平面向量的線性運(yùn)算及練習(xí)

1、學(xué)習(xí)過(guò)程知識(shí)點(diǎn)一：向量的加法（1）定義已知非零向量，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作，則向量叫做與的和，記作，即求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做叫向量的加法這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則說(shuō)明：運(yùn)用向量加法的三角形法則時(shí)，要特別注意“首尾相接”，即第二個(gè)向量要以第一個(gè)向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，則由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量終點(diǎn) 的向量即為和向量.兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量，其大小、方向可以由三角形法則確定位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型（2）向量加法的平行四邊形法則以點(diǎn)O為起點(diǎn)作向量，以O(shè)A,OB為鄰邊作，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線所在向量就是的和，記作=。說(shuō)明：三角形法則適合于首尾相接的兩向量

2、求和，而平行四邊形法則適合于同起點(diǎn)的兩向量求和，但兩共線向量求和時(shí)，則三角形法則較為合適.力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型對(duì)于零向量與任一向量（3）特殊位置關(guān)系的兩向量的和當(dāng)向量與不共線時(shí)，+的方向不同向，且|+|<|+|；當(dāng)與同向時(shí)，則+、同向，且|+|=|+|，當(dāng)與反向時(shí)，若|>|，則+的方向與相同，且|+|=|-|；若|<|，則+的方向與相同，且|+b|=|-|.（4）向量加法的運(yùn)算律向量加法的交換律：+=+向量加法的結(jié)合律：(+) +=+ (+)知識(shí)點(diǎn)二：向量的減法（1）相反向量：與-。（2）向量和-互為相反向量，即 (-).零向量的相反向量仍是零向量

3、 任一向量與其相反向量的和是零向量，即(-)(-)如果向量互為相反向量，那么-，-，（3）向量減法的定義：向量加上的相反向量，叫做與的差. 即：-= + (-) 求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.（4）向量減法的幾何作法在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作，則即可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量，這就是向量減法的幾何意義說(shuō)明：表示.強(qiáng)調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)用“相反向量”定義法作差向量，-= + (-)， 顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)一.知識(shí)點(diǎn)三：向量數(shù)乘的定義（1）定義：一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：|當(dāng)時(shí)，的方向與的方向

4、相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反當(dāng)時(shí)，（2） 向量數(shù)乘的運(yùn)算律根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定義，我們可以驗(yàn)證下面的運(yùn)算律：設(shè)、為實(shí)數(shù)，那么()()；()；()知識(shí)點(diǎn)四：向量共線的條件向量()與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使學(xué)習(xí)結(jié)論（1）兩個(gè)向量的和仍然是向量，它的大小和方向可以由三角形法則和平行四邊形法則確定，這兩種法則本質(zhì)上是一致的共線向量加法的幾何意義，為共線向量首尾相連接，第一個(gè)向量的起點(diǎn)與第二個(gè)向量的終點(diǎn)連接所得到的有向線段所表示的向量（2）可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量（3）實(shí)數(shù)與向量不能相加減，但實(shí)數(shù)與向量可以相乘向量數(shù)乘的幾何意義就是幾個(gè)相等向量相加（4）向量()與共線，當(dāng)且

5、僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使。練習(xí)例1已知任意兩個(gè)非零向量，作，試判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系解：a+2b(a+b)b，且 a+3b(a+b)2 b，2所以，A、B、C三點(diǎn)共線例2.如圖，平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，且，試用，表示向量解析：=，所以,所以例3.一艘船從長(zhǎng)江南岸A點(diǎn)出發(fā)以5km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江水的流速為向東2 km/h試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度（保留兩個(gè)有效數(shù)字）；求船實(shí)際航行速度的大小與方向(用與江水速度間的夾角表示，精確到度).分析：速度是一個(gè)既有大小又有方向的量，所以可以用向量表示，速度的合成也就是向量的加法.解析：如圖

6、，設(shè)表示船向垂直于對(duì)岸行駛的速度，表示水流的速度，以AD、AB作鄰邊作平行四邊形ABCD，則就是船實(shí)際航行的速度.在RtABC中，|2，|5， |tanCAB，答：船實(shí)際航行速度的大小約為5.4 km/h，方向與水的流速間的夾角為約為68°.1.(2006上海理)如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）ABCD（A）； （B）；（C）； （D）2（2007湖南文）若O、E、F是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是（ ）AB. C. D. 3（2003遼寧）已知四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上（不包括端點(diǎn)A、C），則（ ）ABCD4.(2008遼寧理)已知O，A

7、，B是平面上的三個(gè)點(diǎn),直線AB上有一點(diǎn)C，滿足,則（ ） ABCD5（2003江蘇；天津文、理）是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足的軌跡一定通過(guò)的( )（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心6（2005全國(guó)卷理、文）已知點(diǎn)，設(shè)的平分線與相交于，那么有，其中等于( )（A） （B）（C） （D）7設(shè)是兩個(gè)不共線的非零向量，若向量與的方向相反，則k=_.8.（2007江西理）如圖，在ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若 m，n，則mn的值為9（2005全國(guó)卷理）的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，則實(shí)數(shù)m =10.（2007陜西

8、文、理）如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量、，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且1，.若的值為.例1. B 例2例3B. （三）基礎(chǔ)訓(xùn)練： 1. C； 2B. 3A 4. A5B 6C； 7_4_；8. 2 91；10. .（四）拓展與探究：11、D； 12.，.平面向量的線性運(yùn)算（復(fù)習(xí)課）復(fù)習(xí)目標(biāo)： 1、掌握向量加、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義. 2、掌握向量數(shù)乘運(yùn)算，并理解其幾何意義，以及兩個(gè)向量共線的含義. 3、了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義.重點(diǎn):向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義.難點(diǎn):應(yīng)用向量線性運(yùn)算的定義、性質(zhì)靈活解決相應(yīng)的問(wèn)題.一、學(xué)案導(dǎo)學(xué)自主建構(gòu)復(fù)習(xí)1:向量的加法復(fù)習(xí)2:向量的減法已知向量a和向量b,作向量a+b.已知向量a和向量b,作向量a-b.復(fù)習(xí)3：向量的數(shù)乘復(fù)習(xí)4：平面向量共線定理已知向量 a,作向量3a和-3a.二、合作共享交流提升1、填空：- -2、判斷題：（1）相反向量就是方向相反的向量（2）（3）（4）在ABC中，必有（5）若，則A、B、C三點(diǎn)必是一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)。三、案例剖析 總結(jié)規(guī)律例1:根據(jù)條件判斷下列四邊形的形狀例2、如圖，在 中,延長(zhǎng)BA到C,使AC=BA,在OB上取點(diǎn)D,使BD=OB.DC與OA交于E,設(shè)請(qǐng)用 .例3、設(shè)ABCD一邊AB的四等分