中考數(shù)學(xué)探究型試題解題策略

1、探究性問題涉及的基礎(chǔ)知識非常廣泛，題目沒有固定的形式，因此沒有固定的解題方法。它既能充分地考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識掌握的熟悉程度，又能較好的考查學(xué)生的觀察、分析、比較、概括的能力，發(fā)散思維能力等，因此復(fù)習(xí)中既要重視基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)，又要加強變式訓(xùn)練和數(shù)學(xué)思想方法的研究，切實提高分析問題、解決問題的能力。例1（宜昌課改）如圖1，已知ABC的高AE=5，BC=，ABC45°，F(xiàn)是AE上的點，G是點E關(guān)于F的對稱點，過點G作BC的平行線與AB交于H、與AC交于I，連接IF并延長交BC于J，連接HF并延長交BC于K（1）請你探索并判斷四邊形HIKJ是怎樣的四邊形？并對你得到的結(jié)論予以證明；（2）當(dāng)點

2、F在AE上運動并使點H、I、K、J都在ABC的三條邊上時，求線段AF長的取值范圍（圖2供思考用）解：(1)點G與點E關(guān)于點F對稱，GF=FEHIBC，GIF=EJF，又GFI=EFJ，GFIEFJ，GI=JE同理可得HG=EK ，HI=JK, 四邊形HIKJ是平行四邊形(注：說明四邊形HIJK是平行四邊形評1分,利用三角形全等說明結(jié)論的正確性評2分)（2）當(dāng)F是AE的中點時，A、G重合，所以如圖1，AE過平行四邊形HIJK的中心F,HG=EK, GI=JE.HG/BE=GI/EC.CEBE,GI HG, CKBJ. 當(dāng)點F在AE上運動時, 點K、J 隨之在BC上運動, 圖1如圖2，當(dāng)點F的位置

3、使得B、J重合時，這時點K仍為CE上的某一點（不與C、E重合），而且點H、I也分別在AB、AC上（這里為獨立評分點，以上過程只要敘述大體清楚，說理較為明確即可評2分，不說明者不評分，知道要說理但部分不正確者評1分）設(shè)EFx，AHGABC45°，AE5，BE5GI，AGHG5-2x ,CE-5AGIAEC，AGAEGICE.(5-2x)55(-5)AF5-x4AF4 圖2說明:本題考查知識較多，主要考查了全等三角形、平行四邊形、相似形的判定及應(yīng)用。練習(xí)一1、(2005年鹽城)在探討圓周角與圓心角的大小關(guān)系時，小亮首先考慮了一種特殊情況（圓心在圓周角的一邊上）如圖(1)所示：AOC是AB

4、O的外角AOC=ABO+BAO又OA=OBOAB=OBA AOC=2ABO即ABC=AOC如果ABC的兩邊都不經(jīng)過圓心，如圖(2)、（3）,那么結(jié)論會怎樣?請你說明理由.2、課題研究：現(xiàn)有邊長為120厘米的正方形鐵皮，準(zhǔn)備將它設(shè)計并制成一個開口的水槽，使水槽能通過的水的流量最大初三（1）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)討論得出結(jié)論：在水流速度一定的情況下，水槽的橫截面面積越大，則通過水槽的水的流量越大為此，他們對水槽的橫截面進行了如下探索：方案：把它折成橫截面為直角三角形的水槽（如圖1）若ACB=90°，設(shè)AC=x厘米，該水槽的橫截面面積為y厘米2，請你寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出x的取值范圍

5、），并求出當(dāng)x取何值時，y的值最大，最大值又是多少？CAB（圖1）CAB方案：把它折成橫截面為等腰梯形的水槽（如圖2）若ABC=120°，請你求出該水槽的橫截面面積的最大值，并與方案中的y的最大值比較大小假如你是該興趣小組中的成員，請你再提供兩種方案，使你所設(shè)計的水槽的橫截面面積更大畫出你設(shè)計的草圖，標(biāo)上必要的數(shù)據(jù)（不要求寫出解答過程）3（綿陽）如圖，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S1、S2、S3表示，則不難證明S1=S2+S3 .(1) 如圖，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之間有什

6、么關(guān)系？(不必證明)(2) 如圖，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用S1、S2、S3表示，請你確定S1、S2、S3之間的關(guān)系并加以證明；(3) 若分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個一般三角形，其面積分別用S1、S2、S3表示，為使S1、S2、S3之間仍具有與(2)相同的關(guān)系，所作三角形應(yīng)滿足什么條件？證明你的結(jié)論；(4) 類比(1)、(2)、(3)的結(jié)論，請你總結(jié)出一個更具一般意義的結(jié)論 .4.（江蘇）取一張矩形的紙片進行折疊，具體操作過程如下：第一步：先把矩形ABCD對折，折痕為MN，如圖（1）；第二步：再把B點疊在折痕線MN上，折痕為AE，點B在MN上的對

7、應(yīng)點為，得RtAE，如圖（2）；第三步：沿EB線折疊得折痕EF，如圖（3）。利用展開圖（4）探究：（1）AEF是什么三角形？（2）對于任一矩形，按照上述方法是否都能折出這種三角形？請說明理由。5、如圖1，操作：把正方形CGEF的對角線CE放在正方形ABCD的邊BC的延長線上（CGBC），取線段AE的中點M。探究：線段MD、MF的關(guān)系，并加以證明。說明：（1）如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3步）；（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程之后，可以從下列、中選取一個補充或更換已知條件，完成你的證明。注意：選取完成證明得10分；選取完成證明得7分；選取

8、完成證明得5分。 DM的延長線交CE于點N，且ADNE； 將正方形CGEF繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)45°（如圖2），其他條件不變；在的條件下且CF2AD。附加題：將正方形CGEF繞點C旋轉(zhuǎn)任意角度后（如圖3），其他條件不變。探究：線段MD、MF的關(guān)系，并加以證明。FMECGADB（3）（2）BACEDFGM例2（連云港）如圖，將一塊直角三角形紙板的直角頂點放在處，兩直角邊分別與軸平行，紙板的另兩個頂點恰好是直線與雙曲線的交點yxFDEABCO·y xONMC A BP（1）求和的值；（2）設(shè)雙曲線在之間的部分為，讓一把三角尺的直角頂點在上滑動，兩直角邊始終與坐標(biāo)軸平行，且與線段交于

9、兩點，請?zhí)骄渴欠翊嬖邳c使得，寫出你的探究過程和結(jié)論知識點：解：（1）在雙曲線上，軸，軸，A，B的坐標(biāo)分別， 又點A，B在直線上， 解得或當(dāng)且時，點A，B的坐標(biāo)都是，不合題意，應(yīng)舍去；當(dāng)且時，點A，B的坐標(biāo)分別為,符合題意且.（2）假設(shè)存在點使得軸，軸，RtRt,設(shè)點P坐標(biāo)為（1x8，則M點坐標(biāo)為，.又，即（） 方程（）無實數(shù)根所以不存在點使得 練習(xí)二1、（包頭）已知一次函數(shù)y1=x，二次函數(shù)y2=x2+。 (1)根據(jù)表中給出的x的值，填寫表中空白處的值；(2分)x3210123y1=x3210123y2=x2+11 (2)觀察上述表格中的數(shù)據(jù)，對于x的同一個值，判斷yl和y2的大小關(guān)系。并證明

10、：在實數(shù)范圍內(nèi)，對于x的同一個值，這兩個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值y1和y2的大小關(guān)系仍然成立； (3)若把y1=x換成與它平行的直線y=x+k(k為任意非零實數(shù))，請進一步探究：當(dāng)k滿足什么條件時，(2)中的結(jié)論仍然成立；當(dāng)k滿足什么條件時，(2)中的結(jié)論不能對任意的實數(shù)x都成立，并確定使(2)中的結(jié)論不成立的x的范圍。2、（北京豐臺）在直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過坐標(biāo)原點O，分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點A、B。（1）如圖，過點A作的切線與y軸交于點C，點O到直線AB的距離為，求直線AC的解析式；（2）若經(jīng)過點M（2，2），設(shè)的內(nèi)切圓的直徑為d，試判斷d+AB的值是否會發(fā)生變化，如果不變，求出其值，如果

11、變化，求其變化的范圍。3、（2005年內(nèi)江）教師提出：如圖A（1,0），ABOA，過點A、B作軸的垂線交二次函數(shù)的圖象于C、D兩點，直線OC交BD于點M，直線CD交軸于點H，記點C、D的橫坐標(biāo)分別為，點H的縱坐標(biāo)為。同學(xué)討論發(fā)現(xiàn)：2 ：3 請你驗證結(jié)論成立；請你研究：如將上述條件“A(1，0)”改為“A”，其他條件不孌，結(jié)論是否仍成立？進一步研究：在的條件下，又將條件“”改為“，其他條件不孌，那么和有怎樣的數(shù)值關(guān)系？(寫出結(jié)果并說明理由)4、（2005深圳南山區(qū)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的面積為15，邊OA比OC大2E為BC的中點，以O(shè)E為直徑的O交軸于D點，過點D作DFAE于點

12、F（1） 求OA、OC的長；（2）求證：DF為O的切線； y·OCBAEDFx(3)小明在解答本題時，發(fā)現(xiàn)AOE是等腰三角形由此，他斷定：“直線BC上一定存在除點E以外的點P，使AOP也是等腰三角形，且點P一定在O外”你同意他的看法嗎？請充分說明理由能力訓(xùn)練1、已知：直線ab，P、Q是直線a上的兩點，M、N是直線b上兩點。（1）如圖，線段PM、QN夾在平行直線a和b之間，四邊形PMNQ為等腰梯形，其兩腰PMQN。PQMNab請你參照圖，在圖中畫出異于圖的一種圖形，使夾在平行直線a和b之間的兩條線段相等。（2）我們繼續(xù)探究，發(fā)現(xiàn)用兩條平行直線a、b去截一些我們學(xué)過的圖形，會有兩條“曲線

13、段相等”（曲線上兩點和它們之間的部分叫做“曲線段”。把經(jīng)過全等變換后能重合的兩條曲線段叫做“曲線段相等”）。請你在圖中畫出一種圖形，使夾在平行直線a和b之間的兩條曲線段相等。ababPQMNabS1S2S3S4nm（3）如圖，若梯形PMNQ是一塊綠化地，梯形的上底PQm，下底MNn，且mn?，F(xiàn)計劃把價格不同的兩種花草種植在S1、S2、S3、S4四塊地里，使得價格相同的花草不相鄰。為了節(jié)省費用，園藝師應(yīng)選擇哪兩塊地種植價格較便宜的花草？請說明理由。2、（2005年河北）操作示例:ADFGC（H）ENBM (2) (1)對于邊長為a的兩個正方形ABCD和EFGH，按圖1所示的方式擺放，在沿虛線BD

14、，EG剪開后，可以按圖中所示的移動方式拼接為圖1中的四邊形BNED。從拼接的過程容易得到結(jié)論：四邊形BNED是正方形；S正方形ABCDS正方形EFGHS正方形BNED。實踐與探究（1）對于邊長分別為a，b（ab）的兩個正方形ABCD和EFGH，按圖2所示的方式擺放，連接DE，過點D作DMDE，交AB于點M，過點M作MNDM，過點E作ENDE，MN與EN相交于點N。證明四邊形MNED是正方形，并用含a，b的代數(shù)式表示正方形MNED的面積；在圖112中，將正方形ABCD和正方形EFGH沿虛線剪開后，能夠拼接為正方形MNED，請簡略說明你的拼接方法（類比圖1，用數(shù)字表示對應(yīng)的圖形）。（2）對于n（n

15、是大于2的自然數(shù)）個任意的正方形，能否通過若干次拼接，將其拼接成為一個正方形？請簡要說明你的理由。3、（2005年潛江、仙桃、江漢油田）我們做一個拼圖游戲：用等腰直角三角形拼正方形。請按下面規(guī)則與程序操作：第一次：將兩個全等的等腰直角三角形拼成一個正方形；第二次：在前一個正方形的四條邊上再拼上四個全等的等腰直角三角形（等腰直角三角形的斜邊與正方形的邊長相等），形成一個新的正方形；以后每次都重復(fù)第二次的操作-(1)請你在第一次拼成的正方形的基礎(chǔ)上，畫出第二次和第三次拼成的正方形圖形；(2)若第一次拼成的正方形的邊長為a，請你根據(jù)操作過程中的觀察與思考填寫下表：操作次數(shù)（n）1234-n每次拼成的

16、正方形面積（s）a2-4、（2005年棗莊）如圖甲，四邊形ABCD是等腰梯形，ABDC由4個這樣的等腰梯形可以拼出圖乙所示的平行四邊形.(1)求四邊形ABCD四個內(nèi)角的度數(shù)；(2)試探究四邊形ABCD四條邊之間存在的等量關(guān)系，并說明理由； (3)現(xiàn)有圖甲中的等腰梯形若干個，利用它們你能拼出一個菱形嗎?若能，請你畫出大致的示意圖5、（2005年泰州）圖1是邊長分別為4和3的兩個等邊三角形紙片ABC和CDE疊放在一起（C與C重合）.（1）操作：固定ABC，將CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)30°得到CDE，連結(jié)AD、BE，CE的延長線交AB于F（圖2）；探究：在圖2中，線段BE與AD之間有怎樣的大

17、小關(guān)系？試證明你的結(jié)論.（4分）（2）操作：將圖2中的CDE，在線段CF上沿著CF方向以每秒1個單位的速度平移，平移后的CDE設(shè)為PQR（圖3）；探究：設(shè)PQR移動的時間為x秒，PQR與ABC重疊部分的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)自變量x的取值范圍.（3）操作：圖1中CDE固定，將ABC移動，使頂點C落在CE的中點，邊BC交DE于點M，邊AC交DC于點N，設(shè)AC C=（30°90°（圖4）；ED圖2圖3DE圖4C/（C/）（C/）探究：在圖4中，線段CN·EM的值是否隨的變化而變化？如果沒有變化，請你求出CN·EM的值，如果有變化，請你

18、說明理由.答案：練習(xí)一1、如果ABC的兩邊都不經(jīng)過圓心, 結(jié)論ABC=AOC仍然成立 (1)對圖2的情況連接BO并延長交圓O于點D 由圖1知: ABD=AODCBD=COD ABD+CBD=AOD+COD即ABC=AOC (2) 對圖3的情況仿圖2的情況可證2、y=, 當(dāng)x=60時,y最大值=1800;過點B作BEAD于E,CFAD于F,設(shè)AB=CD=xcm，梯形的面積為Scm2，則BC=EF=（1202x）cm，ABCDFEAE=DF=x，BE=CF=x ，AD=120x，S=·x（2403x）當(dāng)x=40，S最大值=1200， S最大值y最大值120半徑=方案：正八邊形一半，正十邊

19、形一半，半圓等144°144°144°144°242424242430135°135°135°3030練習(xí)二4. 解：（1）在矩形OABC中，設(shè)OC=x 則OA= x+2，依題意得 解得：（不合題意，舍去） OC=3， OA=5 （2）連結(jié)OD 在矩形OABC中，OC=AB，OCB=ABC=90，CE=BE=OCEABE EA=EO 1=2在O中， OO= OD 1=3 3=2 ODAE， DFAE DFOD又點D在O上，OD為O的半徑 ，DF為O切線。 (3) 不同意.理由如下: 當(dāng)AO=AP時，以點A為圓心，以AO為半徑

20、畫弧交BC于P1和P4兩點過P1點作P1HOA于點H，P1H = OC = 3，A P1= OA = 5A H = 4， OH =1 求得點P1（1，3） 同理可得：P4（9，3） 當(dāng)OA=OP時，同上可求得:：P2（4，3），P3（4，3） 因此，在直線BC上，除了E點外，既存在O內(nèi)的點P1，又存在O外的點P2、P3、P4，它們分別使AOP為等腰三角形。 圖16····OCBAEDF·xP3P1P2P4H13圖162能力訓(xùn)練1、解：（1）P（Q）MNab 或 （2）PQMNabPQMNab圖例： 或 解：（3）PMN和QMN同底等高。SPMN

21、SQMN。S3+S2=S4+S2.S3=S4。POQNOM， S2，mn（題中條件mn），S1+S2S3+S4故園藝師應(yīng)選擇S1和S2兩塊地種植價格較便宜的花草，因為這兩塊的的面積之和大于另兩塊地的面積之和。2、解：（1）證明：由作圖的過程可知四邊形MNED是矩形。在RtADM與RtCDE中，ADCD，又ADMMDCCDEMDC90°，DMDE，四邊形MNED是正方形。，正方形MNED的面積為；過點N作NPBE，垂足為P，如圖2可以證明圖中6與5位置的兩個三角形全等，4與3位置的兩個三角形全等，2與1位置的兩個三角形也全等。所以將6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接為正方形MNED。（2）答：能。理由是：由上述的拼接過程可以看