信號與系統(tǒng)答案 西北工業(yè)大學(xué) 段哲民 信號與系統(tǒng)章答案

1、1-1 畫出下列各信號的波形：(1) f1(t)=(2-e-t)U(t); (2) f2(t)=e-tcos10t×U(t-1)-U(t-2)。答案   （1）的波形如圖1.1（a）所示.(2) 因的周期,故的波形如圖題1.1(b)所示.1-2 已知各信號的波形如圖題1-2所示，試寫出它們各自的函數(shù)式。答案    1-3 寫出圖題1-3所示各信號的函數(shù)表達(dá)式。答案               &#

2、160;1-4 畫出下列各信號的波形：(1) f1(t)=U(t2-1); (2) f2(t)=(t-1)U(t2-1); (3) f3(t)=U(t2-5t+6); (4)f4(t)=U(sint)。答案     (1) ,其波形如圖題1.4(a)所示.(2)其波形如圖題1.4(b)所示. (3) ,其波形如圖1.4(c)所示.(4) 的波形如圖題1.4(d)所示.1-5 判斷下列各信號是否為周期信號，若是周期信號，求其周期T。 ;  ; (3) 。答案    周期信號必須滿足兩個條件:定義域,有周期性,兩個條件缺少任何一個,則就不

3、是周期信號了.    (1) 是, .    (2),故為周期信號,周期.    (3)  因時有故為非周期信號1-6 化簡下列各式：（1）; (2) ; (3)。答案     (1) 原式 =(2) 原式 =     (3) 原式 =1-7 求下列積分：（1）; (2); (3)。答案     (1) 原式  =  (2) 原式  =  

4、0;   (3) 原式  =1-8 試求圖題1-8中各信號一階導(dǎo)數(shù)的波形，并寫出其函數(shù)表達(dá)式，其中 。答案      （a） ，的波形如圖題1。8（d）所示。     （b） ，的波形如圖題1。8（e）所示。     （c） ,的波形如圖題1.8（f）所示.1-9 已知信號的波形如圖題1-9所示，試畫出y(t)=f(t+1)U(-t)的波形。答案  的波形如圖題1.9(b)所示。1-10 已知信號f(t)的波形如圖題

5、1-10所示，試畫出信號與信號的波形。答案      (1) 的波形與的波形分別如圖題1.10(b),(c)所示。     (2) 的波形與的波形分別如圖題1.10(d),(e)所示。且 1-11 已知f(t)是已錄制的聲音磁帶，則下列敘述中錯誤的是(_)。A.f(-t)是表示將磁帶倒轉(zhuǎn)播放產(chǎn)生的信號B.f(2t)表示磁帶以二倍的速度加快播放C.f(2t)表示磁帶放音速度降低一半播放D.2f(t)表示將磁帶音量放大一倍播放答案 C1-12 求解并畫出圖題1-12所示信號f1(t), f2(t)的偶分量fe(t)與奇

6、分量fo(t)。答案   因式中。故可畫出各待求偶分量與奇分量的波形，相應(yīng)如圖題1.12中所示。1-13 已知信號f(t)的偶分量fe(t)的波形如圖題1-13(a)所示，信號f(t+1)×U(-t-1)的波形如圖題1-13(b)所示。求f(t)的奇分量fo(t)，并畫出fo(t)的波形。答案     因 故有將信號的波形如圖題1。13(c)所示。又有的波形如圖題1.13(d)所示。  因為是奇函數(shù)，關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，故的波形如圖題1.13(e)所示。最后得的波形如圖題1.13(f)所示。1-14 設(shè)連續(xù)信號f(t

7、)無間斷點。試證明：若f(t)為偶函數(shù)，則其一階導(dǎo)數(shù)f(t)為奇函數(shù)；若f(t)為奇函數(shù)，則其一階導(dǎo)數(shù)f(t)為偶函數(shù)。答案    （1）若為偶函數(shù)，則有.故.故為奇函數(shù)。(2）若為奇函數(shù)，則有.故，即 .故為偶函數(shù)。1-15 試判斷下列各方程所描述的系統(tǒng)是否為線性的、時不變的、因果的系統(tǒng)。式中f(t)為激勵，y(t)為響應(yīng)。(1)              (2) y(t)=f(t)U(t) (3) y(t)=sinf(t)U(t)&

8、#160;     (4) y(t)=f(1-t)(5) y(t)=f(2t)              (6) y(t)=f(t)2(7)          (8) 答案    (1) 線性，時不變，因果系統(tǒng)(2) 線性，時變，因果系統(tǒng)。因為當(dāng)激勵為時，其響應(yīng)；當(dāng)激勵為時，其響應(yīng)為，但是，所以系統(tǒng)為時變系統(tǒng)

9、。(3) 非線性，時變，因果系統(tǒng)。(4) 線性，時變，非因果系統(tǒng)。因為當(dāng)時有，即系統(tǒng)當(dāng)前時刻的響應(yīng)決定于未來時刻的激勵，故為非因果系統(tǒng)。(5) 線性 ，時變，非因果系統(tǒng)。(6) 非線性，時不變，因果系統(tǒng)。因為當(dāng)激勵為時，響應(yīng)為；當(dāng)激勵為時，響應(yīng)為， 但，故該系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。(7）線性，時不變，因果系統(tǒng)。(8)  線性，時變，非因果系統(tǒng)。1-16 已知系統(tǒng)的激勵f(t)與響應(yīng)y(t)的關(guān)系為，則該系統(tǒng)為(_)。A線性時不變系統(tǒng)       B線性時變系統(tǒng)C非線性時不變系統(tǒng)     D非線性時變系統(tǒng)答案 A

10、1-17 圖題1-17(a)所示系統(tǒng)為線性時不變系統(tǒng)，已知當(dāng)激勵f1(t)=U(t)時，其響應(yīng)為y1(t)=U(t)-2U(t-1)+U(t-2)。若激勵為f2(t)=U(t)-U(t-2)，求圖題117(b)所示系統(tǒng)的響應(yīng)y2(t)。答案 的波形如圖題1.17(c)所示.                         1-18 圖題1-18(a

11、)所示為線性時不變系統(tǒng)，已知h1(t)=(t)-(t-1), h2(t)=(t-2)-(t-3)。（1）求響應(yīng)h(t)；（2） 求當(dāng)f(t)=U(t)時的響應(yīng)y(t)（見圖題1-18(b)。答案    （1） (2) 因，故根據(jù)現(xiàn)行系統(tǒng)的積分性有1-19 已知系統(tǒng)激勵f(t)的波形如圖題1-19(a)所示，所產(chǎn)生的響應(yīng)y(t)的波形如圖題1-19(b)所示。試求激勵f1(t)（波形如圖題1-19(c)所示）所產(chǎn)生的響應(yīng)y1(t)的波形。答案 用 表示 即故在同一系統(tǒng)中所產(chǎn)生的響應(yīng)為故 的波形分別如圖題1.19(d),(e),(f)所示。1-20 已知線性時不變系統(tǒng)在信號(t

12、)激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)為h(t)=U(t)-U(t-2)。試求在信號U（t-1)激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)，并畫出y(t)的波形。答案 因有，故激勵產(chǎn)生的響應(yīng)為故激勵產(chǎn)生的響應(yīng)為的波形如圖題1。20所示。1-21 線性非時變系統(tǒng)具有非零的初始狀態(tài)，已知激勵為f(t)時的全響應(yīng)為y1(t)=2e-tU(t)；在相同的初始狀態(tài)下，當(dāng)激勵為2f(t)時的全響應(yīng)為y2(t)=(e-t+cost)U(t)。求在相同的初始狀態(tài)下，當(dāng)激勵為4f(t)時的全響應(yīng)y3(t)。答案設(shè)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為，激勵為時的零狀態(tài)響應(yīng)為， 故有故聯(lián)解得故得第二章  習(xí)題2-1. 圖題2-1所示電路，求響應(yīng)u2(t)對

13、激勵f(t)的轉(zhuǎn)移算子H(p)及微分方程。答案解  其對應(yīng)的算子電路模型如圖題2.1（b）所示，故對節(jié)點，可列出算子形式的KCL方程為即   聯(lián)解得         故得轉(zhuǎn)移算子為        u2(t)對f(t)的微分方程為         即        

14、60;                  2-2圖題2-2所示電路，求響應(yīng)i(t)對激勵f(t)的轉(zhuǎn)移算子H(p)及微分方程。答案 解  其對應(yīng)的算子電路模型如圖2.2（b）所示。故得故得轉(zhuǎn)移算子為i(t)對f(t)的微分方程為即                

15、0;                 2-3  圖題2-3所示電路，已知uC(0-)=1 V, i(0-)=2 A。求t>0時的零輸入響應(yīng)i(t)和uC(t)。答案解  其對應(yīng)的算子電路模型如圖題2.3（b）所示。故對節(jié)點N可列寫出算子形式的KCL方程為又有uc(t)=pi(t)，代入上式化簡，即得電路的微分方程為電路的特征方程為故得特征根（即電路的自然頻率）為p1=-1，p2=-2。故得零輸入響應(yīng)的通解式為 

16、又                  故有                                   

17、;    (1)                                          又因有故    &#

18、160;            即               即                          &

19、#160;            (2)式（1）與式（2）聯(lián)解得A1=5,A2=-3。故得零輸入響應(yīng)為    又得解  其對應(yīng)的算子電路模型如圖題2.3（b）所示。故對節(jié)點N可列寫出算子形式的KCL方程為又有uc(t)=pi(t)，代入上式化簡，即得電路的微分方程為電路的特征方程為故得特征根（即電路的自然頻率）為p1=-1，p2=-2。故得零輸入響應(yīng)的通解式為 又     &#

20、160;            故有                                       (1) 

21、;                                         2-4圖題2-4所示電路，t<0時S打開，已知uC(0-)=6 V, i(0-)=0。(1) 今于t=0時刻閉合S，求t

22、>0時的零輸入響應(yīng)uC(t)和i(t)；（2） 為使電路在臨界阻尼狀態(tài)下放電，并保持L和C的值不變，求R的值。答案 解  （1）t>0時S閉合，故有t>0時的算子電路模型如圖題2.4(b)所示。故得t>0電路的微分方程為                    即           即

23、           其特征方程為p2+10p+16=0，故得特征根（即電路的自然頻率）為p1=-2,p2=-8。故得零輸入響應(yīng)uc(t)的通解形式為             又有        故          即 

24、0;       V    即          故有        聯(lián)解得A1-=8,A2=-2。故得      又得        2-5圖題2-5所示電路，（1） 求激勵f(t)=(t) A時的單位沖激響應(yīng)uC(t)和i(t)；（2）求激勵f(t)=U(

25、t) A時對應(yīng)于i(t)的單位階躍響應(yīng)g(t)。答案 解  （1）該電路的微分方程為                                 代入數(shù)據(jù)并寫成算子形式為         

26、;        故得                                            

27、      故得             進(jìn)一步又可求得uc(t)為                                  &#

28、160; （2）因有，故根據(jù)線性電路的積分性有                                               

29、                                           2-6圖題2-6所示電路，以uC(t)為響應(yīng)，求電路的單位沖激響應(yīng)h(t)和單位階躍響應(yīng)g(t)。答案

30、解    電路的微分方程為                     寫成算子形式為                          

31、60;               當(dāng)時，有。故得單位沖擊響應(yīng)為                                     &

32、#160;                    當(dāng)f(t)=U(t) V時，有uc(t)=g(t)。故得                           

33、                    2-7 求下列卷積積分（1） tU(t)-U(t-2)*(1-t); (2) (1-3t)(t)*e-3tU(t)答案 解       原式=                  &

34、#160;        原式=                                            

35、                 2-8已知信號f1(t)和f2(t)的波形如圖題2-8(a), (b)所示。求y(t)=f1(t)*f2(t)，并畫出y(t)的波形。答案 解                       

36、0; (a)                           故                         &

37、#160;                                                   

38、;                                               y1(t)的波形如圖.2.8(c)所示(b) 

39、;                     ,故                               

40、                                                    

41、60;              y2(t)的波形如圖.2.8(d)所示2-9圖題2-9(a), (b)所示信號，求y(t)=f1(t)*f2(t)，并畫出y(t)的波形。答案 解  利用卷積積分的微分積分性質(zhì)求解最為簡便。的波形分別如圖2.9 （c）,(d)所示。故y(t)的波形如圖題2.9(e)所示.2-10.    已知信號f1(t)與f2(t)的波形如圖題2-10(a), (b)所示，試求y(t)=f1(t)*f2(t

42、)，并畫出y(t)的波形。答案 解     (a).                                           &

43、#160;        y1(t)的波形如圖題2.10(c)所示   (b).                                        

44、                   y2(t)的波形如圖題2.10(d)所示2-11 試證明線性時不變系統(tǒng)的微分性質(zhì)與積分性質(zhì)，即若激勵f(t)產(chǎn)生的響應(yīng)為y(t)，則激勵產(chǎn)生的響應(yīng)為（微分性質(zhì)），激勵產(chǎn)生的響應(yīng)為（積分性質(zhì)）。答案 解  （1）設(shè)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t)，則有對上式等號兩端求一階導(dǎo)數(shù)，并應(yīng)用卷積積分的微分性質(zhì)，故有       

45、60;                               （證畢（2）  對上式等號兩端求一次積分，并應(yīng)用卷積積分的積分性質(zhì)，故有             &#

46、160;              （證畢）2-12.  已知系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)=e-tU(t)，激勵f(t)=U(t)。    （1）. 求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)。    （2）.如圖題2-12(a), (b)所示系統(tǒng)，  求響應(yīng)y1(t)和y2(t)    （3）. 說明圖題2-12(a), (b)哪個是因果系統(tǒng)，哪個是非因果系統(tǒng)。答案 解&#

47、160; （1）           (2)                                         &#

48、160;                            （3）因f(t)=U(t)為因果激勵，但 y1(t)為非因果信號，y2(t)為因果信號，故圖題2.12(a)為非因果系統(tǒng)，圖題2.12(b)為因果系統(tǒng)。2-13. 已知激勵產(chǎn)生的響應(yīng)為，試求該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)。答案 解  因有y(t)=f(t)*h(t)，

49、即               對上式等號兩端同時求一階導(dǎo)數(shù)，并應(yīng)用卷積積分的微分性質(zhì)有                                

50、0;  故得系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為            2-14.  已知系統(tǒng)的微分方程為。（1）. 求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)；（2）. 若激勵，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)。答案 解  （1）其算子形式的微分方程為                  故得  

51、0;           當(dāng)時，則有。故上式變?yōu)?#160;                                  （2）零狀態(tài)響應(yīng)為   

52、;                                      2-15. 圖題2-15所示系統(tǒng)，其中h1(t)=U(t)(積分器)，h2(t)=(t-1)（單位延時器），h3(t)=-(t)（倒相器），激勵f(t)=e-tU(t)。（

53、1）. 求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)；（2）. 求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)。答案 解  （1）當(dāng)時， 故                （2）                      2-16. 已知系統(tǒng)的微分方程為求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)和單

54、位階躍響應(yīng)g(t)。答案 解  （1）系統(tǒng)算子形式的微分方程為            故              當(dāng)時，故得單位沖激響應(yīng)為               （2）系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為    

55、 2-17. 圖題2-17所示系統(tǒng)，h1(t)=h2(t)=U(t)，激勵f(t)=U(t)-U(t-6)。求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)和零狀態(tài)響應(yīng)y(t)，并畫出它們的波形。答案 解  （1）.求單位沖激響應(yīng)h(t)。由圖題2.17(a)得         即       即      對上式等號兩端求一階導(dǎo)數(shù)有       

56、 即            再求一階導(dǎo)數(shù)有  故得系統(tǒng)的微分方程  寫成算子形式為     故得          當(dāng)時，有y(t)=h(t)。故得單位沖激響應(yīng)為              h(t)的波形如圖題

57、2.17(b)所示（2）.系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為                  y(t)的波形如圖題2.17（c）所示。2-18.  圖題2-18(a)所示系統(tǒng)，已知，子系統(tǒng)B和C的單位階躍響應(yīng)分別為。（1） 求整個系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)g(t)；（2） 激勵f(t)的波形如圖題2-18(b)所示，求大系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)。答案 解  （1）系統(tǒng)B的單位沖激響應(yīng)為     &#

58、160; 設(shè)系統(tǒng)C的單位沖激響應(yīng)為hC(t)。故大系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為       故大系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為                            （查卷積積分表）（2）       激勵f(t)的函數(shù)表達(dá)式為&#

59、160;          大系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為            故零狀態(tài)響應(yīng)為                             &#

60、160;      2-19. 已知系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為g(t)=(1-)U(t)，初始狀態(tài)不為零。      （1）若激勵f(t)=U(t)，全響應(yīng)y(t)=2U(t)，求零輸入響應(yīng)yx(t)；      （2） 若系統(tǒng)無突變情況，求初始狀態(tài)yx(0-)=4，激勵f(t)=(t)時的全響應(yīng)y(t)。答案 解  （1）.系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為        &

61、#160; 故零狀態(tài)響應(yīng)為         故得系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為                      故得系統(tǒng)的初始狀態(tài)為                  （2

62、）.當(dāng)?shù)牧銧顟B(tài)響應(yīng)為  根據(jù)零輸入響應(yīng)的線性性質(zhì)，當(dāng)yx(0-)=4的零輸入響應(yīng)為  故得激勵，初始狀態(tài)時的全響應(yīng)為      2-20.  已知系統(tǒng)的微分方程為,系統(tǒng)的初始狀態(tài).(1)求激勵時的全響應(yīng);(2)求激勵時的全響應(yīng).答案 解  將微分方程寫成算子形式為                     &#

63、160;  故                       (1)    求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng).系統(tǒng)的特征方程為,故特征根為.故得零輸入響應(yīng)的通解形式為                

64、;                                                  

65、; 故                       故得系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為                          (1)

66、0;  求激勵時的零狀態(tài)響應(yīng).當(dāng)激勵時,有,故得單位沖激響應(yīng)為   故得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為     故得系統(tǒng)的全響應(yīng)為                 (1)            激勵時的零狀態(tài)響應(yīng)為     

67、0;            故得此時系統(tǒng)的全響應(yīng)為        2-21.  已知系統(tǒng)的微分方程為    系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的初始值為,，激勵.試求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t),并求全響應(yīng)的初始值y(0+).答案解  （1）求零輸入響應(yīng)yx(t)。將微分方程寫成算子形式為          

68、;        故                     系統(tǒng)的特征方程為                      

69、0;     故得特征根為p1=-1,p2=-2。故得零輸入響應(yīng)的通解形式為                           又              

70、        故有                    聯(lián)解得,。故得零輸入響應(yīng)為                      

71、   (2)  求單位沖激響應(yīng)h(t)                                                                （2）       求零狀態(tài)響應(yīng)yf(t).                      &#