傅立葉積分變換

1、積分變換簡(jiǎn)介所謂積分變換，實(shí)際上就是通過積分運(yùn)算，把一個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)函數(shù)的一種變換.這類積分一般要含有參變量，具體形式可寫為：這里是要變換的函數(shù)，稱為原像函數(shù)；是變換后的函數(shù)，稱為像函數(shù)；是一個(gè)二元函數(shù)，稱為積分變換核 .數(shù)學(xué)中經(jīng)常利用某種運(yùn)算先把復(fù)雜問題變?yōu)楸容^簡(jiǎn)單的問題，求解后，再求其逆運(yùn)算就可得到原問題的解. 如，初等數(shù)學(xué)中，曾經(jīng)利用取對(duì)數(shù)將數(shù)的積、商運(yùn)算化為較簡(jiǎn)單的和、差運(yùn)算； 再如，高等數(shù)學(xué)中的代數(shù)變換，解析幾何中的坐標(biāo)變換，復(fù)變函數(shù)中的保角變換，其解決問題的思路都屬于這種情況.基于這種思想，便產(chǎn)生了積分變換.其主要體現(xiàn)在： 數(shù)學(xué)上：求解方程的重要工具； 能實(shí)現(xiàn)卷積與普通乘積之間的

2、互相轉(zhuǎn)化. 工程上：是頻譜分析、信號(hào)分析、線性系統(tǒng)分析的重要工具. § 傅里葉級(jí)數(shù)與積分1傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式 在高等數(shù)學(xué)中有下列定理： 定理1.1 設(shè)是以為周期的實(shí)函數(shù)，且在上滿足狄利克雷條件，即在一個(gè)周期上滿足：（1）連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)； （2）只有有限個(gè)極值點(diǎn). 則在連續(xù)點(diǎn)處，有 (1)其中,在間斷點(diǎn)處，(1)式右端級(jí)數(shù)收斂于 .又,.于是 令, , 則 (2)(2）式稱為傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式，具有明顯的物理意義. 容易證明可以合寫成一個(gè)式子 ,即. (3)2傅里葉積分 任何一個(gè)非周期函數(shù) , 都可看成是由某個(gè)周期函數(shù)當(dāng)T+時(shí)轉(zhuǎn)化而來的. 即.由公式(2)、(3)得

3、,可知,令,則或.于是 ,令, 故. (4)注意到當(dāng)即時(shí),.從而按照積分的定義，（4）可以寫為： ，或者. (5)公式（5）稱為函數(shù)的傅氏積分公式. 定理1.2 若在(-, +)上滿足條件: (1) 在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件; (2) 在無限區(qū)間(-, +)上絕對(duì)可積,即收斂, 則（5）在的連續(xù)點(diǎn)成里; 而在的間斷點(diǎn)處應(yīng)以來代替.上述定理稱為傅氏積分定理. 可以證明，當(dāng)滿足傅氏積分定理?xiàng)l件時(shí)，公式(5)可以寫為三角形式，即 (6)§12 傅里葉積分變換上一節(jié)介紹了：當(dāng) 滿足一定條件時(shí)，在的連續(xù)點(diǎn)處有： .從上式出發(fā)，設(shè) (1)則 (2)稱(1)式，即為的傅里葉變換簡(jiǎn)稱傅氏變換,記

4、為F.稱(2)式，即為傅里葉逆變換簡(jiǎn)稱傅氏逆變換,記為F.(1)式和(2)式，定義了一個(gè)變換對(duì)和也稱為的像函數(shù)；為的原像函數(shù) ,還可以將和用箭頭連接: .例1求函數(shù)的傅氏變換及其積分表達(dá)式其中 .這個(gè)函數(shù)稱為指數(shù)衰減函數(shù),在工程中常遇到. 解:根據(jù)定義, 有 =.這就是指數(shù)衰減函數(shù)的傅氏變換.根據(jù)積分表達(dá)式的定義,有 注意到，上式可得.因此例2求的傅氏變換其中 -鐘形脈沖函數(shù). 解:根據(jù)定義, 有,.這里利用了以下 結(jié)果： .2傅里葉變換的物理意義 如果仔細(xì)分析周期函數(shù)和非周期函數(shù)的傅氏積分表達(dá)式 ,以及和的表達(dá)式 ,由此引出以下術(shù)語： 在頻譜分析中, 傅氏變換又稱為的頻譜函數(shù), 而它的模稱為

5、的振幅頻譜(亦簡(jiǎn)稱為譜). 由于是連續(xù)變化的, 我們稱之為連續(xù)頻譜, 因此對(duì)一個(gè)時(shí)間函數(shù)作傅氏變換, 就是求這個(gè)時(shí)間函數(shù)的頻譜. 顯然，振幅函數(shù)是角頻率的偶函數(shù), 即,的輻角稱為相角頻譜, 顯然 ,相角頻譜是的奇函數(shù). 例3 求單個(gè)矩形脈沖函數(shù)的頻譜圖. 解：,頻譜為.請(qǐng)畫出其頻譜圖. 以上術(shù)語初步揭示了傅氏變換在頻譜分析中的應(yīng)用，更深入詳細(xì)的理論會(huì)在有關(guān)專業(yè)課中詳細(xì)介紹！§ 單位脈沖函數(shù)在物理和工程技術(shù)中, 有許多物理、力學(xué)現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì). 它反映出除了連續(xù)分布的量以外，還有集中于一點(diǎn)或一瞬時(shí)的量，例如沖力、脈沖電壓、點(diǎn)電荷、質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等等. 研究此類問題需要引入一個(gè)新的函數(shù)，把

6、這種集中的量與連續(xù)分布的量來統(tǒng)一處理。單位脈沖函數(shù)，又稱狄拉克（Dirac）函數(shù)，簡(jiǎn)記為一函數(shù)，便是用來描述這種集中量分布的密度函數(shù). 下面我們通過兩個(gè)具體的例子，說明這種函數(shù)引入的必要性.1在原來電流為零的電路中, 某一瞬時(shí)(設(shè)為)進(jìn)入一單位電量的脈沖, 現(xiàn)在要確定電路上的電流, 以表示上述電路中的電荷函數(shù), 則 由于電流強(qiáng)度是電荷函數(shù)對(duì)時(shí)間的變化率, 即 ,所以, 當(dāng)時(shí), 0;當(dāng)時(shí),由于不連續(xù), 從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下, 在這一點(diǎn)是不能求導(dǎo)數(shù)的. 如果我們形式地計(jì)算這個(gè)導(dǎo)數(shù), 得 (),這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個(gè)函數(shù)能夠表示這樣的電流強(qiáng)度. 為此, 引進(jìn)一稱為狄拉克(Dirac)

7、的函數(shù). 有了這種函數(shù), 對(duì)于許多集中于一點(diǎn)或一瞬時(shí)的量, 例如點(diǎn)電荷點(diǎn)源, 集中于一點(diǎn)的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常窄的脈沖等, 就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣, 以統(tǒng)一的方式加以解決. 1 單位脈沖函數(shù)的定義 定義1如果函數(shù)稱滿足,（當(dāng)時(shí)），或者，其中是含有的任何一個(gè)區(qū)間，則稱為一函數(shù). 更一般的情況下,如果函數(shù)滿足,（當(dāng)時(shí)），或者，其中是含有的任何一個(gè)區(qū)間，則稱為函數(shù).則脈沖函數(shù)的極限為=,而把的積分理解為=.特殊情況下,時(shí)有于是=. 一般工程上都稱一函數(shù)為單位脈沖函數(shù),將一函數(shù)用一個(gè)長(zhǎng)度等于1的有向線段來表示,這線段的長(zhǎng)度表示一函數(shù)的積分值,稱為一函數(shù)的強(qiáng)度.下面我們推出一函數(shù)的一個(gè)重要結(jié)果,

8、稱為一函數(shù)的篩選性質(zhì):若為連續(xù)函數(shù),則有=. (1)更一般情況,有= (2)其中在處連續(xù).由(1)可以求出單位脈沖函數(shù)的傅氏變換.F=可見, 單位脈沖函數(shù)與常數(shù)1構(gòu)成了一傅氏變換對(duì)；同理, 和亦構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對(duì). 同時(shí)，若時(shí)，則由傅氏逆變換得=故1和也構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對(duì)。同理，和亦構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對(duì). 需要指出的是，此處的廣義積分是按(1)式計(jì)算的，不是普通意義下的積分值，我們稱這種傅氏變換為廣義的傅氏變換. 根據(jù)傅氏積分公式，函數(shù)能取傅里葉積分變換的前提條件是它首先應(yīng)絕對(duì)可積即，實(shí)際上這個(gè)條件非常強(qiáng)，它要求常數(shù)、符號(hào)函數(shù)、單位階躍函數(shù)及正余弦函數(shù)等都不滿足絕對(duì)可積的條件! 如此一來，

9、較強(qiáng)的條件使得傅里葉變換的應(yīng)用受到限制. 為克服這一缺陷，我們把單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換應(yīng)用到其他函數(shù)的傅氏變換中，得到它們的廣義傅氏變換. 例1證明單位躍階函數(shù)的傅氏變換為. 證明：首先注意，這里的變換顯然指的是廣義變換. 我們用考察逆變換的方法證明. 事實(shí)上，若,則+為了說明，就必須計(jì)算積分，由積分，有將此結(jié)果代入的表達(dá)式，當(dāng)時(shí)，可得這就表明的傅氏變換為，因此，和構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對(duì)。所以單位躍階函數(shù)的積分表達(dá)式可以寫成 ， 例2 求正弦函數(shù) 的傅氏變換. 解：=.即F=.同理，可得F=注：我們介紹一函數(shù)，主要是提供一個(gè)應(yīng)用工具，而不去追求數(shù)學(xué)上的嚴(yán)謹(jǐn)性.§14 傅里葉變換的性質(zhì)

10、為了能更好的用傅里葉變換這一工具解決各類實(shí)際問題，它的一些基本性質(zhì)必須熟練掌握. 為了敘述方便起見, 假定在這些性質(zhì)中, 凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件, 在證明這些性質(zhì)時(shí), 不再重述這些條件. 1線性性質(zhì)設(shè)分別是的傅氏變換，即,其中是兩個(gè)常數(shù)，則(3.19) .逆變換也具有類似的性質(zhì)，請(qǐng)寫出相應(yīng)的性質(zhì). 2位移性質(zhì) 設(shè)F，則對(duì)于實(shí)常數(shù)有F顯而易見，位移公式的作用是：知道了一個(gè)函數(shù)的變換，便可由此求出其位移函數(shù)的變換！同理可得F推論設(shè)F，則對(duì)于實(shí)常數(shù)，有F，F(xiàn).提示：利用歐拉公式和位移性質(zhì)容易證明. 3微分性質(zhì)如果 在(-, +)上連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn), 且當(dāng)時(shí), 0

11、, 則FF.證明：根據(jù)定義，得 FF.一般地，如果在(-, +)上連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn), 且當(dāng)時(shí), 有 則FF.類似地可推得象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：F.4積分性質(zhì) 如果當(dāng)時(shí), 則FF.5對(duì)稱性質(zhì) 若F，則F,特別地，若偶函數(shù)，則F.思考題：若F，問F?6相似性質(zhì) 若F,則對(duì)于非零實(shí)常數(shù)，有F,特別地，若 ,則F,稱為翻轉(zhuǎn)性質(zhì). §15 卷 積卷積是積分變換中的一個(gè)重要概念，這一運(yùn)算在實(shí)際問題如線性系統(tǒng)分析中有著重要應(yīng)用. 下面著重介紹卷積概念與卷積定理. 1卷積 定義設(shè)函數(shù)在整個(gè)數(shù)軸上有定義, 則 稱為函數(shù)與的卷積, 記為.即=.2卷積的性質(zhì) 2.1 交換律2.2 結(jié)合律.2.3 分

12、配律 .2.4 卷積滿足如下不等式 思考題：?jiǎn)柪? 設(shè)求.解 代入定義,計(jì)算積分=3卷積定理 卷積在積分變換中有著十分重要的的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在卷積定理上. 定理 7.3 設(shè)滿足傅氏積分定理中的條件，記F，F(xiàn)，則 F.證明：根據(jù)定義，有F.類似地，可以證明F可以將不太容易計(jì)算的卷積運(yùn)算化為普通乘法，這就使得卷積在線性系統(tǒng)分析中成為特別有用的方法. 例2 若, 求F. 解：法一,用卷積定理: FFF而由卷積定理,又有FFFFFFF.同理可得由此,最終可得 F.法二,用位移公式: FF.例3 若,求F.解：因?yàn)镕所以由位移公式 FF傅里葉積分變換內(nèi)容小結(jié) 一、概念、術(shù)語 傅里葉積分變換（正變換，逆變

13、換）； 原象函數(shù)，象函數(shù)；函數(shù)（單位脈沖函數(shù)）； 卷積；頻譜函數(shù)；能量譜密度*，相關(guān)函數(shù)* 二、公式、定理 傅里葉積分公式； 函數(shù)性質(zhì)； 傅里葉積分變換性質(zhì)（線性，微分公式， 積分公式，位移公式） 卷積定理； 三、基本運(yùn)算 用定義直接求簡(jiǎn)單函數(shù)的傅里葉變換 用積分變換的性質(zhì)、卷積定理并結(jié)合變換表間接求稍復(fù)雜些函數(shù)的變換 積分變換求解微分方程 §1.6 傅里葉變換的應(yīng)用首先可以用傅里葉變換求解微分積分方程，運(yùn)用傅氏變換的線性性質(zhì), 微分性質(zhì)以及積分性質(zhì), 可以把線性常系數(shù)微（積）分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程, 通過解代數(shù)方程與求傅氏逆變換, 就可以得到原方程的解. 另外, 傅氏變換還可以用來求

14、解一些數(shù)學(xué)物理方程. 例1 求解微分積分方程其中均為常數(shù).解：設(shè)F,F,則,故.例2 求解常微分方程 解：記F,F, 那么方程兩端同取傅里葉變換，并注意到條件及線性關(guān)系、微分公式，得到：即從而將未知函數(shù)的常為微分方程化為其象函數(shù)的代數(shù)方程。求解，得 最后，取逆變換，并應(yīng)用卷積定理和查表 ，得FFFF.其次, 我們要介紹傅氏變換與逆變換在電路與通訊等方面的應(yīng)用.如對(duì)于圖1中所示的串聯(lián)電路, 由電流與電阻上的電壓、電感上的電壓及電容上的電壓滿足如下的關(guān)系式, (1)用、分別表示電壓、電流的傅氏變換, 則由傅氏變換性質(zhì), 有 , (2)而得復(fù)阻抗 (3)對(duì)于串聯(lián)電路, 因?yàn)? (4)則是此電路的等效

15、復(fù)阻抗. 對(duì)于并聯(lián)電路, 因, (5)而是此電路的等效復(fù)阻抗. 以上復(fù)阻抗與使用復(fù)數(shù)歐姆定律求得的是相同的. 對(duì)于圖1所示的RLC串聯(lián)電路, 其總復(fù)阻抗為, (6)以、分別表示輸入電壓、輸出電壓的傅氏變換, 則,因而得串聯(lián)電路的頻率特性 (7),其中如果將(7)式中的代以, 便得傳遞函數(shù). (8)現(xiàn)在介紹用復(fù)數(shù)歐姆定律來求電路的頻率特性. 若電路中某元件(如電阻、電感、或電容)的實(shí)電壓、實(shí)電路分別為、, 這里、表示了與得位相情況, 而, (9)叫做復(fù)電壓與復(fù)電流, 其中. 對(duì)于電阻, 當(dāng), 則，對(duì)于電容, 當(dāng), 則，對(duì)于電感, 當(dāng), 則，將上述用余弦函數(shù)表示的實(shí)電壓、實(shí)電流均表示成指數(shù)形式的復(fù)

16、電壓、復(fù)電流, 則分別得到、上的復(fù)阻抗, (10), (11), (12)以上三式中復(fù)電壓、復(fù)電流、與復(fù)阻抗的關(guān)系式就稱為復(fù)數(shù)歐姆定律, 其中所求的的復(fù)阻抗與用傅式變換求得的復(fù)阻抗表示式(4.3)完全一樣. 由此同樣可得串聯(lián)電路的頻率特性, 如(4.7)式所示.如果輸入實(shí)電壓, 則復(fù)電壓, 從(4.7)即得輸出復(fù)電壓, (13)將上式取實(shí)部, 便得輸出實(shí)電壓即圖中電容上的電壓的穩(wěn)態(tài)量. (14)這里所說電壓的穩(wěn)態(tài)量是指當(dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng)后電壓的近似值. 此外, 從上述串聯(lián)電路的頻率特性還可列出描述電路的微分方程,由(7), 可得,即,所以輸出復(fù)電壓滿足復(fù)形式的微分方程,(15)將上式兩邊取實(shí)部, 便

17、得輸出電壓所滿足的微分方程,(16)而(4.14)式所示電壓的穩(wěn)態(tài)量實(shí)際上是非齊次微分方程(16)的一個(gè)特解, 略去了齊次方程的那一部分解(當(dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng), 這種解將衰減接近于0).其次, 考慮一種最簡(jiǎn)單的低通濾波器, 如圖2所示, 當(dāng)輸入電壓時(shí), 電感上的阻抗為, 電容上的阻抗為. 當(dāng)頻率較低時(shí), 小, 而大, 因此低頻率部分的信號(hào)較易通過, 不易通過, 當(dāng)頻率較高時(shí), 大, 小, 因此高頻率部分的信號(hào)不易通過, 這樣通過負(fù)載電阻的主要是低頻信號(hào). 這種特性也可從電路的頻率特性看出, 以、分別表示輸入復(fù)電壓與輸出復(fù)電壓, 而圖并臂上的復(fù)阻抗與串臂上的復(fù)阻抗分別為,又電路的總復(fù)阻抗為,根據(jù)復(fù)數(shù)歐

18、姆定律, 、, 因此圖中電路的頻率特性為(17),.由于, 從上式可得輸出復(fù)電壓, (18)而輸出實(shí)電壓的穩(wěn)態(tài)量為 (19),從上式看出: 當(dāng)很大時(shí), 的振幅比輸入電壓的振幅小得多, 而當(dāng)很小時(shí), 的振幅接近于, 這也說明了突2中所示的電路是一種低通濾波器. 另外, 從(17)式, 有,由此即可得到輸出電壓所滿足的微分方程.(20)下面介紹傅氏變換在無線電通訊中的某些應(yīng)用. 在近代通訊中, 一種傳遞信號(hào)的重要方式是借助于高頻電磁波在空間中進(jìn)行傳播, 如短波無線電話就是這樣, 其中還要用到連續(xù)信號(hào)或脈沖的調(diào)制和調(diào)解, 而在數(shù)學(xué)理論上則要使用復(fù)式分析的方法. 在§2例4中所述的調(diào)幅信號(hào)就

19、是對(duì)連續(xù)信號(hào)用較高頻率的余弦波進(jìn)行調(diào)制, 而脈沖調(diào)制是用需要傳輸?shù)南⑿盘?hào)去調(diào)制一串矩形脈沖的某些參量(如幅值、相位等)隨消息信號(hào)的強(qiáng)弱而變化, 以下, 我們只討論脈沖調(diào)幅. 為此, 我們來敘述和證明時(shí)間抽樣定理:設(shè)是一個(gè)連續(xù)信號(hào), 其頻率不超過赫茲, 即其頻譜在時(shí)為0, 則可以由在時(shí)間上離散的、相互間隔為秒的瞬時(shí)值完全確定, 并且有. (21)為了導(dǎo)出(21)式, 先對(duì)作傅式變換, 有 (22)又, (23)對(duì)在上進(jìn)行以為周期的開拓, 這樣就可將在上展成復(fù)數(shù)形式的復(fù)式級(jí)數(shù):, (24)其中, (25)將(4.25)與(4.23)進(jìn)行比較, 可知. (26)因此有了樣點(diǎn)值, 便得, 再代入(24), 就可求得, 即, (27)將(27)代入(23), 有 (28),這就是(21)式.從(21)式看出: 由信號(hào)的一串樣點(diǎn)值可以完全確定, 但在實(shí)際通信系統(tǒng)中的信號(hào)都是限制在間隔的某段有限時(shí)間內(nèi), 稱為信號(hào)的持續(xù)時(shí)間, 而在其他時(shí)間內(nèi)的信號(hào)可忽略不計(jì), 因此, 信號(hào)可由間隔為的時(shí)間內(nèi)、相隔為的有限個(gè)函數(shù)值所決定. (21)式中的稱為抽樣函數(shù), 它在處為0, 而在處為1, 幅度隨的增大而衰減, 當(dāng)時(shí),信號(hào)幅度衰減到以下. 又的頻譜函數(shù)為