優(yōu)化設計的數(shù)學基礎

1、一 等值（線）面目標函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n+1維空間中描述出來。為了在n維設計空間中反映目標函數(shù)的變化情況，常采用目標函數(shù)等值面的方法。 對于可計算的函數(shù) f(x)，給定一個設計點 X(k)，f(x)總有一個定值c 與之對應；而當f(x)取定值 c 時，則有無限多個設計點X(i)（i=1,2, ）與之對應，這些點集構成一個曲面，稱為等值面。即具有相等目標函數(shù)值的設計點構成的平面曲線或曲面稱為等值線或等值面。目標函數(shù)F(x)的等值面（線）數(shù)學表達式為：F(x)=C當 c 取c1,c2, 等值時，就獲得一族曲面族，稱為等值面族。等值線的“心”（以二維為例）一個“心”：是單峰函數(shù)

2、的極（?。┲迭c，是全局極（?。┲迭c。沒有“心”：例，線性函數(shù)的等值線是平行的，無“心”，認為極值點在無窮遠處。多個“心”：不是單峰函數(shù)，每個極（?。┲迭c只是局部極（?。┲迭c，必須通過比較各個極值點和“鞍點”（須正確判別）的值，才能確定極（?。┲迭c。等值線的形狀：同心圓族、橢圓族，近似橢圓族；嚴重非線性函數(shù)病態(tài)函數(shù)的等值線族是嚴重偏心和扭曲、分布疏密嚴重不一的曲線族。等值線的疏密：沿等值線密的方向，函數(shù)值變化快；沿等值線疏的方向，函數(shù)值變化慢。等值線的疏密定性反應函數(shù)值變化率。二 方向?qū)?shù)與梯度1 方向?qū)?shù)二元函數(shù)在點x0處沿某一方向s的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)是偏導數(shù)概念的推廣。方向?qū)?shù)與偏導數(shù)之間的

3、數(shù)量關系是n元函數(shù)在點x0處沿s方向的方向?qū)?shù)2 梯度二元函數(shù)的梯度F(x0)為函數(shù)F(x1，x2)在x0點處的梯度。設s方向和梯度方向重合時，方向?qū)?shù)值最大。梯度的模：設 為單位向量 則有梯度方向是函數(shù)值變化最快的方向，而梯度的模就是函數(shù)變化率的最大值。多元函數(shù)的梯度梯度F(x0)的模函數(shù)的梯度方向與函數(shù)等值面相垂直，也就是和等值面上過x0的一切曲線相垂直。由于梯度的模因點而異，即函數(shù)在不同點處的最大變化率是不同的。因此，梯度是函數(shù)的一種局部性質(zhì)。梯度兩個重要性質(zhì)：（搜索方向問題）性質(zhì)一：函數(shù)在某點的梯度不為零，則必與過該點的等值面垂直；性質(zhì)二：梯度方向是函數(shù)具有最大變化率的方向。例題1：求函數(shù)在點3,2T 的梯度。解：在點x(1)=3,2T處的梯度為：例2：試求目標函數(shù) 在點處的最速下降方向，并求沿這個