全高中數(shù)學知識總結3

1、與前面所講的方法不同，反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設而否定結論，從而導出矛盾推理而得。法國數(shù)學家阿達瑪(Hadamard)對反證法的實質作過概括：“若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾”。具體地講，反證法就是從否定命題的結論入手，并把對命題結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明。反證法所依據的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一

2、個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結論”必為假。再根據“排中律”，結論與“否定的結論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據的，反證法是可信的。反證法的證題模式可以簡要的概括我為“否定推理否定”。即從否定結論開始，經過正確無誤的推理導致邏輯矛盾，達到新的否定

3、，可以認為反證法的基本思想就是“否定之否定”。應用反證法證明的主要三步是：否定結論 推導出矛盾 結論成立。實施的具體步驟是：第一步，反設：作出與求證結論相反的假設；第二步，歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；第三步，結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立。在應用反證法證題時，一定要用到“反設”進行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結論成立，這種證法又叫“窮舉法”。在數(shù)學解題中經常使用反證法，牛頓曾經說過

4、：“反證法是數(shù)學家最精當?shù)奈淦髦弧?。一般來講，反證法常用來證明的題型有：命題的結論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“無限”形式出現(xiàn)的命題；或者否定結論更明顯。具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結論入手進行反面思考，問題可能解決得十分干脆。、再現(xiàn)性題組：1. 已知函數(shù)f(x)在其定義域內是減函數(shù)，則方程f(x)0 _。2. 已知a<0,1<b<0，那么a、ab、ab之間的大小關系是_。A. a>ab> ab B. ab>ab>a C. ab>a> ab D. ab> ab>a3. 已知

5、l，a ，b ，若a、b為異面直線，則_。A. a、b都與l相交 B. a、b中至少一條與l相交C. a、b中至多有一條與l相交 D. a、b都與l相交4. 四面體頂點和各棱的中點共10個，在其中取4個不共面的點，不同的取法有_。(97年全國理)A. 150種 B. 147種 C. 144種 D. 141種【簡解】1小題：從結論入手，假設四個選擇項逐一成立，導出其中三個與特例矛盾，選A；2小題：采用“特殊值法”，取a1、b0.5，選D；3小題：從逐一假設選擇項成立著手分析，選B；4小題：分析清楚結論的幾種情況，列式是：CC×436,選D。 S C A O B、示范性題組：例1. 如圖

6、，設SA、SB是圓錐SO的兩條母線，O是底面圓心，C是SB上一點。求證：AC與平面SOB不垂直?！痉治觥拷Y論是“不垂直”，呈“否定性”，考慮使用反證法，即假設“垂直”后再導出矛盾后，再肯定“不垂直”?！咀C明】 假設AC平面SOB， 直線SO在平面SOB內， ACSO， SO底面圓O， SOAB， SO平面SAB， 平面SAB底面圓O，這顯然出現(xiàn)矛盾，所以假設不成立。即AC與平面SOB不垂直。【注】否定性的問題常用反證法。例如證明異面直線，可以假設共面，再把假設作為已知條件推導出矛盾。例2. 若下列方程：x4ax4a30， x(a1)xa0, x2ax2a0至少有一個方程有實根。試求實數(shù)a的取值

7、范圍。【分析】 三個方程至少有一個方程有實根的反面情況僅有一種：三個方程均沒有實根。先求出反面情況時a的范圍，再所得范圍的補集就是正面情況的答案。【解】 設三個方程均無實根，則有：,解得,即<a<1。所以當a1或a時，三個方程至少有一個方程有實根。【注】“至少”、“至多”問題經常從反面考慮，有可能使情況變得簡單。本題還用到了“判別式法”、“補集法”（全集R），也可以從正面直接求解，即分別求出三個方程有實根時（0）a的取值范圍，再將三個范圍并起來，即求集合的并集。兩種解法，要求對不等式解集的交、并、補概念和運算理解透徹。例3. 給定實數(shù)a，a0且a1，設函數(shù)y (其中xR且x)，證明

8、：.經過這個函數(shù)圖像上任意兩個不同點的直線不平行于x軸； .這個函數(shù)的圖像關于直線yx成軸對稱圖像。(88年全國理)?！痉治觥俊安黄叫小钡姆穸ㄊ恰捌叫小保僭O“平行”后得出矛盾從而推翻假設?！咀C明】 設M(x,y)、M(x,y)是函數(shù)圖像上任意兩個不同的點，則xx,假設直線MM平行于x軸，則必有yy，即，整理得a(xx)xxxx a1， 這與已知“a1”矛盾， 因此假設不對，即直線MM不平行于x軸。 由y得axyyx1,即(ay1)xy1,所以x，即原函數(shù)y的反函數(shù)為y，圖像一致。由互為反函數(shù)的兩個圖像關于直線yx對稱可以得到，函數(shù)y的圖像關于直線yx成軸對稱圖像。【注】對于“不平行”的否定性

9、結論使用反證法，在假設“平行”的情況下，容易得到一些性質，經過正確無誤的推理，導出與已知a1互相矛盾。第問中，對稱問題使用反函數(shù)對稱性進行研究，方法比較巧妙，要求對反函數(shù)求法和性質運用熟練。、鞏固性題組：1. 已知f(x)，求證：當xx時，f(x)f(x)。2. 已知非零實數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，ac，求證：、不可能成等差數(shù)列。3. 已知f(x)xpxq，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個不小于 。4. 求證：拋物線y1上不存在關于直線xy0對稱的兩點。5. 已知a、bR，且|a|b|<1，求證：方程xaxb0的兩個根的絕對值均小于1。 A F DB M NE C

10、6. 兩個互相垂直的正方形如圖所示，M、N在相應對角線上，且有EMCN，求證：MN不可能垂直CF。第二章 高中數(shù)學常用的數(shù)學思想一、數(shù)形結合思想方法中學數(shù)學的基本知識分三類：一類是純粹數(shù)的知識，如實數(shù)、代數(shù)式、方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等；一類是關于純粹形的知識，如平面幾何、立體幾何等；一類是關于數(shù)形結合的知識，主要體現(xiàn)是解析幾何。數(shù)形結合是一個數(shù)學思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性

11、，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。恩格斯曾說過：“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的量的關系與空間形式的科學。”數(shù)形結合就是根據數(shù)學問題的條件和結論之間的內在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決?！皵?shù)”與“形”是一對矛盾，宇宙間萬物無不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一。華羅庚先生說過：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休。數(shù)形結合的思想，其實質是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相

12、互轉化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運用數(shù)形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。數(shù)學中的知識，有的本身就可以看作是數(shù)形的結合。如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標系或單位圓來定義的。、再現(xiàn)性題組：5. 設命題甲：0<x<5；命題乙：|x2|<3，那么甲是乙的_。 （90年全國文）6. 若log2<

13、log2<0，則_。(92年全國理)A. 0<a<b<1 B. 0<b<a<1 C. a>b>1 D. b>a>17. 如果|x|,那么函數(shù)f(x)cosxsinx的最小值是_。 (89年全國文)A. B. C. 1 D. 8. 如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3,7上是增函數(shù)且最小值是5，那么f(x)的-7,-3上是_。(91年全國)A.增函數(shù)且最小值為5 B.增函數(shù)且最大值為5C.減函數(shù)且最小值為5 D.減函數(shù)且最大值為5 9. 設全集I(x,y)|x,yR，集合M(x,y)| 1，N(x,y)|yx1，那么等于_。 (90年全國)

14、A. B. (2,3) C. (2,3) D. (x,y)|yx1 10. 如果是第二象限的角，且滿足cossin,那么是_。11. 已知集合E|cos<sin，02，F(xiàn)|tg<sin，那么EF的區(qū)間是_。（93年全國文理）A. (,) B. (,) C. (, ) D. (,) 12. 若復數(shù)z的輻角為，實部為2，則z_。A. 22 B. 22 C. 22 D. 2213. 如果實數(shù)x、y滿足等式(x2)y3，那么的最大值是_。 (90年全國理)A. B. C. D. 14. 滿足方程|z3|的輻角主值最小的復數(shù)z是_。【簡解】1小題：將不等式解集用數(shù)軸表示，可以看出，甲>

15、乙，選A;2小題：由已知畫出對數(shù)曲線，選B；3小題：設sinxt后借助二次函數(shù)的圖像求f(x)的最小值，選D；4小題：由奇函數(shù)圖像關于原點對稱畫出圖像，選B；5小題：將幾個集合的幾何意義用圖形表示出來，選B；6小題：利用單位圓確定符號及象限；選B；7小題：利用單位圓，選A；8小題：將復數(shù)表示在復平面上，選B；9小題：轉化為圓上動點與原點連線的斜率范圍問題；選D；10小題：利用復平面上復數(shù)表示和兩點之間的距離公式求解,答案?！咀ⅰ?以上各題是歷年的高考客觀題，都可以借助幾何直觀性來處理與數(shù)有關的問題，即借助數(shù)軸（題）、圖像（、題）、單位圓（、題）、復平面（、題）、方程曲線（題）。 y 4 y=1

16、-m 1 O 2 3 x、示范性題組：例1. 若方程lg(x3xm)lg(3x)在x(0,3)內有唯一解，求實數(shù)m的取值范圍。【分析】將對數(shù)方程進行等價變形，轉化為一元二次方程在某個范圍內有實解的問題，再利用二次函數(shù)的圖像進行解決。【解】 原方程變形為 即：設曲線y(x2) , x(0,3)和直線y1m，圖像如圖所示。由圖可知： 當1m0時，有唯一解，m1; 當11m<4時，有唯一解，即3<m0, m1或3<m0此題也可設曲線y(x2)1 , x(0,3)和直線ym后畫出圖像求解?！咀ⅰ?一般地，方程的解、不等式的解集、函數(shù)的性質等進行討論時，可以借助于函數(shù)的圖像直觀解決，簡

17、單明了。此題也可用代數(shù)方法來討論方程的解的情況，還可用分離參數(shù)法來求（也注意結合圖像分析只一個x值）。 y A D O B x C例2. 設|z|5，|z|2, |z|，求的值。【分析】 利用復數(shù)模、四則運算的幾何意義，將復數(shù)問題用幾何圖形幫助求解。【解】 如圖，設z、z后，則、如圖所示。由圖可知，|，AODBOC，由余弦定理得：cosAOD(±)2± y A D O x 【另解】設z、如圖所示。則|，且cosAOD，sinAOD±，所以(±)2±，即2±?！咀ⅰ勘绢}運用“數(shù)形結合法”，把共軛復數(shù)的性質與復平面上的向量表示、代數(shù)運算的

18、幾何意義等都表達得淋漓盡致，體現(xiàn)了數(shù)形結合的生動活潑。 一般地，復數(shù)問題可以利用復數(shù)的幾何意義而將問題變成幾何問題，也可利用復數(shù)的代數(shù)形式、三角形式、復數(shù)性質求解。本題設三角形式后轉化為三角問題的求解過程是：設z5(cossin)，zsin)，則|z|(5cos2cos)(5sin2sin)|，所以cos(),sin()±，cos()sin()(±)2±。本題還可以直接利用復數(shù)性質求解，其過程是：由|z|得：（z）(z)zzzz254zz13,所以zz16,再同除以z得4，設z，解得z2±。幾種解法，各有特點，由于各人的立足點與思維方式不同，所以選擇的方

19、法也有別。一般地，復數(shù)問題可以應用于求解的幾種方法是：直接運用復數(shù)的性質求解；設復數(shù)的三角形式轉化為三角問題求解；設復數(shù)的代數(shù)形式轉化為代數(shù)問題求解；利用復數(shù)的幾何意義轉化為幾何問題求解。例3. 直線L的方程為：x (p>0),橢圓中心D(2,0)，焦點在x軸上，長半軸為2，短半軸為1，它的左頂點為A。問p在什么范圍內取值，橢圓上有四個不同的點，它們中每一個點到點A的距離等于該點到直線L的距離？【分析】 由拋物線定義，可將問題轉化成：p為何值時，以A為焦點、L為準線的拋物線與橢圓有四個交點，再聯(lián)立方程組轉化成代數(shù)問題（研究方程組解的情況）?！窘狻?由已知得：a2，b1, A(,0)，設橢

20、圓與雙曲線方程并聯(lián)立有：，消y得：x(47p)x(2p)0所以1664p48p>0,即6p8p2>0，解得：p<或p>1。結合范圍(,4+)內兩根，設f(x)x(47p)x(2p)，所以<<4+即p<，且f()>0、f(4+)>0即p>43。結合以上，所以43<p<?！咀ⅰ?本題利用方程的曲線將曲線有交點的幾何問題轉化為方程有實解的代數(shù)問題。一般地，當給出方程的解的情況求參數(shù)的范圍時可以考慮應用了“判別式法”，其中特別要注意解的范圍。另外，“定義法”、“數(shù)形結合法”、“轉化思想”、“方程思想”等知識都在本題進行了綜合運用。

21、例4. 設a、b是兩個實數(shù)，A(x,y)|xn，ynab （nZ），B(x,y)|xm，y3m15 (mZ)，C(x,y)|xy144，討論是否，使得AB與(a,b)C同時成立。(85年高考)【分析】集合A、B都是不連續(xù)的點集，“存在a、b，使得AB”的含意就是“存在a、b使得nab3n15(nZ)有解（AB時xnm）。再抓住主參數(shù)a、b，則此問題的幾何意義是：動點(a,b)在直線L：nxy3n15上，且直線與圓xy144有公共點，但原點到直線L的距離12?！窘狻?由AB得：nab3n15 ;設動點(a,b)在直線L：nxy3n15上，且直線與圓xy144有公共點，所以圓心到直線距離d3()1

22、2 n為整數(shù) 上式不能取等號，故a、b不存在?！咀ⅰ?集合轉化為點集（即曲線），而用幾何方法進行研究。此題也屬探索性問題用數(shù)形結合法解，其中還體現(xiàn)了主元思想、方程思想，并體現(xiàn)了對有公共點問題的恰當處理方法。本題直接運用代數(shù)方法進行解答的思路是：由AB得：nab3n15 ,即b3n15an （式）；由(a,b)C得，ab144 （式）；把式代入式，得關于a的不等式：(1n)a2n(3n15)a(3n15)1440 （式）,它的判別式4n(3n15)4(1n)(3n15)14436(n3)因為n是整數(shù)，所以n30,因而<0，又因為1n>0,故式不可能有實數(shù)解。所以不存在a、b，使得AB

23、與(a,b)C同時成立、鞏固性題組：1. 已知5x12y60，則的最小值是_。A. B. C. D. 12. 已知集合P(x,y)|y、Q(x,y)|yxb，若PQ，則b的取值范圍是_。A. |b|<3 B. |b|3 C. 3b3 D. 3<b<33. 方程2x2x1的實數(shù)解的個數(shù)是_。4. 方程x10sinx的實根的個數(shù)是_。5. 若不等式m>|x1|x1|的解集是非空數(shù)集，那么實數(shù)m的取值范圍是_。6. 設zcos且|z|1,那么argz的取值范圍是_。7. 若方程x3ax2a0的一個根小于1，而另一根大于1，則實數(shù)a的取值范圍是_。8. sin20°c

24、os80°sin20°·cos80°_。9. 解不等式： >bx10. 設Ax|<1x<3，又設B是關于x的不等式組的解集，試確定a、b的取值范圍，使得AB。 （90年高考副題）11. 定義域內不等式xa恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。12. 已知函數(shù)y，求函數(shù)的最小值及此時x的值。13. 已知zC，且|z|1，求|(z1)(z)|的最大值。14. 若方程lg(kx)2lg(x1)只有一個實數(shù)解，求常數(shù)k的取值范圍。二、分類討論思想方法在解答某些數(shù)學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論

25、法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。引起分類討論的原因主要是以下幾個方面： 問題所涉及到的數(shù)學概念是分類進行定義的。如|a|的定義分a>0、a0、a<0三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。 問題中涉及到的數(shù)學定理、公式和運算性質、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數(shù)列的前n項和的公式，分q1和q1兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質型。 解含有參數(shù)的

26、題目時，必須根據參數(shù)的不同取值范圍進行討論。如解不等式ax>2時分a>0、a0和a<0三種情況討論。這稱為含參型。另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥（沒有重復）；再對所分類逐步進行討論，分級進

27、行，獲取階段性結果；最后進行歸納小結，綜合得出結論。、再現(xiàn)性題組：1集合Ax|x|4,xR，Bx|x3|a，xR，若AB，那么a的范圍是_。A. 0a1 B. a1 C. a<1 D. 0<a<12.若a>0且a1，plog(aa1)，qlog(aa1)，則p、q的大小關系是_。A. pq B. p<q C. p>q D.當a>1時，p>q；當0<a<1時，p<q3.函數(shù)y的值域是_。(0, )，則的值為_。A. 1或1 B. 0或1 C. 0或1 D. 0或1或15.函數(shù)yx的值域是_。A. 2,+) B. (-,-22,+)

28、 C. (-,+) D. -2,26.正三棱柱的側面展開圖是邊長分別為2和4的矩形，則它的體積為_。A. B. C. D. 或7.過點P(2,3)，且在坐標軸上的截距相等的直線方程是_?！竞喗狻?小題：對參數(shù)a分a>0、a0、a<0三種情況討論，選B；2小題：對底數(shù)a分a>1、0<a<1兩種情況討論，選C；3小題：分x在第一、二、三、四象限等四種情況，答案4,-2,0；4小題：分、0<<、<<三種情況，選D；5小題：分x>0、x<0兩種情況，選B；6小題：分側面矩形長、寬分別為2和4、或4和2兩種情況，選D；7小題：分截距等于零

29、、不等于零兩種情況，選C。、示范性題組：例1. 設0<x<1，a>0且a1，比較|log(1x)|與|log(1x)|的大小?！痉治觥?比較對數(shù)大小，運用對數(shù)函數(shù)的單調性，而單調性與底數(shù)a有關，所以對底數(shù)a分兩類情況進行討論。【解】 0<x<1 0<1x<1 , 1x>1 當0<a<1時，log(1x)>0，log(1x)<0，所以|log(1x)|log(1x)|log(1x)log(1x)log(1x)>0; 當a>1時，log(1x)<0，log(1x)>0，所以|log(1x)|log(1x

30、)|log(1x) log(1x)log(1x)>0；由、可知，|log(1x)|>|log(1x)|?！咀ⅰ勘绢}要求對對數(shù)函數(shù)ylogx的單調性的兩種情況十分熟悉，即當a>1時其是增函數(shù)，當0<a<1時其是減函數(shù)。去絕對值時要判別符號，用到了函數(shù)的單調性；最后差值的符號判斷，也用到函數(shù)的單調性。例2. 已知集合A和集合B各含有12個元素，AB含有4個元素，試求同時滿足下面兩個條件的集合C的個數(shù)： . CAB且C中含有3個元素； . CA ?！痉治觥?由已知并結合集合的概念，C中的元素分兩類：屬于A 元素；不屬于A而屬于B的元素。并由含A中元素的個數(shù)1、2、3,而

31、將取法分三種?！窘狻?C·CC·CC·C1084【注】本題是排列組合中“包含與排除”的基本問題，正確地解題的前提是合理科學的分類，達到分類完整及每類互斥的要求，還有一個關鍵是要確定C中元素如何取法。另一種解題思路是直接使用“排除法”，即CC1084。例3. 設a是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S是前n項和。 . 證明： <lgS； .是否存在常數(shù)c>0，使得lg（Sc）成立？并證明結論。(95年全國理)【分析】 要證的不等式和討論的等式可以進行等價變形；再應用比較法而求解。其中在應用等比數(shù)列前n項和的公式時，由于公式的要求，分q1和q1兩種情況。【解】 設a的

32、公比q，則a>0，q>0 當q1時，Sna，從而SSSna(n2)a(n1)aa<0； 當q1時，S，從而SSSaq<0；由上可得SS<S，所以lg(SS)<lg(S)，即<lgS。. 要使lg（Sc）成立，則必有(Sc)(Sc)(Sc),分兩種情況討論如下：當q1時，Sna，則(Sc)(Sc)(Sc)(nac)(n2)ac(n1)aca<0當q1時，S，則(Sc)(Sc)(Sc)c ccaqac(1q) aq0 ac(1q)0即c而ScS<0 對數(shù)式無意義由上綜述，不存在常數(shù)c>0, 使得lg（Sc）成立?！咀ⅰ?本例由所用公式的適

33、用范圍而導致分類討論。該題文科考生改問題為：證明>logS ，和理科第一問類似，只是所利用的是底數(shù)是0.5時，對數(shù)函數(shù)為單調遞減。例1、例2、例3屬于涉及到數(shù)學概念、定理、公式、運算性質、法則等是分類討論的問題或者分類給出的，我們解決時按要求進行分類，即題型為概念、性質型。例4. 設函數(shù)f(x)ax2x2，對于滿足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求實數(shù)a的取值范圍。 1 4 x 1 4 x【分析】 含參數(shù)的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的最大值、最小值等值域問題，需要先對開口方向討論，再對其拋物線對稱軸的位置與閉區(qū)間的關系進行分類討論，最后綜合得解。【解】當a>0

34、時，f(x)a（x）2或或 a1或<a<1或 即 a>；當a<0時，解得；當a0時，f(x)2x2, f(1)0，f(4)6， 不合題意由上而得，實數(shù)a的取值范圍是a> 。【注】本題分兩級討論，先對決定開口方向的二次項系數(shù)a分a>0、a<0、a0三種情況，再每種情況結合二次函數(shù)的圖像，在a>0時將對稱軸與閉區(qū)間的關系分三種，即在閉區(qū)間左邊、右邊、中間。本題的解答，關鍵是分析符合條件的二次函數(shù)的圖像，也可以看成是“數(shù)形結合法”的運用。例5. 解不等式>0 (a為常數(shù)，a)【分析】 含參數(shù)的不等式，參數(shù)a決定了2a1的符號和兩根4a、6a的大小

35、，故對參數(shù)a分四種情況a>0、a0、<a<0、a<分別加以討論。【解】 2a1>0時，a>； 4a<6a時，a>0 。 所以分以下四種情況討論：當a>0時，(x4a)(x6a)>0，解得：x<4a或x>6a；當a0時，x>0，解得：x0；當<a<0時，(x4a)(x6a)>0，解得: x<6a或x>4a；當a>時，(x4a)(x6a)<0，解得： 6a<x<4a 。綜上所述，當a>0時，x<4a或x>6a；當a0時，x0；當<a<0時

36、，x<6a或x>4a；當a>時，6a<x<4a ?！咀ⅰ?本題的關鍵是確定對參數(shù)a分四種情況進行討論，做到不重不漏。一般地，遇到題目中含有參數(shù)的問題，常常結合參數(shù)的意義及對結果的影響而進行分類討論，此種題型為含參型。例6. 設a0,在復數(shù)集C中，解方程：z2|z|a 。 (90年全國高考)【分析】由已知z2|z|a和|z|R可以得到zR，即對z分實數(shù)、純虛數(shù)兩種情況進行討論求解?！窘狻?|z|R，由z2|z|a得：zR； z為實數(shù)或純虛數(shù)當zR時，|z|2|z|a,解得：|z|1 z±(1)；當z為純虛數(shù)時，設z±y (y>0)， y2ya 解得：y1± （0a1）由上可得，z±(1)或±(1±)【注】本題用標準解法（設zxy再代入原式得到一個方程組，再解方程組）過程十分繁難，而挖掘隱含，對z分兩類討論則簡化了數(shù)學問題?！玖斫狻?設zxy，代入得 xy22xya； 當y0時，x2|x|a，解得x±(1)，所以z±(1)；當x0時，y2|y|a，解得y±(1±)，所以&#