專題十一因式分解的常用方法

1、第一部分：方法介紹多項式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學之中，是我們解決許多數(shù)學問題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對于培養(yǎng)學生的解題技能，發(fā)展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用初中數(shù)學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法本講及下一講在中學數(shù)學教材基礎(chǔ)上，對因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進一步的介紹一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、運用公式法.在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(

2、a-b) = a2-b2-a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)(a±b)2=a2±2ab+b2a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)(a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再補充兩個常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知是的三邊，且，則的形狀是（ ）A.直角三角形

3、 B等腰三角形 C 等邊三角形 D等腰直角三角形解：三、分組分解法.（一）分組后能直接提公因式例1、分解因式：分析：從“整體”看，這個多項式的各項既沒有公因式可提，也不能運用公式分解，但從“局部”看，這個多項式前兩項都含有a，后兩項都含有b，因此可以考慮將前兩項分為一組，后兩項分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。解：原式= = 每組之間還有公因式！ =例2、分解因式：解法一：第一、二項為一組； 解法二：第一、四項為一組；第三、四項為一組。 第二、三項為一組。解：原式= 原式= = = = =練習：分解因式1、 2、（二）分組后能直接運用公式例3、分解因式：分析：若將第一、三項分為一組，第

4、二、四項分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。 解：原式= = =例4、分解因式： 解：原式= = =練習：分解因式3、 4、綜合練習：（1） （2）（3） （4）（5）（6）（7） （8）（9）（10）（11）（12）四、十字相乘法.（一）二次項系數(shù)為1的二次三項式直接利用公式進行分解。特點：（1）二次項系數(shù)是1； （2）常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；（3）一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。思考：十字相乘有什么基本規(guī)律？例.已知05，且為整數(shù)，若能用十字相乘法分解因式，求符合條件的.解析：凡是能十字相乘的二次三項式ax2+bx+c，都要求>0而且是一個完全平方數(shù)。于

5、是為完全平方數(shù)，例5、分解因式：分析：將6分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5。 由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只有2×3的分解適合，即2+3=5。 1 2解：= 1 3 = 1×2+1×3=5用此方法進行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項的系數(shù)。例6、分解因式：解：原式= 1 -1 = 1 -6 （-1）+（-6）= -7練習5、分解因式(1) (2) (3)練習6、分解因式(1) (2) (3)（二）二次項系數(shù)不為1的二次三項式條件：（

6、1）（2）（3）分解結(jié)果：=例7、分解因式：分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：=練習7、分解因式：（1） （2） （3） （4）（三）二次項系數(shù)為1的齊次多項式例8、分解因式：分析：將看成常數(shù)，把原多項式看成關(guān)于的二次三項式，利用十字相乘法進行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= =練習8、分解因式(1)(2)(3)（四）二次項系數(shù)不為1的齊次多項式例9、 例10、 1 -2y 把看作一個整體 1 -1 2 -3y 1-2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=練習9、分解因式：（1） （2

7、）綜合練習10、（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）（8）（9）（10）思考：分解因式：五、換元法。例13、分解因式（1）（2）解：（1）設(shè)2005=，則原式= = =（2）型如的多項式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘。原式=設(shè)，則原式= =練習13、分解因式（1）（2）（3）例14、分解因式（1）觀察：此多項式的特點是關(guān)于的降冪排列，每一項的次數(shù)依次少1，并且系數(shù)成“軸對稱”。這種多項式屬于“等距離多項式”。方法：提中間項的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法。解：原式=設(shè)，則原式= = = =（2）解：原式=設(shè)，則原式= =練習14、（1）（2）六、添項、拆項、配方法

8、。例15、分解因式（1）解法1拆項。解法2添項。原式=原式= =（2）解：原式=練習15、分解因式（1）（2）（3）（4）（5）（6）七、待定系數(shù)法。例16、分解因式分析：原式的前3項可以分為，則原多項式必定可分為解：設(shè)=對比左右兩邊相同項的系數(shù)可得，解得原式=例17、（1）當為何值時，多項式能分解因式，并分解此多項式。（2）如果有兩個因式為和，求的值。（1）分析：前兩項可以分解為，故此多項式分解的形式必為解：設(shè)=則=比較對應(yīng)的系數(shù)可得：，解得：或當時，原多項式可以分解；當時，原式=；當時，原式=（2）分析：是一個三次式，所以它應(yīng)該分成三個一次式相乘，因此第三個因式必為形如的一次二項式。解：設(shè)

9、=則=解得，=21練習17、（1）分解因式（2）分解因式（3）已知：能分解成兩個一次因式之積，求常數(shù)并且分解因式。（4）為何值時，能分解成兩個一次因式的乘積，并分解此多項式。第二部分：習題大全經(jīng)典一：一、填空題1. 把一個多項式化成幾個整式的_的形式，叫做把這個多項式分解因式。2分解因式： m3-4m= .3.分解因式： x2-4y2= _.4、分解因式：=_。5.將xn-yn分解因式的結(jié)果為(x2+y2)(x+y)(x-y)，則n的值為 . 6、若，則=_，=_。二、選擇題7、多項式的公因式是( )A、 B、 C、 D、8、下列各式從左到右的變形中，是因式分解的是( )A、 B、C、 D、1

10、0.下列多項式能分解因式的是（）(A)x2-y (B)x2+1 (C)x2+y+y2 (D)x2-4x+411把（xy）2（yx）分解因式為（ ）A（xy）（xy1） B（yx）（xy1）C（yx）（yx1） D（yx）（yx1）12下列各個分解因式中正確的是（ ）A10ab2c6ac22ac2ac（5b23c）B（ab）2（ba）2（ab）2（ab1）Cx（bca）y（abc）abc（bca）（xy1）D（a2b）（3ab）5（2ba）2（a2b）（11b2a）13.若k-12xy+9x2是一個完全平方式，那么k應(yīng)為（ ）A.2 B.4 C.2y2 D.4y2三、把下列各式分解因式： 14、

11、 15、16、 17、18、 19、；五、解答題20、如圖，在一塊邊長=的正方形紙片中，挖去一個邊長=的正方形。求紙片剩余部分的面積。dD21、如圖，某環(huán)保工程需要一種空心混凝土管道，它的規(guī)格是內(nèi)徑，外徑長。利用分解因式計算澆制一節(jié)這樣的管道需要多少立方米的混凝土？(取3.14，結(jié)果保留2位有效數(shù)字)22、觀察下列等式的規(guī)律，并根據(jù)這種規(guī)律寫出第(5)個等式。經(jīng)典二：因式分解小結(jié)知識總結(jié)歸納因式分解是把一個多項式分解成幾個整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運算，在初中代數(shù)中占有重要的地位和作用，在其它學科中也有廣泛應(yīng)用，學習本章知識時，應(yīng)注意以下幾點。 1. 因式分解的對象是多項式； 2. 因

12、式分解的結(jié)果一定是整式乘積的形式； 3. 分解因式，必須進行到每一個因式都不能再分解為止； 4. 公式中的字母可以表示單項式，也可以表示多項式； 5. 結(jié)果如有相同因式，應(yīng)寫成冪的形式； 6. 題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解； 7. 因式分解的一般步驟是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首先看有無公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個步驟都不能實施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解；（2）若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項（添項）等方法；下面我們一起來回顧本章所

13、學的內(nèi)容。 1. 通過基本思路達到分解多項式的目的例1. 分解因式分析：這是一個六項式，很顯然要先進行分組，此題可把分別看成一組，此時六項式變成二項式，提取公因式后，再進一步分解；也可把，分別看成一組，此時的六項式變成三項式，提取公因式后再進行分解。解一：原式解二：原式= 2. 通過變形達到分解的目的例1. 分解因式解一：將拆成，則有解二：將常數(shù)拆成，則有 3. 在證明題中的應(yīng)用例：求證：多項式的值一定是非負數(shù)分析：現(xiàn)階段我們學習了兩個非負數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對值。本題要證明這個多項式是非負數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)。證明：設(shè)，則 4. 因式分解中的轉(zhuǎn)化思想例：分解因式：分析：本題若直接用公

14、式法分解，過程很復(fù)雜，觀察a+b，b+c與a+2b+c的關(guān)系，努力尋找一種代換的方法。解：設(shè)a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B說明：在分解因式時，靈活運用公式，對原式進行“代換”是很重要的。中考點撥例1.在中，三邊a,b,c滿足求證：證明：說明：此題是代數(shù)、幾何的綜合題，難度不大，學生應(yīng)掌握這類題不能丟分。例2. 已知：_解：說明：利用等式化繁為易。題型展示 1. 若x為任意整數(shù)，求證：的值不大于100。解：說明：代數(shù)證明問題在初二是較為困難的問題。一個多項式的值不大于100，即要求它們的差小于零，把它們的差用因式分解等方法恒等變形成完全平方是一種常用的方法。 2. 將解：說明：利用

15、因式分解簡化有理數(shù)的計算。實戰(zhàn)模擬1. 分解因式：2. 已知：的值。3. 矩形的周長是28cm，兩邊x,y使，求矩形的面積。 4. 求證：是6的倍數(shù)。（其中n為整數(shù)） 5. 已知：a、b、c是非零實數(shù)，且，求a+b+c的值。 6. 已知：a、b、c為三角形的三邊，比較的大小。經(jīng)典三：因式分解練習題精選一、填空：（30分）1、若是完全平方式，則的值等于_。2、則=_=_3、與的公因式是4、若=，則m=_，n=_。5、在多項式中，可以用平方差公式分解因式的有_ ，其結(jié)果是 _。6、若是完全平方式，則m=_。7、8、已知則9、若是完全平方式M=_。10、， 11、若是完全平方式，則k=_。12、若的

16、值為0，則的值是_。13、若則=_。14、若則_。15、方程，的解是_。二、選擇題：（10分）1、多項式的公因式是（ ）A、a、 B、 C、 D、2、若，則m，k的值分別是（ ）A、m=2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=4，k=12、D m=4，k=12、3、下列名式：中能用平方差公式分解因式的有（ ）A、1個，B、2個，C、3個，D、4個4、計算的值是（ ） A、 B、三、分解因式：（30分）1 、2 、 3 、 4、5、6、7、8、9 、10、四、代數(shù)式求值（15分）1、 已知，求 的值。2、 若x、y互為相反數(shù)，且，求x、y的值3、 已知，求的值五、計算：（15）（1） （2）

17、（3）六、試說明：（8分）1、對于任意自然數(shù)n，都能被動24整除。2、兩個連續(xù)奇數(shù)的積加上其中較大的數(shù)，所得的數(shù)就是夾在這兩個連續(xù)奇數(shù)之間的偶數(shù)與較大奇數(shù)的積。七、利用分解因式計算（8分）1、一種光盤的外D=11.9厘米，內(nèi)徑的d=3.7厘米，求光盤的面積。（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）2、正方形1的周長比正方形2的周長長96厘米，其面積相差960平方厘米求這兩個正方形的邊長。八、老師給了一個多項式，甲、乙、丙、丁四個同學分別對這個多項式進行了描述：甲：這是一個三次四項式乙：三次項系數(shù)為1，常數(shù)項為1。丙：這個多項式前三項有公因式丁：這個多項式分解因式時要用到公式法若這四個同學描述都正確請你構(gòu)造一個

18、同時滿足這個描述的多項式，并將它分解因式。（4分）經(jīng)典四：因式分解一、 選擇題1、代數(shù)式a3b2a2b3,a3b4a4b3,a4b2a2b4的公因式是（ ）A、a3b2 B、a2b2 C、a2b3 D、a3b32、用提提公因式法分解因式5a(xy)10b·(xy)，提出的公因式應(yīng)當為（ ）A、5a10b B、5a10b C 、5(xy) D、yx3、把8m312m24m分解因式，結(jié)果是（ ）A、4m(2m23m) B、4m(2m23m1) C、4m(2m23m1) D、2m(4m26m2)4、把多項式2x44x2分解因式，其結(jié)果是（ ）A、2(x42x2) B、2(x42x2) C、

19、x2(2x24) D、 2x2(x22)5、（2）1998（2）1999等于（ ）A、21998 B、21998 C、21999 D、219996、把16x4分解因式，其結(jié)果是（ ）A、(2x)4 B、(4x2)( 4x2) C、(4x2)(2x)(2x) D、(2x)3(2x)7、把a42a2b2b4分解因式，結(jié)果是（ ）A、a2(a22b2)b4 B、(a2b2)2 C、(ab)4 D、(ab)2(ab)28、把多項式2x22x分解因式，其結(jié)果是（ ）A、(2x)2 B、2(x)2 C、(x)2 D、 (x1)29、若9a26(k3)a1是完全平方式，則 k的值是（ ）A、±4 B、±2 C、3 D、4或210、（2xy）(2xy)是下列哪個多項式分解因式的結(jié)果（ ）A、4x2y2 B、4x2y2 C、4x2y2 D、4x2y2 11、多項式x23x5