同濟(jì)第六版高數(shù)答案(高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題解答)2

1、 1.設(shè)有一平面薄板(不計(jì)其厚度),占有xOy面上的閉區(qū)域D,薄板上分布有密度為m=m(x,y)的電荷,且m(x,y)在D上連續(xù),試用二重積分表達(dá)該板上全部電荷Q.解板上的全部電荷應(yīng)等于電荷的面密度m(x,y)在該板所占閉區(qū)域D上的二重積分. 2.設(shè),其中D1=(x,y)|-1x1,-2y2;又,其中D2=(x,y)|0x1, 0y2.試?yán)枚胤e分的幾何意義說明I1與I2的關(guān)系.解I1表示由曲面z=(x2+y2)3與平面x=1,y=2以及z=0圍成的立體V的體積.I2表示由曲面z=(x2+y2)3與平面x=0,x=1,y=0,y=2以及z=0圍成的立體V1的體積.顯然立體V關(guān)于yOz面、xO

2、z面對(duì)稱,因此V 1是V位于第一卦限中的部分,故V=4V1,即I1=4I2. 3.利用二重積分的定義證明: (1) (其中s為D的面積);證明由二重積分的定義可知,其中Dsi表示第i個(gè)小閉區(qū)域的面積.此處f(x,y)=1,因而f(x,h)=1,所以,. (2) (其中k為常數(shù));證明. (3),其中D=D1D2,D1、D2為兩個(gè)無公共內(nèi)點(diǎn)的閉區(qū)域.證明將D1和D2分別任意分為n1和n2個(gè)小閉區(qū)域和,n1+n2=n,作和.令各和的直徑中最大值分別為l1和l2,又l=max(l1l2),則有,即. 4.根據(jù)二重積分的性質(zhì),比較下列積分大小: (1)與,其中積分區(qū)域D是由x軸,y軸與直線x+y=1所

3、圍成;解區(qū)域D為:D=(x,y)|0x, 0y,x+y1,因此當(dāng)(x,y)D時(shí),有(x+y)3(x+y)2,從而. (2)與,其中積分區(qū)域D是由圓周(x-2)2+(y-1)2=2所圍成;解區(qū)域D如圖所示,由于D位于直線x+y=1的上方,所以當(dāng)(x,y)D時(shí),x+y1,從而(x+y)3(x+y)2,因而. (3)與,其中D是三角形閉區(qū)域,三角頂點(diǎn)分別為(1, 0), (1, 1), (2, 0);解區(qū)域D如圖所示,顯然當(dāng)(x,y)D時(shí), 1x+y2,從而0ln(x+y)1,故有 ln(x+y)2 ln(x+y),因而. (4)與,其中D=(x,y)|3x5. 0y1.解區(qū)域D如圖所示,顯然D位于

4、直線x+y=e的上方,故當(dāng)(x,y)D時(shí),x+ye,從而 ln(x+y)1,因而 ln(x+y)2ln(x+y),故. 5.利用二重積分的性質(zhì)估計(jì)下列積分的值: (1),其中D=(x,y)| 0x1, 0y1;解因?yàn)樵趨^(qū)域D上0x1, 0y1,所以 0xy1, 0x+y2,進(jìn)一步可得 0xy(x+y)2,于是,即. (2),其中D=(x,y)| 0xp, 0yp;解因?yàn)?sin2x1, 0sin2y1,所以0sin2xsin2y1.于是,即. (3),其中D=(x,y)| 0x1, 0y2;解因?yàn)樵趨^(qū)域D上, 0x1, 0y2,所以1x+y+14,于是,即. (4),其中D=(x,y)| x2

5、+y24.解在D上,因?yàn)?x2+y24,所以 9x2+4y2+94(x2+y2)+925.于是,即.習(xí)題9-2 1.計(jì)算下列二重積分: (1),其中D=(x,y)| |x|1, |y|1;解積分區(qū)域可表示為D:-1x1,-1y1.于是. (2),其中D是由兩坐標(biāo)軸及直線x+y=2所圍成的閉區(qū)域:解積分區(qū)域可表示為D: 0x2, 0y2-x.于是. (3),其中D=(x,y)| 0x1, 0y1;解. (4),其中D是頂點(diǎn)分別為(0, 0), (p, 0),和(p,p)的三角形閉區(qū)域.解積分區(qū)域可表示為D: 0xp, 0yx.于是,. 2.畫出積分區(qū)域,并計(jì)算下列二重積分: (1),其中D是由兩

6、條拋物線,所圍成的閉區(qū)域;解積分區(qū)域圖如,并且D=(x,y)| 0x1,.于是. (2),其中D是由圓周x2+y2=4及y軸所圍成的右半閉區(qū)域;解積分區(qū)域圖如,并且D=(x,y)| -2y2,.于是. (3),其中D=(x,y)| |x|+|y|1;解積分區(qū)域圖如,并且D=(x,y)| -1x0,-x-1yx+1(x,y)| 0x1,x-1y-x+1.于是=e-e-1. (4),其中D是由直線y=2,y=x及y=2x軸所圍成的閉區(qū)域.解積分區(qū)域圖如,并且D=(x,y)| 0y2,.于是. 3.如果二重積分的被積函數(shù)f(x,y)是兩個(gè)函數(shù)f1(x)及f2(y)的乘積,即f(x,y)= f1(x)

7、f2(y),積分區(qū)域D=(x,y)| axb,cyd,證明這個(gè)二重積分等于兩個(gè)單積分的乘積,即證明,而,故.由于的值是一常數(shù),因而可提到積分號(hào)的外面,于是得 4.化二重積分為二次積分(分別列出對(duì)兩個(gè)變量先后次序不同的兩個(gè)二次積分),其中積分區(qū)域D是: (1)由直線y=x及拋物線y2=4x所圍成的閉區(qū)域;解 積分區(qū)域如圖所示,并且D=(x,y)|,或D=(x,y)| ,所以或. (2)由x軸及半圓周x2+y2=r2(y0)所圍成的閉區(qū)域;解 積分區(qū)域如圖所示,并且 D=(x,y)|,或D=(x,y)| ,所以,或. (3)由直線y=x,x=2及雙曲線(x0)所圍成的閉區(qū)域;解 積分區(qū)域如圖所示,

8、并且 D=(x,y)|,或D=(x,y)| (x,y)|,所以,或. (4)環(huán)形閉區(qū)域(x,y)| 1x2+y24.解如圖所示,用直線x=-1和x=1可將積分區(qū)域D分成四部分,分別記做D1,D2,D3,D4.于是用直線y=1,和y=-1可將積分區(qū)域D分成四部分,分別記做D1,D2,D3,D4,如圖所示.于是 5.設(shè)f(x,y)在D上連續(xù),其中D是由直線y=x、y=a及x=b(ba)圍成的閉區(qū)域,證明:.證明積分區(qū)域如圖所示,并且積分區(qū)域可表示為D=(x,y)|axb,ayx,或D=(x,y)|ayb,yxb.于是,或.因此. 6.改換下列二次積分的積分次序: (1);解由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域

9、D=(x,y)|0y1, 0xy,如圖.因?yàn)榉e分區(qū)域還可以表示為D=(x,y)|0x1,xy1,所以. (2);解由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域D=(x,y)|0y2,y2x2y,如圖.因?yàn)榉e分區(qū)域還可以表示為D=(x,y)|0x4,所以. (3);解由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域,如圖.因?yàn)榉e分區(qū)域還可以表示為,所以 (4);解由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域,如圖.因?yàn)榉e分區(qū)域還可以表示為,所以. (5);解由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域D=(x,y)|1xe, 0yln x,如圖.因?yàn)榉e分區(qū)域還可以表示為D=(x,y)|0y1,eyxe,所以 (6)(其中a0)解由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域,如圖.因?yàn)榉e分區(qū)域還可以

10、表示為,所以. 7.設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由直線x+y=2,y=x和x軸所圍成,它的面密度為m(x,y)=x2+y2,求該薄片的質(zhì)量.解如圖,該薄片的質(zhì)量為. 8.計(jì)算由四個(gè)平面x=0,y=0,x=1,y=1所圍成的柱體被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立體的體積.解四個(gè)平面所圍成的立體如圖,所求體積為. 9.求由平面x=0,y=0,x+y=1所圍成的柱體被平面z=0及拋物面x2+y2=6-z截得的立體的體積.解立體在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈=(x,y)|0x1, 0y1-x,所求立體的體積為以曲面z=6-x2-y2為頂,以區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積,即. 10.求由曲面z=x2+2y2

11、及z=6-2x2-y2所圍成的立體的體積.解由消去z,得x2+2y2=6-2x2-y2,即x2+y2=2,故立體在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)閤2+y22,因?yàn)榉e分區(qū)域關(guān)于x及y軸均對(duì)稱,并且被積函數(shù)關(guān)于x,y都是偶函數(shù),所以. 11.畫出積分區(qū)域,把積分表示為極坐標(biāo)形式的二次積分,其中積分區(qū)域D是: (1)(x,y)| x2+y2a2(a0);解 積分區(qū)域D如圖.因?yàn)镈=(r,q)|0q2p, 0ra,所以. (2)(x,y)|x2+y22x;解積分區(qū)域D如圖.因?yàn)?所以. (3)(x,y)| a2x2+y2b2,其中0a0)所圍成的閉區(qū)域;解因?yàn)榉e分區(qū)域可表示為D=(x,y)|ay3a,y-ax

12、y,所以. (4),其中D是圓環(huán)形閉區(qū)域(x,y)| a2x2+y2b2.解在極坐標(biāo)下D=(r,q)|0q2p,arb,所以. 16.設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由螺線r=2q上一段弧()與直線所圍成,它的面密度為m(x,y)=x2+y2.求這薄片的質(zhì)量.解區(qū)域如圖所示.在極坐標(biāo)下,所以所求質(zhì)量. 17.求由平面y=0,y=kx(k0),z=0以及球心在原點(diǎn)、半徑為R的上半球面所圍成的在第一卦限內(nèi)的立體的體積.解此立體在xOy面上的投影區(qū)域D=(x,y)|0qarctank, 0rR. 18.計(jì)算以xOy平面上圓域x2+y2=ax圍成的閉區(qū)域?yàn)榈?而以曲面z=x2+y2為頂?shù)那斨w的體積.解曲頂

13、柱體在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈=(x,y)|x2+y2ax.在極坐標(biāo)下,所以.習(xí)題9-3 1.化三重積分為三次積分,其中積分區(qū)域W分別是: (1)由雙曲拋物面xy=z及平面x+y-1=0,z=0所圍成的閉區(qū)域;解積分區(qū)域可表示為W=(x,y,z)| 0zxy, 0y1-x, 0x1,于是. (2)由曲面z=x2+y2及平面z=1所圍成的閉區(qū)域;解積分區(qū)域可表示為,于是. (3)由曲面z=x2+2y2及z=2-x2所圍成的閉區(qū)域;解曲積分區(qū)域可表示為,于是.提示:曲面z=x2+2y2與z=2-x2的交線在xOy面上的投影曲線為x2+y2=1. (4)由曲面cz=xy(c0),z=0所圍成的在第一

14、卦限內(nèi)的閉區(qū)域.解曲積分區(qū)域可表示為,于是.提示:區(qū)域W的上邊界曲面為曲面cz=xy,下邊界曲面為平面z=0. 2.設(shè)有一物體,占有空間閉區(qū)域W=(x,y,z)|0x1, 0y1, 0z1,在點(diǎn)(x,y,z)處的密度為r(x,y,z)=x+y+z,計(jì)算該物體的質(zhì)量.解. 3.如果三重積分的被積函數(shù)f(x,y,z)是三個(gè)函數(shù)f1(x)、f2(y)、f3(z)的乘積,即f(x,y,z)= f1(x)f2(y)f3(z),積分區(qū)域W=(x,y,z)|axb,cyd,lzm,證明這個(gè)三重積分等于三個(gè)單積分的乘積,即.證明. 4.計(jì)算,其中W是由曲面z=xy,與平面y=x,x=1和z=0所圍成的閉區(qū)域.

15、解積分區(qū)域可表示為W=(x,y,z)| 0zxy, 0yx, 0x1,于是. 5.計(jì)算,其中W為平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所圍成的四面體.解積分區(qū)域可表示為W=(x,y,z)| 0z1-x-y, 0y1-x, 0x1,于是.提示:. 6.計(jì)算,其中W為球面x2+y2+z2=1及三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域.解積分區(qū)域可表示為于是. 7.計(jì)算,其中W是由平面z=0,z=y,y=1以及拋物柱面y=x2所圍成的閉區(qū)域.解積分區(qū)域可表示為W=(x,y,z)| 0zy,x2y1,-1x1,于是. 8.計(jì)算,其中W是由錐面與平面z=h(R0,h0)所圍成的閉區(qū)域.解當(dāng)0zh時(shí),過

16、(0, 0,z)作平行于xOy面的平面,截得立體W的截面為圓Dz:,故Dz的半徑為,面積為,于是=. 9.利用柱面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分: (1),其中W是由曲面及z=x2+y2所圍成的閉區(qū)域;解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 0q2p, 0r1,于是. (2),其中W是由曲面x2+y2=2z及平面z=2所圍成的閉區(qū)域.解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 0q2p, 0r2,于是. 10.利用球面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分: (1),其中W是由球面x2+y2+z2=1所圍成的閉區(qū)域.解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 0q2p, 0jp, 0r1,于是. (2),其中閉區(qū)域W由不等式x2+y2+(z-a)

17、2a2,x2+y2z2所確定.解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為,于是. 11.選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算下列三重積分: (1),其中W為柱面x2+y2=1及平面z=1,z=0,x=0,y=0所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域;解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為,于是.別解:用直角坐標(biāo)計(jì)算. (2),其中W是由球面x2+y2+z2=z所圍成的閉區(qū)域;解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為,于是. (3),其中W是由曲面4z2=25(x2+y2)及平面z=5所圍成的閉區(qū)域;解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為,于是. (4),其中閉區(qū)域W由不等式,z0所確定.解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為,于是. 12.利用三重積分計(jì)算

18、下列由曲面所圍成的立體的體積: (1)z=6-x2-y2及;解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 0q2 p, 0r2,rz6-r2,于是. (2)x2+y2+z2=2az(a0)及x2+y2=z2(含有z軸的部分);解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為,于是. (3)及z=x2+y2;解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 0q2p, 0r1,r2zr,于是. (4)及x2+y2=4z.解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為,于是. 13.球心在原點(diǎn)、半徑為R的球體,在其上任意一點(diǎn)的密度的大小與這點(diǎn)到球心的距離成正比,求這球體的質(zhì)量.解密度函數(shù)為.在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 0q2p, 0jp, 0rR,于

19、是.習(xí)題9-4 1.求球面x2+y2+z2=a2含在圓柱面x2+y2=ax內(nèi)部的那部分面積.解位于柱面內(nèi)的部分球面有兩塊,其面積是相同的.由曲面方程z=得,于是. 2.求錐面z=被柱面z2=2x所割下的部分的曲面的面積.解由z=和z2=2x兩式消z得x2+y2=2x,于是所求曲面在xOy面上的投影區(qū)域D為x2+y22x.由曲面方程得,于是. 3.求底面半徑相同的兩個(gè)直交柱面x2+y2=R2及x2+z2=R2所圍立體的表面積.解設(shè)A1為曲面相應(yīng)于區(qū)域D:x2+y2R2上的面積.則所求表面積為A=4A1. 4.設(shè)薄片所占的閉區(qū)域D如下,求均勻薄片的質(zhì)心: (1)D由,x=x0,y=0所圍成;解令密

20、度為m=1.因?yàn)閰^(qū)域D可表示為,所以,所求質(zhì)心為 (2)D是半橢圓形閉區(qū)域;解令密度為m=1.因?yàn)殚]區(qū)域D對(duì)稱于y軸,所以.(橢圓的面積),所求質(zhì)心為. (3)D是介于兩個(gè)圓r=acosq,r=bcosq(0aa0),z=0;解由對(duì)稱性可知,重心在z軸上,故.(兩個(gè)半球體體積的差),所求立體的質(zhì)心為. (3)z=x2+y2,x+y=a,x=0,y=0,z=0.解,所以立體的重心為. 8.設(shè)球體占有閉區(qū)域W=(x,y,z)|x2+y2+z22Rz,它在內(nèi)部各點(diǎn)的密度的大小等于該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方,試求這球體的質(zhì)心.解球體密度為r=x2+y2+z2.由對(duì)稱性可知質(zhì)心在z軸上,即.在球面坐標(biāo)下

21、W可表示為:,于是,故球體的質(zhì)心為. 9.設(shè)均勻薄片(面密度為常數(shù)1)所占閉區(qū)域D如下,求指定的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量: (1),求Iy;解積分區(qū)域D可表示為,于是.提示:. (2)D由拋物線與直線x=2所圍成,求Ix和Iy;解積分區(qū)域可表示為,于是,. (3)D為矩形閉區(qū)域(x,y)|0xa, 0yb,求Ix和Iy.解,. 10.已知均勻矩形板(面密度為常量m)的長(zhǎng)和寬分別為b和h,計(jì)算此矩形板對(duì)于通過其形心且分別與一邊平行的兩軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解取形心為原點(diǎn),取兩旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸,建立坐標(biāo)系.,. 11.一均勻物體(密度r為常量)占有的閉區(qū)域W由曲面z=x2+y2和平面z=0, |x|=a, |y|=a所圍成

22、, (1)求物體的體積;解由對(duì)稱可知. (2)求物體的質(zhì)心;解由對(duì)稱性知. (3)求物體關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解. 12.求半徑為a、高為h的均勻圓柱體對(duì)于過中心而平行于母線的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(設(shè)密度r=1).解建立坐標(biāo)系,使圓柱體的底面在xOy面上,z軸通過圓柱體的軸心.用柱面坐標(biāo)計(jì)算. 13.設(shè)面密度為常量m的勻質(zhì)半圓環(huán)形薄片占有閉區(qū)域,求它對(duì)位于z軸上點(diǎn)M0(0, 0,a)(a0)處單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力F.解引力F=(Fx,Fy,Fz),由對(duì)稱性,Fy=0,而,. 14.設(shè)均勻柱體密度為r,占有閉區(qū)域W=(x,y,z)|x2+y2R2, 0zh,求它對(duì)于位于點(diǎn)M0(0, 0,a)(ah)處單位

23、質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力.解由柱體的對(duì)稱性可知,沿x軸與y軸方向的分力互相抵消,故Fx=Fy=0,而.總習(xí)題九 1.選擇以下各題中給出的四個(gè)結(jié)論中一個(gè)正確的結(jié)論: (1)設(shè)有空間閉區(qū)域W1=(x,y,z)|x2+y2+z2R2,z0,W2=(x,y,z)|x2+y2+z2R2,x0,y0,z0,則有_. (A); (B); (C); (D).解 (C).提示:f(x,y,z)=x是關(guān)于x的奇函數(shù),它在關(guān)于yOz平面對(duì)稱的區(qū)域W1上的三重積分為零,而在W2上的三重積分不為零,所以(A)是錯(cuò)的.類似地, (B)和(D)也是錯(cuò)的.f(x,y,z)=z是關(guān)于x和y的偶函數(shù),它關(guān)于yOz平面和zOx面都對(duì)稱的區(qū)

24、域W1上的三重積分可以化為W1在第一卦部分W2上的三重積分的四倍. (2)設(shè)有平面閉區(qū)域D=(x,y)|-axa,xya,D1=(x,y)|0xa,xya,則=_. (A); (B); (C); (D)0.解 (A). 2.計(jì)算下列二重積分: (1),其中D是頂點(diǎn)分別為(0, 0), (1, 0), (1, 2)和(0, 1)的梯形閉區(qū)域;解積分區(qū)域可表示為D=(x,y)|0x1, 0yx+1,于是. (2),其中D=(x,y)|0ysin x, 0xp;解. (3),其中D是圓周x2+y2=Rx所圍成的閉區(qū)域;解在極坐標(biāo)下積分區(qū)域D可表示為,于是. (4),其中D=(x,y)|x2+y2R2

25、.解因?yàn)榉e分區(qū)域D關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱,所以.因?yàn)?所以. 3.交換下列二次積分的次序: (1);解積分區(qū)域?yàn)?并且D又可表示為D=(x,y)|-2x0, 2x+4y-x2+4,所以. (2);解積分區(qū)域?yàn)镈=(x,y)|0y1, 0x2y(x,y)|1y3, 0x3-y,并且D又可表示為,所以. (3).解積分區(qū)域?yàn)?并且D又可表示為,所以. 4.證明:.證明積分區(qū)域?yàn)镈=(x,y)|0ya, 0xy,并且D又可表示為D=(x,y)|0xa,xya,所以. 5.把積分表為極坐標(biāo)形式的二次積分,其中積分區(qū)域D=(x,y)|x2y1,-1x1.解在極坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為D=D1+D2+D3,其中

26、,所以. 6.把積分化為三次積分,其中積分區(qū)域W是由曲面z=x2+y2,y=x2及平面y=1,z=0所圍成的閉區(qū)域.解積分區(qū)域可表示為W: 0zx2+y2,x2y1,-1x1,所以. 7.計(jì)算下列三重積分: (1),其中W是兩個(gè)球x2+y2+z2R2和x2+y2+z22Rz(R0)的公共部分;解兩球面的公共部分在xOy面上的投影,在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為,所以. (2),其中W是由球面x2+y2+z2=1所圍成的閉區(qū)域;解因?yàn)榉e分區(qū)域W關(guān)于xOy面對(duì)稱,而被積函數(shù)為關(guān)于z的奇函數(shù),所以. (3),其中W是由xOy面上曲線y2=2x繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面x=5所圍成的閉區(qū)域.解曲線y2=

27、2x繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面的方程為y2+z2=2x.由曲面y2+z2=2x和平面x=5所圍成的閉區(qū)域W在yOz面上的投影區(qū)域?yàn)?在柱面坐標(biāo)下此區(qū)域又可表示為,所以. 8.求平面被三坐標(biāo)面所割出的有限部分的面積.解平面的方程可寫為,所割部分在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)?于是. 9.在均勻的半徑為R的半圓形薄片的直徑上,要接上一個(gè)一邊與直徑等長(zhǎng)的同樣材料的均勻矩形薄片,為了使整個(gè)均勻薄片的質(zhì)心恰好落在圓心上,問接上去的均勻矩形薄片另一邊的長(zhǎng)度應(yīng)是多少？解設(shè)所求矩形另一邊的長(zhǎng)度為H,建立坐標(biāo)系,使半圓的直徑在x軸上,圓心在原點(diǎn).不妨設(shè)密度為r=1g/cm3.由對(duì)稱性及已知條件可知,即,從而,即,亦即,從而

28、.因此,接上去的均勻矩形薄片另一邊的長(zhǎng)度為. 10.求曲拋物線y=x2及直線y=1所圍成的均勻薄片(面密度為常數(shù)m)對(duì)于直線y=-1的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解拋物線y=x2及直線y=1所圍成區(qū)域可表示為D=(x,y)|-1x1,x2y1,所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為. 11.設(shè)在xOy面上有一質(zhì)量為M的勻質(zhì)半圓形薄片,占有平面閉域D=(x,y)|x2+y2R2,y0,過圓心O垂直于薄片的直線上有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)P,OP=a.求半圓形薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的引力.解設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, 0,a).薄片的面密度為.設(shè)所求引力為F=(Fx,Fy,Fz).由于薄片關(guān)于y軸對(duì)稱,所以引力在x軸上的分量Fx=0,而,.習(xí)題 10-1 1.設(shè)

29、在xOy面內(nèi)有一分布著質(zhì)量的曲線弧L,在點(diǎn)(x,y)處它的線密度為m(x,y),用對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分分別表達(dá): (1)這曲線弧對(duì)x軸、對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ix,Iy; (2)這曲線弧的重心坐標(biāo),.解在曲線弧L上任取一長(zhǎng)度很短的小弧段ds(它的長(zhǎng)度也記做ds),設(shè)(x,y)為小弧段ds上任一點(diǎn).曲線L對(duì)于x軸和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量元素分別為dIx=y2m(x,y)ds,dIy=x2m(x,y)ds.曲線L對(duì)于x軸和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為,.曲線L對(duì)于x軸和y軸的靜矩元素分別為dMx=ym(x,y)ds,dMy=xm(x,y)ds.曲線L的重心坐標(biāo)為,. 2.利用對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義證明:如果曲線弧L分為兩段

30、光滑曲線L1和L2,則.證明劃分L,使得L1和L2的連接點(diǎn)永遠(yuǎn)作為一個(gè)分點(diǎn),則.令l=maxDsi0,上式兩邊同時(shí)取極限,即得. 3.計(jì)算下列對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分: (1),其中L為圓周x=acos t,y=asin t (0t2p);解=. (2),其中L為連接(1, 0)及(0, 1)兩點(diǎn)的直線段;解L的方程為y=1-x (0x1);. (3),其中L為由直線y=x及拋物線y=x2所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界;解L1:y=x2(0x1),L2:y=x(0x1) . (4),其中L為圓周x2+y2=a2,直線y=x及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個(gè)邊界;解L=L1+L2+L3,其中 L1:x=x,y

31、=0(0xa),L2:x=a cos t,y=a sin t, L3:x=x,y=x,因而,. (5),其中G為曲線x=etcos t,y=etsin t,z=et上相應(yīng)于t從0變到2的這段弧;解,. (6),其中G為折線ABCD,這里A、B、C、D依次為點(diǎn)(0, 0, 0)、(0, 0, 2)、(1, 0, 2)、(1, 3, 2);解G=AB+BC+CD,其中AB:x=0,y=0,z=t (0t1),BC:x=t,y=0,z=2(0t3),CD:x=1,y=t,z=2(0t3),故. (7),其中L為擺線的一拱x=a(t-sin t),y=a(1-cos t)(0t2p);解. (8),其

32、中L為曲線x=a(cos t+t sin t),y=a(sin t-t cos t)(0t2p).解. 4.求半徑為a,中心角為2j的均勻圓弧(線密度m=1)的重心.解建立坐標(biāo)系如圖10-4所示,由對(duì)稱性可知,又,所以圓弧的重心為 5.設(shè)螺旋形彈簧一圈的方程為x=acos t,y=asin t,z=kt,其中012p,它的線密度r(x,y,z)=x2+y2+z2,求: (1)它關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iz; (2)它的重心.解. (1). (2),故重心坐標(biāo)為.習(xí)題 10-2 1.設(shè)L為xOy面內(nèi)直線x=a上的一段,證明:.證明設(shè)L是直線x=a上由(a,b1)到(a,b2)的一段,則L:x=a,y=

33、t,t從b1變到b2.于是. 2. 設(shè)L為xOy面內(nèi)x軸上從點(diǎn)(a, 0)到(b, 0)的一段直線,證明.證明L:x=x,y=0,t從a變到b,所以. 3.計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲線積分: (1),其中L是拋物線y=x2上從點(diǎn)(0, 0)到點(diǎn)(2, 4)的一段弧;解L:y=x2,x從0變到2,所以. (2),其中L為圓周(x-a)2+y2=a2(a0)及x軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個(gè)邊界(按逆時(shí)針方向繞行);解L=L1+L2,其中L1:x=a+acos t,y=asin t,t從0變到p, L2:x=x,y=0,x從0變到2a,因此. (3),其中L為圓周x=Rcost,y=Rsint上對(duì)應(yīng)t

34、從0到的一段弧;解. (4),其中L為圓周x2+y2=a2(按逆時(shí)針方向繞行);解圓周的參數(shù)方程為:x=acos t,y=asin t,t從0變到2p,所以. (5),其中G為曲線x=kq,y=acosq,z=asinq上對(duì)應(yīng)q從0到p的一段弧;解. (6),其中G是從點(diǎn)(1, 1, 1)到點(diǎn)(2, 3, 4)的一段直線;解G的參數(shù)方程為x=1+t,y=1+2t,z=1+3t,t從0變到1. (7),其中G為有向閉折線ABCA,這里的A,B,C依次為點(diǎn)(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1);解G=AB+BC+CA,其中AB:x=x,y=1-x,z=0,x從1變到0,BC

35、:x=0,y=1-z,z=z,z從0變到1,CA:x=x,y=0,z=1-x,x從0變到1,故. (8),其中L是拋物線y=x2上從(-1, 1)到(1, 1)的一段弧.解L:x=x,y=x2,x從-1變到1,故 4.計(jì)算,其中L是: (1)拋物線y=x2上從點(diǎn)(1, 1)到點(diǎn)(4, 2)的一段弧;解L:x=y2,y=y,y從1變到2,故. (2)從點(diǎn)(1, 1)到點(diǎn)(4, 2)的直線段;解L:x=3y-2,y=y,y從1變到2,故 (3)先沿直線從點(diǎn)(1, 1)到(1, 2),然后再沿直線到點(diǎn)(4, 2)的折線;解L=L1+L2,其中L1:x=1,y=y,y從1變到2,L2:x=x,y=2,

36、x從1變到4,故. (4)沿曲線x=2t2+t+1,y=t2+1上從點(diǎn)(1, 1)到(4, 2)的一段弧.解L: x=2t2+t+1,y=t2+1,t從0變到1,故. 5.一力場(chǎng)由沿橫軸正方向的常力F所構(gòu)成,試求當(dāng)一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿圓周x2+y2=R2按逆時(shí)針方向移過位于第一象限的那一段時(shí)場(chǎng)力所作的功.解已知場(chǎng)力為F=(|F|, 0),曲線L的參數(shù)方程為 x=R cos q,y=R sin q,q從0變到,于是場(chǎng)力所作的功為. 6.設(shè)z軸與力方向一致,求質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從位置(x1,y1,z1)沿直線移到(x2,y2,z2)時(shí)重力作的功.解已知F=(0, 0,mg).設(shè)G為從(x1,y1,z1)

37、到(x2,y2,z2)的直線,則重力所作的功為. 7.把對(duì)坐標(biāo)的曲線積分化成對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,其中L為: (1)在xOy面內(nèi)沿直線從點(diǎn)(0, 0)到(1, 1);解L的方向余弦,故. (2)沿拋物線y=x2從點(diǎn)(0, 0)到(1, 1);解曲線L上點(diǎn)(x,y)處的切向量為t=(1, 2x),單位切向量為,故. (3)沿上半圓周x2+y2=2x從點(diǎn)(0, 0)到(1, 1).解L的方程為,其上任一點(diǎn)的切向量為,單位切向量為,故. 8.設(shè)G為曲線x=t,y=t2,z=t3上相應(yīng)于t從0變到1的曲線弧,把對(duì)坐標(biāo)的曲線積分化成對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分.解曲線G上任一點(diǎn)的切向量為t=(1, 2t, 3t2)=(

38、1, 2x, 3y),單位切向量為,.習(xí)題 10-3 1.計(jì)算下列曲線積分,并驗(yàn)證格林公式的正確性: (1),其中L是由拋物線y=x2及y2=x所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線;解L=L1+L2,故,而,所以. (2),其中L是四個(gè)頂點(diǎn)分別為(0, 0)、(2, 0)、(2, 2)、和(0, 2)的正方形區(qū)域的正向邊界.解 L=L1+L2+L3+L4,故,而,所以. 2.利用曲線積分,求下列曲線所圍成的圖形的面積: (1)星形線x=acos3t,y=asin3t;解. (2)橢圓9x2+16y2=144;解橢圓9x2+16y2=144的參數(shù)方程為 x=4cosq,y=3sinq, 0q2p,故. (

39、3)圓x2+y2=2ax.解圓x2+y2=2ax的參數(shù)方程為x=a+acosq,y=asinq, 0q2p,故. 3. 計(jì)算曲線積分,其中L為圓周(x-1)2+y2=2,L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向.解,.當(dāng)x2+y20時(shí).在L內(nèi)作逆時(shí)針方向的e小圓周l:x=ecosq,y=esinq(0q2p),在以L和l為邊界的閉區(qū)域De上利用格林公式得,即.因此. 4.證明下列曲線積分在整個(gè)xOy面內(nèi)與路徑無關(guān),并計(jì)算積分值: (1);解P=x+y,Q=x-y,顯然P、Q在整個(gè)xOy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),而且,故在整個(gè)xOy面內(nèi),積分與路徑無關(guān).取L為點(diǎn)(1, 1)到(2, 3)的直線y=2x-1,x從1變到

40、2,則. (2);解P=6xy2-y3,Q=6x2y-3xy2,顯然P、Q在整個(gè)xOy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),并且,故積分與路徑無關(guān),取路徑(1, 2)(1, 4)(3, 4)的折線,則. (3).解P=2xy-y4+3,Q=x2-4xy3,顯然P、Q在整個(gè)xOy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),并且,所以在整個(gè)xOy面內(nèi)積分與路徑無關(guān),選取路徑為從(1, 0)(1, 2)(2, 1)的折線,則. 5. 利用格林公式,計(jì)算下列曲線積分: (1),其中L為三頂點(diǎn)分別為(0, 0)、(3, 0)和(3, 2)的三角形正向邊界;解L所圍區(qū)域D如圖所示,P=2x-y+4,Q=5y+3x-6,故由格林公式,得.

41、(2),其中L為正向星形線(a0);解,由格林公式. (3),其中L為在拋物線2x=py2上由點(diǎn)(0, 0)到的一段弧;解,所以由格林公式,其中L、OA、OB、及D如圖所示.故. (4),其中L是在圓周上由點(diǎn)(0, 0)到點(diǎn)(1, 1)的一段弧.解P=x2-y,Q=-x-sin2y,由格林公式有,其中L、AB、BO及D如圖所示.故. 6.驗(yàn)證下列P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整個(gè)xOy平面內(nèi)是某一函數(shù)u(x,y)的全微分,并求這樣的一個(gè)u(x,y): (1)(x+2y)dx+(2x+y)dy;證明因?yàn)?所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某個(gè)定義在整個(gè)xOy面內(nèi)的函數(shù)u(x,y )的

42、全微分. (2)2xydx+x2dy;解因?yàn)?所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某個(gè)定義在整個(gè)xOy面內(nèi)的函數(shù)u(x,y)的全微分. (3)4sin xsin3y cosxdx3cos3y cos2xdy解因?yàn)?所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某個(gè)定義在整個(gè)xOy平面內(nèi)的函數(shù)u(x,y)的全微分. (4)解因?yàn)?所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某個(gè)定義在整個(gè)xOy平面內(nèi)的函數(shù)u(x,y)的全微分. (5)解因?yàn)?所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某個(gè)函數(shù)u(x,y)的全微分. 7.設(shè)有一變力在坐標(biāo)軸上的投影為X=x+y2,Y=2xy-8,這變力確定了一個(gè)力場(chǎng),證明質(zhì)

43、點(diǎn)在此場(chǎng)內(nèi)移動(dòng)時(shí),場(chǎng)力所做的功與路徑無關(guān).解場(chǎng)力所作的功為.由于,故以上曲線積分與路徑無關(guān),即場(chǎng)力所作的功與路徑無關(guān).習(xí)題10-4 1.設(shè)有一分布著質(zhì)量的曲面S,在點(diǎn)(x,y,z)處它的面密度為m(x,y,z),用對(duì)面積的曲面積分表達(dá)這曲面對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解.假設(shè)m(x,y,z)在曲面S上連續(xù),應(yīng)用元素法,在曲面S上任意一點(diǎn)(x,y,z)處取包含該點(diǎn)的一直徑很小的曲面塊dS(它的面積也記做dS),則對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量元素為dIx=(y2+z2)m(x,y,z)dS,對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為. 2.按對(duì)面積的曲面積分的定義證明公式,其中S是由S1和S2組成的.證明劃分S1為m部分,DS1,DS2

44、,DSm;劃分S2為n部分,DSm+1,DSm+2,DSm+n,則DS1,DSm,DSm+1,DSm+n為S的一個(gè)劃分,并且.令,則當(dāng)l0時(shí),有. 3.當(dāng)S是xOy面內(nèi)的一個(gè)閉區(qū)域時(shí),曲面積分與二重積分有什么關(guān)系？解S的方程為z=0, (x,y)D,故. 4.計(jì)算曲面積分,其中S為拋物面z=2-(x2+y2)在xOy面上方的部分,f(x,y,z)分別如下: (1) f(x,y,z)=1;解S:z=2-(x2+y2),Dxy:x2+y22,.因此. (2) f(x,y,z)=x2+y2;解S:z=2-(x2+y2),Dxy:x2+y22,.因此. (3) f(x,y,z)=3z.解S:z=2-(

45、x2+y2),Dxy:x2+y22,.因此. 5.計(jì)算,其中S是: (1)錐面及平面z=1所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界曲面;解將S分解為S=S1+S2,其中S1:z=1 ,D1:x2+y21,dS=dxdy;S1:,D2:x2+y21,.+.提示:. (2)錐面z2=3(x2+y2)被平面z=0及z=3所截得的部分.解S:,Dxy:x2+y23,因而.提示:. 6.計(jì)算下面對(duì)面積的曲面積分: (1),其中S為平面在第一象限中的部分;解,. (2),其中S為平面2x+2y+z=6在第一象限中的部分;解S:z=6-2x-2y,Dxy: 0y3-x, 0x3,. (3),其中S為球面x2+y2+z2=a2上zh (0ha )的部分;解S:,Dxy:x2+y2a2-h2,(根據(jù)區(qū)域的對(duì)稱性及函數(shù)的奇偶性).提示:, (4),其中S為錐面被x2+y2=2ax所截得的有限部分.解S:,Dxy:x2+y22ax,.提示:. 7.求拋物面殼的質(zhì)