大學(xué)解析幾何

1、基本知識一、向量1、已知空間中任意兩點(diǎn)和，則向量2、已知向量、，則（1）向量的模為（2）（3）3、向量的內(nèi)積（1）（2）其中為向量的夾角，且注意：利用向量的內(nèi)積可求直線與直線的夾角、直線與平面的夾角、平面與平面的夾角。4、向量的外積（遵循右手原則，且、）5、（1）（2）二、平面1、平面的點(diǎn)法式方程已知平面過點(diǎn)，且法向量為，則平面方程為注意：法向量為垂直于平面2、平面的一般方程，其中法向量為3、（1）平面過原點(diǎn)（2）平面與軸平行（與面垂直）法向量垂直于軸（如果，則平面過軸）平面與軸平行（與面垂直）法向量垂直于軸（如果，則平面過軸）平面與軸平行（與面垂直）法向量垂直于軸（如果，則平面過軸）（3）平

2、面與面平行法向量垂直于面平面與面平行法向量垂直于面平面與面平行法向量垂直于面注意：法向量的表示三、直線1、直線的對稱式方程過點(diǎn)且方向向量為直線方程注意：方向向量和直線平行2、直線的一般方程，注意該直線為平面和的交線3、直線的參數(shù)方程4、（1）方向向量，直線垂直于軸（2）方向向量，直線垂直于軸（3）方向向量，直線垂直于軸5、（1）方向向量，直線垂直于面（2）方向向量，直線垂直于面（3）方向向量，直線垂直于面應(yīng)用一、柱面1、設(shè)柱面的準(zhǔn)線方程為，母線的方向向量，求柱面方程方法：在準(zhǔn)線上任取一點(diǎn)，則過點(diǎn)的母線為又因?yàn)樵跍?zhǔn)線上，故 （1） （2）令 （3）由（1）、（2）、（3）消去求出，再把代入求出關(guān)

3、于的方程，則該方程為所求柱面方程例1：柱面的準(zhǔn)線為，而母線的方向?yàn)?，求這柱面方程。 解：在柱面的準(zhǔn)線上任取一點(diǎn)，則過點(diǎn)的母線為即（1）又因?yàn)樵跍?zhǔn)線上，故（2），（3）由（1）（2）（3）得2、圓柱面是動點(diǎn)到對稱軸的距離相等的點(diǎn)的軌跡，該距離為圓柱面的半徑方法：在圓柱面上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)做一平面垂直于對稱軸，該平面的法向量為對稱軸的方向向量，把該平面方程和對稱軸方程聯(lián)立求得平面和對稱軸的交點(diǎn)，則為圓柱的半徑例2：已知圓柱面的軸為，點(diǎn)（1，-2，1）在此圓柱面上，求這個圓柱面的方程。解：設(shè)圓柱面上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于軸的平面為軸方程的參數(shù)式為代入平面方程得故該平面和軸的交點(diǎn)為過點(diǎn)（1，-2，1）和

4、軸垂直的平面和軸的交點(diǎn)為因?yàn)閳A柱截面的半徑相等，故利用距離公式得注意：也可找圓柱面的準(zhǔn)線圓處理例3：求以直線x=y=z為對稱軸，半徑R=1的圓柱面方程解：在圓柱面上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于軸的平面為軸方程的參數(shù)式為代入平面方程得故該平面和軸的交點(diǎn)為M1則的長等于半徑R=1故利用距離公式得即所求方程為二、錐面錐面是指過定點(diǎn)且與定曲線相交的所有直線產(chǎn)生的曲面。這些直線是母線，定點(diǎn)為頂點(diǎn)，定曲線為準(zhǔn)線。1、設(shè)錐面的準(zhǔn)線為，頂點(diǎn)為，求錐面方程方法：在準(zhǔn)線上任取一點(diǎn)，則過點(diǎn)的母線為 （1）又因?yàn)樵跍?zhǔn)線上，故 （2） （2）由（1）、（2）、（3）消去求出關(guān)于的方程，則該方程為所求錐面方程例1錐面的頂點(diǎn)在原

5、點(diǎn)，且準(zhǔn)線為，求這錐面方程。解：在準(zhǔn)線上任取一點(diǎn)，則過點(diǎn)的母線為又因?yàn)樵跍?zhǔn)線上，故且上面三個方程消去得2、圓錐面已知圓錐面的頂點(diǎn)，對稱軸（或軸）的方向向量為，求圓錐面方程方法：在母線上任取一點(diǎn)，則過該點(diǎn)的母線的方向向量為利用和的夾角不變建立關(guān)于的方程，該方程為所求例2求以三根坐標(biāo)軸為母線的圓錐面的方程。（）解：在坐標(biāo)軸上取三點(diǎn)，則過三點(diǎn)的平面為故對稱軸的方向向量為，一條母線的方向向量為，則母線和對稱軸的夾角為，即在母線上任取一點(diǎn)，則過該點(diǎn)的母線的方向向量為所以例3圓錐面的頂點(diǎn)為，軸垂直于平面，母線和軸成，求圓錐面方程解：在母線上任取一點(diǎn)，軸的方向向量為，母線的方向向量為則即 三、旋轉(zhuǎn)曲面設(shè)旋轉(zhuǎn)

6、曲面的母線方程為，旋轉(zhuǎn)軸為，求旋轉(zhuǎn)曲面方程方法：在母線上任取一點(diǎn)，所以過的緯圓方程又因?yàn)樵谀妇€上，有由上述四個方程消去的方程為旋轉(zhuǎn)曲面例4求直線繞直線：旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：在母線上任取一點(diǎn)，則過的緯圓方程又因?yàn)樵谀妇€上，有由上述方程消去的方程得四、幾種特殊的曲面方程1、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程設(shè)柱面的準(zhǔn)線是平面上的曲線，則柱面方程為設(shè)柱面的準(zhǔn)線是平面上的曲線，則柱面方程為設(shè)柱面的準(zhǔn)線是平面上的曲線，則柱面方程為注意：（1）母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程中只含兩個字母 （2）準(zhǔn)線為坐標(biāo)平面內(nèi)的橢圓、雙曲線、拋物線等柱面稱為橢圓柱面、雙曲線柱面、拋物線柱面例求柱面方程（1）準(zhǔn)線是，母線

7、平行于軸解：柱面方程為（2）準(zhǔn)線是，母線平行于軸解：柱面方程為（3）準(zhǔn)線是，母線平行于軸解：2、母線在坐標(biāo)面上，旋轉(zhuǎn)軸是坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面設(shè)母線是，旋轉(zhuǎn)軸是軸的旋轉(zhuǎn)曲面為；旋轉(zhuǎn)軸是軸的旋轉(zhuǎn)曲面為（同理可寫出其它形式的旋轉(zhuǎn)曲面方程）注意：此類旋轉(zhuǎn)方程中一定含有兩個字母的平方和的形式，且它們的系數(shù)相等。例方程是什么曲面，它是由面上的什么曲線繞什么軸旋轉(zhuǎn)而成的解：面上的繞軸旋轉(zhuǎn)而成的3、平行于坐標(biāo)面的平面和曲面的交線方程平行于面的平面和曲面的交線為平行于面的平面和曲面的交線為平行于面的平面和曲面的交線為例求曲面和三個坐標(biāo)面的交線（1）解：、（2）解：注意在面上無交線（3）解：在面上交于一點(diǎn)五、求投影

8、1、求點(diǎn)在平面上的投影、求點(diǎn)到平面的距離、求關(guān)于平面的對稱點(diǎn)方法：（1）過點(diǎn)作直線垂直于平面，該直線的方向向量為平面的法向量（2）求直線和平面的交點(diǎn)，該交點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的投影例5（1）求點(diǎn)在平面上的投影（2）求點(diǎn)到平面的距離，并求該點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)坐標(biāo)（1）求過直線且與點(diǎn)的距離為1的平面方程2、求點(diǎn)在直線上的投影、求點(diǎn)到直線的距離、求關(guān)于直線的對稱點(diǎn)方法：（1）過點(diǎn)作平面垂直于直線，該平面的法向量為直線的方向向量（2）求直線和平面的交點(diǎn)，該交點(diǎn)為點(diǎn)在直線上的投影例6（1）求點(diǎn)到直線的距離，該點(diǎn)在直線上的投影（2）求點(diǎn)到直線的距離3、直線在平面上的投影方法：（1）過直線作平面和已知平面垂直，該

9、平面的法向量為直線的方向向量和已知平面法向量的外積（2）聯(lián)立兩個平面方程所得直線為該直線在平面上的投影例7（1）求直線在平面上的投影直線的方程（2）直線在面上的投影為，在面上的投影為，求直線在面上的投影4、曲線在坐標(biāo)面上的投影柱面及投影方法：（1）消去得，則為曲線在面上的投影（2）消去得，則為曲線在面上的投影（3）消去得，則為曲線在面上的投影例（1）求球面與平面的交線在面上的投影柱面及投影（2）把曲線的方程用母線平行于軸和軸的兩個投影柱面方程表示解：消去得母線平行于軸的投影柱面方程；消去得母線平行于軸的投影柱面方程，因此曲線可表示為五、求平面方程1、過直線的平面方程可設(shè)為如果直線方程是點(diǎn)向式或

10、參數(shù)式可轉(zhuǎn)化為上述形式處理例（1）在過直線的平面中找出一個平面，使原點(diǎn)到它的距離最長。（2）平面過軸，且與平面的夾角為，求該平面方程（兩平面夾角等于兩法向量的夾角或兩法向量的夾角的補(bǔ)角）（3）求過點(diǎn)和直線的平面方程（4）過直線作平面，使它平行于直線(5)過平面和的交線作切于球面的平面（6）求由平面所構(gòu)成的兩面角的平分面方程 2、利用點(diǎn)法式求平面方程注意：（1）任何垂直于平面的向量均可作為平面的法向量（2）和平面平行的平面可設(shè)為（3）如存在兩個向量、和平面平行（或在平面內(nèi)），則平面的法向量為例（1）已知兩直線為，求過兩直線的平面方程（2）求過和兩點(diǎn)，且垂直于平面的平面（3）一平面垂直于向量且與坐

11、標(biāo)面圍成的四面體體積為9，求平面方程（4）已知球面與一通過球心且與直線垂直的平面相交，求它們的交線在面上的投影3、軌跡法求方程方法：（1）設(shè)平面上任一一點(diǎn)（2）列出含有的方程化簡的平面方程例求由平面和所構(gòu)成的二面角的平分面的方程六、求直線方程1、把直線的一般方程化為點(diǎn)向式方程方法：已知直線方程為，則該直線的方向向量為在直線上任取一點(diǎn)，則直線方程為例化直線的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程2、根據(jù)直線的方向向量求直線方程例（1）過點(diǎn)，且平行于兩相交平面和的直線方程（2求過點(diǎn)，且與直線平行的直線方程（3）求過點(diǎn)，且與平面平行，又與直線垂直的直線方程注意：一直線和兩直線垂直；一直線和兩平面平行；一直線和一平面平行

12、，和另一直線垂直均可確定直線的方向向量3、利用直線和直線的位置關(guān)系求直線方程注意：（1）兩直線平行，則，其中和為直線的方向向量（2）兩直線和相交，則且（3）兩直線和異面，其中公垂線的方向向量為，則兩異面直線的距離為；公垂線方程為例（1）求通過點(diǎn)且與兩直線和都相交的直線方程解：設(shè)所求直線的方向向量為，已知兩直線的方向向量為、，且分別過點(diǎn)、則，即；，即故，故所求直線為（2）已知兩異面直線和，求它們的距離與公垂線方程（3）求與直線平行且與下列兩直線相交的直線和（4）求過點(diǎn)與軸相交，且與已知直線垂直的直線方程習(xí)題1、已知柱面的準(zhǔn)線為且（1）母線平行于軸（2）母線平行于直線，求柱面方程2、已知柱面的準(zhǔn)線

13、為母線垂直于準(zhǔn)線所在的方程，求柱面方程3、求過三條平行線的圓柱面方程4、求頂點(diǎn)為原點(diǎn)，準(zhǔn)線為的錐面方程5、頂點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，求錐面方程6、頂點(diǎn)為，軸垂直于平面，且過點(diǎn)，求該圓錐面的方程7、求下列旋轉(zhuǎn)曲面方程（1）直線繞直線旋轉(zhuǎn)（2）直線繞直線旋轉(zhuǎn)（3）直線繞直線旋轉(zhuǎn)（4）曲線繞直線旋轉(zhuǎn)8例求曲面和三個坐標(biāo)面的交線（1） （2） （3）9（1）求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)（2）求點(diǎn)到直線的距離，10求直線在平面上的投影直線的方程11求曲線在三個坐標(biāo)面的投影柱面和投影12（1）過直線作平面，使它垂直于平面（2）求過點(diǎn)和直線的平面方程（3）求過兩平面、交線且與平面垂直的平面（4）求過點(diǎn)和直線的平面方程（5）過直線且與直線垂直（6）過直線且與平面垂直的平面(7)在過直線的所有平面中找出一個平面，使它與原點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)13（1）求平行于平面且與球面相切的平面方程（2）求過兩直線、的平面方程（3）求和平面平行，且距離為3的平面（4）求和兩直線，平行且與兩直線等距離的平面方程（5）求過點(diǎn)，且垂直于平面與的平面方程14（1）求由平面和所構(gòu)成的二面角的平分面的方程（2）動點(diǎn)與點(diǎn)的距離等