù)軸上有6個(gè)點(diǎn),且相鄰兩點(diǎn)間的距離都相等,則與D點(diǎn)所表
12、示的數(shù)最接近的整數(shù)是_。解:AF=, 則=12÷5=2.4則 A到×2=,因?yàn)辄c(diǎn)A所表示的數(shù)是,所以點(diǎn)C表示的數(shù)是:故與最接近的整數(shù)是02、某一電子昆蟲落在數(shù)軸上的某點(diǎn),從點(diǎn)開始跳動(dòng),第1次向左跳1個(gè)單位長度到,第2次由向右跳2個(gè)單位長度到,第3次由向左跳3個(gè)單位長度到,第4次由向右跳4個(gè)單位長度到,依此規(guī)律跳下去,當(dāng)它跳第100次落下時(shí),電子昆蟲在數(shù)軸上的落點(diǎn)表示的數(shù)恰好是2010,則電子昆蟲的初始位置所表示的數(shù)是_。解:向左為負(fù),向右為正,電子昆蟲所走過的路程S為: S= 其中2+4+6+100=2550 1+3+5+99=2500 故S=25502500=50 由題知
13、:+50=2010,故=19603、一青蛙要從A點(diǎn)跳到B點(diǎn),以平均每分鐘2米的速度跳躍。它先前進(jìn)1米,再后退2米,又前進(jìn)3米,再后退4米,(每次跳躍都在A、B兩點(diǎn)所在的直線上)(1)5分鐘后它離A點(diǎn)多遠(yuǎn)?(2)若A、B兩點(diǎn)相距100米,它可能到達(dá)B點(diǎn)嗎?如果能,它第一次到達(dá)B點(diǎn)需要多長時(shí)間?如果不能,請說明理由。解: (1) 5分鐘青蛙走過路程S=5×2=10米,路程S還可表示為:S=設(shè)A點(diǎn)為數(shù)軸原點(diǎn),記前進(jìn)為正,后退為負(fù),5分鐘后青蛙在:,即5分鐘后它離A點(diǎn)2米(2) 由第一問我們可以看出,青蛙每跳2次,從A點(diǎn)向B點(diǎn)前進(jìn)1米,因?yàn)锳B兩點(diǎn)相距100米,所以青蛙要跳200次才可以到達(dá)
14、B點(diǎn),所以青蛙青蛙跳躍的總路程為1+2+3+199+200=(1+200)×200÷2=20100(米),則需要20100÷2=10050(分鐘)三、利用數(shù)軸,深入認(rèn)識絕對值例9觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)間的距離 4與2,3與5,2與6,4與3。并回答下列各題:(1)你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個(gè)數(shù)的差的絕對值有什么關(guān)系嗎?_(2)|的幾何意義是數(shù)軸上表示_的點(diǎn)與_之間的距離;按照(1)的理解,|_|0|(,);(3)的幾何意義是數(shù)軸上表示2的點(diǎn)與表示1的點(diǎn)之間的距離;則_;(4)的幾何意義是數(shù)軸上表示_的點(diǎn)與表示_的點(diǎn)之間的距離,若,則_;(5)的幾何意義是數(shù)軸上
15、表示_的點(diǎn)與表示_的點(diǎn)之間的距離,若,則_;解:(1)相等,也就是說,數(shù)軸上二點(diǎn)間的距離與這兩個(gè)數(shù)的差的絕對值相等; (2)|的幾何意義是數(shù)軸上表示的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離;|=|0|; (3)1; (4)的幾何意義是數(shù)軸上表示的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)之間的距離,若,就是到3的距離為1的點(diǎn),這樣的點(diǎn)有2個(gè),所以=2或4; (5)可轉(zhuǎn)化為,因此它的幾何意義是數(shù)軸上表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)之間的距離,若,則0或4;例10的幾何意義是數(shù)軸上表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)之間的距離。(1)當(dāng)時(shí),則。(2)結(jié)合數(shù)軸求得的最小值為_,取得最小值時(shí)的取值范圍為_。(3)滿足的的取值范圍為_。解:(1)將直接代入計(jì)算,結(jié)果:4 (2)的幾
16、何意義:點(diǎn)到點(diǎn)2的距離加上點(diǎn)到點(diǎn)3的距離。要使距離之和最小需分情況討論:如圖,當(dāng),如圖,當(dāng),如圖,當(dāng), 顯然圖時(shí),距離之和最小,就是-3與2的距離|-3-2|=5(3)的幾何意義:找出一個(gè)點(diǎn),使得到與到的距離之和大于3, 按照(2)的分析,點(diǎn)在與之間時(shí), 故點(diǎn)只要不在與之間即可。所以的取值范圍是:或練習(xí)1、如圖表示數(shù)軸上四個(gè)點(diǎn)的位置關(guān)系,且它們表示的數(shù)分別為,。若,則_。解: 表示P、r之間距離10,表示P、s之間距離12,所以 r、s之間距離是2,表示q、s之間距離9,表示q、r之間的距離,它等于q、s間距離減去r、s間距離,即:2、不相等的有理數(shù),在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)分別為A,B,C,如果,那
17、么點(diǎn)A,B,C在數(shù)軸上的位置關(guān)系是( )A點(diǎn)A在點(diǎn)B,C之間 B點(diǎn)在點(diǎn),之間 C點(diǎn)在點(diǎn)A,B之間 D以上三種情況均有可能解:的幾何意義:a點(diǎn)到b點(diǎn)的距離加上b點(diǎn)到c點(diǎn)的距離之和等于a點(diǎn)到c點(diǎn)的距離。顯然b點(diǎn)在a、c之間。3、(1)閱讀下面材料(距離公式的證明,應(yīng)該自己能分析):點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù),A、B兩點(diǎn)這間的距離表示為當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí),不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn),如圖1,此時(shí)a=0,;當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí),如圖2,點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊;如圖3,點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊;如圖4,點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊。綜上,數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離。(2)回答下列問題:數(shù)軸上表示2和5兩點(diǎn)之
18、間的距離是,數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是,數(shù)軸上表示1和3的兩點(diǎn)之間的距離是;數(shù)軸上表示和1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是,如果,那么為;當(dāng)代數(shù)式取最小值時(shí),相應(yīng)的的取值范圍是;求的最小值。解:(1)數(shù)軸上表示2和5兩點(diǎn)之間的距離是3,數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是3,數(shù)軸上表示1和3的兩點(diǎn)之間的距離是4;(2)數(shù)軸上表示和1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是,如果,即到1距離為2的點(diǎn),有2個(gè)分別是1、3,所以為;1或3(3)當(dāng)代數(shù)式取最小值時(shí),意味著:點(diǎn)到1的距離與點(diǎn)到2的距離之和最小,此時(shí)點(diǎn)應(yīng)該在1與2之間,即相應(yīng)的的取值范圍是; (4)求的最小值,實(shí)際是找一個(gè)點(diǎn)使得該點(diǎn)到1、2、3.1997的距離之和最小,根據(jù)前面所講,這時(shí),問題轉(zhuǎn)化為: 求 2(1+2+3+.+998)=【2、利用數(shù)軸,絕對值化簡】例11知數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示,化簡的結(jié)果是()。c0ba A B C D解:由圖知,且|,則,=例12已知化簡解:,c的正負(fù)無法確定,需要分2種情況討論:當(dāng)時(shí),則,則,則,又,則 故=當(dāng)時(shí),則,又,一個(gè)負(fù)數(shù)與一個(gè)整數(shù)的和,無法判別與的大小,故又需要分3種情況
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