打印一份 離散型隨機(jī)變量典型題

1、離散型隨機(jī)變量典型題1有3張形狀、大小、質(zhì)量完全相同的卡片，在各張卡片上分別標(biāo)上0、1、2?，F(xiàn)從這3張卡片中任意抽出一張，讀出其標(biāo)號(hào)，然后把這張卡片放回去，再抽一張，其標(biāo)號(hào)為，記。（1）求的分布列；（2）求和。解：（1）可能取的值為0、1、2、4。 （2分） 且， （6分）所求的分布列為： 0124 （8分）（2）由（1）可知， （11分） （14分）2（本題滿分14分）甲與乙兩人擲硬幣，甲用一枚硬幣擲3次，記正面朝上的次為；乙用這枚硬幣擲2次，記正面朝上的次為. （1）分別求和的期望； （2）規(guī)定；若>，則甲獲勝，若<，則乙獲勝，分別求出甲和乙獲勝的概率. 解的可能取值為0，1，

2、2，3則的分布列為0123則E的可能取值為0，1，2則的分布列為012則E=所以、的數(shù)學(xué)期望分別為、1（2）P(>)= P(<)=所以甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為。3甲乙兩人獨(dú)立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲獨(dú)立解出的概率為0.6，被甲或乙解出的概率為0.92.（1）求該題被乙獨(dú)立解出的概率；（2）求解出該題的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差.解：（1）記甲、乙分別解出此題的事件記為A、B.設(shè)甲獨(dú)立解出此題的概率為P1，乙為P2.（2分）則P（A）=P1=0.6,P(B)=P2012P0.080.440.484口袋里裝有大小相同的卡片八張，其中三張標(biāo)有數(shù)字1，三張標(biāo)有數(shù)字2，二張標(biāo)有數(shù)字3，第

3、一次從口袋里任里任意抽取一張，放回口袋里后第二次再任意抽取一張，記第一次與第二次取到卡片上數(shù)字之和為.（）為何值時(shí)，其發(fā)生的概率最大？說(shuō)明理由；（）求隨機(jī)變量的期望E。解（I）依題意，隨機(jī)變量的取值是2、3、4、5、62分因?yàn)镻（=2）=；P（=3）= P（=4）=；P（=5）=； P（=6）=；7分所以，當(dāng)=4時(shí)，其發(fā)生的概率P（=4）=最大8分（）E=12分5（本小題滿分12分）A有一只放有x個(gè)紅球，y個(gè)白球，z個(gè)黃球的箱子（x、y、z0，且），B有一只放有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，1個(gè)黃球的箱子，兩人各自從自己的箱子中任取一球比顏色，規(guī)定同色時(shí)為A勝，異色時(shí)為B勝. （1）用x、y、z表示B勝

4、的概率； （2）當(dāng)A如何調(diào)整箱子中球時(shí)，才能使自己獲勝的概率最大？解：（1）顯然A勝與B勝為對(duì)立事件，A勝分為三個(gè)基本事件：A1：“A、B均取紅球”；A2：“A、B均取白球”；A3：“A、B均取黃球”.（2）由（1）知，于是，即A在箱中只放6個(gè)紅球時(shí)，獲勝概率最大，其值為6某中學(xué)有5名體育類考生要到某大學(xué)參加體育專業(yè)測(cè)試，學(xué)校指派一名教師帶隊(duì)，已知每位考生測(cè)試合格的概率都是，(1)若他們乘坐的汽車恰好有前后兩排各3個(gè)座位，求體育教師不坐后排的概率；(2)若5人中恰有r人合格的概率為，求r的值；(3)記測(cè)試合格的人數(shù)為，求的期望和方差。解：(1)體育教師不坐后排記為事件A，則。（2）每位考生測(cè)試

5、合格的概率，測(cè)試不合格的概率為則，即， (3) 7袋中有1個(gè)白球和4個(gè)黑球，每次從其中任取一個(gè)球，直到取到白球?yàn)橹?（）當(dāng)每次取出的黑球不再放回時(shí)，求取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差；（）當(dāng)每次取出的黑球仍放回去時(shí)，求取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差。解（）當(dāng)每次取出的黑球不再放回時(shí)，設(shè)隨機(jī)變量是取球次數(shù)，因?yàn)槊看稳〕龅暮谇虿辉俜呕?，所以的可能取值?，2，3，4，5，易知，故隨機(jī)變量的概率分布列為：12345P .6分（）當(dāng)每次取出的黑球仍放回去時(shí)，設(shè)隨機(jī)變量是取球次數(shù)，因?yàn)槊看稳〕龅暮谇蛉苑呕厝?，所以的可能取值是一切正整?shù)，所求概率分布為123nP8如圖，一輛車要直行通過(guò)某十字路口，這時(shí)前方剛好由綠燈轉(zhuǎn)為

6、紅燈.該車前面已有4輛車依次在同一車道上排隊(duì)等候（該車道只可以直行或左轉(zhuǎn)行駛）.已知每輛車直行的概率為，左轉(zhuǎn)行駛的概率.該路口紅綠燈轉(zhuǎn)換間隔均為1分鐘.假設(shè)該車道上一輛直行的車駛出停車線需要10秒，一輛左轉(zhuǎn)行駛的車駛出停車線需要20秒.求：（1）前面4輛車恰有2輛左轉(zhuǎn)行駛的概率為多少？（2）該車在第一次綠燈亮起的1分鐘內(nèi)能通過(guò)該十字路口的概率（汽車駛出停車線就算通過(guò)路口）（3）假設(shè)每次由紅燈轉(zhuǎn)為綠燈的瞬間，所有排隊(duì)等候的車輛都同時(shí)向前行駛，求該車在這十字路口候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。 （1）（2）（3）設(shè)該車在十字路口停車等候時(shí)間為t，則時(shí)間 t的分布列為時(shí)間t(min)13概率P則停車時(shí)間的數(shù)學(xué)期

7、望為9某校一個(gè)研究性學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)從網(wǎng)上查得，某種植物種子在一定條件下的發(fā)芽成功的概率為，于是該學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)分兩個(gè)小組進(jìn)行驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn).（）第一小組做了5次這種植物種子的發(fā)芽實(shí)驗(yàn)（每次均種下一粒種子），求他們的實(shí)驗(yàn)至少有3次成功的概率；（）第二小組做了若干次發(fā)芽實(shí)驗(yàn)（每次均種下一粒種子），如果在一次實(shí)驗(yàn)中種子發(fā)芽成功就停止實(shí)驗(yàn)，否則就繼續(xù)進(jìn)行下次實(shí)驗(yàn).直到種子發(fā)芽成功為止，但實(shí)驗(yàn)的次數(shù)不超過(guò)5次.求這一小組所做的種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)次數(shù)的分布列和期望。 解：（）至少有3次成功包括3次、4次和5次成功，即： 4 （）依題意有： 123456 410從分別寫(xiě)有的九張卡片中，任意抽取兩張，計(jì)算：（）卡片上的數(shù)字都是奇數(shù)

8、的概率；（）當(dāng)兩張卡片上的數(shù)字之和能被3整除時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，求在15次試驗(yàn)中成功次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。（）；（）一次試驗(yàn)成功的概率為，從而，故。11甲、乙兩人參加一次英語(yǔ)口語(yǔ)考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對(duì)其中6題，乙能答對(duì)其中的8題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì)2題才算合格。（）求甲答對(duì)試題數(shù)的概率分布及數(shù)學(xué)期望。（）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率。解：（）依題意，甲答對(duì)試題數(shù)的概率分布如下：01234分甲答對(duì)試題數(shù)的數(shù)學(xué)期望：4分（）設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為則理9分（文6分）甲、乙兩人考試均不合格的概率為：甲、乙兩人至少一個(gè)合格的概率為理文均

9、12分12一出租車司機(jī)從飯店到火車站途中有6個(gè)交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇紅燈這一事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是。（I）求這位司機(jī)遇到紅燈前，已經(jīng)通過(guò)了兩個(gè)交通崗的概率；（II）求這位司機(jī)在途中恰好遇到三次紅燈的概率。 解：（1）這位司機(jī)在第一、第二個(gè)交通崗都未遇到紅燈，第三個(gè)交通崗遇到了紅燈 所以6分（II）這位司機(jī)在途中恰好遇到三次紅燈的概率為 13分13學(xué)校文娛隊(duì)的每位隊(duì)員唱歌、跳舞至少會(huì)一項(xiàng)，已知會(huì)唱歌的有2人，會(huì)跳舞的有5人，現(xiàn)從中選2人設(shè)為選出的人中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù)，且(I) 求文娛隊(duì)的人數(shù)；(II) 寫(xiě)出的概率分布列并計(jì)算解：設(shè)既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有x人，則文娛隊(duì)中共有（7-x

10、）人，那么只會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)是（7-2 x）人 (I)，3分即x=2 5分故文娛隊(duì)共有5人7分(II) 的概率分布列為012P，9分，11分 =1 13分14一臺(tái)儀器每啟動(dòng)一次都隨機(jī)地出現(xiàn)一個(gè)10位的二進(jìn)制數(shù)，其中A的各位數(shù)字中，出現(xiàn)0的概率為，出現(xiàn)1的概率為，例如：，其中，記。當(dāng)啟動(dòng)儀器一次時(shí)，（1）求的概率；（2）求，且有3個(gè)1連排在一起其余無(wú)任2個(gè)1連排在一起的概率。解：（1）；（2）（注：分三類1110-；110-；10-）15如圖A、B兩點(diǎn)之間有6條網(wǎng)線并聯(lián)，他們能通過(guò)的最大信息量分別為1、1、2、2、3、4，現(xiàn)從中任取三條網(wǎng)線且使每條網(wǎng)線通過(guò)最大信息量；、設(shè)選取的三條網(wǎng)線由A到B可通過(guò)

11、的信息總量為x，當(dāng)x6時(shí)，才能保證信息暢通，求線路信息暢通的概率；求選取的三條網(wǎng)線可通過(guò)信息總量的數(shù)學(xué)期望。112234解： 即線路信息暢通的概率為6分信息總量x分布列x456789P線段同過(guò)信息量的數(shù)學(xué)期望為6.513分16某中學(xué)籃球隊(duì)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，每人在一輪練習(xí)中最多可投籃4次，現(xiàn)規(guī)定一旦命中即停止該輪練習(xí)，否則一直投到4次為止.已知運(yùn)動(dòng)員甲的投籃命中率為0.7.（1） 求一輪練習(xí)中運(yùn)動(dòng)員甲的投籃次數(shù)的分布列，并求出的期望E（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）；（2） 求一輪練習(xí)中運(yùn)動(dòng)員甲至少投籃3次的概率.解：(1)的可能取值為1，2，3，4，=1時(shí)，P（=1）=0.7=2時(shí)，P（=2）=0.7(1

12、-0.7)=0.21;=3時(shí)，P（=3）=0.7(1-0.7)2=0.063=4時(shí)，P（=4）=0.7(1-0.7)3+(1-0.7)4=0.027.的分布為1234P0.70.210.0630.027E=1×0.7+×2×0.21+3×0.063+4×0.027=1.4(2)P(3)=P(=3)+P(=4)=0.063+0027=0.0917、 甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員，甲射擊一次命中10環(huán)的概率為，乙射擊一次命中10環(huán)的概率為s，若他們各自獨(dú)立地射擊兩次，設(shè)乙命中10環(huán)的次數(shù)為，且的數(shù)學(xué)期望E=，表示甲與乙命中10環(huán)的次數(shù)的差的絕對(duì)值. (1)

13、求s的值及的分布列， (2)求的數(shù)學(xué)期望.解:(1)依題意知B(2，s)，故E=2s=， s= 2分 的取值可以是0，1，2.1、 乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)均為0次的概率是，1、 乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)均為1次的概率是，1、 乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)均為2次的概率是，(=0)= 6分甲命中10環(huán)的次數(shù)為2次且乙命中10環(huán)的次數(shù)為0次的概率是，甲命中10環(huán)的次數(shù)為0次且乙命中10環(huán)的次數(shù)為2次的概率是(=2)=， (=1)=1(=0)(=2)=10分故的分布列是01212分（2）E= 14分18一位學(xué)生每天騎自行車上學(xué), 從他家到學(xué)校有5個(gè)交通崗, 假設(shè)他在交通崗遇到紅燈是相互獨(dú)立的, 且首末兩個(gè)交

14、通崗遇到紅燈的概率均為p , 其余3個(gè)交通崗遇到紅燈的概率均為.(1) 若, 求該學(xué)生在第三個(gè)交通崗第一遇到紅燈的概率;(2) 若該學(xué)生至多遇到一次紅燈的概率不超過(guò), 求p的取值范圍.解: (1) 記該學(xué)生在第個(gè)交通崗遇到紅燈, 答：該學(xué)生在第三個(gè)交通崗第一遇到紅燈的概率為6分(2) 該學(xué)生至多遇到一次紅燈指沒(méi)有遇到紅燈（記為A）或恰好遇到一次紅燈（記為B）7分 9分11分又 所以p的取值范圍是12分19一些零件中有10個(gè)合格品與3個(gè)次品，安裝機(jī)器時(shí)，從這批零件中任取一個(gè). 各個(gè)零件被抽到的可能性相同，如果每次取出的產(chǎn)品都不放回此批產(chǎn)品中，求：（）直到取出合格品為止時(shí)所需抽取次數(shù)的分布列和E；（）在取得合格品以前已取出的不合格品數(shù)的分布列和E. （精確到0.01）解：（）的取值為1，2，3，4 當(dāng)