打印一份 離散型隨機變量典型題

1、離散型隨機變量典型題1有3張形狀、大小、質量完全相同的卡片，在各張卡片上分別標上0、1、2。現從這3張卡片中任意抽出一張，讀出其標號，然后把這張卡片放回去，再抽一張，其標號為，記。（1）求的分布列；（2）求和。解：（1）可能取的值為0、1、2、4。 （2分） 且， （6分）所求的分布列為： 0124 （8分）（2）由（1）可知， （11分） （14分）2（本題滿分14分）甲與乙兩人擲硬幣，甲用一枚硬幣擲3次，記正面朝上的次為；乙用這枚硬幣擲2次，記正面朝上的次為. （1）分別求和的期望； （2）規(guī)定；若>，則甲獲勝，若<，則乙獲勝，分別求出甲和乙獲勝的概率. 解的可能取值為0，1，

2、2，3則的分布列為0123則E的可能取值為0，1，2則的分布列為012則E=所以、的數學期望分別為、1（2）P(>)= P(<)=所以甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為。3甲乙兩人獨立解某一道數學題，已知該題被甲獨立解出的概率為0.6，被甲或乙解出的概率為0.92.（1）求該題被乙獨立解出的概率；（2）求解出該題的人數的數學期望和方差.解：（1）記甲、乙分別解出此題的事件記為A、B.設甲獨立解出此題的概率為P1，乙為P2.（2分）則P（A）=P1=0.6,P(B)=P2012P0.080.440.484口袋里裝有大小相同的卡片八張，其中三張標有數字1，三張標有數字2，二張標有數字3，第

3、一次從口袋里任里任意抽取一張，放回口袋里后第二次再任意抽取一張，記第一次與第二次取到卡片上數字之和為.（）為何值時，其發(fā)生的概率最大？說明理由；（）求隨機變量的期望E。解（I）依題意，隨機變量的取值是2、3、4、5、62分因為P（=2）=；P（=3）= P（=4）=；P（=5）=； P（=6）=；7分所以，當=4時，其發(fā)生的概率P（=4）=最大8分（）E=12分5（本小題滿分12分）A有一只放有x個紅球，y個白球，z個黃球的箱子（x、y、z0，且），B有一只放有3個紅球，2個白球，1個黃球的箱子，兩人各自從自己的箱子中任取一球比顏色，規(guī)定同色時為A勝，異色時為B勝. （1）用x、y、z表示B勝

4、的概率； （2）當A如何調整箱子中球時，才能使自己獲勝的概率最大？解：（1）顯然A勝與B勝為對立事件，A勝分為三個基本事件：A1：“A、B均取紅球”；A2：“A、B均取白球”；A3：“A、B均取黃球”.（2）由（1）知，于是，即A在箱中只放6個紅球時，獲勝概率最大，其值為6某中學有5名體育類考生要到某大學參加體育專業(yè)測試，學校指派一名教師帶隊，已知每位考生測試合格的概率都是，(1)若他們乘坐的汽車恰好有前后兩排各3個座位，求體育教師不坐后排的概率；(2)若5人中恰有r人合格的概率為，求r的值；(3)記測試合格的人數為，求的期望和方差。解：(1)體育教師不坐后排記為事件A，則。（2）每位考生測試

5、合格的概率，測試不合格的概率為則，即， (3) 7袋中有1個白球和4個黑球，每次從其中任取一個球，直到取到白球為止.（）當每次取出的黑球不再放回時，求取球次數的數學期望與方差；（）當每次取出的黑球仍放回去時，求取球次數的數學期望與方差。解（）當每次取出的黑球不再放回時，設隨機變量是取球次數，因為每次取出的黑球不再放回，所以的可能取值為1，2，3，4，5，易知，故隨機變量的概率分布列為：12345P .6分（）當每次取出的黑球仍放回去時，設隨機變量是取球次數，因為每次取出的黑球仍放回去，所以的可能取值是一切正整數，所求概率分布為123nP8如圖，一輛車要直行通過某十字路口，這時前方剛好由綠燈轉為

6、紅燈.該車前面已有4輛車依次在同一車道上排隊等候（該車道只可以直行或左轉行駛）.已知每輛車直行的概率為，左轉行駛的概率.該路口紅綠燈轉換間隔均為1分鐘.假設該車道上一輛直行的車駛出停車線需要10秒，一輛左轉行駛的車駛出停車線需要20秒.求：（1）前面4輛車恰有2輛左轉行駛的概率為多少？（2）該車在第一次綠燈亮起的1分鐘內能通過該十字路口的概率（汽車駛出停車線就算通過路口）（3）假設每次由紅燈轉為綠燈的瞬間，所有排隊等候的車輛都同時向前行駛，求該車在這十字路口候車時間的數學期望。 （1）（2）（3）設該車在十字路口停車等候時間為t，則時間 t的分布列為時間t(min)13概率P則停車時間的數學期

7、望為9某校一個研究性學習團隊從網上查得，某種植物種子在一定條件下的發(fā)芽成功的概率為，于是該學習團隊分兩個小組進行驗證性實驗.（）第一小組做了5次這種植物種子的發(fā)芽實驗（每次均種下一粒種子），求他們的實驗至少有3次成功的概率；（）第二小組做了若干次發(fā)芽實驗（每次均種下一粒種子），如果在一次實驗中種子發(fā)芽成功就停止實驗，否則就繼續(xù)進行下次實驗.直到種子發(fā)芽成功為止，但實驗的次數不超過5次.求這一小組所做的種子發(fā)芽實驗次數的分布列和期望。 解：（）至少有3次成功包括3次、4次和5次成功，即： 4 （）依題意有： 123456 410從分別寫有的九張卡片中，任意抽取兩張，計算：（）卡片上的數字都是奇數

8、的概率；（）當兩張卡片上的數字之和能被3整除時，就說這次試驗成功，求在15次試驗中成功次數的數學期望。（）；（）一次試驗成功的概率為，從而，故。11甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中6題，乙能答對其中的8題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題才算合格。（）求甲答對試題數的概率分布及數學期望。（）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率。解：（）依題意，甲答對試題數的概率分布如下：01234分甲答對試題數的數學期望：4分（）設甲、乙兩人考試合格的事件分別為則理9分（文6分）甲、乙兩人考試均不合格的概率為：甲、乙兩人至少一個合格的概率為理文均

9、12分12一出租車司機從飯店到火車站途中有6個交通崗，假設他在各交通崗遇紅燈這一事件是相互獨立的，并且概率都是。（I）求這位司機遇到紅燈前，已經通過了兩個交通崗的概率；（II）求這位司機在途中恰好遇到三次紅燈的概率。 解：（1）這位司機在第一、第二個交通崗都未遇到紅燈，第三個交通崗遇到了紅燈 所以6分（II）這位司機在途中恰好遇到三次紅燈的概率為 13分13學校文娛隊的每位隊員唱歌、跳舞至少會一項，已知會唱歌的有2人，會跳舞的有5人，現從中選2人設為選出的人中既會唱歌又會跳舞的人數，且(I) 求文娛隊的人數；(II) 寫出的概率分布列并計算解：設既會唱歌又會跳舞的有x人，則文娛隊中共有（7-x

10、）人，那么只會一項的人數是（7-2 x）人 (I)，3分即x=2 5分故文娛隊共有5人7分(II) 的概率分布列為012P，9分，11分 =1 13分14一臺儀器每啟動一次都隨機地出現一個10位的二進制數，其中A的各位數字中，出現0的概率為，出現1的概率為，例如：，其中，記。當啟動儀器一次時，（1）求的概率；（2）求，且有3個1連排在一起其余無任2個1連排在一起的概率。解：（1）；（2）（注：分三類1110-；110-；10-）15如圖A、B兩點之間有6條網線并聯(lián)，他們能通過的最大信息量分別為1、1、2、2、3、4，現從中任取三條網線且使每條網線通過最大信息量；、設選取的三條網線由A到B可通過

11、的信息總量為x，當x6時，才能保證信息暢通，求線路信息暢通的概率；求選取的三條網線可通過信息總量的數學期望。112234解： 即線路信息暢通的概率為6分信息總量x分布列x456789P線段同過信息量的數學期望為6.513分16某中學籃球隊進行投籃訓練，每人在一輪練習中最多可投籃4次，現規(guī)定一旦命中即停止該輪練習，否則一直投到4次為止.已知運動員甲的投籃命中率為0.7.（1） 求一輪練習中運動員甲的投籃次數的分布列，并求出的期望E（結果保留兩位有效數字）；（2） 求一輪練習中運動員甲至少投籃3次的概率.解：(1)的可能取值為1，2，3，4，=1時，P（=1）=0.7=2時，P（=2）=0.7(1

12、-0.7)=0.21;=3時，P（=3）=0.7(1-0.7)2=0.063=4時，P（=4）=0.7(1-0.7)3+(1-0.7)4=0.027.的分布為1234P0.70.210.0630.027E=1×0.7+×2×0.21+3×0.063+4×0.027=1.4(2)P(3)=P(=3)+P(=4)=0.063+0027=0.0917、 甲、乙兩名射擊運動員，甲射擊一次命中10環(huán)的概率為，乙射擊一次命中10環(huán)的概率為s，若他們各自獨立地射擊兩次，設乙命中10環(huán)的次數為，且的數學期望E=，表示甲與乙命中10環(huán)的次數的差的絕對值. (1)

13、求s的值及的分布列， (2)求的數學期望.解:(1)依題意知B(2，s)，故E=2s=， s= 2分 的取值可以是0，1，2.1、 乙兩人命中10環(huán)的次數均為0次的概率是，1、 乙兩人命中10環(huán)的次數均為1次的概率是，1、 乙兩人命中10環(huán)的次數均為2次的概率是，(=0)= 6分甲命中10環(huán)的次數為2次且乙命中10環(huán)的次數為0次的概率是，甲命中10環(huán)的次數為0次且乙命中10環(huán)的次數為2次的概率是(=2)=， (=1)=1(=0)(=2)=10分故的分布列是01212分（2）E= 14分18一位學生每天騎自行車上學, 從他家到學校有5個交通崗, 假設他在交通崗遇到紅燈是相互獨立的, 且首末兩個交

14、通崗遇到紅燈的概率均為p , 其余3個交通崗遇到紅燈的概率均為.(1) 若, 求該學生在第三個交通崗第一遇到紅燈的概率;(2) 若該學生至多遇到一次紅燈的概率不超過, 求p的取值范圍.解: (1) 記該學生在第個交通崗遇到紅燈, 答：該學生在第三個交通崗第一遇到紅燈的概率為6分(2) 該學生至多遇到一次紅燈指沒有遇到紅燈（記為A）或恰好遇到一次紅燈（記為B）7分 9分11分又 所以p的取值范圍是12分19一些零件中有10個合格品與3個次品，安裝機器時，從這批零件中任取一個. 各個零件被抽到的可能性相同，如果每次取出的產品都不放回此批產品中，求：（）直到取出合格品為止時所需抽取次數的分布列和E；（）在取得合格品以前已取出的不合格品數的分布列和E. （精確到0.01）解：（）的取值為1，2，3，4 當