同濟(jì)大學(xué) 第六版 高數(shù)練習(xí)冊答案 上冊

1、第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限1. 0；1；1；0；2；2/3 2. ;3. 證明：顯然單調(diào)遞增，若，則3單調(diào)有界，收斂，不妨設(shè)=a , 則有 a = ,解得，a=(1+)/2, 4. 解：第七節(jié) 無窮小的比較1.（B） 2. （A）3. 證明： 令 ， 當(dāng)時，。4. 解：（1）=（2）=（3）=（4）（5）=1/2（6）=（7）第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)1. 0 ； 2. 充要；3. 2；4. D 5. B 6. C7. 解：在x=0 不連續(xù)，且x=0 為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)。第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性1. B 2. 解：（1） 原式= （2）原式=-1 （3）原式=（4）

2、原式=3. 解：由初等函數(shù)的連續(xù)性可知在連續(xù)，在x=0處間斷。在處連續(xù)總上可得的連續(xù)區(qū)間為（。第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1.證明：令，則在連續(xù)，且，由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理可知，至少存在一，使，即方程至少有一個界于1與2之間的實(shí)根。2. 證明：令在聯(lián)系，且，由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理可知，至少存在一，使，即方程至少有一個界于0與2之間的實(shí)根，所以原命題成立。3. 證明：令，則在上連續(xù)，并且，由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理可知，至少存在一點(diǎn)，使得，即至少存在一點(diǎn)，使。第一章測試題一選擇題1. 2 2. 2 3. 4. 5. 21. 原式四五.處連續(xù)為無窮間斷點(diǎn)為可去間斷點(diǎn)處連續(xù),使 使又無零點(diǎn), 矛盾 則 由零

3、點(diǎn)定理至少存在一點(diǎn), 使得, 即第二章 導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)概念1、(1) (2)2、k3、(1) (2)4、 ； 5、（，），（，）6、解：因?yàn)?所以在處連續(xù)。 因?yàn)?所以在處可導(dǎo)。第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則1、2、3、或4、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1） （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）5、解： 當(dāng)時而當(dāng)時，因?yàn)樗圆豢蓪?dǎo)（也可由函數(shù)在處不連續(xù)得它在處不可導(dǎo)）綜合練習(xí)題1、證：2、證明： （1）設(shè)是奇函數(shù)，且可導(dǎo) 即 。 （2）設(shè)是偶函數(shù)，且可導(dǎo)即 。另：也可用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法 （1） （2）3、解：由于在處不連續(xù)，因此在處不可導(dǎo)4、（1）（2）（3）（4）5、解：當(dāng)時，所以在處連續(xù)當(dāng)時，即

4、在處可導(dǎo)，且但其導(dǎo)函數(shù)為當(dāng)時，在處不連續(xù) 當(dāng)及時有 從而在處連續(xù)。6、（1）（2）（3）7、解：第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)1、解：2、解：3、解：綜合練習(xí)題1、（1）（2）2、代入方程即得證。3、4、第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率1、2、3、4、5、解：兩邊分別對x求導(dǎo)得移項(xiàng)整理得： 6、解：兩邊取自然對數(shù)得 兩邊分別對x求導(dǎo)得 移項(xiàng)整理得： 7、解：8、解： 當(dāng)時，由得，于是 從而綜合練習(xí)題1、解：當(dāng)時，兩邊取對數(shù)得兩邊對x求導(dǎo)得 移項(xiàng)整理得2、解： 第五節(jié) 函數(shù)的微分1、 （1） （2） （3）（4） （5）2、（1）（2）（3）注：也可按微分的定義式先求然后寫出微分。第二

5、章測驗(yàn)題1、（1） （2） （3） （4） 或 2、（1） D （2） D （3） C3、計(jì)算題（1）解：兩邊對x求導(dǎo)得 于是 （2）解：（3）解：由于所以（4）解：設(shè)第三章1.否， 2.是，3.證明：設(shè),由于，所以又由于 ，所以，即。，顯然，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)，使，即方程必有一個小于的正根。，只要證即可設(shè)，兩函數(shù)在滿足柯西定理，則至少有一點(diǎn)使得，即可得到，得證。1.-1，-4 2.1，13.(1)原式=(2)原式=(3)原式=(4)原式=(5)設(shè)= =所以，原式=(6)原式=所以2.原式= = =的麥克勞林展式得 綜合練習(xí)題2.解：分別給出在時的泰勒展式 （1）

6、（2） （3）(3)-(2)得：3.原式= =-1. 錯誤2. 解 令，解得在區(qū)間，函數(shù)單調(diào)增加在區(qū)間，函數(shù)單調(diào)減小在區(qū)間，函數(shù)單調(diào)增加在區(qū)間，函數(shù)單調(diào)減小當(dāng)時，函數(shù)取得極大值8，當(dāng)時，函數(shù)取得極小值-127 令，解得在區(qū)間，在區(qū)間，而在內(nèi)連續(xù)，故在和內(nèi)曲線為凹，在內(nèi)曲線為凸。為拐點(diǎn)。3. 解 ，因?yàn)辄c(diǎn)（1，3）為曲線的拐點(diǎn)故，解得4. 證明：令在上單調(diào)增加又，即5. 證明：設(shè)，在內(nèi)，曲線在內(nèi)為凹弧即1.（1）錯誤（2）錯誤（3）正確）（4）錯誤（5）錯誤2. 13. 解 令，求得駐點(diǎn) 因，故在處取得極大值，極大值為；因，故在處取得極小值，極小值為4. 解 因在處取極大值3，在處取極小值 故，

7、 即 解得，5. 解 令，求得駐點(diǎn) 由于，經(jīng)比較在取得它在上的最小值，在取得它在上的最大值。6. 證明：存在常數(shù)，使得當(dāng)時， 即為極小值1. 解 定義域?yàn)槠婧瘮?shù)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，以下討論僅在上進(jìn)行列表如下+的圖形拐點(diǎn)單增凸極大值點(diǎn)單減凸圖略2. 解 定義域?yàn)闊o奇偶性，周期性有鉛直漸近線，因?yàn)榱斜砣缦?的圖形單增凸極大值點(diǎn)單減凸單減凹極小值點(diǎn)單增凹圖略1. 2 2.3. 解，由曲率公式，得，令，解得，而故曲線曲率最大點(diǎn)的坐標(biāo)為1. 解 設(shè)，因?yàn)樵谶B續(xù)，且，故由零點(diǎn)定理知在內(nèi)至少有一個使又因?yàn)樗栽谏蠁握{(diào)增加于是在內(nèi)的零點(diǎn)是唯一的，即方程在區(qū)間有唯一實(shí)根。以下用二分法求這個根的近似值中點(diǎn)符號001+

8、10+203+456+7+8+9+101112+133. 錯誤4. 解 令，解得在區(qū)間，函數(shù)單調(diào)增加在區(qū)間，函數(shù)單調(diào)減小在區(qū)間，函數(shù)單調(diào)增加在區(qū)間，函數(shù)單調(diào)減小當(dāng)時，函數(shù)取得極大值8，當(dāng)時，函數(shù)取得極小值-127 令，解得在區(qū)間，在區(qū)間，而在內(nèi)連續(xù)，故在和內(nèi)曲線為凹，在內(nèi)曲線為凸。為拐點(diǎn)。3. 解 ，因?yàn)辄c(diǎn)（1，3）為曲線的拐點(diǎn)故，解得4. 證明：令在上單調(diào)增加又，即5. 證明：設(shè)，在內(nèi)，曲線在內(nèi)為凹弧即1.（1）錯誤（2）錯誤（3）正確）（4）錯誤（5）錯誤2. 13. 解 令，求得駐點(diǎn) 因，故在處取得極大值，極大值為；因，故在處取得極小值，極小值為4. 解 因在處取極大值3，在處取極小值

9、故， 即 解得，5. 解 令，求得駐點(diǎn) 由于，經(jīng)比較在取得它在上的最小值，在取得它在上的最大值。6. 證明：存在常數(shù)，使得當(dāng)時， 即為極小值3. 解 定義域?yàn)槠婧瘮?shù)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，以下討論僅在上進(jìn)行列表如下+的圖形拐點(diǎn)單增凸極大值點(diǎn)單減凸圖略4. 解 定義域?yàn)闊o奇偶性，周期性有鉛直漸近線，因?yàn)榱斜砣缦?的圖形單增凸極大值點(diǎn)單減凸單減凹極小值點(diǎn)單增凹圖略4. 2 5.6. 解，由曲率公式，得，令，解得，而故曲線曲率最大點(diǎn)的坐標(biāo)為2. 解 設(shè)，因?yàn)樵谶B續(xù)，且，故由零點(diǎn)定理知在內(nèi)至少有一個使又因?yàn)樗栽谏蠁握{(diào)增加于是在內(nèi)的零點(diǎn)是唯一的，即方程在區(qū)間有唯一實(shí)根。以下用二分法求這個根的近似值中點(diǎn)符號00

10、1+10+203+456+7+8+9+101112+13第三章測驗(yàn)題1、 BCADB2、 (1) 3(2) (1,), (1, -)(3) （上）凹(4)3、 解：（1）（2）（3）令 4、 解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?）求的一階、二階導(dǎo)數(shù)： （2）求區(qū)間的分點(diǎn)值：令由此把區(qū)間劃分為： （3）制表：-0+0-0+0-0+ 函數(shù)圖形 下凸拐點(diǎn)下凹極小上凹拐點(diǎn)上凸極大下凸拐點(diǎn)下凹(4)求漸近線：由，故知圖形有一條水平漸近線。（5）畫圖。（略）5、 解：由題設(shè) ：；故得：6、解： 由題設(shè)： 由7、解：設(shè)點(diǎn)到直線的距離為 令 ，則 （*）對方程 兩邊求導(dǎo)：將代入（*）式，并令，可得：將代入，可得：由題設(shè)可得

11、：即為所求的點(diǎn)。8、證明：在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加。9、解：由題設(shè)：10、證明：（反復(fù)用羅爾定理）在內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得又 在內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得在內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得 一直做下去，可找到在內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得。11、證明：當(dāng) 時，由Lagrange中值定理可知：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)當(dāng) 時，由Lagrange中值定理可知：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)12、證明：（1）當(dāng)時， （2）不都相等，取 ，將在處展開：即第四章 不定積分 第一節(jié) 不定積分的概念和性質(zhì)又 (3) . (4)(2) 綜合練習(xí)題第二節(jié) 換元積分法 綜合練習(xí)題.第三節(jié) 分步積分法1.（1）（2）（3）（4）2. （1）（2）（3）（4）第四節(jié)

12、有理函數(shù)的積分1. （1）（2）（3）（4）綜合練習(xí)題1（1） 移項(xiàng)，得（2） 即 原式（3）（4）（5）（6）7）令（8）令（9）（10）令 原式（11）令2令則原式 第四章測試題 1填空題（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7） （8）（9） （10）2計(jì)算題（1）由已知得（2）原式（3）原式（4）原式（5）原式（6）原式（7）原式3令，則得 （第四章完） 第五章 定積分第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)1. 填空（1）1； （2）0； （3）n； （4）2.估值：（1）記令 得：求值：，得：故，由估值定理，得：（2）記 則 所以在上單調(diào)遞增于是，有：故，由估值定理，得：2. 比較積分

13、的大?。?）在上，（2）在上，4.解一：（利用積分中值定理）因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，所以至少存在一點(diǎn)，使因此， 解二：（利用夾逼定理）于是，有：又 且 故，由夾逼定理，得：第二節(jié) 微積分基本公式1.解：原極限2.解：原極限3.解：（1）； （2）； （3）； （4）5.解：第二節(jié) 綜合練習(xí)題1.解：2.解：方程兩邊同時對求導(dǎo)，得：整理，得： 3.證： ， 4.解：令令（1） 所以 有極小值（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，所以 拐點(diǎn)，其中5.解：， 于是，6.解：7.證法一：（換元法）令 ，則 ， 又在上連續(xù)且遞減所以 故， 即 證法二：（利用單調(diào)性）令 則有：且 在上連續(xù)且遞減所以，當(dāng)時，在上單調(diào)減有：當(dāng)時，在

14、上單調(diào)增有：因此，當(dāng)時，即證法三：（利用性質(zhì)）又在上連續(xù)且遞減.故，即 8.解：（1）當(dāng)時（2）當(dāng)時（3）當(dāng)時故，函數(shù)9.解：分情況討論：（1）當(dāng)時原積分（2）當(dāng)時原積分（3）當(dāng)時原積分10.解：故，（1）（2）（3）12.解：由于方程兩邊同時對求導(dǎo)，得：即 ，即不恒等于， 即 于是，所以， 解得：，故，13.解：令，則所以，14.解：得： 故，第三節(jié) 定積分的換元法和分部積分法一、 填空： 1. ； 2. 或 二、 計(jì)算（方法：換元法）1. 解一：令 ，則 且當(dāng)時，當(dāng)時原積分=2解二：令 原積分=2解三：令 原積分=42. 解一：原積分令 ，則 且 當(dāng)時，當(dāng)時故，原積分解二：原積分令 ，則

15、且 當(dāng)時，當(dāng)時故，原積分3.解：令 ，則 且當(dāng)時，當(dāng)時原積分三、 解：令 ，則 且當(dāng)時，當(dāng)時于是 四、計(jì)算題（方法：分部積分法）1.解：原積分2.解：原積分3.解：（ 利用公式：）法一：原積分 （換元：令）法二：原積分第三節(jié) 綜合練習(xí)題一、計(jì)算題1.解：原積分2.解：因?yàn)?函數(shù) 是奇函數(shù)原積分3.解：原積分4.解：令 ，則 且 當(dāng)時，當(dāng)時原積分5.解：令 原積分6.解：令 ， 則 原積分再記 于是，有：故，原積分=7.解：原積分 （換元：令）8.解：原積分9.解：原積分10.解：原積分 （換元：令）11.解：=12.解一：原積分解二：原積分13.解：原積分14.解：原積分 （同第6題）二、解：

16、（1）（2）由（1）知：又當(dāng)時，故 三、解：令 則 且 所以 于是，有：即 ，故 或 四、解：令 于是 即 即 即 五、證明：（1） （換元：令 ） （因?yàn)?是偶函數(shù)）故，函數(shù)是偶函數(shù)（2）又，于是，有：當(dāng)時，所以 在內(nèi)單調(diào)減少當(dāng)時，所以 在內(nèi)單調(diào)增加， 故，在內(nèi)單調(diào)增加第五章 測試題一、選擇題 1D；2C；A；A；C二、填空題 1；三、計(jì)算題 1. 2. 令3. 原積分5. 6. 原積分四、綜合題1. 解： 所以 切線方程為 于是 面積 即 令 得駐點(diǎn)： 和 求值：，故 ； 2. 課本 例7.3.解：； （1）； （2）令 求值：故 五、證：令 ，則 且當(dāng)時，當(dāng)時所以 故 第六章 定積分應(yīng)用

17、第二節(jié) 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用1 填空題。（1）由曲線y=與y=x+2所圍平面圖形的面積為 。（2）由曲線y=x, x=2與x軸所圍平面圖形的面積為 。（3）由雙紐線所圍平面圖形的面積為 1 。（4）由擺線的一拱與x軸所圍平面圖形的面積為 。（5）拋物線及其點(diǎn)和處的切線所圍平面圖形的面積為 。（6）求心形線的全長為 。2 求曲線在區(qū)間(2,6)內(nèi)的一條切線，使得該切線與x=2和x=6及曲線所圍成的平面圖形的面積最小，并求此最小面積。解：設(shè)切點(diǎn)為切線由得： .3求由曲線繞y=2旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積。解： 綜合練習(xí)題1 過點(diǎn)P(1,0)作拋物線的切線，該切線與上述拋物線及x軸所圍成一平面圖形，

18、求此圖形的面積及繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積。2 設(shè)有一底半徑為R的圓柱，被一與圓柱的底交成角且過底的直徑的平面所截，求截下的幾何體的體積。3 在擺線上求分?jǐn)[線第一拱弧長成1：3的點(diǎn)的坐標(biāo)。4 證明：由平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積為，并利用此公式求由與x軸所圍平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積。答案：1解：設(shè)切點(diǎn)為切線為：2解：=3解：設(shè)分點(diǎn)為，對應(yīng)的參數(shù)為, , 4證明：第三節(jié) 定積分在物理上的應(yīng)用1一物體按規(guī)律作直線運(yùn)動，媒質(zhì)的阻與速度的平方成正比（比例系數(shù)為），計(jì)算物體由移至?xí)r，克服媒質(zhì)阻力所作的功。解 速度為3,阻力為而，所以，功元素 所求的功為 .2.在一倒立的等腰三

19、角形水槽（）內(nèi)裝滿水,若將水槽內(nèi)的水全部吸盡, 問要做多少功？解 由水槽的可得高為2. 取坐標(biāo)系如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（）、（0，1），過A、B兩點(diǎn)的直線方程為），功元素，所求的功為3有一半徑為1m的圓形薄板,垂直放在水中,圓板的圓心與水平面的距離為2m,求圓板一側(cè)所受的水壓力.解 取坐標(biāo)系如圖，壓力元素為 所求的壓力為,半徑為R的小圓環(huán),一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)P位于過圓環(huán)中心的垂直線上,且離中心的距離為a,求圓環(huán)對質(zhì)點(diǎn)的引力. 解 取坐標(biāo)系如圖，由對稱性可知, 引力在軸方向、軸方向上的分量為零,引力元素為,在軸方向上的分量為，. 綜 合 練 習(xí) 題 1用鐵錘將一鐵釘擊入木板，設(shè)木板對鐵釘?shù)淖?/p>

20、力與鐵釘擊入木板的深度成正比，在擊打第一次時，將鐵釘擊入木板1cm，如果鐵錘每次打擊鐵釘時所做的功相等，問鐵錘擊打第二次時，鐵釘又擊入多少？解 設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇镽，則鐵釘擊入木板的深度為時的阻力為R=，其中為常數(shù).鐵錘擊第一次時所做的功為，設(shè)鐵錘擊第二次時，鐵釘又擊入，則鐵錘擊第二次所做的功為，由第六章 測試題1 填空題（1）由與直線x=2及y=x所圍圖形的面積為 。（2）由所圍圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積 。（3）曲線上相應(yīng)于的一段弧的長度為 。（4）函數(shù)在0，2上的平均值為 。2 星形線方程為，求：（1）它所圍圖形面積；（2）它的周長；（3）它所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體

21、的體積。解：（1） （2）（3）3 已知曲線與曲線在點(diǎn)處有公共切線，求：（1）常數(shù)及切點(diǎn)；（2）兩曲線與x軸所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積V。解：（1）(2) 交點(diǎn)4有一立體,它的下底是xOy平面上由曲線和直線所圍成的區(qū)域,它的每個垂直于x軸的橫截面是直徑在下底上的半圓,試求該立體的體積。 解： 5 腰三角形薄片，垂直的沉入水中，其底與水面齊，已知薄片的底為2b,高為h.。試求：（1）計(jì)算薄片的一側(cè)所受的水壓力；（2）如果翻轉(zhuǎn)薄片，使得其頂點(diǎn)與水面齊，而底平行與水面，問水壓力又如何？解：（1）BC方程：（2）OB方程：6 有一長為的細(xì)桿AB均勻帶電，總電量為Q，若在桿的延長線上距始

22、端A為處有一單位正電荷，欲把單位正電荷從處移到無窮遠(yuǎn)處，求克服電場力所作的功。解：單位正電荷在t點(diǎn)受到的力第七章 空間解析幾何與向量代數(shù)第一節(jié) 向量及其線性運(yùn)算1,;,;2 ；3 、4 ；5 第二節(jié) 數(shù)量積    向量積1 2 3 4 解：5 解：，第三節(jié) 曲面及其方程1 ，旋轉(zhuǎn)拋物面；，圓錐面；和，旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面和旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面2 即第四節(jié) 空間曲線及其方程 1 2 3 或第五節(jié) 平面及其方程1 （1） z=3； （2） ； （3） ； （4）2 解：平面與向量和都平行，則平面的法線向量與和都垂直，所以所以平面的點(diǎn)法式方程為：即 3 解：平面的法線向量所以平面的點(diǎn)法式方程為：即 第六節(jié) 空間直線及其方程1 ，2 3 4 5 解：方法1：過點(diǎn)作平面和直線垂直的平面方程，此平面的法線向量為則此平面方程為 平面與直線的交點(diǎn)由方程組求得所以點(diǎn)與直線之間的距離方法2：如圖所示：直線上有一點(diǎn)則向量直線的方向向量所以距離方法3：直線的參數(shù)方程為：，則垂足的坐標(biāo)則向量而，所以即所以6 解：平面過原點(diǎn)，所以可設(shè)平面的一般方程為 （1）已知的兩個