測量誤差和測量不確定度

1、.測量誤差和測量不確定度一、測量誤差（一）測量和誤差1、測量的概念測量是指以確定量值為目的的一組操作。任何測量結(jié)果都含有誤差，誤差自始至終存在于一切科學(xué)實驗和測量過程之中。測量按獲得測量值的方法可分為直接測量、間接測量和組合測量；按測量條件的異同，測量可分為等精度測量和不等精度測量。 等精度測量也叫在重復(fù)性條件下測量，重復(fù)性測量條件為 相同的測量程序； 相同的觀測者； 在相同的條件下，使用相同的測量儀器； 相同的地點(diǎn)； 在短時間內(nèi)重復(fù)測量。2、測量誤差的概念測量誤差是指測量結(jié)果減去被測量的真值。常用的誤差表示方法有：絕對誤差、相對誤差和引用誤差。（1）絕對誤差絕對誤差，即測量誤差的定義 （2-

2、3-1）式中：絕對誤差；測量誤差xi測量結(jié)果或測得值；x0被測量的真值。（2）相對誤差相對誤差，即測量誤差（絕對誤差）除以被測量的真值。由于真值通常是未知的，所以實際上用的是約定真值，當(dāng)誤差較小時，約定真值可用測得值代替，并用百分?jǐn)?shù)表示（100%） （2-3-2）式中：相對誤差；x0約定真值；、xi、x0同式（2-3-1）（3）引用誤差引用誤差即測量儀器的誤差除以儀器的特定值，該特定值一般稱為引用值，可以是測量儀器的量程或標(biāo)稱范圍的上限。引用誤差可用百分?jǐn)?shù)表示為 （2-3-3）式中：rn測量儀器的引用誤差；測量儀器的絕對誤差，常用示值誤差表示；xm測量儀器的量程或標(biāo)稱范圍的上限。儀器的準(zhǔn)確度等

3、級，就是根據(jù)它允許的最大引用誤差來劃分的。0.1級表，表示該儀器允許的最大引用誤差限為0.1%。以rnm表示之 （2-3-4）式中：rnm最大引用誤差；儀器標(biāo)稱范圍內(nèi)出現(xiàn)的最大示值誤差；xm同式（2-3-3）。3、測量誤差的來源測量誤差的來源主要是“人、機(jī)、料、法、環(huán)”五個方面的誤差。（1）測量設(shè)備誤差測量設(shè)備本身的結(jié)構(gòu)、工藝、調(diào)整以及磨損、老化等所引起的誤差。（2）方法誤差測量方法不完善，主要為測量技術(shù)及操作和數(shù)據(jù)處理所引起的誤差。（3）環(huán)境誤差測量環(huán)境的各種因素，如溫度、濕度、氣壓、含塵量、電場、磁場與振動等所引起的誤差。（4）人員誤差由測量人員的生理機(jī)能和實際操作，如視覺、聽覺的的限制或

4、固有習(xí)慣、技術(shù)水平以及操作失誤等所引起的誤差。（5）被測對象變化誤差被測對象自身在整個測量過程中處在不斷變化著，如被測光度燈的光度、被測量塊的尺寸等所引起的誤差。4、測量誤差的分類按誤差的性質(zhì)或出現(xiàn)的規(guī)律來分，測量誤差可分為二類：系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。（1）系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的概念系統(tǒng)誤差在重復(fù)性條件下，對同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值與被測量的真值之差。即 (2-3-5)式中：系統(tǒng)誤差；xi對同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值；x0被測量的真值。系統(tǒng)誤差按其呈現(xiàn)特征可分為定值系統(tǒng)誤差和變值系統(tǒng)誤差。定值系統(tǒng)誤差可分為恒正定值和恒負(fù)定值系統(tǒng)誤差；而變值系統(tǒng)誤差又可分為線性、周

5、期性和復(fù)雜規(guī)律系統(tǒng)誤差。隨機(jī)誤差測量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對同一被測量進(jìn)行無限多次測量測得結(jié)果的平均值之差。即 （2-3-6）式中：隨機(jī)誤差；xi測量結(jié)果；同式（2-3-5）。測量誤差和系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差關(guān)系由（2-3-5）式可知：（2-3-6）式可知：根據(jù)（2-3-1）式： （2-3-7）由此可知：測量誤差等于系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的代數(shù)和。這是VIM“國際通用計量學(xué)基本術(shù)語”1993年第二版所給出的新定義后而成立的。（二）隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差1、 隨機(jī)誤差（1）正態(tài)分布1）、正態(tài)分布的特性經(jīng)統(tǒng)計分析，許多隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布，它有三種特性：a、對稱性：絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的可能性相等；b、單

6、峰性：絕對值小的誤差出現(xiàn)的可能性大，絕對值大的誤差出現(xiàn)的可能性?。籧、有界性：隨機(jī)誤差的絕對值不會超過某一界限。2）、以正態(tài)分布為例,統(tǒng)計中常見術(shù)語說明（見圖2-3-1）a、置信水準(zhǔn)（置信概率、置信水平）以p表示；b、顯著性水平（置信度）以表示，=1p；c、置信區(qū)間以k，k表示；d、置信因子以k表示，當(dāng)分布不同時，k值也不同。3）、正態(tài)分布的隨機(jī)誤差表示法實驗標(biāo)準(zhǔn)差（見圖2-3-1）密度函數(shù)：式中：e自然對數(shù)的底（e=2.71828）；隨機(jī)誤差；標(biāo)準(zhǔn)偏差；2方差。上述正態(tài)分布密度函數(shù)，又稱高斯曲線。數(shù)學(xué)期望：方差：當(dāng)用算術(shù)平均值代替數(shù)學(xué)期望時，則標(biāo)準(zhǔn)偏差： （2-3-8）式中：n測量次數(shù)；xi

7、第i次測得值；n次測得值的算術(shù)平均值；第i次測得值與平均值之差，稱為殘余誤差或殘差。式（2-3-8）即貝塞爾（Bessel）公式。由于n為有限次，所以以上標(biāo)準(zhǔn)偏差，稱為實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差，亦稱標(biāo)準(zhǔn)差或均方根差，對同一量（x）進(jìn)行有限(n)次測量,其測得值(xi)間的分散性可用標(biāo)準(zhǔn)差s（xi）來表述?？梢詫?dǎo)出,測量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)差比標(biāo)準(zhǔn)差小倍，即 （2-3-9）值得指出的是，是n次中單次測量的實驗標(biāo)準(zhǔn)差，而是測量列算術(shù)平均值的實驗標(biāo)準(zhǔn)差。由于隨機(jī)誤差具有抵償性，故平均值的實驗標(biāo)準(zhǔn)差比單次測量值的實驗標(biāo)準(zhǔn)差小，且按速度進(jìn)行。分布例子：a、重復(fù)條件或復(fù)現(xiàn)條件下多次測量的算術(shù)平均值分布；b、用擴(kuò)展不確定度U

8、p給出、而對其分布又無特殊指明；c、合成不確定度uc(y)中，相互獨(dú)立分量ui(y)較多，大小接近；d、合成不確定度uc(y)中，相互獨(dú)立分量ui(y)中，存在2個界限值接近的三角分布，或4個界限值接近的均勻分布；e、合成不確定度uc(y)中，相互獨(dú)立分量ui(y)中，量值較大的分量接近正態(tài)分布。（2）非正態(tài)分布的隨機(jī)誤差表示方法1)、均勻分布（矩形分布（見圖2-3-2）密度函數(shù)：數(shù)學(xué)期望：方差：標(biāo)準(zhǔn)偏差：(a為置信水準(zhǔn)區(qū)間的半寬度)（2-3-10）分布例子a、按級使用的儀器儀表最大允許誤差導(dǎo)致的不確定度；b、數(shù)據(jù)修約導(dǎo)致的不確定度；c、數(shù)字式測量儀器對示值量化（分辨力）導(dǎo)致的不確定度；d、模

9、擬式儀表讀數(shù)誤差引起的不確定度；e、用上、下界給出的線膨脹系數(shù)；f、缺乏任何其它信息時，一般假設(shè)為均勻分布。2)、三角分布（見圖2-3-3）密度函數(shù)： （-a0） （0a） 數(shù)學(xué)期望：方差：標(biāo)準(zhǔn)偏差： （2-3-11）分布例子：a、相同修約間隔給出的兩獨(dú)立量之和或之差，由修約導(dǎo)致的不確定度；b、因分辨力引起的兩次測量結(jié)果之和或差的不確定度；c、用替代法檢定標(biāo)準(zhǔn)砝碼、電阻時，兩次調(diào)零不準(zhǔn)導(dǎo)致的不確定度；d、兩相同均勻分布的合成。3）、梯形分布（見圖2-3-4）密度函數(shù)： (-a-b) = (-bb) (ba) 數(shù)學(xué)期望：標(biāo)準(zhǔn)偏差： （2-3-12）式中：當(dāng)b=0即=0，則當(dāng)a=b即=1，則分布例

10、子兩獨(dú)立均勻分布（a2a1）之和所導(dǎo)致的不確定度；4）、反正弦分布（見圖2-3-5）密度函數(shù)： （-aa） 數(shù)學(xué)期望：標(biāo)準(zhǔn)差： （2-3-13）分布例子：服從均勻分布變量的正弦或余弦函數(shù)，則服從反正弦分布。a、度量偏心引起的測角不確定度；b、正弦振弦引起的位移不確定度；c、無線電中失配引起的不確定度；d、隨時間正余弦變化的溫度不確定度。5）、t分布學(xué)生分布（見圖2-3-6）標(biāo)準(zhǔn)偏差 （2-3-24）式中：tp置信概率自由度t分布是一般形式，而標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）是其特殊形式，t（）成為標(biāo)準(zhǔn)分布的條件是當(dāng)自由度趨于。tp（）為臨界值，它可作為包含因子，即k=tp（）之用。分布例子：在不確定度

11、評定中，既有正態(tài)分布，又有較多的均勻分布或其他分布時，其包含因子用tp（）處理。6）、不同分布與p、k、的關(guān)系（見表1-3-1）表1-3-1 不同分布與p、k、的關(guān)系分布類型p (%)k備注正態(tài)99.7330.3a三角1000.4a梯形（=0.71）1002 0.5a=均勻（矩形）1000.6a反正弦1000.7a兩點(diǎn)10011at分布99.733.96（ =10）0.25a2、系統(tǒng)誤差（1）主要特征由系統(tǒng)誤差定義和系統(tǒng)誤差產(chǎn)生原因的分析可以得出其特征為：系統(tǒng)誤差產(chǎn)生在測量之前，具有確定性；多次測量不能減弱和消除它，不具有抵償性。（2）系統(tǒng)誤差的減弱和消除要減弱或消除系統(tǒng)誤差，首先應(yīng)是如何發(fā)現(xiàn)

12、系統(tǒng)誤差。常用的方法有：實驗對比法、殘余誤差觀察法、殘余誤差校檢法、計算數(shù)據(jù)比較法、秩和檢驗法、t檢驗法等。1）采用加修正值的方法消除系統(tǒng)誤差=xix0x0=xi+（）所謂修正值就是負(fù)的絕對誤差，它是用代數(shù)法與未修正測量結(jié)果相加，以補(bǔ)償系統(tǒng)誤差的值。2）恒定系統(tǒng)誤差的減弱和消除方法交換消除法；替代消除法；異號抵消法。3）變值系統(tǒng)誤差的減弱和消除方法線性系統(tǒng)誤差消除法對稱測量法；周期性系統(tǒng)誤差消除法半周期偶數(shù)測量法。(三)、測量誤差小結(jié)圖（2-3-7）給出了有關(guān)測量誤差的示意圖。由圖（2-3-7）可知，任意一個誤差均可分解為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的代數(shù)和。圖中橫坐標(biāo)表示被測量，x0為被測量的真值，x

13、i為第i次測得值，樣本均值就是n個測量值的算術(shù)平均值：，而總體均值就是當(dāng)測量次數(shù)n時統(tǒng)計平均值，或叫數(shù)學(xué)期望，即：。設(shè)測得值是正態(tài)分布N（，），則曲線的形狀（按值）決定了隨機(jī)誤差的分布范圍，及其在范圍內(nèi)取值概率，由圖可見，誤差和它的概率分布密度相關(guān)，可以用概率論和數(shù)理統(tǒng)計的方法來恰當(dāng)處理。圖（2-3-7）清楚地表示了，各量之間的相互關(guān)系。（四）異常值的判斷和剔除在重復(fù)性條件或復(fù)現(xiàn)性條件下，對同一量進(jìn)行的多次測量中，有時可以發(fā)現(xiàn)個別值，其數(shù)值明顯偏離它所屬樣本的其它值，我們稱之為異常值。1、常用的判斷異常值準(zhǔn)則（1）萊茵達(dá)（）準(zhǔn)則（3準(zhǔn)則）若某測得值得殘余誤差的絕對值大于三倍的標(biāo)準(zhǔn)偏差時，則認(rèn)為

14、該次測得值為異常值，應(yīng)予以剔除。即3=3 （2-3-25）當(dāng)異常值剔除后，對剩下的測量值要重新計算值，并重新判斷余下的各個數(shù)據(jù)，如還有再剔除，直至所有剩余殘差的絕對值3為止。萊茵達(dá)準(zhǔn)則對測量次數(shù)要求：n10次無法判斷，不適用；n30近似適用。（2）格拉布斯（Grubbs）準(zhǔn)則若測得值xi的最大殘余誤差的絕對值滿足 （2-3-26）則認(rèn)為該為異常值，應(yīng)于剔除式中：g0（n，）Grubbs準(zhǔn)則的臨界值，見表1-3-2；n測量次數(shù)；顯著度（一般為0.05或0.01）。格拉布斯準(zhǔn)則對測量次數(shù)的要求：n30可以適用表1-3-2格拉布斯準(zhǔn)則的臨界值g0（n，）n顯著度n顯著度0.050.010.050.0

15、131.151.16172.482.7841.461.49182.502.8251.671.75192.538.8561.821.94202.562.8871.942.10212.582.9182.032.22222.602.9492.112.32232.622.96102.182.41242.642.99112.232.48252.663.01122.282.55302.743.10132.332.61352.813.18142.372.66402.873.24152.412.70502.963.34162.442.751003.213.60（五）近似數(shù)的運(yùn)算與測量數(shù)據(jù)處理1、概念（1）近似

16、數(shù)：對于任何數(shù)，包括無限不循環(huán)小數(shù)和循環(huán)小數(shù)，截取一定位數(shù)后所得的數(shù)即為該數(shù)的近似數(shù)。（2）有效數(shù)字：若一近似數(shù)，其修約誤差的絕對值不大于該近似數(shù)末位半個單位，則從此近似數(shù)左起第一個非零數(shù)字起到最末一位數(shù)字止的所有數(shù)字都是有效數(shù)字。一個近似數(shù)有n個有效數(shù)字，也稱這個近似數(shù)為n位有效數(shù)字。（3）修約間隔：系確定修約保留位數(shù)的一種方式。修約間隔一經(jīng)確定，修約值只能是修約間隔的整數(shù)倍。2、有效數(shù)字位數(shù)的判斷（1）判斷時，對“0”應(yīng)特別注意，它是否為有效數(shù)字，則取決于它在近似數(shù)中的位置；（2）有效數(shù)字的位數(shù)與單位的換算無關(guān)，如遇使有效數(shù)字位數(shù)增加，宜采用科學(xué)計數(shù)法，寫成a10n形式。在此形式中，有效數(shù)

17、字只體現(xiàn)在a中，而與10n無關(guān)；（3）小數(shù)點(diǎn)后面的“0”不可隨意取舍，否則會改變有效數(shù)字的位數(shù)，從而影響數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度；（4）常數(shù)是沒有誤差的正確數(shù)，它可被看成有無限多位有效數(shù)字；（5）測量中，測量結(jié)果有效數(shù)字的最末位應(yīng)與誤差所在位對齊；（6）有效數(shù)字位數(shù)，取決于被測量大小、測量儀器及測量方法，不因其他原因而改變。3、數(shù)值修約規(guī)則國家標(biāo)準(zhǔn)GB/T8170-2008數(shù)值修約規(guī)則與極限數(shù)值的表示和判定，對“1”、“2”、“5”間隔的修約方法分別作了規(guī)定，但較為煩瑣，現(xiàn)將簡單方法介紹如下：（1）“1”間隔修約規(guī)則（0.5舍去，0.5進(jìn)入，0.5偶數(shù)法則）1）若舍去部分?jǐn)?shù)值大于保留的末位數(shù)的0.5單位，

18、則末位數(shù)值加1；2）若舍去部分?jǐn)?shù)值小于保留的末位數(shù)的0.5單位，則末位數(shù)值不變；3）若舍去部分?jǐn)?shù)值等于保留的末位數(shù)的0.5單位，則末位數(shù)值湊成偶數(shù)。a、當(dāng)末位數(shù)為偶數(shù)（0、2、4、6、8）時，則末位數(shù)值不變；b、當(dāng)末位數(shù)為奇數(shù)（1、3、5、7、9）時，則末位數(shù)值加1。注：1）負(fù)數(shù)修約時，先按正值進(jìn)行修約，最后加負(fù)號。2）不許連續(xù)修約如：將15.4546修約至個位，即修約間隔為1正確：15.454615不正確：15.454615.45515.4615.516（2）“2”、“5”間隔修約規(guī)則1）如果在為修約間隔整數(shù)倍的一系列數(shù)中，只有一個數(shù)最接近擬修約數(shù)，則該數(shù)就是修約數(shù)。如將1.15001按0.

19、1修約間隔進(jìn)行修約應(yīng)是1.2。2）如果在為修約間隔整數(shù)倍的一系列數(shù)中，有連續(xù)的兩個數(shù)同等地接近擬修約數(shù)，則這兩個數(shù)中，只有為修約間隔偶數(shù)倍的那個數(shù)才是修約數(shù)。a、如將60.30按0.2間隔進(jìn)行修約：60.30 或者：選兩個數(shù)中末兩位數(shù)被4整除的數(shù)，即60.4。b、如將18.075按0.05修約間隔進(jìn)行修約：18.075 或者：選取以“0”結(jié)尾的數(shù)，即18.10注：按“1”、“2”、“5”間隔修約后，其數(shù)應(yīng)是各間隔的整數(shù)倍，因此，其修約數(shù)結(jié)尾：“2”間隔應(yīng)為2、4、6、8、0；“5”間隔應(yīng)為5或0。4、近似數(shù)的運(yùn)算（1）單步運(yùn)算1）加、減運(yùn)算a、以參與運(yùn)算的小數(shù)位數(shù)最少者為準(zhǔn)；b、其余各數(shù)均修約

20、到比該數(shù)小數(shù)多一位；c、按普通方法相加減；d、運(yùn)算結(jié)果的小數(shù)位數(shù)應(yīng)修約至與小數(shù)位數(shù)最少者相同。如：1849.0+14.75-0.0093+1.6311849.0+14.75-0.01+1.631865.381865.42）乘、除（或開方、乘方）運(yùn)算當(dāng)兩個或多個近似數(shù)相乘、除時，以有效數(shù)字位數(shù)最少者為準(zhǔn)，其余的數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)均比它多保留一位，運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)與最少者相同。如：4250010.0054.3105510-32.151032103（2）多步運(yùn)算（混合運(yùn)算）1）先乘除后加減；2）中間計算步驟的運(yùn)算結(jié)果比上述原則多保留一位；3）運(yùn)算結(jié)果的小數(shù)位數(shù)應(yīng)與最后參與加、減運(yùn)算中小數(shù)位數(shù)最

21、少者相同。如：3.160.0421.732+6.370.471.9650.10510.0473.160.0421.73+6.370.471.960.1050.0470.230+26.60.004940.23+26.6-0.0026.8326.85、等精度直接測量的數(shù)據(jù)處理對某量進(jìn)行n次等精度直接測量，得測量列其處理步驟歸納如下：（1）判斷系統(tǒng)誤差，并消除或減弱其影響，若已知，可用加修正值方法消除之。（2）計算測量列的平均值（3）計算各測得值的殘余誤差（4）檢查和的計算是否正確1）當(dāng)無舍入誤差時（剛好除盡），應(yīng)滿足：2）當(dāng)有舍入誤差時，應(yīng)滿足：式中：n測量次數(shù)；m中最末位的小數(shù)位數(shù)。（5）用Be

22、ssl公式計算單次測量的實驗標(biāo)準(zhǔn)差s（xi）（6）判斷并剔除異常值根據(jù)Grubbs準(zhǔn)則，若有，則對應(yīng)的應(yīng)剔除，然后再按（2）（6）步驟重新計算判斷，直至不含異常值為止。（7）計算平均值的實驗標(biāo)準(zhǔn)差（8）計算平均值的擴(kuò)展不確定度U可由附錄t分布表中根據(jù)置信概率p和自由度=n1查得。（9）測量結(jié)果報告給出被測量最佳估計值和測量不確定度。6、實例對某量作等精度直接測量9次，得到表1-3-3中的數(shù)據(jù)。試求：（1）請在表1-6-1中填寫該測量列的算術(shù)平均值及各次測量的殘余誤差；（2）求出A類單次測量值標(biāo)準(zhǔn)不確定度；（3）用格拉布斯準(zhǔn)則判斷是否存在異常值（取顯著度置信概率）；（4）求出擴(kuò)展不確定度；（5）

23、寫出測量結(jié)果報告。 表1-3-3序號110.0600.0000210.0800.020410-4310.050-0.010110-4410.0600.0000510.0700.010110-4610.040-0.020410-4710.0600.0000810.0700.010110-4910.050-0.010110-4=10.060=1210-4 解答：1） =10.060 ，見上表中的數(shù)據(jù)。2）3） 已知置信概率查表故無異常值存在。4）算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 擴(kuò)展不確定度 =0.00947=0.0095=0.0105）報告與表示其中：測量結(jié)果：=10.060；擴(kuò)展不確定度：；自由度：=8；包

24、含因子：；置信概率： 95%。7數(shù)據(jù)處理過程中，的位數(shù)取位（1）當(dāng)能整除時，則位數(shù)和位數(shù)相同，當(dāng)不能整除時，則的位數(shù)比的位數(shù)多取一位；（2）的位數(shù)比的位數(shù)多取一位；（3）位數(shù)比的位數(shù)多取一位，若有時數(shù)值太小，則可取兩位有效數(shù)字。二、測量不確定度測量不確定度一般均簡稱為不確定度，它是各種不確定度，如：標(biāo)準(zhǔn)不確定度、合成不確定度、擴(kuò)展不確定度、相對不確定度、A類不確定度、B類不確定度等的一個總體或通稱。不確定度一詞指可疑程度或習(xí)慣地俗稱為“不可靠程度”。它是測量結(jié)果可疑程度的一種定量表述，定量地說明了實驗室（包括人員、設(shè)備和條件）測量能力水平。（一）、測量不確定度的定義和解釋1、定義：表征合理地賦

25、予被測量之值的分散性，與測量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)。2、說明：（1）、測量不確定度是表明被測量之值的分散性的，它用與測量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)來表示；（2）、此參數(shù)可以是諸如標(biāo)準(zhǔn)差或其倍數(shù)，或說明了置信水準(zhǔn)的區(qū)間的半寬度。（3）、測量不確定度由多個分量組成。其中一些分量可用測量列結(jié)果的統(tǒng)計分布估計，并用實驗標(biāo)準(zhǔn)差表征。另一些分量則可用基于經(jīng)驗或其它信息的假定分布估算，并用標(biāo)準(zhǔn)表征。（4）、合理：是指應(yīng)考慮到各種因素對測量的影響，在評定中，既不能重復(fù)，也不能遺漏。（5）、被測量之值：一般可理解為被測量的真值，但這里應(yīng)理解為許多個測量結(jié)果，其中不僅包括通過測量得到的測量結(jié)果，還包括測量中沒有得到但又是可能出現(xiàn)

26、的測量結(jié)果，如n次測量結(jié)果的算術(shù)平均值。（6）、分散性：是指給定條件下若干測量結(jié)果之間一種分散區(qū)間。在重復(fù)和復(fù)現(xiàn)性條件下多次觀測結(jié)果均有其分散性，全部不確定度分量均貢獻(xiàn)給了分散性，包括那些由系統(tǒng)效應(yīng)引起的分量。（7）、測量結(jié)果：被測量之值的最佳估計值，如觀測結(jié)果的平均值或加修正值。（8）、相聯(lián)系：是指測量不確定度應(yīng)和測量結(jié)果一起，即一個測量結(jié)果應(yīng)有一個相對應(yīng)的測量不確定度。應(yīng)注意是和測量結(jié)果一起而非和測量儀器一起。（9）、不確定度恒為正值。當(dāng)由方差得出時，取其正平方根。（10）、不確定度表示形式1）絕對不確定度，與被測量量綱相同；2）相對不確定度，無量綱。（二）測量誤差與測量不確定度的主要區(qū)別

27、（見表2-3-3）表2-3-3 測量誤差與測量不確定度的主要區(qū)別序號內(nèi)容測量誤差測量不確定度1定義表明測量結(jié)果偏離真值，是一個確定的值。在數(shù)軸上表示為一個點(diǎn)。表明被測量之值的分散性，是一個區(qū)間。用標(biāo)準(zhǔn)偏差，標(biāo)準(zhǔn)偏差的倍數(shù)，或說明了置信水準(zhǔn)區(qū)間的半寬度來表示。在數(shù)軸上表示為一個區(qū)間。2分類按出現(xiàn)于測量結(jié)果中的規(guī)律，分為隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差，它們都是無限多次測量的理想概念。按是否用統(tǒng)計方法求得，分為A類評定和B類評定，它們都以標(biāo)準(zhǔn)不確定度表示。在評定測量不確定度時，一般不必區(qū)分其性質(zhì)。若需要區(qū)分時，應(yīng)表述為“由隨機(jī)效應(yīng)引入的測量不確定度分量”和“由系統(tǒng)效應(yīng)引入的測量不確定度分量”。3可操作性由于真值

28、未知，往往無法得到測量誤差的值。當(dāng)用約定真值代替真值時，可以得到測量誤差的估計值。測量不確定度可以由人們根據(jù)實驗、資料、經(jīng)驗等信息進(jìn)行評定，從而可以定量確定測量不確定度的值。4數(shù)值符號非正即負(fù)（或零），不能用正負(fù)（）號表示。是一個無符號的參數(shù)，恒取正值。當(dāng)由方差求得時，取其正平方根。5合成方法各誤差分量的代數(shù)和。當(dāng)各分量彼此不相關(guān)時用方和根法合成，否則應(yīng)考慮加入相關(guān)項。6結(jié)果修正已知系統(tǒng)誤差的估計值時，可以對測量結(jié)果進(jìn)行修正，得到已修正的測量結(jié)果。修正值等于負(fù)的系統(tǒng)誤差。由于測量不確定度表示一個區(qū)間，因此無法用測量不確定度對測量結(jié)果進(jìn)行修正。對已修正測量結(jié)果進(jìn)行不確定度評定時，應(yīng)考慮修正不完善

29、引入的不確定度分量。7結(jié)果說明誤差是客觀存在的，不以人的認(rèn)識程度而轉(zhuǎn)移。誤差屬于給定的測量結(jié)果，相同的測量結(jié)果具有相同的誤差，而與得到該測量結(jié)果的測量儀器和測量方法無關(guān)。測量不確定度與人們對被測量、影響量、以及測量過程的認(rèn)識有關(guān)。在相同條件下進(jìn)行測量時，合理賦予被測量的任何值，均具有相同的測量不確定度。即測量不確定度僅與測量方法有關(guān)。8實驗標(biāo)準(zhǔn)差來源于給定的測量結(jié)果，它不表示被測量估計值的隨機(jī)誤差。來源于合理賦予的被測量之值，表示同一觀測列中，任一個估計值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。9自由度不存在?？勺鳛椴淮_定度評定可靠程度的指標(biāo)。它是與評定得到的不確定度的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度有關(guān)的參數(shù)。10置信概率不存在。

30、當(dāng)了解分布時，可按其置信概率給出置信區(qū)間。（三）測量結(jié)果和測量儀器的誤差、準(zhǔn)確度、不確定度之比較（見表2-3-4）表2-3-4 測量結(jié)果和測量儀器的誤差、準(zhǔn)確度、不確定度之比較測量結(jié)果誤差定義：測量結(jié)果減去被測量的真值。測量結(jié)果的誤差與真值或約定真值有關(guān)，也與測量結(jié)果有關(guān)。是一個有確定符號的量，不能用“”號表示。測量結(jié)果的誤差等于系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的代數(shù)和。準(zhǔn)確度定義：測量結(jié)果與被測量的真值之間的一致程度。測量結(jié)果的準(zhǔn)確度是一個定性的概念，不要和具體數(shù)字連用而將其定量化。不確定度定義：表征合理地賦予被測量之值的分散性，與測量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)。表示一個區(qū)間，恒為正值。用標(biāo)準(zhǔn)不確定度或擴(kuò)展不確定度

31、表示。測量儀器誤差定義：測量儀器的示值與對應(yīng)輸入量真值之差，也稱為示值誤差。示值誤差與真值有關(guān)，實際上常用約定真值而得到示值誤差的近似值。示值誤差是對于某一特定儀器和某一特定的示值而言的，同型號不同儀器的示值誤差一般是不同的，同一臺儀器對應(yīng)于不同測量點(diǎn)的示值誤差也可能不同。最大允許誤差是對某型號儀器人為規(guī)定的誤差限，即表示一個區(qū)間。它不是測量儀器實際存在的誤差，是所規(guī)定的示值誤差的最大允許值。當(dāng)用儀器進(jìn)行測量，并直接將儀器示值作為測量結(jié)果時，由儀器所引入的不確定度分量可由它導(dǎo)出。準(zhǔn)確度定義：測量儀器給出接近于真值的響應(yīng)能力。是一定性的概念，但可以用準(zhǔn)確度等級或測量儀器的示值誤差來定量表述。目前

32、不少儀器說明書上給出的準(zhǔn)確度，實際上是指最大允許誤差。不確定度沒有對測量儀器的不確定度下過定義，因此盡量不要用“測量儀器不確定度”這種說法。可將“測量儀器的不確定度“理解為在測量結(jié)果中，由測量儀器所引起的不確定度分量，或理解為測量儀器所提供的標(biāo)準(zhǔn)量值的不確定度。如果儀器經(jīng)過校準(zhǔn)，有時也將儀器示值誤差的不確定度稱為儀器的不確定度。（四）測量誤差和測量不確定度小結(jié)1、誤差和不確定度是兩個完全不同而相互有聯(lián)系的概念，它們相互之間并不排斥。不確定度不是對誤差的否定，相反，它是誤差理論的進(jìn)一步發(fā)展。2、用測量不確定度評定代替過去的誤差評定，決不是簡單地將“誤差”改成“不確定度”就可以了。也不表示“誤差”

33、一詞不能再使用。誤差和不確定度的定義和概念是不同的，因此不能混淆和誤用。應(yīng)該根據(jù)誤差和不確定度的定義和它們之間的區(qū)別來加以判斷。應(yīng)該用誤差的地方就用誤差，應(yīng)該用不確定度的地方就用不確定度。3、誤差僅與測量結(jié)果及被測量的真值或約定真值有關(guān)。對于同一個被測量，不管測量儀器、測量方法、測量條件如何，相同測量結(jié)果的誤差總是相同的。而在重復(fù)性條件下進(jìn)行多次重復(fù)測量，得到的測量結(jié)果一般是不同的，因此它們的測量誤差也不同。4、測量不確定度和測量儀器、測量方法、測量條件、測量程序以及數(shù)據(jù)處理方法有關(guān)，而與在重復(fù)性條件下得到的具體測量結(jié)果數(shù)值大小無關(guān)。在重復(fù)性條件下進(jìn)行測量時，不同測量結(jié)果的不確定度是相同的，但

34、它們的誤差則肯定不同。5、若已知測量誤差，就可以對測量結(jié)果進(jìn)行修正，得到已修正的測量結(jié)果。而不確定度是不能用來對測量結(jié)果進(jìn)行修正的。在評定已修正測量結(jié)果的不確定度時，必要考慮修正值的不確定度。6、誤差是一個確定的數(shù)值，因此誤差合成時應(yīng)采用代數(shù)相加的方法。不確定度表示被測量之值的分布區(qū)間，當(dāng)各不確定度分量不相關(guān)或相互獨(dú)立時，各不確定度分量的合成采用幾何相加的方法，即常用的方和根法。7、測量儀器沒有不確定度，因為沒有對儀器的不確定度下過定義。因此一般不要采用“測量儀器的不確定度”這種說法，但可將測量儀器的不確定度理解為儀器所提供的標(biāo)準(zhǔn)量值的不確定度，或在測量結(jié)果中由測量儀器引入的不確定度分量，因此

35、實際上應(yīng)該說“測量儀器引入的不確定度”。不確定度這一參數(shù)不是測量儀器的固有特性。表征測量儀器性能的術(shù)語時示值誤差或最大允許誤差，它們與用測量引起得到的測量結(jié)果的不確定度有關(guān)。8、計量標(biāo)準(zhǔn)裝置的情況與測量儀器相類似，但更復(fù)雜一些，一般也不要采用“計量標(biāo)準(zhǔn)裝置的不確定度”這種說法?？梢詫ⅰ坝嬃繕?biāo)準(zhǔn)裝置的不確定度”理解為計量標(biāo)準(zhǔn)裝置所提供的標(biāo)準(zhǔn)量值的不確定度，或理解為在測量結(jié)果的不確定度中，由計量標(biāo)準(zhǔn)裝置（包括裝置中的所有測量儀器、配套設(shè)備以及測量方法）所引入的不確定度分量。因此實際上也應(yīng)該是“計量標(biāo)準(zhǔn)裝置引入的不確定度”。9、測量儀器有兩種使用方式：加修正值使用和不加修正值使用。若測量儀器經(jīng)過校準(zhǔn)

36、而已知其示值誤差，則有可能加修正值使用。在這種情況下，有時將示值誤差的不確定度（即修正值的不確定度）稱為該測量儀器的不確定度。若測量儀器未經(jīng)過校準(zhǔn)，則通常不加修正值使用。此時其最大允許誤差就可作為評定該儀器在測量結(jié)果種所引入的不確定度分量的依據(jù)。在已知分布的情況下，通過B類評定，可以由最大允許誤差得到該分量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。10、過去人們經(jīng)常會誤用“誤差”一詞，即通過誤差分析得到的往往是被測量值不能確定的范圍，它表示一個區(qū)間，而不是真正的誤差值。真正的誤差值應(yīng)該與測量結(jié)果有關(guān)。（五）測量不確定度來源1、被測量的定義不完整；2、復(fù)現(xiàn)被測量的測量方法不理想；3、取樣的代表性不夠，即被測樣本不能完全代

37、表所定義的被測量；4、對測量過程受環(huán)境影響的認(rèn)識不恰如其分或?qū)Νh(huán)境參數(shù)的測量與控制不完善；5、對模擬式儀表的讀書存在人為的偏移；6、測量儀器的計量性能（如靈敏度、鑒別力、死區(qū)及穩(wěn)定性等）的局限性；7、測量標(biāo)準(zhǔn)或標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的不確定度；8、引用的數(shù)據(jù)或其他參數(shù)的不確定度；9、測量方法和測量程序的近似和假設(shè)；10、在相同條件下被測量在重復(fù)觀測中的變化。（六）不確定度評定中有關(guān)名詞及相關(guān)術(shù)語1、標(biāo)準(zhǔn)不確定度（u）：以標(biāo)準(zhǔn)偏差表示的測量不確定度2、合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度（uc）：當(dāng)測量結(jié)果是由若干個其他量的值求得時，按方差或（和）協(xié)方差算得的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。注：盡量回避相關(guān)或半死半活相關(guān)。3、擴(kuò)展不確定度U：確定

38、測量結(jié)果區(qū)間的量，合理賦予被測量之值分布的大部分可望含于此區(qū)間，它可用合成不確定度乘以包含因子U=kuc。4、A類不確定度ucA：用對觀測列進(jìn)行統(tǒng)計分析方法所得，最常用Beseel公式，還有別提爾斯法、極差法和最大殘差法。5、B類不確定度（ucB）用不同于對觀測列進(jìn)行統(tǒng)計的方法所得，常用基于經(jīng)驗，其它信息假定的概率等。6、包含因子（k、kp）：為獲得擴(kuò)展不確定度所乘的數(shù)字因子。說明：a、一般以k表示 k=b、置信概率為p時的包含因子 kp=c、其值在23范圍內(nèi)7、自由度：反映了相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)不確定度的可靠程度，它用來評定不確定度質(zhì)量說明：a、在方差計算中，自由度為和的項數(shù)減去限制數(shù)，記為A類Bese

39、el公式中，=n-1。用極差法 和n關(guān)系可查表。b、B類不確定度分量自由度估計法c、合成不確定度uc的自由度稱有效自由度：以表示。8、相關(guān)系數(shù)：是兩個變量之間相互依賴性度量，它等于兩個變量間的協(xié)方差除之各自方差之積的正平方根：p(y.z)= 說明：a、求相關(guān)系數(shù)p (y.z)很復(fù)雜，為此用簡化處理。b、相關(guān)系數(shù)p只取-1，0，+1三個值，負(fù)相關(guān)取-1；正相關(guān)取+1，不相關(guān)取0，一般采用不相關(guān)。c、強(qiáng)相關(guān)各分量，合成時采用線性相加減；不相關(guān)分量合成時采用方差相加。9、靈敏系數(shù) 中的即為靈敏系數(shù)說明：a、由數(shù)學(xué)模型的函數(shù)求得，若y=f（x1xn），則；b、由實驗求得。（七）、測量不確定度評定步驟1

40、、概述（包括測量依據(jù)、測量環(huán)境、測量標(biāo)準(zhǔn)、測量對象、測量過程）；2、數(shù)學(xué)模型；3、方差和靈敏系數(shù)；4、計算標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量（包括A類、B類）；5、標(biāo)準(zhǔn)不確定度一覽表（包括不確定度來源）；6、合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度和有效自由度（適用時）；7、擴(kuò)展不確定度；8、報告與表示。（八）測量不確定度評定方法1、概述分五點(diǎn)說明，即測量依據(jù)、測量環(huán)境、測量標(biāo)準(zhǔn)、測量對象和測量過程。這五點(diǎn)是以下評定過程中要用到的內(nèi)容。（1）測量依據(jù)：屬于檢定或校準(zhǔn)的，其依據(jù)是檢定規(guī)程或校準(zhǔn)規(guī)范；屬于檢測的，可以是標(biāo)準(zhǔn)或檢驗方法；（2）測量環(huán)境：是規(guī)程、規(guī)范或標(biāo)準(zhǔn)、檢驗方法要求的溫度、濕度等環(huán)境條件，并可寫上本次測量的環(huán)境條件，以便考

41、慮是否由環(huán)境條件引起的不確定度分量。（3）測量標(biāo)準(zhǔn)：檢定、校準(zhǔn)時，應(yīng)寫明所用的計量標(biāo)準(zhǔn)的名稱、測量范圍、準(zhǔn)確度或測量不確定度；檢測時，應(yīng)寫明所用檢測設(shè)備的名稱、測量范圍和準(zhǔn)確度或測量不確定度。（4）測量對象：寫檢定、校準(zhǔn)的計量器具或檢測的物理量。如長度、電壓、電流等。同時要寫明計量器具的名稱、測量范圍、準(zhǔn)確度或檢測物理量的基本誤差要求。（5）測量過程：要寫明測量的過程和方法，這樣就把下一步數(shù)學(xué)模型也交代清楚了。最后還應(yīng)說明本次測量是以某測量點(diǎn)為例，這樣既體現(xiàn)了測量不確定度是與測量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)，又為計算相對測量不確定度提供了數(shù)據(jù)。2、建立數(shù)學(xué)模型式中：y為被測量的估計值，輸出量；x1xn對測

42、量不確定度做出貢獻(xiàn)的輸入量。說明：a、數(shù)學(xué)模型不是唯一的；b、數(shù)學(xué)模型是測量不確定度評定的依據(jù)，特別應(yīng)包括對不確定度有不可忽視影響的輸入量；c、數(shù)學(xué)模型可以是復(fù)雜的，也可以非常簡單，特別是檢測時的數(shù)學(xué)模型y=x；d、數(shù)學(xué)模型可從測量原理導(dǎo)出，也可由實驗方法確定；e、建立數(shù)學(xué)模型時，要盡量找到所有影響不確定度的來源，做到不遺漏，不重復(fù)。3、方差和靈敏系數(shù)（1）方差：說明：a、為輸出估計值y的合成方差； b、為輸出估計值y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，是的正平方根；它表征合理賦予y值的分散性； c、上式只是全部輸入量為彼此不相關(guān)時方差式子；并稱為不確定度傳播律； d、式中u(xi)可以按A類，也可按B類方法

43、求得；（2）靈敏系數(shù)：是在Xi = i時導(dǎo)出的，它描述y如何隨變化而變化（3）求靈敏系數(shù)的方法： a、對數(shù)學(xué)模型求偏導(dǎo)數(shù) 例：P=f（V、R0、a、t）= b、用實驗方法：即通過xi的一個微小的變化，其余不變,求得相應(yīng)y變化，則靈敏系數(shù)4、計算標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量 （1）A類評定 1）用被測儀器的重復(fù)性來表示 Beseel公式說明：a、當(dāng)測量結(jié)果取其中任一次，則u()=s；b、當(dāng)測量結(jié)果取算術(shù)平均值，則；c、當(dāng)測量結(jié)果取n次中的m次平均值，則；d、自由度：。e、n選定：一般 5n10 2）極差法：一般測量次數(shù)較少時采用此法。式中， R重復(fù)測量中最大值與最小值之差； 極差系數(shù)c及自由度可查表2-3-

44、5表2-3-5極差系數(shù)c及自由度n23456789c1.131.692.062.332.532.702.852.970.91.82.73.64.55.36.06.8（2）B類評定1）B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度信息來源a、以前觀測數(shù)據(jù)；b、對有關(guān)技術(shù)資料和測量儀器特性的了解和經(jīng)驗；c、生產(chǎn)部門提供的技術(shù)說明文件，如說明書等；d、校準(zhǔn)證書、檢定證書或其它文件提供的數(shù)據(jù)、準(zhǔn)確度的等級，包括暫用的極限誤差等；e、手冊或某資料給出的參數(shù)數(shù)據(jù)及其不確定度；f、規(guī)定實驗方法的國家標(biāo)準(zhǔn)或類似技術(shù)文件中給出的重復(fù)性限r(nóng)或復(fù)現(xiàn)性限R。用這類方法得到的估計方差，可稱為B類方差。即為B類標(biāo)準(zhǔn)差。2）不同信息的B類標(biāo)準(zhǔn)差a、已知

45、擴(kuò)展不確定度U和包含因子k，則 ；b、已知擴(kuò)展不確定度Up，如U95,U99，若為正態(tài)分布，正態(tài)分布中的p%和kp關(guān)系見表2-3-6。表2-3-6正態(tài)分布中的p%與kp關(guān)系p%5068.27909595.459999.73kp0.671 *1.6451.9602 *2.5763 *c、已知擴(kuò)展不確定度Up和置信概率及有效自由度的t分布，則需查t分布表得，再據(jù)上式求。見附錄以上三種情況中的U和Up可以從校準(zhǔn)證書中得到。d、已知置信區(qū)間半寬度a和對應(yīng)于置信概率的包含因子k，則e、其它幾種分布，除t分布外，還有均勻，三角，反正弦，梯形，兩點(diǎn)等分布，已知半寬度為a，且a區(qū)間內(nèi)概率p=100%，則常用分

46、布與k、u()關(guān)系見表2-3-1f、界限不對稱，求=g、由重復(fù)性限r(nóng)或復(fù)現(xiàn)性限R求 r/2.83 R/2.83 (r、R置信水平95% ，正態(tài)) 證：yx1x2r u2(y)u2(x1)u2(2)2u2(x) u (yu (xi) 當(dāng)p = 95%，則k=2 擴(kuò)展不確定度 = 2 =r/2.83 同理=R/2.83h、以“等”使用儀器的當(dāng)證書上給出準(zhǔn)確度等別時，可按檢定系統(tǒng)表或檢定規(guī)程所規(guī)定的擴(kuò)展不確定度或Up和k或kp值，則 = 或 =可找出Up、p與時，按t分布處理=i、以“級”使用儀器的當(dāng)證書上給出準(zhǔn)確度級別時，可按檢定系統(tǒng)或檢定規(guī)程所規(guī)定的最大允許誤差A(yù)則=j、數(shù)字式儀表分辨力引起示值

47、的，見圖8。若分辨力為（步進(jìn)量）作均勻分布處理， 則 a = 0.5 3）B類評定中的自由度a、關(guān)系式：式中：標(biāo)準(zhǔn)不確定度的相對不確定度，即不確定度的不確定度，是一種二次或二階不確定度。按上式可計算，見表2-3-7。表2-3-7 與關(guān)系010%5020%1225%830%640%350%2 b、為的估計估計法 校準(zhǔn)證書上給出U或Up，若穩(wěn)定性好，校準(zhǔn)時間不長，保存好； 按最大允差或級別所評出的； 按等別不確定度檔次界限所作出的評定； 按引用誤差或其相應(yīng)級別作出的評定； B類常根據(jù)-a,+a區(qū)間信息評定，認(rèn)為落在區(qū)間外的概率極小的； 數(shù)顯儀器量化誤差和數(shù)據(jù)修約引起不確定度； 若為均勻、三角、梯形

48、分布，其外概率為0，故為。5、標(biāo)準(zhǔn)不確定度一覽表（包括A、B類），見表2-3-8標(biāo)準(zhǔn)不確定度不確定度來源標(biāo)準(zhǔn)不確定度值靈敏系數(shù)自由度6、合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度（1）合成不確定度的量值1）當(dāng)各輸入量xi彼此獨(dú)立不相關(guān)時，則合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度2）當(dāng)=1時，則3）當(dāng)輸入量之間相關(guān)時，要考慮相關(guān)系數(shù)p=r(rij)在檢測中，p只取-1，0，+1。a、當(dāng)p = 0 ,合成時用均方根法；b、當(dāng)p = -1，合成時用線性相減；c、當(dāng)p = +1，合成時用線性相加。（2）合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度有效自由度可由韋爾奇薩特斯韋特(Welch-Satterthwaite)公式計算：式中：合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度靈敏系數(shù)各輸入量標(biāo)準(zhǔn)

49、不確定度，且相互獨(dú)立的自由度有效自由度，且，計算結(jié)果修約時其值只能舍，不許進(jìn)。7、擴(kuò)展不確定度U或UP可用合成不確定度乘以包含因子k得到擴(kuò)展不確定度，即或。對于包含因子的選擇：（1）在合成不確定度確定后，要乘以包含因子k，則k=2-3。 說明：a、y接近正態(tài)分布，有效自由度較大 b、一般取k=2； c、當(dāng)取其它值時，應(yīng)說明其來源。（2）如果的自由度較小、并要求區(qū)間具有規(guī)定的置信水準(zhǔn)p、則kp采用t分布臨界值，即簡稱t值，從查t分布表得到。說明：a、y接近正態(tài)分布，kp才取t值； b、一般p值為99%和95%，多數(shù)情況采用p =95%； c、只有在校準(zhǔn)、檢定時，根據(jù)規(guī)定，才取p =99%； d、當(dāng)充分大時，近似認(rèn)為k95=2，k99=3。（3）y不是正態(tài)分布，而且接近于其它某種分布，就不能用k=2-3或。若y為矩形分布，則U95時,kp=1.65；U99時,kp=1