同濟大學 第六版 高數練習冊答案 上冊

1、第六節(jié) 極限存在準則 兩個重要極限1. 0；1；1；0；2；2/3 2. ;3. 證明：顯然單調遞增，若，則3單調有界，收斂，不妨設=a , 則有 a = ,解得，a=(1+)/2, 4. 解：第七節(jié) 無窮小的比較1.（B） 2. （A）3. 證明： 令 ， 當時，。4. 解：（1）=（2）=（3）=（4）（5）=1/2（6）=（7）第八節(jié) 函數的連續(xù)性與間斷點1. 0 ； 2. 充要；3. 2；4. D 5. B 6. C7. 解：在x=0 不連續(xù)，且x=0 為函數的第一類間斷點。第九節(jié) 連續(xù)函數的運算與初等函數的連續(xù)性1. B 2. 解：（1） 原式= （2）原式=-1 （3）原式=（4）

2、原式=3. 解：由初等函數的連續(xù)性可知在連續(xù)，在x=0處間斷。在處連續(xù)總上可得的連續(xù)區(qū)間為（。第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質1.證明：令，則在連續(xù)，且，由連續(xù)函數的零點定理可知，至少存在一，使，即方程至少有一個界于1與2之間的實根。2. 證明：令在聯系，且，由連續(xù)函數的零點定理可知，至少存在一，使，即方程至少有一個界于0與2之間的實根，所以原命題成立。3. 證明：令，則在上連續(xù)，并且，由連續(xù)函數的零點定理可知，至少存在一點，使得，即至少存在一點，使。第一章測試題一選擇題1. 2 2. 2 3. 4. 5. 21. 原式四五.處連續(xù)為無窮間斷點為可去間斷點處連續(xù),使 使又無零點, 矛盾 則 由零

3、點定理至少存在一點, 使得, 即第二章 導數與微分第一節(jié) 導數概念1、(1) (2)2、k3、(1) (2)4、 ； 5、（，），（，）6、解：因為 所以在處連續(xù)。 因為 所以在處可導。第二節(jié) 函數的求導法則1、2、3、或4、求下列函數的導數（1） （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）5、解： 當時而當時，因為所以不可導（也可由函數在處不連續(xù)得它在處不可導）綜合練習題1、證：2、證明： （1）設是奇函數，且可導 即 。 （2）設是偶函數，且可導即 。另：也可用復合函數求導法 （1） （2）3、解：由于在處不連續(xù)，因此在處不可導4、（1）（2）（3）（4）5、解：當時，所以在處連續(xù)當時，即

4、在處可導，且但其導函數為當時，在處不連續(xù) 當及時有 從而在處連續(xù)。6、（1）（2）（3）7、解：第三節(jié) 高階導數1、解：2、解：3、解：綜合練習題1、（1）（2）2、代入方程即得證。3、4、第四節(jié) 隱函數及由參數方程所確定的函數的導數 相關變化率1、2、3、4、5、解：兩邊分別對x求導得移項整理得： 6、解：兩邊取自然對數得 兩邊分別對x求導得 移項整理得： 7、解：8、解： 當時，由得，于是 從而綜合練習題1、解：當時，兩邊取對數得兩邊對x求導得 移項整理得2、解： 第五節(jié) 函數的微分1、 （1） （2） （3）（4） （5）2、（1）（2）（3）注：也可按微分的定義式先求然后寫出微分。第二

5、章測驗題1、（1） （2） （3） （4） 或 2、（1） D （2） D （3） C3、計算題（1）解：兩邊對x求導得 于是 （2）解：（3）解：由于所以（4）解：設第三章1.否， 2.是，3.證明：設,由于，所以又由于 ，所以，即。，顯然，在上連續(xù)，在內可導，由羅爾定理知，至少存在一點，使，即方程必有一個小于的正根。，只要證即可設，兩函數在滿足柯西定理，則至少有一點使得，即可得到，得證。1.-1，-4 2.1，13.(1)原式=(2)原式=(3)原式=(4)原式=(5)設= =所以，原式=(6)原式=所以2.原式= = =的麥克勞林展式得 綜合練習題2.解：分別給出在時的泰勒展式 （1）

6、（2） （3）(3)-(2)得：3.原式= =-1. 錯誤2. 解 令，解得在區(qū)間，函數單調增加在區(qū)間，函數單調減小在區(qū)間，函數單調增加在區(qū)間，函數單調減小當時，函數取得極大值8，當時，函數取得極小值-127 令，解得在區(qū)間，在區(qū)間，而在內連續(xù)，故在和內曲線為凹，在內曲線為凸。為拐點。3. 解 ，因為點（1，3）為曲線的拐點故，解得4. 證明：令在上單調增加又，即5. 證明：設，在內，曲線在內為凹弧即1.（1）錯誤（2）錯誤（3）正確）（4）錯誤（5）錯誤2. 13. 解 令，求得駐點 因，故在處取得極大值，極大值為；因，故在處取得極小值，極小值為4. 解 因在處取極大值3，在處取極小值 故，

7、 即 解得，5. 解 令，求得駐點 由于，經比較在取得它在上的最小值，在取得它在上的最大值。6. 證明：存在常數，使得當時， 即為極小值1. 解 定義域為奇函數，關于原點對稱，以下討論僅在上進行列表如下+的圖形拐點單增凸極大值點單減凸圖略2. 解 定義域為無奇偶性，周期性有鉛直漸近線，因為列表如下+的圖形單增凸極大值點單減凸單減凹極小值點單增凹圖略1. 2 2.3. 解，由曲率公式，得，令，解得，而故曲線曲率最大點的坐標為1. 解 設，因為在連續(xù)，且，故由零點定理知在內至少有一個使又因為所以在上單調增加于是在內的零點是唯一的，即方程在區(qū)間有唯一實根。以下用二分法求這個根的近似值中點符號001+

8、10+203+456+7+8+9+101112+133. 錯誤4. 解 令，解得在區(qū)間，函數單調增加在區(qū)間，函數單調減小在區(qū)間，函數單調增加在區(qū)間，函數單調減小當時，函數取得極大值8，當時，函數取得極小值-127 令，解得在區(qū)間，在區(qū)間，而在內連續(xù)，故在和內曲線為凹，在內曲線為凸。為拐點。3. 解 ，因為點（1，3）為曲線的拐點故，解得4. 證明：令在上單調增加又，即5. 證明：設，在內，曲線在內為凹弧即1.（1）錯誤（2）錯誤（3）正確）（4）錯誤（5）錯誤2. 13. 解 令，求得駐點 因，故在處取得極大值，極大值為；因，故在處取得極小值，極小值為4. 解 因在處取極大值3，在處取極小值

9、故， 即 解得，5. 解 令，求得駐點 由于，經比較在取得它在上的最小值，在取得它在上的最大值。6. 證明：存在常數，使得當時， 即為極小值3. 解 定義域為奇函數，關于原點對稱，以下討論僅在上進行列表如下+的圖形拐點單增凸極大值點單減凸圖略4. 解 定義域為無奇偶性，周期性有鉛直漸近線，因為列表如下+的圖形單增凸極大值點單減凸單減凹極小值點單增凹圖略4. 2 5.6. 解，由曲率公式，得，令，解得，而故曲線曲率最大點的坐標為2. 解 設，因為在連續(xù)，且，故由零點定理知在內至少有一個使又因為所以在上單調增加于是在內的零點是唯一的，即方程在區(qū)間有唯一實根。以下用二分法求這個根的近似值中點符號00

10、1+10+203+456+7+8+9+101112+13第三章測驗題1、 BCADB2、 (1) 3(2) (1,), (1, -)(3) （上）凹(4)3、 解：（1）（2）（3）令 4、 解：函數的定義域為（1）求的一階、二階導數： （2）求區(qū)間的分點值：令由此把區(qū)間劃分為： （3）制表：-0+0-0+0-0+ 函數圖形 下凸拐點下凹極小上凹拐點上凸極大下凸拐點下凹(4)求漸近線：由，故知圖形有一條水平漸近線。（5）畫圖。（略）5、 解：由題設 ：；故得：6、解： 由題設： 由7、解：設點到直線的距離為 令 ，則 （*）對方程 兩邊求導：將代入（*）式，并令，可得：將代入，可得：由題設可得

11、：即為所求的點。8、證明：在內嚴格單調增加。9、解：由題設：10、證明：（反復用羅爾定理）在內至少存在一點 ，使得又 在內至少存在一點 ，使得在內至少存在一點 ，使得 一直做下去，可找到在內至少存在一點 ，使得。11、證明：當 時，由Lagrange中值定理可知：在內至少存在一點當 時，由Lagrange中值定理可知：在內至少存在一點12、證明：（1）當時， （2）不都相等，取 ，將在處展開：即第四章 不定積分 第一節(jié) 不定積分的概念和性質又 (3) . (4)(2) 綜合練習題第二節(jié) 換元積分法 綜合練習題.第三節(jié) 分步積分法1.（1）（2）（3）（4）2. （1）（2）（3）（4）第四節(jié)

12、有理函數的積分1. （1）（2）（3）（4）綜合練習題1（1） 移項，得（2） 即 原式（3）（4）（5）（6）7）令（8）令（9）（10）令 原式（11）令2令則原式 第四章測試題 1填空題（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7） （8）（9） （10）2計算題（1）由已知得（2）原式（3）原式（4）原式（5）原式（6）原式（7）原式3令，則得 （第四章完） 第五章 定積分第一節(jié) 定積分的概念與性質1. 填空（1）1； （2）0； （3）n； （4）2.估值：（1）記令 得：求值：，得：故，由估值定理，得：（2）記 則 所以在上單調遞增于是，有：故，由估值定理，得：2. 比較積分

13、的大?。?）在上，（2）在上，4.解一：（利用積分中值定理）因為函數在上連續(xù)，所以至少存在一點，使因此， 解二：（利用夾逼定理）于是，有：又 且 故，由夾逼定理，得：第二節(jié) 微積分基本公式1.解：原極限2.解：原極限3.解：（1）； （2）； （3）； （4）5.解：第二節(jié) 綜合練習題1.解：2.解：方程兩邊同時對求導，得：整理，得： 3.證： ， 4.解：令令（1） 所以 有極小值（2）當時，；當時，所以 拐點，其中5.解：， 于是，6.解：7.證法一：（換元法）令 ，則 ， 又在上連續(xù)且遞減所以 故， 即 證法二：（利用單調性）令 則有：且 在上連續(xù)且遞減所以，當時，在上單調減有：當時，在

14、上單調增有：因此，當時，即證法三：（利用性質）又在上連續(xù)且遞減.故，即 8.解：（1）當時（2）當時（3）當時故，函數9.解：分情況討論：（1）當時原積分（2）當時原積分（3）當時原積分10.解：故，（1）（2）（3）12.解：由于方程兩邊同時對求導，得：即 ，即不恒等于， 即 于是，所以， 解得：，故，13.解：令，則所以，14.解：得： 故，第三節(jié) 定積分的換元法和分部積分法一、 填空： 1. ； 2. 或 二、 計算（方法：換元法）1. 解一：令 ，則 且當時，當時原積分=2解二：令 原積分=2解三：令 原積分=42. 解一：原積分令 ，則 且 當時，當時故，原積分解二：原積分令 ，則

15、且 當時，當時故，原積分3.解：令 ，則 且當時，當時原積分三、 解：令 ，則 且當時，當時于是 四、計算題（方法：分部積分法）1.解：原積分2.解：原積分3.解：（ 利用公式：）法一：原積分 （換元：令）法二：原積分第三節(jié) 綜合練習題一、計算題1.解：原積分2.解：因為 函數 是奇函數原積分3.解：原積分4.解：令 ，則 且 當時，當時原積分5.解：令 原積分6.解：令 ， 則 原積分再記 于是，有：故，原積分=7.解：原積分 （換元：令）8.解：原積分9.解：原積分10.解：原積分 （換元：令）11.解：=12.解一：原積分解二：原積分13.解：原積分14.解：原積分 （同第6題）二、解：

16、（1）（2）由（1）知：又當時，故 三、解：令 則 且 所以 于是，有：即 ，故 或 四、解：令 于是 即 即 即 五、證明：（1） （換元：令 ） （因為 是偶函數）故，函數是偶函數（2）又，于是，有：當時，所以 在內單調減少當時，所以 在內單調增加， 故，在內單調增加第五章 測試題一、選擇題 1D；2C；A；A；C二、填空題 1；三、計算題 1. 2. 令3. 原積分5. 6. 原積分四、綜合題1. 解： 所以 切線方程為 于是 面積 即 令 得駐點： 和 求值：，故 ； 2. 課本 例7.3.解：； （1）； （2）令 求值：故 五、證：令 ，則 且當時，當時所以 故 第六章 定積分應用

17、第二節(jié) 定積分在幾何學上的應用1 填空題。（1）由曲線y=與y=x+2所圍平面圖形的面積為 。（2）由曲線y=x, x=2與x軸所圍平面圖形的面積為 。（3）由雙紐線所圍平面圖形的面積為 1 。（4）由擺線的一拱與x軸所圍平面圖形的面積為 。（5）拋物線及其點和處的切線所圍平面圖形的面積為 。（6）求心形線的全長為 。2 求曲線在區(qū)間(2,6)內的一條切線，使得該切線與x=2和x=6及曲線所圍成的平面圖形的面積最小，并求此最小面積。解：設切點為切線由得： .3求由曲線繞y=2旋轉一周所成旋轉體的體積。解： 綜合練習題1 過點P(1,0)作拋物線的切線，該切線與上述拋物線及x軸所圍成一平面圖形，

18、求此圖形的面積及繞x軸旋轉一周所成旋轉體的體積。2 設有一底半徑為R的圓柱，被一與圓柱的底交成角且過底的直徑的平面所截，求截下的幾何體的體積。3 在擺線上求分擺線第一拱弧長成1：3的點的坐標。4 證明：由平面圖形繞y軸旋轉一周所成旋轉體的體積為，并利用此公式求由與x軸所圍平面圖形繞y軸旋轉一周所成旋轉體的體積。答案：1解：設切點為切線為：2解：=3解：設分點為，對應的參數為, , 4證明：第三節(jié) 定積分在物理上的應用1一物體按規(guī)律作直線運動，媒質的阻與速度的平方成正比（比例系數為），計算物體由移至時，克服媒質阻力所作的功。解 速度為3,阻力為而，所以，功元素 所求的功為 .2.在一倒立的等腰三

19、角形水槽（）內裝滿水,若將水槽內的水全部吸盡, 問要做多少功？解 由水槽的可得高為2. 取坐標系如圖，A、B兩點的坐標分別為（）、（0，1），過A、B兩點的直線方程為），功元素，所求的功為3有一半徑為1m的圓形薄板,垂直放在水中,圓板的圓心與水平面的距離為2m,求圓板一側所受的水壓力.解 取坐標系如圖，壓力元素為 所求的壓力為,半徑為R的小圓環(huán),一質量為m的質點P位于過圓環(huán)中心的垂直線上,且離中心的距離為a,求圓環(huán)對質點的引力. 解 取坐標系如圖，由對稱性可知, 引力在軸方向、軸方向上的分量為零,引力元素為,在軸方向上的分量為，. 綜 合 練 習 題 1用鐵錘將一鐵釘擊入木板，設木板對鐵釘的阻

20、力與鐵釘擊入木板的深度成正比，在擊打第一次時，將鐵釘擊入木板1cm，如果鐵錘每次打擊鐵釘時所做的功相等，問鐵錘擊打第二次時，鐵釘又擊入多少？解 設木板對鐵釘的阻力為R，則鐵釘擊入木板的深度為時的阻力為R=，其中為常數.鐵錘擊第一次時所做的功為，設鐵錘擊第二次時，鐵釘又擊入，則鐵錘擊第二次所做的功為，由第六章 測試題1 填空題（1）由與直線x=2及y=x所圍圖形的面積為 。（2）由所圍圖形繞y軸旋轉一周所成旋轉體的體積 。（3）曲線上相應于的一段弧的長度為 。（4）函數在0，2上的平均值為 。2 星形線方程為，求：（1）它所圍圖形面積；（2）它的周長；（3）它所圍平面圖形繞x軸旋轉一周所成旋轉體

21、的體積。解：（1） （2）（3）3 已知曲線與曲線在點處有公共切線，求：（1）常數及切點；（2）兩曲線與x軸所圍平面圖形繞x軸旋轉一周所成旋轉體的體積V。解：（1）(2) 交點4有一立體,它的下底是xOy平面上由曲線和直線所圍成的區(qū)域,它的每個垂直于x軸的橫截面是直徑在下底上的半圓,試求該立體的體積。 解： 5 腰三角形薄片，垂直的沉入水中，其底與水面齊，已知薄片的底為2b,高為h.。試求：（1）計算薄片的一側所受的水壓力；（2）如果翻轉薄片，使得其頂點與水面齊，而底平行與水面，問水壓力又如何？解：（1）BC方程：（2）OB方程：6 有一長為的細桿AB均勻帶電，總電量為Q，若在桿的延長線上距始

22、端A為處有一單位正電荷，欲把單位正電荷從處移到無窮遠處，求克服電場力所作的功。解：單位正電荷在t點受到的力第七章 空間解析幾何與向量代數第一節(jié) 向量及其線性運算1,;,;2 ；3 、4 ；5 第二節(jié) 數量積    向量積1 2 3 4 解：5 解：，第三節(jié) 曲面及其方程1 ，旋轉拋物面；，圓錐面；和，旋轉雙葉雙曲面和旋轉單葉雙曲面2 即第四節(jié) 空間曲線及其方程 1 2 3 或第五節(jié) 平面及其方程1 （1） z=3； （2） ； （3） ； （4）2 解：平面與向量和都平行，則平面的法線向量與和都垂直，所以所以平面的點法式方程為：即 3 解：平面的法線向量所以平面的點法式方程為：即 第六節(jié) 空間直線及其方程1 ，2 3 4 5 解：方法1：過點作平面和直線垂直的平面方程，此平面的法線向量為則此平面方程為 平面與直線的交點由方程組求得所以點與直線之間的距離方法2：如圖所示：直線上有一點則向量直線的方向向量所以距離方法3：直線的參數方程為：，則垂足的坐標則向量而，所以即所以6 解：平面過原點，所以可設平面的一般方程為 （1）已知的兩個